Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn người thầy tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn chỉnh luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải Tích, thầy giáo, cô giáo phòng sau đại học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban Giám hiệu tổ Toán trường THPT Phương Sơn Lục Nam Bắc Giang tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập thực đề tài Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giả Trần Việt Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn T.S Nguyễn Văn Tuấn Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giả Trần Việt Phương Mục lục Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian metric 11 1.1.3 Không gian định chuẩn 13 1.1.4 Không gian Hilbert 15 Số gần sai số 16 1.2.1 Số gần 16 1.2.2 Làm tròn số 17 1.2.3 Quy tắc làm tròn số 17 1.2.4 Sai số tính toán 18 Ma trận đường chéo trội tốc độ hội tụ 20 1.3.1 Ma trận đường chéo trội 20 1.3.2 Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ 20 Chương Phương pháp spline collocation 2.1 21 Khái niệm spline đa thức 21 2.1.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách 21 2.1.2 Spline đa thức tổng quát 27 2.2 Sử dụng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân 32 2.2.1 Phương pháp spline collocation 32 2.2.2 Giải lớp phương trình vi phân thường bậc phương pháp spline collocation 2.3 2.4 34 Sử dụng phương pháp spline collocation cho lớp phương trình đạo hàm riêng 42 2.3.1 Sự tồn nghiệm 42 2.3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ 45 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai 47 2.4.1 Định lý tồn 47 2.4.2 Đánh giá tốc độ hội tụ 55 Chương Một số ứng dụng 61 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân 61 3.2 Ứng dụng giải phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực C Tập số phức C[a;b] Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] S3 (π) Tập tất hàm spline đa thức bậc ∅ Chuẩn Tập hợp rỗng LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, lĩnh vực khác sống gặp nhiều vấn đề, nhiều toán đưa tới việc nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Việc tìm nghiệm phương trình thường gặp khó khăn, nghiệm tìm áp dụng vào thực tiễn tính toán lại phải lấy giá trị gần Vì để tìm nghiệm chúng người ta thường áp dụng phương pháp giải gần khác Những năm gần nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu phương pháp spline collocation giải gần phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Sở dĩ phương pháp spline collocation có số ưu điểm sau: - Phương pháp sử dụng hàm đa thức giải gần Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu - Trong số trường hợp phương pháp spline collocation thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ xác nghiệm gần tốt phương pháp khác - Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ spline bậc cao hàm B-spline Do với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, chọn đề tài: ”Phương pháp spline collocation số ứng dụng.” Mục đích nghiên cứu Tổng hợp kiến thức phương pháp spline collocation Ứng dụng phương pháp để giải gần số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức