Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

LèI CÁM ƠN Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành sâu sac tói TS Nguyen Văn Tuan ngưòi thay t¾n tình hưóng dan, chí báo, giúp đõ q trình nghiên cúu hồn lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói GS, TS giáng day chun ngành Tốn Giái Tích, thay giáo, giáo phòng sau đai hoc trưòng Đai Hoc Sư Pham H Nđi 2, ban Giỏm hiắu v to Toỏn trũng THPT Phương Sơn Luc Nam Bac Giang tao đieu ki¾n, giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p thnc hi¾n đe tài Xin gúi lòi cám ơn chân thành đen gia đình, ban ln quan tâm, đ®ng viên giúp đõ tác giá trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giá Tran Vi¾t Phương LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna T.S Nguyen Văn Tuan Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành q khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn M®t so ket đat đưoc lu¾n văn mói chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giá Tran Vi¾t Phương Mnc lnc Lài má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m bán cna giái tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian metric .11 1.1.3 Không gian đ%nh chuan 13 1.1.4 Không gian Hilbert 15 1.2 So gan sai so 16 1.2.1 So gan 16 1.2.2 Làm tròn so 17 1.2.3 Quy tac làm tròn so 17 1.2.4 Sai so tính tốn 18 1.3 Ma trắn ũng chộo trđi toc đ® h®i tu .20 1.3.1 Ma trắn ũng chộo trđi 20 1.3.2 Toc đ hđi tu cna nghiắm xap xí 20 Chương Phương pháp spline collocation 21 2.1 Khái ni¾m spline đa thúc .21 2.1.1 Spline đa thúc b¾c ba vói moc cách đeu .21 2.1.2 Spline đa thúc tong quát 27 2.2 Sú dung phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân .32 2.2.1 Phương pháp spline collocation .32 2.2.2 Giái mđt lúp phng trỡnh vi phõn thũng bắc bang phương pháp spline collocation 34 2.3 Sú dung phương pháp spline collocation cho m®t lóp phương trình đao hàm riêng .42 2.3.1 Sn ton tai nghi¾m nhat .42 2.3.2 Đánh giá toc đ® h®i tu .45 2.4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm b¾c hai 47 2.4.1 Đ%nh lý sn ton tai nhat .47 2.4.2 Đánh giá toc đ® h®i tu .55 Chương M®t so Nng dnng 61 3.1 Úng dung giái phương trình vi phân 61 3.2 Úng dung giái phương trình vi tích phân Fredholm b¾c hai 64 Ket lu¾n 66 Tài li¾u tham kháo 67 BÁNG KÝ HIfiU N T¾p so tn nhiên N∗ T¾p so tn nhiên khác khơng R T¾p so thnc C T¾p so phúc C[a;b] T¾p tat cá hàm so thnc liên tuc [a, b] S3(π) T¾p tat cá hàm spline đa thúc b¾c "." Chuan ∅ T¾p hop rong LèI Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong khoa hoc tn nhiên, kĩ thu¾t, kinh te, lĩnh vnc khỏc cna cuđc song chỳng ta gắp rat nhieu van đe, rat nhieu tốn đưa tói vi¾c nghiên cúu phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình thưòng g¾p khó khăn, nua nghi¾m tìm đưoc áp dung vào thnc tien tính tốn lai phái lay giá tr% gan Vì v¾y đe tìm nghi¾m cna chúng ngưòi ta thưòng áp dung phương pháp giái gan khác Nhung năm gan nhà tốn hoc ngồi nưóc quan tâm nghiên cúu phương pháp spline collocation giái gan phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Só d nh vắy vỡ phng phỏp spline collocation cú mđt so ưu điem sau: - Phương pháp sú dung hàm đa thúc giái gan Các hàm đa thúc rat de dàng l¾p trình đưa lên máy tớnh, tớnh toỏn thuắn loi, hiắu quỏ - Trong mđt so