Phương trình động Boltzmann và một số hiệu ứng động trong vật liệu bán dẫn

Nếu tinh thể bán dẫn được đặt trong trườngngoài, hệ các electron dẫn sẽ ở trạng thái không cân bằng trạng thái động.. Những vấn đề chính được nghiên cứu Thiết lập phương trình động Boltz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

2

LÊ VĂN THANH

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG BOLTZMANN VÀ MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG TRONG VẬT LIỆU

BÁN DẪN

Chuyên ngành: Vật lý chấtrắn Mã số: 604407

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 2010

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Hoa, người

đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban Giám Hiệu Trường THPT Phương Sơn, các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban Giám Hiệu Trường THPT Hiệp Hòa Số 3 đã luôn tạo mọi điều kiện tốt nhấtcho tôi hoàn thành khóa học tại Trường ĐHSP Hà Nội 2

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và công tác của mình

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Lê Văn Thanh

Lời cam đoan

Tên tôi là : Lê Văn Thanh, học viên cao học khóa 2008 – 2010.

Tôi xin cam đoan đề tài: “ Phương trình động Boltzmann và một số hiệu

ứng trong vật liệu bán dẫn”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi

Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Lê Văn Thanh

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong hàng ngũ đông đảo các ngành vật lý chất rắn, ngành vật lýbán dẫn chiếm một vị trí rất quan trọng, đã được quan tâm, nghiên cứu trongsuốt nửa thế kỷ qua Đến nay, ngành vật lý bán dẫn đã đạt được nhiều thànhtựu to lớn Với những thành tựu đó, chất bán dẫn được ứng dụng rộng rãitrong hầu hết các ngành công nghiệp mũi nhọn như công nghiệp điện tử, duhành vũ trụ, các ngành khoa học kỹ thuật và các ngành công nghiệp khác

Thành công của cách mạng khoa học kỹ thuật cùng với việc sử dụngrộng rãi các vật liệu bán dẫn dã cho ra đời nhiều loại thiết bị mới, hiện đạiphục vụ cho nhu cầu sinh hoạt, nghiên cứu khoa học, sản xuất, kinhdoanh như máy tính xách tay, điện thoại di động, máy thu hình

Theo yêu cầu khoa học công nghệ, ngành vật lý bán dẫn đang đứngtrước thách thức cần tạo ra các những linh kiện bán dẫn nhỏ gọn với nhữngtính năng ưu việt nhất Trước tình hình đó, vấn đề tìm hiểu, giải thích cáchiệu ứng của vật liệu bán dẫn trở lên quan trọng và cấp thiết hơn Qua đó,chúng ta có thể xây dựng các mô hình thực thi ứng dụng các hiệu ứng trongvật liệu bán dẫn vào trong các mạch, vi mạch điện tử theo yêu cầu sử dụng

Nếu tinh thể bán dẫn không đặt trong trường ngoài (điện trường, từtrường, gradien nhiệt độ ) thì hệ các electron dẫn trong tinh thể chỉ chịu tácdụng của trường lực tinh thể gây bởi các iôn dương nút mạng Khi đó, hệ cácelectron dẫn ở trạng thái cân bằng và tuân theo qui luật phân bố Fecmi –Dirac, hay phân bố Boltzmann Nếu tinh thể bán dẫn được đặt trong trườngngoài, hệ các electron dẫn sẽ ở trạng thái không cân bằng (trạng thái động) Ởtrạng thái này, hệ các electron dẫn tuân theo hàm phân bố không cân bằng.Khi đó, trong chất bán dẫn sẽ xảy ra các hiện tượng liên quan đến chuyểnđộng của các electron dẫn, gọi chung là hiên tượng truyền hay hiện tượngđộng[1], [2], [6], [11], [12]

Các hiện tượng động tuân theo phương trình động Khi giải phươngtrình động ta tìm được hàm phân bố không cân bằng, giải thích được các hiệuứng trong chất bán dẫn và tìm ra biểu thức định lượng cho các đại lượng đặctrưng cho các hiệu ứng[1], [2], [6], [11], [13], [22], [26].