liên quan tới phương pháp spline collocation Nghiên cứu sử dụng phương pháp giải gần số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày vấn đề: Các hàm spline, phương pháp spline collocation, ứng dụng phương pháp spline collocation giải số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp Tham khảo ý kiến chuyên gia Dự kiến đóng góp Đề tài trình bày sở lý thuyết phương pháp spline collocation tương đối rõ ràng, minh họa ví dụ đơn giản Lấy ví dụ số lớp phương trình riêng Ứng dụng phền mềm Maple vào tính toán cho phương pháp NỘI DUNG Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày hệ thống kiến thức cần thiết sử dụng luận văn Chương Phương pháp spline collocation Trình bày hệ thống hàm spline, phương pháp spline collocation Minh họa phương pháp cho số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Chương Một số ứng dụng Trong chương sử dụng phương pháp spline collocation để giải gần số lớp phương trình vi phân Sử dụng phần mềm Maple tính toán Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ → − − − Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp E mà phần tử kí hiệu: → α, β ,→ γ , trường K mà phần tử kí hiệu là: x, y, z, Giả sử E có hai phép toán: 1) Phép toán cộng, kí hiệu + : E × E −→ E → − → − − − (→ α , β ) −→ → α + β 2) Phép toán nhân, kí hiệu : K × E −→ E − − (x, → α ) −→ x.→ α thỏa mãn tiên đề sau: → − → − − → → − − a) → α + β = β +→ α , ∀− α , β ∈ E; → − → − − → − − − − − − b) (→ α + β)+→ γ =→ α +(β +→ γ ), ∀→ α, β ,→ γ ∈ E; → − → − − → − − − − c) Tồn θ ∈ E cho θ + → α =→ α + θ =→ α , ∀→ α ∈ E; → − → − − → − → − − − d) Với → α tồn α ∈ E cho α + → α =→ α +α = θ; − − − − e) (x + y)→ α = x→ α + y→ α , ∀→ α ∈ E x, y ∈ K; → − → − − → − − − f) x(→ α + β ) = x→ α + x β , ∀→ α , β ∈ E x ∈ K; 10 − − − g) x(y → α ) = (xy)→ α , ∀→ α ∈ E x, y ∈ K; − − − h) · → α =→ α , ∀→ α ∈ E phần tử đơn vị trường K; Khi E với hai phép toán gọi không gian vectơ trường K, hay K-không gian vectơ, hay không gian tuyến tính Khi K = R E gọi không gian vectơ thực Khi K = C E gọi không gian vectơ phức Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra C[a, b] không gian vectơ − Định nghĩa 1.1.2 Hệ vectơ (→ αi ), ∀i = 1, 2, , n gọi độc lập tuyến n − tính x→ α = kéo theo x = 0, ∀i = 1, 2, , n i i i i=1 − Hệ vectơ (→ αi ), ∀i = 1, 2, , n gọi phụ thuộc tuyến tính không độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E không gian vectơ Một hệ vectơ E gọi hệ sinh E vectơ E biểu thị tuyến tính qua hệ Khi E có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử E gọi không gian vectơ hữu hạn sinh Một hệ vectơ E gọi sở E hệ sinh độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 Cho E không gian vectơ có sở gồm hữu hạn phần tử số phần tử sở gọi số chiều không gian vectơ Khi E K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu dimE = n (hay dimK E = n) 54 Khi −3p0 + √ 9p20 +48q0 2q0 > đặt = Nếu q0 < 0, < h < 3p0 − 9p20 − 24q0 −3p0 + 9p20 + 48q0 , 2q0 2q0 ≤ ρ < −q0 có (2.63) Tương tự cho phương trình (2.59) n+1 2 2 aij aj = fi h2 , (qi h −3pi h+6)ai−1 +4(qi h −3)ai +(qi h +3pi h+6)ai+1 +λh j=−1 i = 1, , n − 1, đạt được: n+1 