Phương trình động Boltzmann và một số hiệu ứng động trong vật liệu bán dẫn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ VĂN THANH PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG BOLTZMANN VÀ MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG TRONG VẬT LIỆU BÁN DẪN Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 604407 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN THÁI HOA HÀ NỘI, 2010 Lời cảm ơn Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Hoa, người tận tình dạy, cung cấp cho kiến thức tảng, trực tiếp để hoàn thành luận văn Thầy người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy Tôi xin cảm ơn thầy, cô phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quí báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Tổ Vật Lý, Ban Giám Hiệu Trường THPT Phương Sơn, thầy cô Tổ Vật Lý, Ban Giám Hiệu Trường THPT Hiệp Hòa Số tạo điều kiện tốt cho hoàn thành khóa học Trường ĐHSP Hà Nội Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập công tác Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Lê Văn Thanh Lời cam đoan Tên : Lê Văn Thanh, học viên cao học khóa 2008 – 2010 Tôi xin cam đoan đề tài: “ Phương trình động Boltzmann số hiệu ứng vật liệu bán dẫn”, kết nghiên cứu, thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Lê Văn Thanh Mở đầu  Lý chọn đề tài   Trong  hàng  ngũ  đông  đảo  các  ngành  vật  lý  chất  rắn,  ngành  vật  lý  bán dẫn chiếm một vị trí rất quan trọng, đã được quan tâm, nghiên cứu trong  suốt nửa thế kỷ qua. Đến nay, ngành vật lý bán dẫn đã đạt được nhiều thành  tựu  to  lớn.  Với  những  thành  tựu  đó,  chất  bán  dẫn  được  ứng  dụng  rộng  rãi  trong hầu hết các ngành công nghiệp mũi nhọn như công nghiệp điện tử, du  hành vũ trụ, các ngành khoa học kỹ thuật và các ngành công nghiệp khác.    Thành công của cách mạng khoa học kỹ thuật cùng với việc sử dụng  rộng rãi các vật liệu bán dẫn dã cho ra đời nhiều loại  thiết bị mới, hiện đại  phục  vụ  cho  nhu  cầu  sinh  hoạt,  nghiên  cứu  khoa  học,  sản  xuất,  kinh  doanh như máy tính xách tay, điện thoại di động, máy thu hình     Theo yêu cầu khoa học công nghệ, ngành vật lý bán dẫn đang đứng  trước thách thức cần tạo ra các những linh kiện bán dẫn nhỏ gọn với những  tính  năng  ưu  việt  nhất.  Trước  tình  hình  đó,  vấn  đề  tìm  hiểu,  giải  thích  các  hiệu  ứng  của  vật  liệu  bán  dẫn  trở  lên  quan  trọng  và  cấp  thiết  hơn.  Qua  đó,  chúng ta có thể xây dựng các mô hình thực thi ứng dụng các hiệu ứng trong  vật liệu bán dẫn vào trong các mạch, vi mạch điện tử theo yêu cầu sử dụng.    Nếu  tinh thể  bán dẫn không đặt  trong trường  ngoài (điện trường, từ  trường, gradien nhiệt độ ) thì hệ các electron dẫn trong tinh thể chỉ chịu tác  dụng của trường lực tinh thể gây bởi các iôn dương nút mạng. Khi đó, hệ các  electron  dẫn  ở  trạng  thái  cân  bằng  và  tuân  theo  qui  luật  phân  bố  Fecmi  –  Dirac, hay phân bố Boltzmann. Nếu tinh thể bán dẫn được đặt trong trường  ngoài, hệ các electron dẫn sẽ ở trạng thái không cân bằng (trạng thái động). Ở  trạng thái  này,  hệ các electron dẫn tuân theo  hàm  phân bố không cân bằng.  Khi  đó,  trong  chất  bán  dẫn  sẽ  xảy  ra  các  hiện  tượng  liên  quan  đến  chuyển  động  của  các  electron  dẫn,  gọi  chung  là  hiên  tượng  truyền  hay  hiện  tượng  động[1], [2], [6], [11], [12].    Các hiện tượng động tuân theo phương trình động.  Khi  giải phương  trình động ta tìm được hàm phân bố không cân bằng, giải thích được các hiệu  ứng trong chất bán dẫn và tìm ra biểu thức định lượng cho các đại lượng đặc  trưng cho các hiệu ứng[1], [2], [6], [11], [13], [22], [26].    