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết lập phương trình động cho các hiện tượng động

Tìm ra phương pháp giải

Giải phương trình động trong một vài trường hợp cụ thể

Nghiên cứu hệ hai chiều trong từ trường

3 Những vấn đề chính được nghiên cứu

Thiết lập phương trình động Boltzmann

Phương pháp giải gần đúng thời gian hồi phục

Giải phương trình động Boltzmann trong trường hợp tinh thể đặt trong điện trường và từ trường, trường âm điện từ

Nghiên cứu hiệu ứng Hall, hiệu ứng âm điện từ

Nghiên cứu quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh có sự kíchthích của áng sang đơn sắc

4 Đối tượng nghiên cứu

Vật liệu bán dẫn có cấu trúc đơn tinh thể lý tưởng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích hiện tượng, đề xuất bài toán

Phương pháp số

Nội dung của luận văn

Chương 1 Phương trình động Boltzmann

2.2 Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall

2.3 Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của điện trường và từ trường lên tinh thể bán dẫn

2.4 Các hệ số nhiệt động K11, K12

2.5 Các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng Hall

2.6 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn suy biến

2.7 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn không suy biến

2.8 Hiệu úng Hall trong bán dẫn có tính hỗn độn điện tử và lỗ trống

Chương 3 Hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn

3.1 Hiệu ứng âm điện từ

3.2 Các phương trình cơ bản của hiệu ứng âm điện từ

3.3 Biểu thức của trường âm điện từ

Chương 4 Quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh

4.1 Phương trình động học của polaron trong điện trường mạnh4.2 Polaron liên kết yếu

4.3 Polaron liên kết mạnh

nó tuân theo phương trình động Ở gần đúng bậc thấp, tương ứng với tác độngbên ngoài là nhỏ và chỉ xét đến những hiệu ứng tuyến tính, phương trình độnggọi là phương trình động Boltzmann.

Biểu thị hàm mật độ hạt tải điện trong trạng thái đặc trưng bởi vectơ sóng



tại điểm  là f (r,k) còn gọi là hàm phân bố Hàm phân bố có thể thay đổi

theo thời gian, nên trong trường hợp tổng quát có thể ký hiệu là

phân bố tuân theo phương trình động Boltzmann

Trong phần tử thể tích pha của một đơn vị thể tích tinh thể ta có:

Với d  r

=

dxdydz là phần tử thể tích trong không gian thường

d =

3d là phần tử thể tích trong không gian xung lượng

Số ô cơ sở pha trong dG là : dG

(2 )3 , mà trong đó, mỗi ô cơ sở pha có thể tồn

tại hai electron với spin ngược dấu Do đó, trong phần tử dG chứa

2(2 dG) 3

trạng thái lượng tử Với f (r,k,

t) là xác suất tìm điện tử ở trạng thái này, thì

số điện tử trong thể tích pha dG bằng :

.dxdyd zdt

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của điện tử với vận tốc v(v x , v y ,

v z ) thì sự thay đổi điện tử với vectơ sóng k đã cho trong phần tử

khoảng thời gian dt bằng:

d  r trong

vào r và r ' Gọi W(k,k’) là xác suất chuyển điện tử từ trạng thái k sang trạng thái k’ trống hoàn toàn Như vậy, trong thời gian dt, điện tử chuyển từ trạng thái k sang trạng thái k’ do tán xạ làm số lượng điện tử trong dG giảm đi một

lượng :

Như vậy, quá trình tán xạ trên các nút khuyết, nguyên tử ion tạp chất, dao động

nhiệt của mạng tinh thể đã làm cho số hạt tải trong yếu tố thể tích dG thay đổi

Sự thay đổi toàn phần của số điện tử do chuyển động khuếch tán, do tác dụng

của trường ngoài, và do tán xạ làm thay đổi số điện tử trong yếu tố thể tích dG của không gian pha Trong khoảng thời gian từ t đến t+dt sự thay đổi số lượng điện tử trong yếu tố thể tích dG là:

f(r,k,t) Hàm f(r,k,t) biến đổi theo thời gian theo ba thành phần :

Do khuếch tán hạt tải (diffusion):

f ) = d  ' W (k, k ')[

B

(1.24)Biểu thức này cho thấy, ở trạng thái dừng, sự biến đổi hàm phân bố do chuyểnđộng khuếch tán của hạt tải và sự biến đổi hàm phân bố do tác dụng của trườnglực bên ngoài cân bằng với sự biến đổi hàm phân bố do tán xạ của hạt tải trêncác sai lệch mạng (ion tạp, nguyên tử tạp, dao dộng mạng)

1.2 Trạng thái cân bằng:

Khi có cân bằng nhiệt động, hàm phân bố hạt tải có dạng hàm phân bốcân bằng (phân bố Fecmi- Dirăc với hệ suy biến, phân bố Boltzmann với hệkhông suy biến) Chuyển động của điện tử trong tinh thể gây nên bởi nănglượng nhiệt Đối với trường hợp cân bằng thì chuyển động của điện tử do

khuếch tán cân bằng với chuyển động của điện tử do trường ngoai f tác dụng.

