Phương trình động Boltzmann và một số hiệu ứng động trong vật liệu bán dẫn

Qua đó, chúng ta có thể xây dựng các mô hình thực thi ứng dụng các hiệu ứng trong vật liệu bán dẫn vào trong các mạch, vi mạch điện tử theo yêu cầu sử dụng.. Ngược lại, trong trường hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ VĂN THANH

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN THÁI HOA

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Hoa, người

đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban Giám Hiệu Trường THPT Phương Sơn, các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban Giám Hiệu Trường THPT Hiệp Hòa Số 3 đã luôn tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành khóa học tại Trường ĐHSP Hà Nội 2

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và công tác của mình

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Lê Văn Thanh

Lời cam đoan

Tên tôi là : Lê Văn Thanh, học viên cao học khóa 2008 – 2010

Tôi xin cam đoan đề tài: “ Phương trình động Boltzmann và một số hiệu

ứng trong vật liệu bán dẫn”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi

Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Lê Văn Thanh

Mở đầu 

1 Lý do chọn đề tài

  Trong  hàng  ngũ  đông  đảo  các  ngành  vật  lý  chất  rắn,  ngành  vật  lý bán dẫn chiếm một vị trí rất quan trọng, đã được quan tâm, nghiên cứu trong suốt nửa thế kỷ qua. Đến nay, ngành vật lý bán dẫn đã đạt được nhiều thành tựu  to  lớn.  Với  những  thành  tựu  đó,  chất  bán  dẫn  được  ứng  dụng  rộng  rãi trong hầu hết các ngành công nghiệp mũi nhọn như công nghiệp điện tử, du hành vũ trụ, các ngành khoa học kỹ thuật và các ngành công nghiệp khác.   Thành công của cách mạng khoa học kỹ thuật cùng với việc sử dụng rộng  rãi các  vật  liệu bán  dẫn dã cho  ra đời  nhiều  loại  thiết bị  mới,  hiện  đại phục  vụ  cho  nhu  cầu  sinh  hoạt,  nghiên  cứu  khoa  học,  sản  xuất,  kinh doanh như máy tính xách tay, điện thoại di động, máy thu hình  

  Theo  yêu cầu  khoa  học công  nghệ,  ngành  vật  lý bán dẫn đang đứng trước thách thức cần tạo ra các  những  linh kiện bán  dẫn  nhỏ  gọn  với  những tính  năng  ưu  việt  nhất.  Trước  tình  hình  đó,  vấn  đề  tìm  hiểu,  giải  thích  các hiệu  ứng  của  vật  liệu  bán  dẫn  trở  lên  quan  trọng  và  cấp  thiết  hơn.  Qua  đó, chúng ta có thể xây dựng các mô hình thực thi ứng dụng các hiệu ứng trong vật liệu bán dẫn vào trong các mạch, vi mạch điện tử theo yêu cầu sử dụng.   Nếu  tinh  thể  bán  dẫn  không  đặt  trong  trường  ngoài  (điện  trường,  từ trường, gradien nhiệt độ ) thì hệ các electron dẫn trong tinh thể chỉ chịu tác dụng của trường lực tinh thể gây bởi các iôn dương nút mạng. Khi đó, hệ các electron  dẫn  ở  trạng  thái  cân  bằng  và  tuân  theo  qui  luật  phân  bố  Fecmi  – Dirac,  hay  phân  bố  Boltzmann.  Nếu  tinh  thể  bán  dẫn  được  đặt  trong  trường ngoài, hệ các electron dẫn sẽ ở trạng thái không cân bằng (trạng thái động). Ở trạng  thái  này,  hệ  các  electron  dẫn  tuân  theo  hàm  phân  bố  không  cân  bằng. Khi  đó,  trong  chất  bán  dẫn  sẽ  xảy  ra  các  hiện  tượng  liên  quan  đến  chuyển động  của  các  electron  dẫn,  gọi  chung  là  hiên  tượng  truyền  hay  hiện  tượng động[1], [2], [6], [11], [12]. 

  Các  hiện  tượng  động  tuân  theo  phương  trình  động.  Khi  giải  phương trình động ta tìm được hàm phân bố không cân bằng, giải thích được các hiệu ứng trong chất bán dẫn và tìm ra biểu thức định lượng cho các đại lượng đặc trưng cho các hiệu ứng[1], [2], [6], [11], [13], [22], [26]. 

