Phương trình sai phân và một số mô hình kinh tế

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp Trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung ương Việt Trì, Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2012 Tác giả Lương Thị Hồng Khuyên i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2012 Tác giả Lương Thị Hồng Khuyên ii Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Ma trận và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Phương trình sai phân 14 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3. Tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4. Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . 30 iii 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên . . . . . . . . 37 2.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế 40 3.1. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu . . . . . . . . . . . 41 3.1.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2. Phân tích mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Mô hình thị trường có hàng tồn kho . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2. Phân tích cân bằng động của mô hình . . . . . . 57 3.3. Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson 64 3.3.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2. Khảo sát tính ổn định động của mô hình . . . . . 65 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 77 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình sai phân thường xuất hiện khi người ta mô tả những hiện tượng tiến hóa quan sát được trong tự nhiên. Chẳng hạn xét quá trình phát triển dân số của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi x n+1 là số dân tại thời điểm năm n + 1 thì x n+1 là một hàm của số dân x n tại thời điểm năm trước đó. Mối liên hệ này được mô tả bởi hệ thức: x n+1 = f (x n , n); n ∈ N n 0 Phương trình sai phân theo một biến n và một hàm phải tìm x n là phương trình hàm có dạng: F (x n+1 , x n , , x n−k , n) = 0, n ∈ N n 0 (0.1) Ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm theo các biến x n+1 , x n , , x n−k , n và n 0 là một số nguyên dương đã cho. Trong trường hợp k hữu hạn, phương trình (0.1) được gọi là phương trình sai phân cấp k. Bằng một số phương pháp biến đổi thì phương trình sai phân cấp k + 1 có thể đưa về phương trình sai phân cấp 1 dạng: F (x n+1 , x n , n) = 0 (0.2) Ở đây x n , (n ∈ N n 0 ) là những véc tơ và hàm véc tơ. Vì vậy khi xét các phương trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian R n ta chỉ cần đề cập đến phương trình sai phân cấp 1 dạng (0.2). Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học cũng như các nghành khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổ hợp, tâm lý học, và đặc biệt là nghành kinh tế học. Những vấn đề kinh tế trong các hoạt động kinh tế thường rất đa dạng 2 và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt chẽ và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết thực. Trong những thập kỷ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được trao cho các công trình có vận dụng mạnh mẽ các lý thuyết và phương pháp toán học như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, lý thuyết xác suất và thống kê, lý thuyết về phương trình hệ phương trình vi phân và sai phân. Lý thuyết sai phân được áp dụng nhiều trong việc phân tích cân bằng động của một số mô hình kinh tế như: • Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu • Mô hình thị trường có hàng tồn kho • Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng phương pháp sai phân để giải quyết, phân tích và giải thích cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu cấp thiết đối với các nhà nghiên cứu toán, kinh tế. Như vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân và một số ứng dụng của nó trong kinh tế là một vấn đề thời sự của toán học được nhiều nhà khoa học quan tâm Dưới sự hướng dẫn tận tình của Ts. Nguyễn Văn Hùng và với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng, sâu rộng về phương trình sai phân để thấy được ứng dụng của nó trong lĩnh vực kinh tế tôi chọn đề tài: "Phương trình sai phân và một số mô hình kinh tế" 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân và một số ứng dụng của nó trong lĩnh vực kinh tế 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Hệ thống các kiến thức về phương trình sai phân và sự ổn định nghiệm của các phương trình đó. • Tìm hiểu và nghiên cứu một số mô hình kinh tế có sử dụng lý thuyết sai phân để phân tích giải quyết. • Vận dụng kiến thức sai phân giải một số bài toán kinh tế và nêu lên được ý nghĩa của chúng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu vào phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, không thuần nhất cấp 1, cấp 2. Sự ổn định nghiệm của phương trình sai phân. Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kết quả của phương trình sai phân 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu một cách có hệ thống về phương trình sai phân Ứng dụng lý thuyết phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian véc tơ Khái niệm không gian véc tơ Định nghĩa 1.1.1. Không gian véc tơ trên trường K là tập V khác ∅ với hai phép toán: V × V −→ V K ×V −→ V (u, v) → u + v (α, v) → αv thỏa mãn các tiên đề sau: với mọi u, v, w ∈ V, α, β ∈ K 1. (u+v)+w = u +(v+w) 2. ∃0 ∈ V sao cho 0 + u = u + 0 = u 3. Với mỗi u ∈ V có −u ∈ V sao cho: u + (−u) = (−u) + u = 0 4. u + v = v + u 5. (α + β)u = αu + βu 6. α(u + v) = αu + αv 7. (αβ)u = α(βu) 5 8. 1u = u1 = u. Trong đó 1 là phần tử đơn vị của K Khi K = R thì V được gọi là không gian véc tơ thực. Khi K = C thì V được gọi là không gian véc tơ phức. Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi là các phần tử vô hướng. Không gian véc tơ con Định nghĩa 1.1.2. Giả sử V là một không gian véc tơ và W là tập con của V. Tập W là ổn định (hay đóng kín) đối với hai phép toán trên Vnếu: u + v ∈ V ∀u, v ∈ W (1.1) αu ∈ W ∀α ∈ K, u ∈ W (1.2) Tập W là một không gian con của V nếu W ổn định với hai phép toán trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là một không gian véc tơ trên trường K Không gian sinh bởi hệ S: Không gian W bé nhất chứa hệ véc tơ S được gọi là không gian sinh bởi hệ S. Ký hiệu W = spanS và S được gọi là hệ sinh của W. W = spanS bằng tổ hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Nếu V = spanS, S = {v 1 , v 2 , ··· , v n } hữu hạn thì V được gọi là không gian hữu hạn sinh. Lúc đó, với ∀u ∈ V : u = x 1 v 1 +x 2 v 2 +···+x n v n , x 1 , x 2 , ··· , x n ∈ K. Tổng của một họ không gian véc tơ con: Giả sử W 1 , W 2 , ··· , W n là n không gian véc tơ con của V. Ta ký hiệu W 1 +W 2 +···+W n là tổng của các không gian con W 1 , W 2 , ··· , W n và được định nghĩa như sau: u ∈ W 1 + W 2 + ···+ W n khi và chỉ khi u = u 1 + u 2 + ···+ u n , trong đó u i ∈ W i , i = 1, 2, ··· , n Khi mỗi u ∈ W 1 + W 2 + ··· + W n cách biểu diễn trên là duy nhất thì 6 tổng các không gian con này được gọi là tổng trực tiếp. Lúc đó ta ký hiệu: W = W 1 ⊕ W 2 ⊕ ··· ⊕ W n Độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.3. a) Cho K−không gian véc tơ V. Một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ v 1 , v 2 , ··· , v n ∈ V là một biểu thức dạng n  i=1 α i v i = α 1 v 1 + ··· + α n v n trong đó:α 1 , ··· , α n ∈ K. b) Với u ∈ V, nếu u = α 1 v 1 +···+ α n v n thì ta nói véc tơ u biểu thị tuyến tính qua hệ vec tơ (v 1 , ··· , v n ) và đẳng thức u = α 1 v 1 + ··· + α n v n được gọi là một biểu thị tuyến tính của u qua các véc tơ (v 1 , ··· , v n ). Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian véc tơ V a) Hệ n véc tơ S = {v 1 , v 2 , ··· , v n } của V được gọi là độc lập tuyến tính nếu: α 1 v 1 + α 2 v 2 + ··· + α n v n = 0, α 1 , α 2 , ··· , α n ∈ K thì α 1 = α 2 = ··· = α n = 0 b) Hệ n véc tơ S = {v 1 , v 2 , ··· , v n } của V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. Hệ con {v 1 , v 2 , ··· , v n } của hệ S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bât kỳ véc tơ nào vào hệ thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính. Mọi hệ véc tơ S đều có hệ con độc lập tuyến tính tối đại, số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S đều bằng nhau và gọi là hạng của S, ký hiệu rankS. Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là một cơ sở của V. Mọi không gian hữu hạn sinh V đều tồn tại cơ sở. Số phần tử của mọi cơ sở củaV đều bằng nhau và được gọi là số chiều của V, ký hiệu dimV. [...]