trưòng hop phương pháp spline collocation thưòng đat toc đ hđi tu nhanh, đ chớnh xỏc cna nghiắm gan tot phương pháp khác - Có the khái qt cho nghi¾m xap xí bang spline b¾c cao ho¾c hàm B-spline Do vói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Tuan, chon đe tài: ”Phương pháp spline collocation m®t so Úng ding.” Mnc đích nghiên cNu Tong hop kien thúc ve phương pháp spline collocation Úng dung phương pháp đe giái gan m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Nhi¾m nghiên cNu H¾ thong kien thúc liên quan tói phương pháp spline collocation Nghiên cúu sú dung phương pháp giái gan m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Đoi tưang pham vi nghiên cNu Lu¾n văn trình bày van đe: Các hàm spline, phương pháp spline col- location, úng dung phương pháp spline collocation giái m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp phân tích, tong hop Tham kháo ý kien chuyên gia DN kien đóng góp mái Đe tài trình bày só lý thuyet cna phương pháp spline collocation tương đoi rõ ràng, đưoc minh hoa bang ví du đơn gián Lay đưoc ví du ve m®t so lóp phương trình riêng Úng dung phen mem Maple vào tính tốn cho phương pháp N®I DUNG Chương M®t so kien thNc chuan b% Trong chương trình bày h¾ thong kien thúc can thiet sú dung lu¾n văn Chương Phương pháp spline collocation Trình bày h¾ thong bán nhat ve hàm spline, phương pháp spline collocation Minh hoa phương pháp cho m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Chương M®t so Nng dnng Trong chương sú dung phương pháp spline collocation đe giái gan m®t so lóp phương trình vi phân Sú dung phan mem Maple tính tốn Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m bán cúa giái tích hàm 1.1.1 Khơng gian vectơ Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho t¾p hop E mà phan tú đưoc kí hi¾u: →−α , →− →− β, γ , trưòng K mà phan tú đưoc kí hi¾u là: x, y, z, Giá sú E có hai phép tốn: 1) Phép tốn cđng, kớ hiắu + : E ì E E →− →− (→−α , β ) −→ →−α + β 2) Phép tốn nhân, kí hi¾u : K × E −→ E (x, →−α ) −→ x.→−α thóa mãn tiên đe sau: →− →− →− a) →−α + β = β + →−α , ∀→−α , β ∈ E; →− →− b) (→−α + β ) + →−γ = →−α + ( β + →−γ ), ∀→−α , →− →− β, γ ∈ E; c) Ton tai d) Vói moi →− →− →− θ ∈ E θ + →−α = →−α + θ = →−α , cho ∀→−α ∈ E; →−α ton tai →− r α + →−α = →−α + α ∈ E →− r →− α = θ; cho →− r e) (x + y)→−α = x→−α + y →−α , ∀→−α ∈ E x, y ∈ K; →− →− →− f) x(→−α + β ) = x→−α + x β , ∀→−α , β ∈ E x ∈ K; Có nghĩa là: e = max {e0, e1, , en} = max {e−1, e0, , en+1} (2.68) Neu e−1 = en+1 = (2.68) van Tù (2.67) có n+1 4(qih − 3)δi = −λh2 aij δj + τih2 − (qih2 − 3pih + 6)δi − j=−1 − (qih2 + 3pih + 6)δi+1, i = 1, , n − Suy n+1 |4qih2 − 12|ei ≤ h2|λ| eai |aij |ej + |τi|h2 + |qih2 − 3pih −+ 6| j=−1 −|qih2 + 3pih + 6|ei+1 ≤ 12ρh2e + βh4 + (2qih2 + 12)e, vói i = 1, , n − 1, < h < s Cho nên 4(3 − qih2)ei ≤ 2(qih2 + 6)e + 12ρh2e + βh4, i = 1, , n − q ih2e ≤ q ih 2e i , Mà tù có 6(2 − qih2)ei ≤ 12e + 12ρh2e + βh 4, i = 1, , n − (2.69) Cho < h < s Chúng ta chúng minh (2.69) co đ%nh vói i = i = n Neu e0 = (2.67) đúng, neu e0 > e0 ≤ e1, (2.69) m®t cách trnc tiep co đ%nh cho i = ho¾c e0 > e1 tù phương trình cna (2.67) thu đưoc 2(q0h2 + 3p0h − 12)δ0 = τ0h2 − λh2 n+1 a0j δj − 3(q0h2 − 3p0h + 6)δ j=− − − 1 (q0h + 3p0h + 6)δ1 suy −6q0h2e0 ≤ 12ρh2e + βh4 (2.70) V¾y ta có