2 |qi h − 3pi h + 6| + |qi h + 3pi h + 6| + |λ|h |aij | j=−1 ≤ |qi h2 − 3pi h + 6| + |qi h2 + 3pi h + 6| + 12ρh2 Như cần |qi h2 − 3pi h + 6| + |qi h2 + 3pi h + 6| + 12ρh2 < |4qi h2 − 12|, (2.64) i = 1, , n − Với điều kiện qi < 0, i = 1, , n − 1, < h < ≤ ρ < −qi , i = ±3pi − 9p2i − 24qi , i = 1, , n − , 2qi có (2.64) ±3pi ≤ 9p2i < 9p2i − 24qi , Cuối xét phương trình sau (2.59) (qn h2 − 3pn h + 6)an−1 + 2(qn h2 − 3pn h − 12)an + n+1 2 anj aj = fn h2 , 3(qn h + 3pn h + 6)an+1 + λh j=−1 i > 55 có |qn h2 − 3pn h + 6| + 3|qn h2 − 3pn h + 6| + |λ|h2 n+1 |anj | j=−1 ≤ |qn h2 − 3pn h + 6| + 3|qn h2 − 3pn h + 6| + 12ρh2 Mặt khác cần |qn h2 −3pn h+6|+3|qn h2 +3pn h+6|+12ρh2 < 2|qn h2 −3pn h−12| (2.65) √ 3pn + 9p2n +48qn < 0, đặt Khi qn < 9pn + 48qn < 2qn n = −3pn − 9p2n − 24qn 3pn − 9p2n − 24qn , 2qn 2qn 9p2n − 24qn 3pn + 9p2n + 48qn , 2qn 2qn √ Khi 3pn + 9p2n +48qn 2qn n = > đặt −3pn − Nếu qn < 0, < h < n ≤ ρ < −qn có (2.65) Chúng ta rút định lý sau: Định lý 2.4.1 Cho p(t), q(t), f (t) hàm số liên tục [a, b], K(t, s) liên tục Ω, q(t) < 0, ∀t ∈ [a, b] αa , αb , βa , βb , thỏa mãn αa βa < 0, αb βb > −qi , 0≤i≤n Đặt l = = { , , n }, với ≤ ρ < l < h < nghiệm collocation toán biên tồn xác định hệ (2.59) 2.4.2 Đánh giá tốc độ hội tụ Cho y(t) ∈ S3 (π) spline nội suy nghiệm toán (2.50) y(ti ) = x(ti ), i = 0, , n; y (t0 ) = x (t0 ), y (tn ) = x (tn ) 56 Nếu x(t) ∈ C [a, b] ||Dj (x − y)||∞ ≤ γj h4−j , j = 0, 1, 2, 3, (2.66) ||x||∞ = max sup |x(t)| 1≤i≤n ti−1 ≤t≤ti Cho n+1 ˆj (t) bj B y(t) = j=−1 Đặt Ly(ti ) = fˆi , i = 0, , n, với fˆi ∈ R, có n+1 LxN (ti ) − Ly(ti ) = ˆj ti ]+ ˆj (ti ) + qi B ˆj (ti ) + pi B (aj − bj )[B j=−1 n+1 aij (aj − bj ) = fi − fˆi , i = 0, , n λ j=−1 Kí hiệu δj = aj − bj có hệ phương trình sau:     3(αa h − 3βa )δ−1 + 2(αa h + 3βa )δ0 + (αa h + 3βa )δ1 = 0,        3(q0 h2 − 3p0 h + 6)δ−1 + 2(q0 h2 + 3p0 h − 12)δ0 +     n+1   2   (q h + 3p h + 6)δ + λh a0j δj = τ0 h2 , 0   j=−1       (qi h2 − 3pi h + 6)δi−1 + 4(qi h2 − 3)δi + (qi h2 + 3pi h + 6)δi+1 n+1   +λh aij δj = τi h2 , i = 1, , n − 1,    j=−1       (qn h2 − 3pn h + 6)δn−1 + 2(qn h2 − 3pn h − 12)δn +     n+1   2  3(qn h + 3pn h + 6)δn+1 + λh anj δj = τn h2 ,    j=−1      (αb h − 3βb )δn−1 + 2(αb h + 3βb )δn + (αb h + 3βb )δ1 = 0, (2.67) 57 τi = f (ti ) − fˆ(ti ), i = 0, , n f (ti ) = fi , fˆ(ti ) = fˆi Do |τi | = |Lx(ti ) − Ly(ti )| ≤ |x (ti ) − y (ti )| + |pi ||x (ti ) − y (ti )|+ b |qi ||x(ti ) − y(ti )| + |λ|| K(t, s)[x(s) − y(s)]ds| a ≤ ||x − y ||∞ + ||p||∞ ||x − y ||∞ + ||q||∞ ||x − y||∞ + ρ||x − y||∞ Sử dụng (2.66) suy |τi | ≤ γ2 h2 + ||p||∞ γ1 h3 + (||q||∞ + ρ)h4 γ0 = [γ2 + ||p||∞ γ1 h + (||q||∞ + ρ)h2 γ0 ]h2 Vậy |τi | ≤ βh2 , i = 0, , n với β = γ2 + ||p||∞ γ1 h + (||q||∞ + ρ)h2 γ0 Từ giả thiết định lý (2.4.1) phương trình đầu phương trình cuối hệ (2.67) ta thấy e−1 > 0, en+1 > e−1 < e0 e−1 < e1 en+1 < en en+1 < en−1 , ei = |δi |, i = −1, , n + Thật vậy, từ |αa h − 3βa | > |αa h + 3βa |, kéo theo 3|αa h − 3βa |e−1 > 2|αa h + 3βa |e−1 + |αa h + 3βa |e−1 Nếu e−1 ≤ e0 e−1 ≤ e1 3|αa h − 3βa |e−1 > 2|αa h + 3βa |e0 + |αa h + 3βa |e1 , mâu thuẫn với phương trình đầu hệ (2.67) Tương tự ta chứng