... tính tuyến tính của phương trình sai phân 22 2.1.3 Tuyến tính hóa Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta đổi biến đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa Một số phương trình sai phân có hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi đưa về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số là hằng số Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân Xét công thức... 26 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng: xn+1 + bxn = fn , a = 0, b = 0 hay axn+1 = qxn + fn , q = 0 (2.5) Nếu a, b, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc 1 với hệ số hằng số, nếu a, b, q phụ thuộc vào n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc một với hệ số biến thiên; fn là một hàm... các hằng số thì(2.6) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc 2 với các hệ số là hằng số Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n, thì (2.6) gọi là phương trình sai phân bậc hai với hệ số biến thiên Nếu fn = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai tương ứng với (2.6): axn+2 + bxn+1 + cxn = 0 (2.7) hay xn+2 = pxn+1 + qxn Nếu fn = 0 thì (2.6) gọi là phương trình sai phân tuyến... Mm×n F →A là một đẳng cấu tuyến tính và r(F ) = r(A) 10 1.4 Sai phân Khái niệm sai phân Định nghĩa 1.4.1 Giả sử f : R −→ R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0 ta gọi 0 f (x) = f (x) là sai phân cấp 0 của hàm số y = f (x) 1 f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x) 2 f (x) = 1 ( f (x)) = f (x+h)− f (x) = f (x+2h)−2f (x+h)+f (x) là sai phân cấp hai của hàm số y = f... phải; xn là ẩn Nếu fn = 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu fn = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 2.2.2 Nghiệm Nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng xn = xn + x∗ trong đó x∗ là n n một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất, xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và có dạng: b xn = Cλn với λ =... hàm số của n được gọi là hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của n được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm và được gọi là ẩn Phương trình (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, để tính các giá trị xn , ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn , rồi tính các giá trị còn lại theo công thức truy hồi (2.1) Định nghĩa 2.1.2 Nếu fn ≡ 0 thì (2.1) được gọi là phương trình sai. .. phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu fn = 0 thì (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , · · · ak 15 là các hằng số a0 = 0, ak = 0 thì phương trình (2.1) trở thành: Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xn = 0 (2.2) Khi đó phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số hằng số 2.1.2 Nghiệm... 5n = là một nghiệm riêng của phương trình n 5 5 đã cho n.n! Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là xn = C5n + 5 ↔ Cn = 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai có dạng: axn+2 + bxn+1 + cxn = fn , a = 0, c = 0 (2.6) hay xn+2 = pxn+1 + qxn + fn , q = 0 trong đó xn là hàm của đối số nguyên n gọi là ẩn, fn là một hàm số của... 2 2 3 3 2.1.4 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính Mọi phương trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về dạng chính tắc → − − → − − y n+1 = A→n + f n , →0 cho trước, y y − trong đó →n là một véc tơ, có các thành phần là các giá trị của hàm y → − lưới xn , f n là một véc tơ của n, còn A là một toán tử tuyến tính Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k(k ≥ 3) xn+k... xn + x∗ , trong đó xn là n nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.7) và x∗ là n một nghiệm riêng tùy ý của (2.6) Nghiệm tổng quát xn của phương trình thuần nhất Xét phương trình đặc trưng: aλ2 + bλ + c = 0 (2.8) • Nếu phương trình (2.8) có hai nghiệm thực khác nhau λ1 = λ2 thì xn = Aλn + Bλn , trong đó A, B là các hằng số tùy ý 1 2 • Nếu phương trình (2.8) có nghiệm kép λ thì: xn = . trình hệ phương trình vi phân và sai phân. Lý thuyết sai phân được áp dụng nhiều trong việc phân tích cân bằng động của một số mô hình kinh tế như: • Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu • Mô hình thị. sai phân và sự ổn định nghiệm của các phương trình đó. • Tìm hiểu và nghiên cứu một số mô hình kinh tế có sử dụng lý thuyết sai phân để phân tích giải quyết. • Vận dụng kiến thức sai phân giải một. ổn định nghiệm của phương trình sai phân. Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kết quả của phương trình sai phân 6. Dự kiến đóng