TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2
NGUYEN VAN THUONG
LUQC DO XAP XỈ PHƯƠNG TRÌNH
TOAN TU VA MOT SO UNG DUNG Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mãsơ: 6046 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYÊN VĂN KHÁI
Trang 2LOI CAM ON
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải,
người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
làm luận văn
Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Hưng Yên, Trường
THPT Yên Mỹ, gia đình, bạn bẻ cùng học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác
giả hoàn thành tốt luận văn
Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả
Trang 3LOI CAM DOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quá khoa học của các
nhà khoa học và tham khảo các tài liệu, đặc biệt là tài liệu “ Phương trình sai
phân và một số ứng dụng” của nhóm tác giả Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu,
Phan Văn Hạp với sự trân trọng biết ơn
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Trang 4MUC LUC
Lời cảm ơn -.- ‹ cc cc nọ nọ ni Ki nh E8 2 Lời cam đoan - cc cm nh cn 3
Mổỡ đầu Ác TH HH HH ng ngư 5
Chương 1 KIÊN THỨC CHUẢN BỊ 7
1.1 Không gian Banach -c se cà sàn 7
1.2 Phương trình vi phân cấp 2 ccc c2 14
1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 cccccS++22222sce2 16 1.4 Phương trình sai phân -c << << << se 27
1.5 Giới thiệu về phần mềm Maple - << ⁄ << 55555 <555<55s 33 1.6 Các lệnh lập trình cơ bản - << s++ 38 Chương 2 LƯỢC ĐÒ XÁP XỈÍ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ 43
2.1 Một số khái niệm cơ bản che 43
Trang 5MO DAU
1 Lý do chọn đề tài
Phương pháp sai phân là một phương pháp cơ bản của toán học, được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực của toán học Bản chất phương pháp này là đưa bài toán cần nghiên cứu ( thường là phức tạp) về một dãy các bài toán rời rạc ( thường là đơn giản hơn)
Trong quá trình sai phân hoá (rời rạc hoá) bài toán liên tục, một số vấn
đề nảy sinh có ý nghĩa sâu sắc: điều kiện xấp xi, điều kiện ổn định và khái
niệm hội tụ
Với mong muốn tìm hiểu bản chất phương pháp sai phân và bước đầu nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp này, tôi mạnh dạn nhận nghiên
cứu luận văn tốt nghiệp “ LƯỢC ĐỎ XÁP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TU
VÀ MỘT SÓ ỨNG DỤNG”
2 Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hoá một số vấn đề xấp xi phương trình toán tử Nêu được một số ứng dụng với phần mềm chạy trên Maple 3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử, điều kiện đủ để bảo đảm cho một lược đồ xắp xi phương trình toán tử hội tụ và bài toán ứng dụng 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp sai phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ các phương trình toán tử và ứng dụng của nó
5 Phương pháp nghiên cứu
Trang 7Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI 1.1 Khéng gian Banach 1.1.1 không gian Banach Định nghĩa 1.1 Xé/ một tập hợp X zZ cùng với ánh xạ
d: X x X —R thỏa mãn các điều kiện: a) d(x,y) >0 Vx,y eX; b) đ(x, y) =0 © x=y;
co) đ(x y) = d(y,x) Vx,yeX;
d) d(x, y) S d(x, z) + d(z, y) Vx, y,z EX
Khi đó tập hop X cung voi d la một khéng gian metric va ky hiéu la
(X, d) hoặc đơn giản X nếu không sợ nhằm; và ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách
Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric X và dãy các phân tử x„ e X Khi đó
x* được goi la gidi han cua day { Xn }nen nếu lim đ(x„, x*) = 0 và kí hiệu
n->%
lim x„ = x*
Dinh nghia 1.3 Day { x, } —X được gọi là dãy Cauchy nếu V£> Ú, Nụ sao
