Phương trình sai phân và một số mô hình kinh tế

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên.. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.. Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng tr

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn VănHùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệmquý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên vàkhích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăntrong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâusắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo,bạn bè đồng nghiệp Trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung ương Việt Trì,Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thànhkhóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Lương Thị Hồng Khuyên

i

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Lương Thị Hồng Khuyên

ii

Mở đầu 1

1.1 Không gian véc tơ 4

1.2 Ma trận và định thức 7

1.3 Ánh xạ tuyến tính 8

1.4 Sai phân 10

2 Phương trình sai phân 14 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính 14

2.1.1 Định nghĩa 14

2.1.2 Nghiệm 15

2.1.3 Tuyến tính hóa 22

2.1.4 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính 24

2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 26

2.2.1 Định nghĩa 26

2.2.2 Nghiệm 26

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 30

iii

2.3.2 Nghiệm 31

2.4 Phương trình sai phân với hệ số biến thiên 37

2.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên 37

2.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 38

3 Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế 40 3.1 Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu 41

3.1.1 Phát biểu mô hình 42

3.1.2 Phân tích mô hình 45

3.2 Mô hình thị trường có hàng tồn kho 56

3.2.1 Phát biểu mô hình 56

3.2.2 Phân tích cân bằng động của mô hình 57

3.3 Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson 64 3.3.1 Phát biểu mô hình 64

3.3.2 Khảo sát tính ổn định động của mô hình 65

iv

Ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm theo các biến xn+1, xn, ,

xn−k, n và n0 là một số nguyên dương đã cho Trong trường hợp k hữuhạn, phương trình (0.1) được gọi là phương trình sai phân cấp k

Bằng một số phương pháp biến đổi thì phương trình sai phân cấp k + 1

có thể đưa về phương trình sai phân cấp 1 dạng:

F (xn+1, xn, n) = 0 (0.2)

Ở đây xn, (n ∈ Nn 0) là những véc tơ và hàm véc tơ Vì vậy khi xét cácphương trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian Rn ta chỉ cần

đề cập đến phương trình sai phân cấp 1 dạng (0.2)

Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng trongcác lĩnh vực toán học cũng như các nghành khoa học khác, chẳng hạntrong giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổhợp, tâm lý học, và đặc biệt là nghành kinh tế học

Những vấn đề kinh tế trong các hoạt động kinh tế thường rất đa dạng

và phức tạp Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việcphát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt chẽ

và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết thực

Trong những thập kỷ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được trao chocác công trình có vận dụng mạnh mẽ các lý thuyết và phương pháp toánhọc như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, lý thuyết xác suất và thống kê,

lý thuyết về phương trình hệ phương trình vi phân và sai phân

Lý thuyết sai phân được áp dụng nhiều trong việc phân tích cânbằng động của một số mô hình kinh tế như:

• Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu

• Mô hình thị trường có hàng tồn kho

• Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson

Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán họcthích hợp, vận dụng phương pháp sai phân để giải quyết, phân tích vàgiải thích cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logicluôn là một yêu cầu cấp thiết đối với các nhà nghiên cứu toán, kinh tế

Như vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân và một số ứngdụng của nó trong kinh tế là một vấn đề thời sự của toán học đượcnhiều nhà khoa học quan tâm

Dưới sự hướng dẫn tận tình của Ts Nguyễn Văn Hùng và vớimong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng, sâu rộng về phương trình saiphân để thấy được ứng dụng của nó trong lĩnh vực kinh tế tôi chọn đề tài:

"Phương trình sai phân và một số mô hình kinh tế"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình sai phân và một số ứng dụng của nótrong lĩnh vực kinh tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Hệ thống các kiến thức về phương trình sai phân và sự ổn địnhnghiệm của các phương trình đó

• Tìm hiểu và nghiên cứu một số mô hình kinh tế có sử dụng lý thuyếtsai phân để phân tích giải quyết

• Vận dụng kiến thức sai phân giải một số bài toán kinh tế và nêulên được ý nghĩa của chúng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu vào phương trình sai phântuyến tính thuần nhất, không thuần nhất cấp 1, cấp 2 Sự ổn định nghiệmcủa phương trình sai phân Một số ứng dụng của phương trình sai phântrong lĩnh vực kinh tế

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kết quả của phương trình sai phân

6 Dự kiến đóng góp mới

Nghiên cứu một cách có hệ thống về phương trình sai phân

Ứng dụng lý thuyết phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế

Một số kiến thức chuẩn bị

Khái niệm không gian véc tơ

Định nghĩa 1.1.1 Không gian véc tơ trên trường K là tập V khác ∅với hai phép toán:

8 1u = u1 = u Trong đó 1 là phần tử đơn vị của K

Khi K = R thì V được gọi là không gian véc tơ thực

Khi K = C thì V được gọi là không gian véc tơ phức

Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi

là các phần tử vô hướng

Không gian véc tơ con

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử V là một không gian véc tơ và W là tập concủa V Tập W là ổn định (hay đóng kín) đối với hai phép toán trên Vnếu:

Tập W là một không gian con của V nếu W ổn định với hai phép toántrên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là mộtkhông gian véc tơ trên trường K

Không gian sinh bởi hệ S: Không gian W bé nhất chứa hệ véc

tơ S được gọi là không gian sinh bởi hệ S Ký hiệu W = spanS và Sđược gọi là hệ sinh của W

W = spanS bằng tổ hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S

Nếu V = spanS, S = {v1, v2, · · · , vn} hữu hạn thì V được gọi là khônggian hữu hạn sinh

Lúc đó, với ∀u ∈ V : u = x1v1+x2v2+· · ·+xnvn, x1, x2, · · · , xn ∈ K

Tổng của một họ không gian véc tơ con: Giả sử W1, W2, · · · , Wn

là n không gian véc tơ con của V Ta ký hiệu W1+ W2+ · · · + Wn là tổngcủa các không gian con W1, W2, · · · , Wn và được định nghĩa như sau:

u ∈ W1+ W2 + · · · + Wn khi và chỉ khi u = u1+ u2+ · · · + un, trong đó

ui ∈ Wi, i = 1, 2, · · · , n

Khi mỗi u ∈ W1 + W2 + · · · + Wn cách biểu diễn trên là duy nhất thì

tổng các không gian con này được gọi là tổng trực tiếp Lúc đó ta ký hiệu:

Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian véc tơ V

a) Hệ n véc tơ S = {v1, v2, · · · , vn} của V được gọi là độc lập tuyến tínhnếu: α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0, α1, α2, · · · , αn ∈ K thì α1 = α2 =

Mọi hệ véc tơ S đều có hệ con độc lập tuyến tính tối đại, số véc

tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S đều bằng nhau vàgọi là hạng của S, ký hiệu rankS Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của

V được gọi là một cơ sở của V Mọi không gian hữu hạn sinh V đều tồntại cơ sở Số phần tử của mọi cơ sở củaV đều bằng nhau và được gọi là

số chiều của V, ký hiệu dimV

Ma trận A được viết tắt dưới dạng [aij]m×n.

Khi m = n ta gọi là ma trận vuông cấp n

Ma trận không: 0 = [0]m×n (các phần tử đều bằng không)

Ma trận đơn vị cấp n: Ma trận In vuông cấp n có các phần tử trên đườngchéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 Với mọi ma trân A cấp

Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1 Cho V, W là hai không gian véc tơ trên trường K.Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thỏa mãn:

• Với mọi u, v ∈ V : f(u + v) = f(u) + f(v)

• Với mọi α ∈ K, f(αu) = αf(u)

được gọi là ánh xạ tuyến tính

Khi V = W thì f được gọi là tự đồng cấu hay toán tử tuyến tính.Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hệu là Hom(V, W, +, ·)

hay L(V, W) Ta xác định hai phép toán (+, ·) trên tập các ánh xạ tuyếntính từ V vào W Với hai phép toán này thì (Hom(V, W), +, ·) có cấutrúc không gian véc tơ và dimHom(V, W) = dimV · dimW

Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính: Với ánh xạ tuyếntính f : V −→ W ta ký hiệu và định nghĩa như sau:

Kerf = f−1(0) là hạt nhân của V

Imf = f (V) là ảnh của V

Chiều của Imf được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu rankf

Ta có:

dimV = rankf + dimKerf

Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ W

Giả sử B = {e1, e2, · · · , en} là một cơ sở của V, B0 = {w1, w2, · · · , wn} làmột cơ sở của W Ma trận A = [aij]m×ncủa hệ véc tơ {f (e1), f (e2), · · · , f (en)}trong cơ sở B được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ứng với hai

cơ sở B, B0 Nếu (x1, x2, · · · , xn) là tọa độ của v ∈ V trong cơ sở B,(y1, y2, · · · , yn) là tọa độ của f (v) ∈ W trong cơ sở B0 thì:

1.4 Sai phân

Khái niệm sai phân

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử f : R −→ R là một hàm số cho trước và h

là một hằng số khác 0 ta gọi

40f (x) = f (x) là sai phân cấp 0 của hàm số y = f (x)

41f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x)

42f (x) = 4(41f (x)) = 4f (x+h)−4f (x) = f (x+2h)−2f (x+h)+f (x)

là sai phân cấp hai của hàm số y = f (x)

Tổng quát: 4nf (x) = 4(4n−1f (x)), (∀n ∈ N∗) là sai phân cấp n củahàm số y = f (x)

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i0− 1, sau đó thay i0 = i, ta được

= 4k−1xN +1 − 4k−1xaĐặc biệt khi k = 1, ta có:

N

X

n=a

4xn = xN +1− xa

Phương trình sai phân

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn làmột biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khácnhau:

Lhxn = a0xn+k + a1xn+k−1 + · · · + akxn = fn (2.1)Trong đó Lh là ký hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, a0, a1, · · · , ak

với a0 6= 0, ak 6= 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n được gọi là hệ

số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của n được gọi là vếphải; xn là giá trị cần tìm và được gọi là ẩn

Phương trình (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k,

để tính các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn, rồitính các giá trị còn lại theo công thức truy hồi (2.1)

Định nghĩa 2.1.2 Nếu fn ≡ 0 thì (2.1) được gọi là phương trình saiphân tuyến tính thuần nhất Nếu fn 6= 0 thì (2.1) được gọi là phươngtrình sai phân tuyến tính không thuần nhất Nếu fn ≡ 0 và a0, a1, · · · ak

là các hằng số a0 6= 0, ak 6= 0 thì phương trình (2.1) trở thành:

Lhxn = a0xn+k + a1xn+k−1 + · · · + akxn = 0 (2.2)Khi đó phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất bậc k với các hệ số hằng số

˜

x0 = x0, ˜x1 = x1, · · · , ˜xk−1 = xk−1

Định lý 2.1.1 Nghiệm tổng quát xn của (2.1) bằng tổng ˜xn và x∗n với

x∗n là một nghiệm riêng bất kỳ của (2.1)

Chứng minh Thật vậy, giả sử xn và x∗n là hai nghiệm của (2.1), tức là

Lhxn = fn, Lhx∗n = fn Do Lh tuyến tính, nên

Lhxn− Lhx∗n = Lh(xn− x∗n) = 0như vậy xn− x∗n thỏa mãn (2.2) và do đó nghiệm tổng quát

˜

xn = xn − x∗nsuy ra xn = ˜xn+ x∗n

Định lý 2.1.2 Nếu xn1, xn2, · · · , xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của(2.2), tức là từ hệ thức

C1xn1 + C2xn2 + · · · + Ckxnk = 0

suy ra C1 = C2 = · · · = Ck = 0, thì nghiệm tổng quát ˜xn của (2.2)

có dạng:

˜

xn = C1xn1 + C2xn2 + · · · + Ckxnk,trong đó C1, C2, · · · , Ck là các hằng số tùy ý

Chứng minh Theo tính chất tuyến tính của Lh ta có:

Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các véc tơ nghiệm xn1, xn2, · · · , xnk

Bây giờ ta tìm nghiệm ˜xn của (2.2) và x∗n của (2.1) Vì phươngtrình thuần nhất (2.2) luôn có nghiệm xn = 0 nên để tìm nghiệm tổngquát ta tìm xn của (2.2) dưới dạng xn = Cλn, C 6= 0, λ 6= 0 Thay

xn = Cλn vào (2.2) và ước lượng cho Cλn 6= 0 ta được

Lhλ = a0λk + a1λk−1+ · · · + ak = 0 (2.3)phương trình (2.3) được gọi là phương trình đặc trưng của (2.2) Nghiệm

1 1 · · · 1

λ1 λ2 · · · λk

λk−11 λk−12 · · · λk−1

k

Ví dụ 2.1.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:

xn+2+ 5xn+1 + 6xn = 0Giải: Phương trình đặc trưng:

Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm thực λj bội s, thìngoài nghiệm λnj ta lấy thêm các véc tơ bổ sung nλnj, n2λnj, · · · , ns−1λnj,cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) và do đó nghiệm tổngquát có dạng:

Ví dụ 2.1.2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:

xn+4 − 3xn+3 − 6xn+2+ 28xn+1 − 24xn = 0Giải: Phương trình đặc trưng

Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức:

λj = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ)trong đó r = |λj| = √a2 + b2, ϕ = acgumenλj thì (2.3) cũng có nghiệmliên hợp phức λj = a − bi = r(cos ϕ − i sin ϕ) Khi đó ta có:

√

5, sin ϕ =

2

√5

Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức λj bội s, thì

nó cũng có nghiệm liên hợp phức λj bội s Trong trường hợp này, ngoàinghiệm λj1 = rncos nϕ, λj1 = rnsin nϕ ta cần lấy thêm 2n − 2 véc tơnghiệm bổ sung:

λj2 = rnn cos nϕ, λj3 = rnn2cos nϕ, · · · , λjs = rnns−1cos nϕ,

λj2 = rnn sin nϕ, λj3 = rnn2sin nϕ, · · · , λjs = rnns−1sin nϕ

Theo định lý (2.1.3) ta có nghiệm tổng quát trong trường hợp này là:

Ví dụ 2.1.4 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

xn+5+ xn+4 + 2xn+3+ 2xn+2 + xn+1+ xn = 0Giải: Phương trình đặc trưng:

Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm x∗n đơn giản và nhanhhơn

• Trường hợp fn là đa thức bậc m của n; n ∈ N:

Nếu các nghiệm λ1, λ2, · · · , λk là các nghiệm thực khác 1 của phươngtrình đặc trưng (2.3) thì x∗n = Qm(n), m ∈ N, trong đó Qm(n) là

đa thức của n cùng bậc m với fn

Nếu nghiệm λ = 1 bội s, thì x∗n = nsQm(n), m ∈ N, Qm(n) là đathức của n cùng bậc m với fn

• Trường hợp fn = Pm(n).βn, trong đó Pm(n) là đa thức của n bậcm; m ∈ N

Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thựckhác β thì x∗n có dạng:

x∗n = Qm(n)βn, m ∈ N

Qm(n) là đa thức của n cùng bậc m với fn,

Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = β bội s thì tìm nghiệmriêng như sau:

x∗n = nsQm(n)βtrong đó Qm(n) là đa thức của n cùng bậc với fn

• Trường hợp fn = α cos nx + β sin nx, với α, β là hằng số

Trong trường hợp này nghiệm riêng x∗n được tìm dưới dạng

2.1.3 Tuyến tính hóa

Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta đổi biến đưa vềphương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa Một sốphương trình sai phân có hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổiđưa về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số là hằng số Điều nàylàm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân

Xét công thức lặp xn = ϕ(xn−1, xn−2, · · · , xn−k) để giải phương trình

x2k = a1x2k−1 + a2x2k−2+ · · · + akxk

Nếu hệ trên tương thích thì ta được xn = α1xn−1+ α2xn−2+ · · · + αkxn−k

là dạng tuyến tính hóa của xn = ϕ(xn−1, xn−2, · · · , xn−k) Ta kiểm trađiều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp

Ví dụ 2.1.5 Giải phương trình sai phân:

xn = x

2 n−1+ 2

xn−2 , n = 3, 4, · · · ; x1 = 1, x2 = 1Giải:

Do phương trình đã cho là dạng phi tuyến nên để giải được ta phải đưaphương trình về dạng tuyến tính

Giả sử công thức đúng với n = k, tức là xk = 4xk−1− xk−2

Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là xk+1 = 4xk − xk−1

2 k−1+ 2

xk−2

= 4xk−1 − xk−2Suy ra: x2k−1 + 2 = 4xk−1xk−2 − x2

k−2 ⇒ 2 + x2

k−2 = 4xk−1xk−2 − x2

k−1

Vậy xk+1 = 16x

2 k−1 − 8xk−1xk−2 + 4xk−1xk−2 − x2

k−1

xk−1

= 15x

2 k−1 − 4xk−1xk−2

xk − 1 = 15xk−1− 4xk−2Lại vì: xk = 4xk−1xk−2 ⇒ xk−2 = 4xk−1− xk

2.1.4 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính

Mọi phương trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về dạngchính tắc

n là một véc tơ, có các thành phần là các giá trị của hàmlưới xn, −→

f n là một véc tơ của n, còn A là một toán tử tuyến tính.Cách làm như sau:

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k(k ≥ 3)

xn+k = a1xn+k−1 + a2xn+k−2 + · · · + akxn+ fn (2.4)

trong đó a1, a2, · · · , ak là các hệ số, xn, xn+1, · · · , xn+k là ẩn, cùng vớicác giá trị ban đầu x0, x1, · · · , xk−1.