Mục đích nghiên cứu   Thiết lập phương trình động cho các hiện tượng động    Tìm ra phương pháp giải     Giải phương trình động trong một vài trường hợp cụ thể    Nghiên cứu hệ hai chiều trong từ trường    Những vấn đề nghiên cứu   Thiết lập phương trình động Boltzmann    Phương pháp giải gần đúng thời gian hồi phục    Giải phương trình động Boltzmann trong trường hợp tinh thể đặt trong  điện trường và từ trường, trường âm điện từ    Nghiên cứu hiệu ứng Hall, hiệu ứng âm điện từ    Nghiên  cứu  quang  dẫn  của  Polaron  trong  điện  trường  mạnh  có  sự  kích  thích của áng sang đơn sắc.  Đối tượng nghiên cứu   Vật liệu bán dẫn có cấu trúc đơn tinh thể lý tưởng  Phương pháp nghiên cứu   Phân tích hiện tượng, đề xuất bài toán    Phương pháp số    Nội dung luận văn Chương Phương trình động Boltzmann 1.1. Phương trình động Boltzmann  1.2. Trạng thái cân bằng  1.3. Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục giải phương trình   động Boltzmann  Chương Hiệu ứng Hall  2.1. Hiệu ứng Hall  2.2. Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall  2.3. Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của   điện trường và từ trường lên tinh thể bán dẫn  2.4. Các hệ số nhiệt động K11, K12  2.5. Các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng Hall  2.6. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn suy biến  2.7. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn không suy biến  2.8. Hiệu úng Hall trong bán dẫn có tính hỗn độn điện tử và lỗ trống  Chương Hiệu ứng âm điện từ bán dẫn  3.1. Hiệu ứng âm điện từ  3.2. Các phương trình cơ bản của hiệu ứng âm điện từ  3.3. Biểu thức của trường âm điện từ  Chương Quang dẫn Polaron điện trường mạnh 4.1. Phương trình động học của polaron trong điện trường mạnh   4.2. Polaron liên kết yếu  4.3. Polaron liên kết mạnh  Nội dung  Chương Phương trình động Boltzmann 1.1 Phương trình động Boltzmann Trong tinh thể lý tưởng[1], [12], Ở trạng thái cân bằng nhiệt động, hàm sóng   của electron   k (r )  không thay đổi theo thời gian. Tính chất của điện tử xác  định bởi phân bố lượng tử Fecmi - Dirăc :    f (r ,k )      EF exp{ }-1 k BT             (1.1)        (1.2)  Hay hàm phân bố cổ điển Maxoen- Boltzmann :    E F f (r ,k )  exp{ }.exp{ }    k BT k BT     Khi  có  trường  ngoài  tác  dụng[1],  [2],  [6],  [12],  [15],  khí  điện  tử  sẽ  ở  trạng thái không cân bằng. Khi đó trong tinh thể sẽ xảy ra các hiện tượng  liên  quan đến chuyển động của các hạt dẫn như: hiện tượng dẫn điện, dẫn nhiệt, các  hiện tượng nhiệt điện, hiện tượng từ Ganvanic…gọi chung là hiện tượng truyền  hay hiện tượng động. Các hiện tượng động là các quá trình không thuận nghịch,  nó tuân theo phương trình động. Ở gần đúng bậc thấp, tương ứng với tác động  bên ngoài là nhỏ và chỉ xét đến những hiệu ứng tuyến tính, phương trình động  gọi là phương trình động Boltzmann.  Biểu thị hàm mật độ hạt tải điện trong trạng thái đặc trưng bởi vectơ sóng      k  tại điểm  r  là  f (r ,k )  còn  gọi  là  hàm  phân bố.  Hàm phân  bố có thể thay  đổi    theo thời gian, nên trong trường hợp tổng quát có thể ký hiệu là  f (r ,k , t )  Hàm  phân bố tuân theo phương trình động Boltzmann.  