cho Vn, m >Ng thì đ( X„ X„ ) < £
Định nghĩa 1.4 Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy Cauehy đều
có một điểm giới hạn ae Ä được goi là không gian metric đủ
Định nghĩa 1.5 Cho tập hợp X 5Ø cùng với phép toán hai ngôi viết theo lỗi cộng (+) và một ánh xạ p: R x X ->X với mỗi k e R và mỗi x EX thi phan
tử @(k, x) được gọi là tích ngoài của số k với phân tử x và được kỉ hiệu là k x
Giả sứ rằng các điều kiện sau được thỏa mẫn:
1, (X, +) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa 6 nghĩa là:
Trang 8c) Trong X ton tai phân tử Ø sao cho x+ 0 =O+x=x Vx EX: d) Với mỗi phần tử x e X, tôn tại phan tứ đối (- x) sao cho x†+(-x)=Ø 2, Tích ngoài có tính chất: 4)l.x=x Vx €X; b)k(lx) =(klx Vk,lœ<R Vx eX; c) Giữa tích ngồi và phép tốn hai ngôi có luật phân phối: ÿ (k+*lx =kx+lx VkleR VxeX; li)k(xt+y)=kxt+ky Vk ER Vx, y €X
Khi đó X là một không gian tuyến tính trên § và mỗi phần tử x X được gọi là một vecto Trong nhiều trường hợp không gian tuyến tính trên ® cũng được gọi là không gian vecto trén R
Định nghĩa 1.6 Giá sứ X là một không gian tuyến tính trên R Ảnh xạ
||| : XR xac dinh trén X, lấy giá trị trên tập số thực | x | ER Vx EX thoa mãn các điều kiện: a) II 20 Vx EX; b) ||x|=0 ex =0; ø Jx+z|<lzl*l»|L vx» =%: 4 |^x[F|A||x|[L y4 <R vx ex:
được gọi là một chuẩn trên X
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn | : | được gọi là một không gian
tuyến tính định chuẩn
Trong không gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa hàm
Trang 9d(x, y)=|x-y|]
Khi đó X là một không gian metric với khoảng cách đ nêu trên
Nếu với metric đó, X là không gian đủ thì X được gọi là không gian Banach
Ví dụ 1.1: Xét C;;¡; các ham số liên tục trên đoạn /0, 7J Với x), vy) € Cor
va k e R ta định nghĩa:
& +) =x() ty) Vt eƒ0, 1];
(x)Œ) =k.x(0) Vt e0, Ij
Khi đó Cụ, cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính
trên R Với x e C„„;, dat |x|] = max | x()|_ thì |.| là một chuẩn trên Cø„; và có thể chứng minh rằng C;,¡; cùng với chuẩn nêu trên là một không gian
Banach
1.1.2 Toán tử tuyễn tính trong không gian Banach
Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian vecto bat ky X và Y trên R Một ánh xạ A: XY goi la m6t anh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
a) A(x; + Xx) = Áxịi † Áx; với mọi xị, X; 6€ X;
b) A(œx) = œAx với mọi x e X với mọi 86 a
Ở đây ta viết 4 x thay cho A(x) dé chi phan tt ứng với x trong ánh xạ 4 Nếu Y = X thì ta cũng nói 4 là một toán tử tuyến tính trong X
Định nghĩa 1.8 Giá sử X, Y là hai không gian định chuẩn Toán tử A từ X vào
Y gọi là liên tục nếu xạ —>xo luôn luôn kéo theo Á x„ >A Xo
Toán tử 4 từ X vào Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số
K> 0sao cho
|Ax|<K|x vx ex
Chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong Y, còn chuẩn bên phải là chuẩn
Trang 10Dinh lý 1.1 M6t todn tir tuyén tinh A tir X vao Y là liên tục khi và chỉ khi nó
bi chan
Chứng mình Giả sử toán tử 4 liên tục Ta chứng minh có một hằng số K sao cho |4x|<K với mọi x mà || x =1
Thật vậy, giả sử điều ngược lại tức là: (Vn)(3x„)||X„ |=l, |Ax,|>K | Ax, =———`>] n Xn ys ` ‘ Dat x,’ = 7 thi x,’ 0 va | 4x, _|| 4%, n
Vậy 4 x' không tiến tới phần tử Ø e Y trái với giả thiết 44 liên tục
Từ đó tồn tại số K với tính chất trên a lñi' R l4xÏ_„ , Với mọi x Z0 ta có =1, cho nên S£É do dé Ix| >| |4 x|< x||: Ngược lại, giả sử tồn tai hằng số K va x, > xạ Ta có || A x, - Ax, | =|] AC, -x) | < Kx, -x | 0 Vậy A liên tục tại xọ
Định nghĩa 1.9 Số K > 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chuẩn
Trang 11tính định chuẩn Toán tử 4 có nghịch dao khi va chi khi KerA= {6}, ttre là