Nội dung của luận văn

Chương 1 Phương trình động Boltzmann

Nội dung  Chương 1 Phương trình động Boltzmann

Trong tinh thể lý tưởng[1], [12], Ở trạng thái cân bằng nhiệt động, hàm sóng 

của electron k ( )r

 không thay đổi theo thời gian. Tính chất của điện tử xác định bởi phân bố lượng tử Fecmi - Dirăc : 

0

1 ( , )

Trong phần tử thể tích pha của một đơn vị thể tích tinh thể ta có: 

3

d G  d d   d d           (1.3) 

Với   dr  dxdydzlà phần tử thể tích trong không gian thường 

4

.d x d yd 4

k x

k x

d

f k x y z t f k x d x y z t v zd t

d f

v z )  thì  sự  thay  đổi  điện  tử  với  vectơ  sóng  k

  đã  cho  trong  phần  tử  drtrong 

khoảng thời gian dt bằng: 

làm  biến  đổi  trạng  thái  của  điện  tử  từ  trạng  thái  (r k  ,

đáng kể, nên xác suất chuyển mức trong một đơn vị thời gian không phụ thuộc 

vào  r 

và  r  '

. Gọi W(k,k’) là xác suất chuyển điện tử từ trạng thái k sang trạng  thái  k’  trống  hoàn  toàn    Như  vậy,  trong  thời  gian  dt,  điện  tử  chuyển  từ  trạng 

thái k sang trạng thái k’ do tán  xạ  làm số lượng điện tử trong dG  giảm đi một 

lượng : 

' 3

field

f

F f t

( , ')[ ( ') ( )]

4

B

k scatt V

d f

W k k f k f k t

1.2 Trạng thái cân bằng:

Khi có cân  bằng  nhiệt động,  hàm phân  bố hạt tải có dạng  hàm phân  bố 

cân  bằng  (phân  bố  Fecmi-  Dirăc  với  hệ  suy  biến,  phân  bố  Boltzmann  với  hệ 

không  suy  biến).  Chuyển  động  của  điện  tử  trong  tinh  thể  gây  nên  bởi  năng 

lượng  nhiệt.  Đối  với  trường  hợp  cân  bằng  thì  chuyển  động  của  điện  tử  do 

khuếch tán cân bằng với chuyển động của điện tử  do trường  ngoai f  tác dụng. 

( , ')[ ( ') ( )].

B

k scatt V

f k f

k V

k d

1 W(k,k')[1-cos ] 4

B

k V

3

( ) 1

W( , ') ( ')

B

k scatt V

f k f

cá biệt :  

' 3

2 2 * 1/ 2 0

của hạt tải. Song  giá trị của  nó chỉ đáng  kể ở nhiệt  độ rất  thấp khi mật độ các 

nguyên tử tạp bị iôn  hoá  nhỏ  hơn mật độ các nguyên tử tạp trung  hoà. Khi đó 

vai  trò tán xạ trên nguyên tử tạp  trung hoà mới đáng kể so  với tán  xạ trên iôn 

W ( , ')[1 - ]4

B

k V

Trong chất  bán dẫn có thể có  nhiều  loại  tâm tán  xạ. Tuy nhiên các chất 

bán dẫn thường dùng để chế tạo các linh kiện bán dẫn  hiện  nay thường là đơn 

Nghĩa  là i( )k   phụ  thuộc  vào  T 3/2

,  hay i( )k   tăng  theo  nhiệt  độ.  Ngược  lại, trong trường hợp tán xạ trên các phonon dao động mạng dẫn đến biểu thức của 

thời gian hồi phục giảm theo nhiệt độ vì nó phụ thuộc vào năng lượng theo biểu 

thức :  