Trong phần tử thể tích pha của một đơn vị thể tích tinh thể ta có:  dG  d rd p   3d rd k               (1.3)  Với   d r   dxdydz là phần tử thể tích trong không gian thường  d p  3d k   là phần tử thể tích trong không gian xung lượng  Số ô cơ sở pha trong dG là : dG , mà trong đó, mỗi ô cơ sở pha có thể tồn  (2 )3 tại hai electron với spin ngược dấu. Do đó, trong phần tử dG chứa  dG   (2 )3   trạng thái lượng tử. Với  f (r , k , t )  là xác suất tìm điện tử ở trạng thái này, thì  số điện tử trong thể tích pha dG  bằng :    d n  f ( r , k , t ).2   d k dG  f (r ,k , t ) d  r    (2  ) 4     (1.4)  Xét  hệ  điện  tử  ở  trong  không  gian  thông  thường  (không  gian  hình  học). Để đơn giản, chúng ta đặt trường lực bên ngoài tác dụng vào hệ điện tử  chuyển động dọc theo hướng dương trục Ox với vận tốc  vx  Trong phần tử  thể tích  d r , số điện tử đi qua mặt bên trái trong thời gian dt với vận tốc vx  bằng :   d k f ( k , x , y , z , t ) v x d yd z d t   4         (1.5)   d k f ( k , x  d x , y , z , t ).v x d yd z d t     4       (1.6)  số điện tử đi qua mặt bên phải là:  Như vậy, trong thời gian dt số điện tử trong  d r  thay đổi một lượng :    d k [ f ( k , x , y , z , t )  f ( k , x  dx , y , z , t )].v x dyd zdt 4      f d k dxdyd zdt  vx  x 4 (1.7)  Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của điện tử với vận tốc v(vx, vy,  vz)  thì  sự  thay  đổi  điện  tử  với  vectơ  sóng  k   đã  cho  trong  phần  tử  d r trong  khoảng thời gian dt bằng:  [ v x f f f d k d  vy  vz ] .d  r dt   ( v  r f ) k3 d  r dt   x y  z 4 4 (1.8)  Sự  thay  đổi  số  lượng  hạt  dẫn  này  gây  ra  bởi  sự  khuếch  tán  dọc  theo  gradien  nhiệt độ, hoặc do sự không đồng đều của nồng độ hạt dẫn.  Tương tự như ở trên chúng ta nhận được sự thay đổi số lượng điện tử trong yếu  tố thể tích  d k , trong khoảng thời gian dt bằng :   kx f k y f kz f d k d dk [   ] d r dt  ( k f ) k3 d r dt dt 4 t x t y t z 4 (1.9)  d k   ( F k f ) d r dt  4 Ở đây :     dk d p    F (r , t )   dt  dt            (1.10)  Sự thay đổi số lượng điện tử ở đây là do tác dụng của trường ngoài. Tác dụng   của trường ngoài đặc trưng bởi lực  F (r , t )   Hàm phân bố còn thay đổi theo thời gian do tán xạ của điện tử trên các hạt khác      làm  biến  đổi  trạng  thái  của  điện  tử  từ  trạng  thái  ( r , k )  sang  trạng  thái  ( r ', k ' ).  Với:    d  f (r ,k , t ) k3  là  số điện tử ở trạng thái  k   4   d '  {1  f ( r , k ', t )} k3  là số chỗ trống ở trạng thái  k '   4 Trong  quá  trình  va  chạm  (Tán  xạ)  vị  trí  của  điện  tử  hầu  như  không  thay  đổi  đáng kể, nên xác suất chuyển mức trong một đơn vị thời gian không phụ thuộc    vào  r và  r '  Gọi W(k,k’) là xác suất chuyển điện tử từ trạng thái k sang trạng  thái  k’  trống  hoàn  toàn    Như  vậy,  trong  thời  gian  dt,  điện  tử chuyển  từ trạng  thái k sang trạng thái k’ do tán  xạ  làm số lượng điện tử trong dG  giảm đi một  lượng :   f ( r , k , t )W ( k , k ')[1  f ( r , k ', t )] d k d k ' d  r dt        4 (1.11)  Quá trình chuyển từ trạng thái k sang trạng thái k’ trong thời gian dt xảy ra do  tán xạ với xác suất W(k’,k) làm số lượng điện tử trong dG tăng lên một lượng :  f (r, k ', t )W (k ', k )[1  f (r, k , t )] d k ' d k d r dt   4 4      (1.12)  Như vậy, quá trình tán xạ trên các nút khuyết, nguyên tử ion tạp chất, dao động  nhiệt của mạng tinh thể đã làm cho số hạt tải trong yếu tố thể tích dG thay đổi  một lượng :     { f '(k ')W(k, k ')[1 f (k)]  f (k)W(k ', k)[1 f (k ')]} dk dk' dr dt    4 4 (1.13)  Số điện tử trong thể tích dG thay đổi một lượng :    dk d ' dr dt  { f (k ')W(k ', k)[1 f (k)]  f (k)W(k, k ')[1 f (k ')]} k3   4 4 VB   (1.14)   Sự thay đổi toàn phần của số điện tử do chuyển động khuếch tán, do tác dụng  của trường ngoài, và do tán xạ làm thay đổi số điện tử trong yếu tố thể tích dG  của không gian pha. Trong khoảng thời gian từ t đến t+dt sự thay đổi số lượng  điện tử trong yếu tố thể tích dG là:  f ( r , k , t  dt ) d k d f d k