điều kiện

h

k 2

i+ 1 ≤ l ≤ k − 1, khi đó −→y

2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

xn+1 + bxn = fn, a 6= 0, b 6= 0hay axn+1 = qxn + fn, q 6= 0 (2.5)Nếu a, b, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc

1 với hệ số hằng số, nếu a, b, q phụ thuộc vào n thì ta có phương trìnhsai phân tuyến tính bậc một với hệ số biến thiên; fn là một hàm của ngọi là vế phải; xn là ẩn

Nếu fn = 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Nếu fn 6= 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.2.2.2 Nghiệm

Nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng xn = xn + x∗n trong đó x∗n làmột nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính khôngthuần nhất, xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyếntính thuần nhất và có dạng:

xn = Cλn với λ = −b

a, hoặc λ = qVậy ta cũng có thể viết xn = Cqn, C 6= 0

Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình saiphân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

Phương pháp chọn

• Nếu fn là đa thức bậc m của n : fn = Pm(n), m ∈ N

λ 6= 1 thì x∗n tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với

fn : x∗n = Qm(n), m ∈ N; Qm(n) là đa thức bậc m với fn

λ = 1 thì x∗n = nQm(n); Qm(n) là đa thức cùng bậc m của n với fn

Phương pháp biến thiên hằng số

Phương trình tương đương:

xn+1− 2xn = (n2 + 1)2n− 2 cosnπ

2 − sin nπ

2 , x0 =

18Phương trình đặc trưng: λ − 2 = 0, có nghiệm λ = 2 6= 1 nên xn = C.2n

x∗n1 = n(an2 + bn + c)2nthay vào phương trình xn+1 − 2xn = (n2 + 1)2n được:

thay vào phương trình xn+1 − 2xn = −2 cos nπ

Có phương trình đặc trưng: λ − 5 = 0 ↔ λ = 5 Suy ra xn = C(5)n

Ta tìm nghiệm riêng x∗n bằng phương pháp biến thiên hằng số coi C làmột hàm của n hay x∗n = Cn(5)n Thay vào phương trình ta được

trong đó xn là hàm của đối số nguyên n gọi là ẩn, fn là một hàm số của

n, gọi là vế phải Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì(2.6) gọi là phươngtrình sai phân tuyến tính bậc 2 với các hệ số là hằng số Nếu a, b, c, p, q

là các hàm số của n, thì (2.6) gọi là phương trình sai phân bậc hai với

hệ số biến thiên Nếu fn = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất bậc hai tương ứng với (2.6):

axn+2+ bxn+1+ cxn = 0 (2.7)hay

xn+2 = pxn+1+ qxnNếu fn 6= 0 thì (2.6) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc haikhông thuần nhất

2.3.2 Nghiệm

Nghiệm tổng quát của (2.6) có dạng xn = xn+ x∗n, trong đó xn lànghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.7) và x∗n làmột nghiệm riêng tùy ý của (2.6)

Nghiệm tổng quát xn của phương trình thuần nhất

Xét phương trình đặc trưng:

• Nếu phương trình (2.8) có hai nghiệm thực khác nhau λ1 6= λ2 thì

xn = Aλn1 + Bλn2, trong đó A, B là các hằng số tùy ý

• Nếu phương trình (2.8) có nghiệm kép λ thì: xn = (A + Bn)λn,trong đó A, B là các hằng số tùy ý

• Nếu phương trình (2.8) có nghiệm phức

λ = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ)

với i2 = −1, r = |λ| = px2 + y2, ϕ = arctan y

x;thì (2.8) có nghiệm phức liên hợp λ = x − iy = r(cos ϕ − i sin ϕ) với

i, r, ϕ đã nói trên Khi đó nghiệm tổng quát xn có dạng:

xn = rn(A cos nϕ + B sin nϕ), trong đó A, B là các hằng số tùy ý

Chứng minh • Vì λn

1 và λn2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của(2.7), do

... hóa

Một số tốn sai phân khơng tuyến tính, ta đổi biến đưa v? ?phương trình sai phân tuyến tính, gọi tuyến tính hóa Một s? ?phương trình sai phân có hệ số thay đổi, nhiều biến đổiđưa phương trình sai. .. fn, q 6= (2.5)Nếu a, b, q số ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc

1 với hệ số số, a, b, q phụ thuộc vào n ta có phương trìnhsai phân tuyến tính bậc với hệ số biến thiên; fn... đối số nguyên n gọi ẩn, fn hàm số của

n, gọi vế phải Nếu a, b, c, p, q số thì(2.6) gọi phươngtrình sai phân tuyến tính bậc với hệ số số Nếu a, b, c, p, q

là hàm số