Trong điều kiện cân bằng nhiệt động, năng lượng toàn phần của điện tử

không thay đổi : E = E’ ta suy ra : F 1 = F 2 (1.28) Như vậy, ở trạng thái cân bằng nhiệt động trong tất cả các phần của hệ, giữa chúng có thể xảy ra mức chuyển điện tử, vị trí mức Fecmi là như nhau

1.3 Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục :

Xét trường hợp hệ điện tử nằm ở trạng thái kích thích tại thời điểm t = 0

ta ngắt trường kích thích, hệ sẽ dần trở về vị trí cân bằng, quá trình trở về trạngthái cân bằng gọi là quá trình hồi phục Phương trình mô tả quá trình hồi phục

Ở thời điểm ngắt trường ngoài hệ nằm ở trạng thái không cân bằng, saukhi ngắt trường ngoài những quá trình va chạm và tán xạ làm hạt trở về trạngthái cân bằng mới.

Để đơn giản ta giả thiết đối với diễn biến quá trình hồi phục là tốc độ thiết lập

sự cân bằng tỷ lệ với độ lệch [f(k)-f 0 (k) ] từ sự cân bằng

Với f 0 là hàm phân bố ở trạng thái cân bằng

f là hàm phân bố ở trạng thái không cân bằng

1

 (k )

là hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào vectơ sóng k ; có ý nghĩa nghịch đảo thời

gian hồi phục xung lượng

Giải phương trình 1.30 ta được

Từ biểu thức (1.31) ta ngận thấy, sau khi ngắt trường ngoài, hiệu số (f-f 0 ) giảm

đi theo qui luật hàm số mũ đối với hằng số thời gian  (k ) ,  (k )

gian hồi phục xung lượng (thời gian hồi phục)

Ta viết hàm phân bố không cân bằng dưới dạng:

được gọi là thời

Giả thiết rằng thời gian để hệ chuyển từ trạng thái không cân bằng về trạng tháicân bằng không phụ thuộc vào trường bên ngoài Phương trình động Boltzmann

có dạng sau:

=

V

k '



Hình 1.1 sự biến đổi vectơ sóng điện tử khi tán xạ

Hình chiếu của k , k′ lên 

Ta rút ra thời gian hồi phục đối với quá trình tán xạ dẫn đến sự phân bố vận tốc

cá biệt :

=

1W(k,k').d '

• Trường hợp tán xạ trên các iôn tạp chất[2], [6], [11], [13] :

 0 hầu như không phụ thuộc vào năng lượng.

• Tán xạ trên nguyên tử tạp trung hoà[6], [11]:

• Tán xạ trên dao động mạng[6]:

Hạt tải có thể tán xạ trên các phonon, trao đổi với phonon năng lượng cũng nhưxung lượng của chúng Tương tác điện tử phonon thể hiện qua việc sinh (phát)

hoặc hủy (hấp thụ) phonon làm điện tử biến đổi từ trạng thái k sang trạng thái

k’ Khi một điện tử tương tác cho năng lượng làm sinh ra một phonon có năng

lượng  q Ngược lại, khi một điện tử tương tác nhận năng lượng và làm mất

một phonon có năng lượng  q

Trong quá trình va chạm hệ luôn thoả mãn định luật bảo toàn năng lượng

k’ = k + q (1.50)phát xạ phonon

Xác suất chuyển của điện tử trong trường hợp huỷ phonon và chuyển từ

trạng thái k sang trạng thái k’.

Những tính toán gần đúng đưa đến kết quả là thời gian hồi phục

xạ trên phonon âm có dạng :

Trong chất bán dẫn có thể có nhiều loại tâm tán xạ Tuy nhiên các chấtbán dẫn thường dùng để chế tạo các linh kiện bán dẫn hiện nay thường là đơntinh thể Do tính hoàn hảo của tinh thể, chủ yếu chỉ có hai loại tâm tán xạ : đó

là tán xạ trên các iôn tạp chất và các phonon dao động mạng tinh thể Đây là haidạng tán xạ quan trọng nhất của chất bán dẫn

Tán xạ trên iôn tạp chất đưa đến biểu thức của thời gian hồi phục phụthuộc vào năng lượng :

, hay  i (k) tăng theo nhiệt độ Ngược lại,

trong trường hợp tán xạ trên các phonon dao động mạng dẫn đến biểu thức củathời gian hồi phục giảm theo nhiệt độ vì nó phụ thuộc vào năng lượng theo biểuthức :