bat thúc e0 ≤ e, Tù (2.70) khang đ%nh (2.69) co đ%nh vói i = Bang cách tương tn (2.69) đưoc chúng minh vói i = n Cho nên 6(2 − qih2)e ≤ 12e + 12ρh2e + βh4, i = 0, , n, e ≤ β1h2 vói β1 = β 12(l − ρ) V¾ y e = max |ai − bi| ≤ β1h2 (2.71) −1≤i≤n+1 Bây giò đánh giá ||x(t) − xN (t)||∞ n+1 có ||y(t) − xN (t)||∞ ≤ max |ai − bi | |Bˆi | (2.72) i=−1 Tù (2.55), (2.71), (2.72) suy ||y(t) − xN (t)||∞ ≤ 12β1h Bói ||x(t) − xN (t)||∞ ≤ ||x(t) − y(t)||∞ + ||y(t) − xN (t)||∞, (2.66) có ||x(t) − xN (t)||∞ ≤ ηh , ó η = γ0h2 + 12β1 Tương tn, có ||yr(t) − xr n+1 N (t)||∞ ≤ max |ai − bi | |Bˆr i | (2.73) i=− Tù (2.55), (2.71), (2.73) suy ||yr(t) − xrN (t)||∞ ≤ 22β1h r Tiep theo đánh giá ||xr(t) − xN (t)||∞ theo ||xr(t) − xr N (t)||∞ r ≤ ||xr(t) − yr(t)||∞ + ||yr(t) − (t)||∞ x N ≤ γ1h + 22β1h = θh, θ = γ1h2 + 22β1 Chúng ta rút đưoc đ%nh lý sau: Đ%nh lý 2.4.2 Giá sú x(t) nghi¾m xap xs cúa (2.50), (2.51), (2.52) x(t) ∈ C4[a, b] Neu tat cá đieu ki¾n đ%nh lí (2.4.1) thóa mãn, có đánh giá sau: ||x(t) − xN (t)||∞ = 0(h ), (t)||∞ = 0(h) ||xr(t) − xr N Chương M®t so Nng dnng 3.1 Úng dnng giái phương trình vi phân Ví dn 3.1.1 Giái tốn biên   Lx(t) = xrr (t) − x(t)2 =  x(0) = x(1) = , Lòi giái Giá sú φ1(t) = t(t − 1) φ2(t) = t2(t − 1) Lφ1(t) = − t(t − 1), Lφ2(t) = 6t − − t2(t − 1) Lφ1(0) = 2, Lφ2(0) = −2, Lφ1(1) = 2, Lφ2(1) = 4, cho t = t = 1, nghi¾m xap xí collocation có dang: xˆ(t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t) Như v¾y ta có h¾ phương trình dang ma tr¾n: 1   2 a 1      = −2 a2 Giái h¾ ta đưoc a1 = a2 = 61 , 12 t (t − 1) xˆ(t) = t(t − 12 1) + 2 Ta có nghi¾m xác x(t) = 2(e+1 ) (et + e1−t) − 62 • Úng dung Maple tính nghi¾m đúng, nghi¾m xap xí sai so cna phương pháp Tìm nghi¾m xác bang Maple 13 Ve đo th% cna x(t) xˆ(t) sú dung l¾nh: [> plot([(1/(2*(exp(1)+1)))*(exp(x)+exp(1-x))-2,(1/3)*x*(x-1)+(2/3)*(x- 1)*x2], x=0 1); đưoc đo th% hình (3.1) Hình 3.1 Đ¾t xˆ(t) = y, x(t) = x tính x(t), xˆ(t) |x(t) − xˆ(t)| bang Maple13 vói chương trình [> restart; [> for i from to 10 y[i]:=evalf((1/(2*(exp(1)+1)))*(exp(i/10)+exp(1i/10))-2); x[i]:= evalf((1/12)*(i/10)*(i/10-1)+(1/6)*(i/10-1)*(i/10)2); a[i]:=evalf(abs(x[i]-y[i])); od; Chay chương trình đưoc ket x(t), |x(t) − xˆ(t)| tai m®t so giá tr% báng (3.1) x(t) 0.0 0.0000 0000 0.1 −0.0206 0.0000 0000 −0.0090 4230 0.2 −0.0364 0000 −0.0186 8703 0.3 −0.0476 6667 −0.0280 9277 0.4 −0.0543 0000 −0.0360 7166 0.5 −0.0565 0000 −0.0416 0.6 9056 −0.0543 6667 −0.0440 7166 0.7 −0.0476 0000 −0.0420 0.8 9277 −0.0364 0000 −0.0346 8703 0.9 −0.0206 6667 −0.0210 1.0 4230 0.0000 0000 0000 0.0000 0000 Báng 3.1 xˆ(t) sai so e(t) = |x(t) − x(t)| ˆ 0.0000 0000 0.0116 4230 0.0178 2037 0.0196 9277 0.0183 7166 0.0149 2389 0.0103 7166 0.0056 9277 0.0018 2037 0.0003 5770 0.0000 0000 3.2 Úng dnng giái phương trình vi tích phân Fred- holm b¾c hai Ví dn 3.2.1 Xét phương trình sau: ¸1 s3 x(s)ds = rr x (t) − x(t) + −t2 20 − 2t + 2521 688800 thóa mãn h¾ đieu ki¾n:   x(0) − xr (0) = 0,  x(1) − xr (1) = Có nghi¾m xác x(t) = t + 2t + Neu s = √ √ 6, < h < ton tai nhat nghi¾m collocation Chon h = 1 có the tính nghi¾m xap xí collocation x15(t) = 16 aj Bˆj (t) j=−1 Tù h¾ (2.59) tính a−1, a0, , a16 |x(ti) − x15(ti)|, |xr(ti) − r (t )| đưoc ket quá: x15 i a−1 = 0.33286839262 a8 = 0.55560452377 a0 = 0.32996216531 a9 = 0.59057752118 a1 = 0.35270835532 a10 = 0.62702354870 a2 = 0.37691845573 a11 = 0.66494327750 a3 = 0.40278417732 a12 = 0.70433733518 a4 = 0.43040903237 a13 = 0.74520632522 a5 = 0.45950287959 a14 = 0.78755081966 a6 = 0.49006663398 a15 = 0.83137136666 a7 = 0.52210115174 a16 = 0.84647040819 ti |x(ti) − x15(ti)| 00 0.018762136 01 0.020063735 02 0.021278088 03 0.021533419 04 0.020521258 05 0.019290593 06 0.018129432 07 0.017035346 08 0.016014343 09 0.015061842 10 0.014162784 11 0.013310450 12 0.012501056 13 0.011730988 14 0.010996807 15 0.010295222 |xr(ti) − xr (ti)| 15 0.01876233 0.02030026 44 0.01325467 67 0.00707594 88 0.01900826 88 0.01792540 58 0.01692224 68 0.01587170 72 0.01475350 34 0.01385612 19 0.01312570 11 0.01245372 50 0.01183714 74 0.01127346 83 0.01076019 81 0.01029522 10 Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày kien thúc bán ve spline b¾c 3, b¾c n nghiên cúu khơng gian tuyen tính S3(π), Sm(π) Trên só nghiên cúu hàm spline lu¾n văn trình bày vi¾c sú dung hàm spline v vắn dung phng phỏp spline collocatin giỏi mđt lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, phương trình vi tích phân Fredholm, đánh giá toc đ hđi tu Luắn cng nờu ỳng dung mỏy tính vào tính tốn nghi¾m sai so cna nghi¾m gan tai m®t so điem cu the Vói pham vi lu¾n văn thòi gian han che, vi¾c úng dung phương pháp đe giái quyet tốn đ¾t thnc te, khoa hoc tính tốn giái lóp phương trình tốn tú can đưoc nghiên cúu sâu đe úng dung hi¾u Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (2005), Giái tích so, Nhà xuat bán Đai hoc quoc gia, Hà N®i [2] Nguyen Minh Chương, Nguyen Văn Khái, Khuat Văn Ninh, Nguyen Văn Tuan, Nguyen Tưòng (2009), Giái tích so, Nhà xuat bán Giáo Duc [3] Nguyen Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuat Văn Ninh (1992), Giái xap xs phương trình tốn tú, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thuắt, H Nđi [4] Nguyen Phu Hy (2006), Giỏi tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thu¾t, Hà N®i [5] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc Giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc quoc gia, Hà Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [6] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Van Tuan (1995),”Collocation methods for Fredholm – Volterra integro – differential equations of second order”, Acta Mathematica Vietnamica, (No 1), 85 – 98 [7] Nguyen Van Tuan (1996), "Spline collocation methods for Neumann problem Mathematics, (No 1) for elliptic equations”, Vietnam J of 68 [8] Christina Christara and Guohong Liu (2008), "Quartic spline collocation for second-order boundary value problems", University of Toronto [9] P.M Prenter ( 1975), Splines and Variational methods ... hàm spline, phương pháp spline col- location, úng dung phương pháp spline collocation giái m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp. .. lu¾n văn Chương Phương pháp spline collocation Trình bày h¾ thong bán nhat ve hàm spline, phương pháp spline collocation Minh hoa phương pháp cho m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao... Phương pháp spline collocation m®t so Úng ding.” Mnc đích nghiên cNu Tong hop kien thúc ve phương pháp spline collocation Úng dung phương pháp đe giái gan m®t so lóp phương trình vi phân, phương