3/2 0

Chương 2 Hiệu ứng Hall

Hiệu  ứng  Ganvanic - từ  là  hiệu ứng  liên  quan đến chuyển động  của  hạt 

dẫn  dưới  tác  dụng  đồng  thời  của  điện  trường  và  từ  trường.  Xác  định  bởi  lực 

cầu  để cho  khối  lượng  hiệu  dụng  là  vô  hướng,  cực  trị  năng  lượng  nằm  ở tâm 

vùng  Brilouin  (k = 0),  nghĩa  là  trong  vùng  dẫn chỉ  có  một  cực tiểu tuyệt  đối, 

dụng  của  trường  ngoài,  hạt  dẫn  còn  tham  ra  chuyển  động  nhiệt  và  va  chạm 

thường  xuyên  với các  tâm  tán  xạ trong  mạng  tinh  thể.  Chuyển động  nhiệt  của 

hạt dẫn được đặc trưng bởi thời gian chuyển động tự do trung bình  , đối với 

chuyển động dưới tác dụng của từ trường thì đó là một chuyển động quay, chu 



    ( TC   ) thì trong  khoảng thời  gian chuyển động 

tự  do  điện  tử  kịp  thực  hiện  một  số  vòng  quay,  trong  trường  hợp  đó  ta  nói  từ 

V

R B J b

Khi  không  có  từ  trường,  hạt  dẫn  về  trung  bình  chuyển  động  theo  điện  trường 

(theo  chiều  trục  x)  nên  theo  trục  y  có  điện  trường  bằng  không.  Khi  ta  đặt  từ 



 

Hình 2.1. Sơ đồ thực nghiệm hiệu ứng Hall 

V 

các hạt dẫn chuyển động lệch theo trục y, dẫn đến một mặt giới hạn theo trục y 

thừa  điện  tích  của  hạt  dẫn,  mặt  kia  thiếu  loại  điện  tích  đó,  làm  phát  sinh  một 

điện trường theo trục y là y . Khi xuất hiện y , do tác dụng của y cân bằng 

V

R B J b

2.2 Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của điện

trường và từ trường vào tinh thể bán dẫn

 Phương trình động Boltzmann trong trạng thái dừng viết trong gần đúng 

thời gian hồi phục :  

1( )( )

k k

f k e

0 1

( )( )

C

e B m

      

2 2

ij

i j k V

B

ij

i j k V

B

ij

i j k V

trong đó dS E  là  phần tử  diện  tích  mặt  đẳng  năng (mặt  cầu),  dk n  là  hình chiếu 

với d  (Sterian) là góc khối nhìn dS E từ tâm mặt cầu và thay  *i

i

k v m

 

 chúng ta 

sẽ thu được :  

3 2

K

K

K

c K

3/2

* ij

Hàm  f 0  giảm rất nhanh  khi E  lớn nên ta có thể thay E min = 0, E max = . Theo 

(2.45)  ta  thấy  các  thành  phần  không  nằm  trên  đường  chéo  (ij)  bằng  không, 

còn các thành phần nằm trên đường chéo (i = j) thì bằng nhau  và khác không. 

B

ij

i j k V

*

e

B m

3 2

1 1 * 1 2

3 2

1 1 * 1 2 2

1 1

000

0

z

K e

K e

1

K e

11

2.6 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn không suy biến

Với    bán  dẫn  không  suy  biến  hàm  phân  bố  cân  bằng  có  dạng  phân  bố 

11 *

n K

1/ 2 0

x

x B

0

1/ 2 0

23

p B

p B

p n

23

p B

 2

0

52252

p B

2.7 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn có tính hỗn độn điện tử và lỗ trống

Các đại lượng nhiệt động là các đại lượng cộng tính. Do vậy mà ta có thể viết :  

3 3

p n

e e

K K

2

p n

p n



2 2

n n

p p

Nếu ta đặt  n

p b

p p

11

Chương 3 Hiệu ứng âm điện từ

3.1.Hiệu ứng âm điện từ

Hiệu  ứng  âm  điện  từ  (Acoustomagnetoelectric effect)  trong  bán  dẫn 

một loại hạt tải được dự đoán lý thuyết lần đầo tiên vào năm 1967 [17]. Sau 

đó được thực  nghiệm  xác  nhận  vào  năm  1971  trong  bán dẫn  n – InSb[21]. 

Nội  dung  của  hiệu  ứng  như  sau  :  giả  sử  mẫu  bán  dẫn  hình  khối  chữ  nhật 

được đặt trong từ trường H

 hướng dọc theo một cạnh (Oz) của mẫu và cho truyền  dòng  sóng âm  cường  độ W 

 dọc theo  trục Ox  (hình  vẽ  3.1).  Khi  đó nếu  mẫu  hoàn  toàn được  cách điện thì  giữa  hai  mặt  bên  (theo  phương  Oy) 

năng lượng khác nhau, khi dòng toàn phần trong mẫu bằng không. 