phương trình 4 x= 9 chỉ có một nghiệm duy nhất x = 9
Định lí 1.2 Nếu một toán tử tuyến tính liên tục A: X-> Y có nghịch đáo A'
liên tục thì
vxeX |4x|> m|x|| (1.1)
với mọi số ms ay ngược lại nếu có m > 0 nghiệm đúng (1.1) thi A! ton
tại, liên tục và có | A! | < +
Chứng mình Nếu 4ˆ tồn tại, liên tục thì nó có chuẩn | 4" | và
| A! y| < | A! |.» | với mọi y e Im A, hay || x | < a" | Ax | voi Vx EX,
cho nén ta co (1.1) với mọi <
J1
Ngược lại, nếu có (1.1) với m > 0 thì 4 x = 0 kéo theo 0 > m|| x || tức là
x= 0 Cho nên 4” tồn tại và khi ấy (1.1) có thể viết YyeImA | y||> ml" y|
1 `
hay |4"' y| < —l||- Chimg t6 4 bi chin do đó nó liên tục đồng thời
I2'|<z m
1.1.3 Một số chuẩn thường gặp
Định nghĩa 1.10 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R và |.|, |.|, là
hai chuẩn cùng xác định trên X Khi đó 2 chuẩn này được gọi là tương đương
nếu tôn tại hai số m, M > 0 sao cho
m||x|,<|x;[<w|x|, vex,
Trang 12IIS
Dễ thấy hàm chuẩn thỏa mãn các tiên đề về chuẩn
Thật vậy: Nếu x#0 thì 3x, # 0, khi đó || x ||>0, nếu x= 0 thì xị=0(= 1,2, , n) khi đó |x|=0 Hơn nữa với Vø e R ta có: Izxl=,J2œ»3 =|z| 3x =|zllxl: Với mọi x =4, x;, , X„) và ÿ=(V\,Đ;, ,V„)€ Ñ” ta có: | x+y |’ => (x, +y,) =>? +2) xy, +Wy? i=l =I i=l =I -[j&z*j#z)= is
Từ đó suy ra | x+y | Š | x |*|| y |: Chuẩn trên gọi là chuan Euclid trong R”
Ngoài chuẩn Euclid trên không gian vecto ®”, trong luận văn này còn dùng hai chuẩn sau:
1
l< 2
Isl {dor | x | = max |x, | 6 l<i<n
Cac |le||, val|\ ||, goi la chuan hép va chuan cau
Định lí 1.3 Hơi chuẩn tùy ý trên R" là tương đương
Trang 13n chuan Euclid xac định bởi |x| =, vx néu X = (X,,x; ,x„) € R”, Giả sử isl ©¡,€;, ,€„ là cơ sở chính tặc của ®" Khi đó phân tử x = (¡,x; ,x„)€ 8” có thể viết dưới dạng *= È›%;, i=l p(x) = [Ss «| < Ys [ney s [fea DL? = Gf | " €=.|Ð)[pte)Ÿ i=l Ta co: trong đó
Gọi S=[xeÑ”:||x||=1} đặt # = inŸ p(x) ta chứng minh ơ > 0
Thật vậy, theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại một dãy { xX, } C Ssao cho lim p(Œ%,)= # Rõ ràng { xX, 1, là bi chan trong R”, do đó tồn tại một
day con { X;, \ của day { X, } sao cho la, } hội tụ theo chuẩn || đến phần
Trang 14[t]** 1 1 |x|] < —p@) = Cp) voi C) =— a a vi thé hay
Vậy chuẩn P tương đương với chuẩn Euclid ||.|
1.1.4 Sự hội tụ trong không gian Banach
Định lí 1.4 Trong không gian Banach X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ va ta co © wo 3,x.|<2.|z.| (12) k=l k=l Chứng mình với n > m, | 5, —S,, |=| 1¬ |< | Xia + +| X„ |
cho nên chuỗi || x, |+||x; |+||x; |+ - hội tụ, vậy dãy ý S, ¿ là cơ bản vì X là không gian Banach nên dãy ý S„ ¿ phải có giới hạn, nghĩa là chuỗi
Trang 15Sau đây ta quan tâm đến các phương trình (1.3) có thể giải được đối với y”:
=f(% yy) (1.4)
trong đó ƒ là hàm của các biến x, y, y”
1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình: y” =f(x, y, y’)
Nếu f(x, y, y’) lién tuc trong miền Ð nào đó trong ®” và néu (xp, yo, y’o) 1a một
điểm thuộc D thi trong một lân cận nào đó của điểm x = xạ tồn tại ít nhất một
nghiệm y = y(x) của phương trình (1.4) thỏa mãn các điều kiện:
Viyay, VOY yay, =P (1.5)
of of
wa x,y,y'), aye *; y› y") cũng liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất 1.2.2 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là hàm số y=øØ(+, C¿, C;) trong
đó C¿, C; là những hằng số tùy ý thỏa mãn (1.4) Với mọi (ø, yø y2) e Ð ở
đó các điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn có thê tìm được các giá trị xác định C; = C,’, Œ; = Cc,’ sao cho ham s6
y = x, C/’, C;”) thỏa mãn điều kiện:
Viy=x, = Yo *Ìy=y, =y?