minh en+1 < en en+1 < en−1 58 Có nghĩa là: e = max {e0 , e1 , , en } = max {e−1 , e0 , , en+1 } (2.68) Nếu e−1 = en+1 = (2.68) Từ (2.67) có n+1 2 aij δj + τi h2 − (qi h2 − 3pi h + 6)δi−1 4(qi h − 3)δi = −λh j=−1 − (qi h2 + 3pi h + 6)δi+1 , i = 1, , n − Suy n+1 |aij |ej + |τi |h2 + |qi h2 − 3pi h + 6|eai−1 |4qi h − 12|ei ≤ h |λ| j=−1 −|qi h2 + 3pi h + 6|ei+1 ≤ 12ρh2 e + βh4 + (2qi h2 + 12)e, với i = 1, , n − 1, < h < Cho nên 4(3 − qi h2 )ei ≤ 2(qi h2 + 6)e + 12ρh2 e + βh4 , i = 1, , n − Mà từ qi h2 e ≤ qi h2 ei , có 6(2 − qi h2 )ei ≤ 12e + 12ρh2 e + βh4 , i = 1, , n − (2.69) Cho < h < Chúng ta chứng minh (2.69) cố định với i = i = n Nếu e0 = (2.67) đúng, e0 > e0 ≤ e1 , (2.69) cách trực tiếp cố định cho i = e0 > e1 từ phương trình (2.67) thu 59 2(q0 h2 + 3p0 h − 12)δ0 = τ0 h2 − λh2 n+1 a0j δj − 3(q0 h2 − 3p0 h + 6)δ−1 − j=−1 (q0 h + 3p0 h + 6)δ1 suy −6q0 h2 e0 ≤ 12ρh2 e + βh4 (2.70) Vậy ta có bất đẳng thức e0 ≤ e, Từ (2.70) khẳng định (2.69) cố định với i = Bằng cách tương tự (2.69) chứng minh với i = n Cho nên 6(2 − qi h2 )e ≤ 12e + 12ρh2 e + βh4 , i = 0, , n, e ≤ β1 h2 với β1 = β 12(l − ρ) Vậy e= max |ai − bi | ≤ β1 h2 (2.71) −1≤i≤n+1 Bây đánh giá ||x(t) − xN (t)||∞ có n+1 ˆi | |B ||y(t) − xN (t)||∞ ≤ max |ai − bi | i=−1 Từ (2.55), (2.71), (2.72) suy ||y(t) − xN (t)||∞ ≤ 12β1 h2 Bởi ||x(t) − xN (t)||∞ ≤ ||x(t) − y(t)||∞ + ||y(t) − xN (t)||∞ , (2.66) có ||x(t) − xN (t)||∞ ≤ ηh2 , (2.72) 60 η = γ0 h2 + 12β1 Tương tự, có n+1 |Bˆ i | ||y (t) − xN (t)||∞ ≤ max |ai − bi | (2.73) i=−1 Từ (2.55), (2.71), (2.73) suy ||y (t) − xN (t)||∞ ≤ 22β1 h Tiếp theo đánh giá ||x (t) − xN (t)||∞ theo ||x (t) − xN (t)||∞ ≤ ||x (t) − y (t)||∞ + ||y (t) − xN (t)||∞ ≤ γ1 h3 + 22β1 h = θh, θ = γ1 h2 + 22β1 Chúng ta rút định lý sau: Định lý 2.4.2 Giả sử x(t) nghiệm xấp xỉ (2.50), (2.51), (2.52) x(t) ∈ C [a, b] Nếu tất điều kiện định lí (2.4.1) thỏa mãn, có đánh giá sau: ||x(t) − xN (t)||∞ = 0(h2 ), ||x (t) − xN (t)||∞ = 0(h) Chương Một số ứng dụng 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân Ví dụ 3.1.1 Giải toán biên   Lx(t) = x (t) − x(t) = ,  x(0) = x(1) = Lời giải Giả sử φ1 (t) = t(t − 1) φ2 (t) = t2 (t − 1) Lφ1 (t) = − t(t − 1), Lφ2 (t) = 6t − − t2 (t − 1) Lφ2 (0) = −2, Lφ1 (0) = 2, Lφ1 (1) = 2, Lφ2 (1) = 4, cho t = t = 1, nghiệm xấp xỉ collocation có dạng: xˆ(t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t) Như ta có hệ phương trình dạng ma trận:      2 a1     = 2 −2 a2 Giải hệ ta a1 = 12 a2 = 16 , xˆ(t) = 1 t(t − 1) + t2 (t − 1) 12 Ta có nghiệm xác x(t) = t 2(e+1) (e + e1−t ) − 12 62 • Ứng dụng Maple tính nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ sai số phương pháp Tìm nghiệm xác Maple 13 Vẽ đồ thị x(t) xˆ(t) sử dụng lệnh: [> plot([(1/(2*(exp(1)+1)))*(exp(x)+exp(1-x))-2,(1/3)*x*(x-1)+(2/3)*(x1)*x2 ], x=0 1); đồ thị hình (3.1) Hình 3.1 63 Đặt xˆ(t) = y, x(t) = x tính x(t), xˆ(t) |x(t) − xˆ(t)| Maple13 với chương trình [> restart; [> for i from to 10 y[i]:=evalf((1/(2*(exp(1)+1)))*(exp(i/10)+exp(1-i/10))-2); x[i]:= evalf((1/12)*(i/10)*(i/10-1)+(1/6)*(i/10-1)*(i/10)2 ); a[i]:=evalf(abs(x[i]-y[i])); od; Chạy chương trình kết x(t), xˆ(t) sai số