Do sự phụ thuộc vào năng lượng E của thời gian phục hồi xung lượng, độ 

linh động trung  bình của  các  hạt  tải  trong  các “dòng riêng’’  này  nói  chung sẽ 

khác  nhau.  Vì  vậy,  nêu  như  toàn  bộ  mẫu  được  đặt  trong  từ  trường  ngoài  thì 

dòng  Hall  tạo  bởi  các  nhóm  hạt  tải  này  sẽ  không  triệt  tiêu  nhau  và  xuất  hiện 

dòng âm điện từ (nếu mẫu đóng mạch theo phương Oy) hoặc trường âm điện từ 

(nếu mạch theo phương Oy hở). 

  Hiệu  ứng  âm  điện  từ  trong  các  chất  bán  dẫn  một  loại  hạt  tải  đã  được 

nghiên  cứu  tương  đối  chi  tiết  khi  định  luật  tán  sắc  của  hạt  tải  có  dạng 

parabol[18]. 

E   lớn  hơn  nhiều so  với  năng  lượng  của điện  tử dẫn  E F  (Trong  bán dẫn suy 

biến,  E F  là năng lượng Fecmi) hoặc 3k B T/2 (Trong bán dẫn không suy biến, T 

là nhiệt độ mạng tinh thể), vì chỉ khi đó mới có thể bỏ qua tương tác giữa vùng 

dẫn và vùng hoá trị. 

 

 Hình  3.1. Sơ đồ nghiên cứu hiệu ứng âm điện từ 

Trong  các  bán  dẫn  mẫu  Kena  (Điển  hình  là  InSb)  qui  luật  tán  sắc  của 

vùng dẫn bị lệch khỏi dạng Parabol và sự lệch đó đã ảnh hưởng không nhỏ về 

chất đến các tính chất vật lý của các bán dẫn loại này[3]. Sự ảnh hưởng này thể 

hiện  trong  các  hiệu  ứng  động  khác  nhau,  ví  dụ  sự  phụ  thuộc  của  khối  lượng 

hiệu  dụng điện tử dẫn  vào  nồng độ của điện tử dẫn (Với sự  lấp  đầy  vùng dẫn 

khối lượng hiệu dụng của điện tử tăng lên) [3]  

Chúng  tôi  xét  hiệu  ứng  âm  điện  từ  trong  bán  dẫn  mẫu  Kena  trong 

trường  hợp ql >>1 (q 

 là véc tơ sóng âm, l là độ dài trung bình bước nhảy tự 

do  của điện tử).  Trong trường  hợp  này,  hiệu  ứng âm  điện từ  được  quyết  định 

bởi  sự  phân  bố  điện  tử  liên  quan  đến  sự  phụ  thuộc  của  khối  lượng  hiệu  dụng 

vào năng  lượng của chúng  và  hiệu ứng có thể xuất  hiện  ngay cả khi thời  gian 

hồi phục xung lượng không phụ thuộc vào năng lượng của điện tử. 

Tính  phi  Parabol  của qui  luật  tán sắc  sẽ  tự động kéo  theo sự  phụ  thuộc 

của thời gian hồi phục xung lượng vào năng lượng, cho dù ban đầu không có sự 

phụ  thuộc  đó.  Trong  luận  văn  này  chúng  tôi  đề  cập  đến  hiệu  ứng  âm  điện  từ 

trong  bán  dẫn  mẫu  Kena  (Với  điển  hình  là  bán  dẫn  InSb),  có  tính  tới  sự  phụ 

2

2

g p

Ở  đây,  Ep  là  năng  lượng của  điện  tử  ở  xung  lượng p

, m n  là  khối  lượng  hiệu dụng của điện tử ở đáy của vùng dẫn. 