Chương 2 Hiệu ứng Hall

Hiệu ứng Ganvanic - từ là hiệu ứng liên quan đến chuyển động của hạtdẫn dưới tác dụng đồng thời của điện trường và từ trường Xác định bởi lựcLorentz

vùng Brilouin (k = 0), nghĩa là trong vùng dẫn chỉ có một cực tiểu tuyệt đối,

trong vùng hoá trị có một cực đại Đồng thời ta chỉ nghiên cứu từ trường yếu để

có thể bỏ qua các hiệu ứng phi tuyến tính

Hiệu ứng Hall là một hiệu ứng nổi bật và quan trọng nhất của các hiệuứng Ganvanic - từ Như chúng ta đã biết một điện tích chuyển động trong điện -

từ trường sẽ chịu tác dụng của lực Lorentz

kỳ của một vòng quay trong từ trường là

hạt dẫn

 B □ 1, trong đó  .là độ linh động của

2.1 Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall :

Ta nghiên cứu hiệu ứng Hall trên một mẫu bán dẫn đơn tinh thể hình hộp



B

Bz

U H V

x K

A

V H 1 B.( I c.b) b

Hình 2.1 Sơ đồ thực nghiệm hiệu ứng Hall

Khi cho dòng điện chạy qua mẫu bán dẫn nói trên theo chiều trục ox, từ

trường đặt vao mẫu theo chiều trục 0z ta sẽ thu được một điện trường theo trục

oy (nếu mạch hở) hoặc dòng điện (nếu phương này được nối thành mạch kín)

Sơ đồ biểu diễn nguyên lý hiệu ứng Hall được biểu diễn như hình vẽ 2.1

Thực nghiệm cho thấy :

Chúng ta có thể giải thích hiệu ứng Hall như sau :

Khi không có từ trường, hạt dẫn về trung bình chuyển động theo điện trường

(theo chiều trục x) nên theo trục y có điện trường bằng không Khi ta đặt từ

trường theo chiều trục z Từ trường tác dụng lên các hạt dẫn chuyển động làm các hạt dẫn chuyển động lệch theo trục y, dẫn đến một mặt giới hạn theo trục y

thừa điện tích của hạt dẫn, mặt kia thiếu loại điện tích đó, làm phát sinh mộtđiện trường theo trục y là  y Khi xuất hiện  y , do tác dụng của  y cân bằng

với tác dụng của từ trường mà hạt dẫn lại chuyển động song song với trục x.Điện trường trong mẫu là điện trường tổng hợp của  x và  y không còn song

song với trục x mà nghiêng với trục x một góc  Góc  gọi là góc Hall.

Điều kiện để hạt dẫn chuyển động song song với trục x (khi xuất hiện

HayR =  d

 =  d

= 1

 d độ linh động hạt dẫn

ne  d điện dẫn xuất

Do vậy, xác định được R từ thí nghiệm ta có thể xác định được nồng độ

hạt dẫn, loại hạt dẫn, theo công thức (2.13) Ngoài ra ta còn tính được góc Hall

Do vậy, phương trình động Boltzmann khi có tác dụng đồng thời của  và B

viết cho điện tử trong tinh thể đồng nhất viết trong gần đúng thời gian hồi phục:

d k n

=

m

d E

E Max 4   2 m * E



3/2

 ∂f dE

Hàm f 0 giảm rất nhanh khi E lớn nên ta có thể thay E min = 0, E max = ∞

Theo (2.45) ta thấy các thành phần không nằm trên đường chéo (i ≠ j)

bằng không,

E

còn các thành phần nằm trên đường chéo (i = j) thì bằng nhau và khác không.

Từ đây ta có thể coi K 11 là đại lượng vô hướng

Hệ số nhiệt động K 22 có các thành phần như sau :

Ta cũng có thể giả thiết K 12 là đại lượng vô hướng như K 11

Các kết quả trên chúng ta nhận được khi dùng gần đúng từ trường yếu và đã bỏqua  2

Do vậy, ta thay (2.51), (2.55), (2.56) vào (2.5) ta thu được :

(2.55)

(2.56)

Khi từ trường yếu  2 B2 □ 1 ta bỏ qua  2 B2 So với 1 Ta thu được :

R = 1

n e

(2.69)

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết điện học cổ điển

Ta nhận thấy rằng hằng số Hall R phụ thuộc vào  ( F ) , nghĩa là phụ thuộcvào thời gian hồi phục với mức năng lượng bằng mức Fecmi Đó là vì trong bándẫn suy biến chỉ có điện tử gần mức Fecmi tham gia hiệu ứng Hall

2.6 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn không suy biến.

Với bán dẫn không suy biến hàm phân bố cân bằng có dạng phân bốBoltzmann

∫ dn

(2.72)

là thời gian hồi phục nhân năng lượng E trung bình Kết quả thu được :

Nếu cơ chế tán xạ cho phép biểu diễn thời gian hồi phục theo hàm của năng