e(t) = |x(t) − xˆ(t)| số giá trị bảng (3.1) t x(t) x(t) |x(t) − x(t)| 0.0 0.0000 0000 0.0000 0000 0.0000 0000 0.1 −0.0206 4230 −0.0090 0000 0.0116 4230 0.2 −0.0364 8703 −0.0186 6667 0.0178 2037 0.3 −0.0476 9277 −0.0280 0000 0.0196 9277 0.4 −0.0543 7166 −0.0360 0000 0.0183 7166 0.5 −0.0565 9056 −0.0416 6667 0.0149 2389 0.6 −0.0543 7166 −0.0440 0000 0.0103 7166 0.7 −0.0476 9277 −0.0420 0000 0.0056 9277 0.8 −0.0364 8703 −0.0346 6667 0.0018 2037 0.9 −0.0206 4230 −0.0210 0000 0.0003 5770 1.0 0.0000 0000 0.0000 0000 0.0000 0000 Bảng 3.1 64 3.2 Ứng dụng giải phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình sau: x (t) − x(t) + 20 s39 x(s)ds = −t2 − 2t + 2521 688800 thỏa mãn hệ điều kiện:   x(0) − x (0) = 0,  x(1) − x (1) = Có nghiệm xác x(t) = t2 + 2t + Nếu = √ 6, < h < √ tồn nghiệm collocation Chọn h = 15 tính nghiệm xấp xỉ collocation 16 ˆj (t) aj B x15 (t) = j=−1 Từ hệ (2.59) tính a−1 , a0 , , a16 |x(ti ) − x15 (ti )|, |x (ti ) − x15 (ti )| kết quả: a−1 = 0.33286839262 a8 = 0.55560452377 a0 = 0.32996216531 a9 = 0.59057752118 a1 = 0.35270835532 a10 = 0.62702354870 a2 = 0.37691845573 a11 = 0.66494327750 a3 = 0.40278417732 a12 = 0.70433733518 a4 = 0.43040903237 a13 = 0.74520632522 65 a5 = 0.45950287959 a14 = 0.78755081966 a6 = 0.49006663398 a15 = 0.83137136666 a7 = 0.52210115174 a16 = 0.84647040819 ti |x(ti ) − x15 (ti )| |x (ti ) − x15 (ti )| 00 0.0187621362 0.0187623353 01 0.0200637354 0.0203002644 02 0.0212780889 0.0132546767 03 0.0215334191 0.0070759488 04 0.0205212581 0.0190082688 05 0.0192905931 0.0179254058 06 0.0181294328 0.0169222468 07 0.0170353464 0.0158717072 08 0.0160143431 0.0147535034 09 0.0150618428 0.0138561219 10 0.0141627843 0.0131257011 11 0.0133104506 0.0124537250 12 0.0125010566 0.0118371474 13 0.0117309887 0.0112734683 14 0.0109968073 0.0107601981 15 0.0102952225 0.0102952210 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức spline bậc 3, bậc n nghiên cứu không gian tuyến tính S3 (π), Sm (π) Trên sở nghiên cứu hàm spline luận văn trình bày việc sử dụng hàm spline vận dụng phương pháp spline collocatin giải lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân Fredholm, đánh giá tốc độ hội tụ Luận văn nêu ứng dụng máy tính vào tính toán nghiệm sai số nghiệm gần số điểm cụ thể Với phạm vi luận văn thời gian khả hạn chế, việc ứng dụng phương pháp để giải toán đặt thực tế, khoa học tính toán giải lớp phương trình toán tử cần nghiên cứu sâu để ứng dụng hiệu Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2009), Giải tích số, Nhà xuất Giáo Dục [3] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [6] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Van Tuan (1995),”Collocation methods for Fredholm – Volterra integro – differential equations of second order”, Acta Mathematica Vietnamica, (No 1), 85 – 98 [7] Nguyen Van Tuan (1996), "Spline collocation methods for Neumann problem for elliptic equations”, Vietnam J of Mathematics, (No 1) 68 [8] Christina Christara and Guohong Liu (2008), "Quartic spline collocation for second-order boundary value problems", University of Toronto [9] P.M Prenter ( 1975), Splines and Variational methods