Xét trường  hợp ql >>1, khi dòng sóng âm có thể coi là  dòng các phonon đơn 

sắc. Phương trình cơ bản của bài toán là phương trình động Boltzmann đối với 

hàm  phân bố  fp của các điện tử tương tác  với các  phonon  bên  ngoài  qua thế 

biến dạng C 1 [17]:  

( )W

có trường ngoài tác dụng,  là mật độ tinh thể, q  - tần số sóng âm, vs  – vận 

tốc  sóng âm  trong  tinh thể, h H

Nhân  cả  hai  vế  của  phương  trình  (3.3)  với   e p (E E p)

m   



,  ta  nhận  được phương trình cho mật độ dòng riêng R E( )

p s

Trong gần đúng tuyến tính theo  

 và W, ta có thể thay hàm  fp bằng hàm phân 

bố  điện  tử  cân  bằng  f E0( p).  Chuyển  từ  tổng  theo  toàn  bộ  p

  sang  tích  phân trong hệ toạ độ cầu ta nhận được :  

3 3

3 0 2 2

n

g

E E

0 ( 1 )

n s

C m q

f E v

l l

l

g H

E

a

E E

E

b

E E

). Khi đó từ (3.13) ta thiết lập hệ 

phương trình j x = j y = 0 và giải ra ta thu được biểu thức của trường âm điện từ 

theo phương Oy của mẫu :  

 

2 2

yx xx yy yx ADT y

H

E a

H

E b

1 2

g B

g

E E E

Ở  đây  W

s

W env

1 0

,0 2

Xét  trường  hợp  hiệu  ứng  âm  điện  từ  phẳng  (khi  dòng  sóng  âm W

,  từ trường H

 và trường âm điện từ  AĐT

cùng  nằm trong một  mặt phẳng). Giả sử dòng  sóng  âm  truyền  theo  hướng  Ox,  trường  âm  điện  từ  hướng  theo  trục  Oy, 

, chúng tôi coi thời gian hồi phục xung lượng của điện tử tuân theo công thức (3.20) và 

1 0

1

,0 2

1

sin 2 (0, ) ( , )2

với hiệu ứng âm điện từ (AĐT và pAĐT) trong bán dẫn mãu Kena có kể đến sự 

phụ thuộc tường minh của  hiệu ứng  vào tính  phi parabol của định luật tán sắc 

thông qua sự phụ thuộc của thời gian hồi phục xung lượng  vào năng lượng E. 

Đặc trưng của trường âm điện từ phẳng là sự phụ thuộc vào hướng của từ 

trường ( sin 2 ), khi góc  đi qua 90 0, trường âm điện từ phẳng đổi dấu. Điều 

này cho phép  dễ  dàng  phân  biệt  hiệu  ứng  âm điện từ phẳng  với  các  hiệu ứng 

sóng âm hay chế tạo các máy khuếch đại siêu âm.v.v… 

Chương 4 Quang dẫn của Polaron

trong điện trường mạnh

Dựa theo mẫu Polaron của Feynman – Kadanoff, một số tác giả đã khảo sát 

sự tương tác của polaron với các kiểu dao động khác nhau của mạng tinh thể. Shomelov đã xét sự tán xạ của polaron bán kính lớn lên các phonon âm, trong điện trường mạnh và dã thu được những kết quả phù hợp với thực nghiệm[29].Dưới đây, chúng tôi sẽ xét bài toán trên, khi các polaron được kích thích bởi nguồn sáng đơn sắc cho trước. 

4.1 Phương trình động học của polaron

Hàm phân bố của polaron trong điện trường mạnh, khi được kích thích bằng một nguồn sang đơn sắc với tần số cho trước 0 được tìm từ phương trình động học sau: 

 

2 2 0

Còn hàm số: S0x  1 ee  1. 

Dễ dàng nhận thấy rằng S  22  khi  0 và S   1 khi   . Trong lý thuyết polaron người ta qui ước[24], [29]: S   1 khi  5. Đại lượng không thứ nguyên 0 xác định độ liên kết của polaron. Với 0>>1 ta có polaron liên kết mạnh, ở nhiệt độ cao. Ngược lại 0<< 1 là trường hợp polaron liên kết 

yếu, ở nhiệt độ thấp. 

Số hạng thứ ba và thứ tư biểu diễn quá trình tái hợp và tạo hạt dưới tác dụng của nguồn sáng. Hai số hạng này phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, biểu diễn sự cân bằng giữa số lượng hạt sinh ra và tái hợp lại. 



    với   0  [3]. 

 

Q   - nguồn polaron trong khoảng năng lượng  0   Trong trường hợp va chạm vơi phonon âm, năng lượng của phonon âm luôn nhỏ hơn năng lượng của