d r  f ( r , k , t ) k3 d r  d r dt   4 4 t 4   (1.15)      (1.16)    (1.17)  Do đó     f d k d r dt  (v. r f )  ( F  k f )  t 4   (  { f (k ')W ( k ', k )[1  f ( k )]  f (k )W (k , k ')[1  f ( k ')]} VB      =>    d k ' d k d r dt 4 4 f  (vr f )  ( F  k f )  t  d ' (  { f (k ')W (k ', k )[1  f (k )]  f ( k )W ( k , k ')[1  f ( k ')]} k3 4 VB   Đối với bán dẫn suy biến mạnh ( z  10 ) và   1 khi đó công thức (3.21) sẽ có  dạng :   AĐT  e H   W   mn c  2     z (1   z )          (3.26)  Như vậy tính phi parabol của qui luật tán sắc làm cho hiệu ứng âm điện  từ xuất hiện ngay cả trong bán dẫn suy biến mạnh. Đánh giá kết quả cho thấy,  trong bán dẫn n-InSb với các thông số ở nhiệt độ phòng    0,1    ;    z  10 ; dòng  6.10 V/cm.  sóng âm cỡ 0,1W; từ trường ~ 0,1T thu được giá trị   AĐT  Đối với bán dẫn không suy biến, công thức (3.21) có dạng :    e H  6      mn c  (1   ) 2  AĐT   W  Như vậy, theo (3.27) khi      thì   AĐT Khi từ trường  là yếu, do   pAĐT        ; còn khi   H , còn   AĐT    thì   AĐT (3.27)    2  H , nên hiệu ứng âm điện  từ phẳng khó phát hiện hơn so với trường hợp không gian ba chiều. Còn khi từ  trường đủ mạnh, do   pAĐT const  (không phụ thuộc vào H), còn   AĐT H 1 , nên  hiệu  ứng  âm  điện  từ  phẳng,  ngược  lại,  dễ  phát  hiện  hơn  so  với  trường  hợp  không gian ba chiều.  Đặc trưng của trường âm điện từ phẳng là sự phụ thuộc vào hướng của từ  trường ( sin 2 ), khi góc    đi qua 900, trường âm điện từ phẳng đổi dấu. Điều  này cho phép  dễ  dàng  phân  biệt  hiệu  ứng  âm điện từ phẳng  với các  hiệu ứng  khác.  Hiệu ứng âm điện từ, theo ý kiến của chúng tôi, hoàn toàn dễ dàng phát  hiện được trong thực nghiệm và có thể dùng nó để xác định một số tham số của  bán  dẫn  (thí  dụ  như  độ  linh  động  của  hạt  tải,  thế  biến  dạng…)  cũng  như  đặc  trưng tương tác của dao động  mạng với các điện tử dẫn. Ngoài ra hiệu ứng âm  điện từ có thể sử dụng làm nguyên lý chế tạo các dụng cụ ghi và đo cường độ  sóng âm hay chế tạo các máy khuếch đại siêu âm.v.v…  Chương Quang dẫn Polaron điện trường mạnh Dựa theo mẫu Polaron của Feynman – Kadanoff, một số tác giả đã khảo sát  sự tương tác của polaron với các kiểu dao động khác nhau của mạng tinh thể.  Shomelov đã xét sự tán xạ của polaron bán kính lớn lên các phonon âm, trong điện  trường mạnh và dã thu được những kết quả phù hợp với thực nghiệm[29].Dưới  đây, chúng tôi sẽ xét bài toán trên, khi các polaron được kích thích bởi nguồn sáng  đơn sắc cho trước.  4.1 Phương trình động học polaron Hàm phân bố của polaron trong điện trường mạnh, khi được kích thích bằng  một nguồn sang đơn sắc với tần số cho trước  0  được tìm từ phương trình động  học sau:  f0    f   f     Q             t  E  t  Scatt  e        (4.1)  Ở đây:   f    là số hạng điện trường, dạng của nó được chom trong [15]   t  E  f  Số hạng va chạm    của polaron được tính theo [29].   t  Scatt  f   t    Scatt  2u m  d   kT   d   *      2     d    f ( )   kT f0' ( )     d     0   l   0        kT    l  kT     (4.2)  Trong đó:  u – là vận tốc âm thanh   ,  m* là năng lượng và khối lượng hiệu dụng của polaron   02 x l  x   l  là độ dài chuyển động của polaron  S  x  l0   4 u 2 * E m kT  ;    kT M ;  x   kT   u m M – là khối lượng hạt giả trong mẫu của Feynman – Kadanoff; m là khối  lượng của điện tử vùng.  Còn hàm số:  S  x    e  e  1   Dễ dàng nhận thấy rằng  S      khi     và  S     khi       Trong lý thuyết polaron người ta qui ước[24], [29]:  S     khi     Đại lượng  không thứ nguyên    xác định độ liên kết của polaron. Với   >>1 ta có polaron  liên kết mạnh, ở nhiệt độ cao. Ngược lại  