Nghiệm riêng của (1.4) là hàm số y = ø(x, C;', C;”) mà ta có được bằng
cách cho C¿, C; trong nghiệm tổng quát hai giá trị C¡', C;” thỏa mãn điều kiện (1.5)
Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) dưới
dang tuong minh y = g(x, C;, C;) mà tìm được một hệ thức có dạng
D(x, v,C;, C;) = 0 thỏa mãn phương trình đã cho Hệ thức +, y, C;, C;) = 0
Trang 16tích phân tổng quát của nó Khi đó Ø, y,C¡', C;”) = 0 xác định nghiệm riêng
của phương trình và hệ thức đó được gọi là tích phân riêng, trong đó C? và
C? thỏa mãn điều kiện ban đầu
Viyaxy =xy YOY lynx, YO
1.3 Phương trình vi phân tuyến tinh cấp 2
Định nghĩa 1.12 Phương trình vi phân tuyến tinh cấp 2 là phương trình vi phân có dạng
y”+ p4)y`+ q)y =/ffx) (1.6)
trong do p(x), q(x), f (x) là những hàm số liên tục cho trước, y là hàm phải tìm, Nếu ƒ{x) = 0 phương trình được gọi là thuẫn nhất, f(x)z0 phương trình
được gọi là không thuẫn nhất
Ví dụ 1.2:y” + (2x + Dy’ + (x + 1)y = x- 5 là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với px) = 2x + 1, q&) =x” + 1,ƒ() =x - 5
1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có đạng
y”+ p(%)y` + q()y = 0 (1.7)
Dinh li 1.5 Neu y;)(x) va yo(x) la hai nghiém cua phiong trinh (1.7) thi y=C¡ y6) + C y›(x) trong đó C¡ và C; là hai hằng số cũng là nghiệm của phương trình đó Chứng mình Vì y¡(x) và y; (x) là hai nghiệm của phương trình (1.7) nên y+ pay’ + q(x) =0 +”; †p(%)y5 + q6) = 0 Nhân phương trình trên với C¡, nhân phương trình dưới với C; rồi cộng lại ta được
(C¡ yị + C; y2)” + p(X)(C¡ vị + C; y2)” + q4)(C¡ yị + C2 yz) = 0
Trang 17Dinh nghia 1.13 Hai hàm số y,(x), y›(x) được gọi là độc lập tuyến tính
: ;¿ J2 \X 5 l
trên đoạn [a, b] néu ti sd 50) khác hàng số trên đoạn đó Trong trường
1
hợp trải lại, hai hàm số ấy được gọi là phụ thuộc tuyến tính Vi du 1.3: Hai ham sé sin x và cos x độc lập tuyến tính trên # vì sin x = tan X khác hăng số trên R cos x > LẠ x xX oy x ^ k z ` 2£ 2
Hai hàm sô 2£` và 7e' phụ thuộc tuyên tính vì: 7a T7
Định lý 1.6 Néu y,(%) và y›(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình vi phân tuyến tinh thuần nhất (1.7) thì y = C, y)(x) + Cr y2(x) là nghiệm
tổng quát của phương trình với Cụ, C; là hai hằng số tùy ÿ
Ví dụ 1.4: Phương trình y” + y = 0 có hai nghiém riéng y, = cos x, y) = sin x
là hai nghiệm độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
y =C, cos x + C; sin x với C¡, C; là hai hằng số tùy ý
Định lí sau đây cho ta cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến
tính thuần nhất với hệ số biến thiên nếu biết một nghiệm riêng khác không của
nó
Định lí 1.7 Néu đã biết một nghiệm riêng y¡()Z°0 của phương trình vi phân tuyển tính thuần nhất (1.7) ta có thể tìm được một nghiệm riêng y›(x) của phương trình đó độc lập tuyến tính với y;(x) có dạng y›(x) = y¡(x).u@
Chứng mình Đặt y = y)(x).u(x) Ta can tim u(x) sao cho y thoa man phuong
trinh (1.7) ta co:
yayrutyu;
y”=y”;u+2yu + yị¡u” Thế vào phương trình (1.7) ta được
Trang 18Nhưng y”, + py’; + gy: = 0, vi y; 1a một nghiệm của (1.7)
Vậy ta được phương trình cấp 2 đối với 1, khuyết uv:
yiu” + (2y) † pyj)M`= 0,
Đặt ° = v ta được phương trình cấp 1 đối với v yịv°+(2y + py¡) ` = 0
hay
dv
w_—_2V¡ yy, TP de
Lấy tích phân 2 về ta được:
Iniy| = -2In| yi) = | peedde = -2 nl ys | + ø69 + lại ¡| et > yv=C 2 =C g(x), voi g(x) = 1 Do do et) yr , u=C, |ze dx = C;G(x) + C; trong d6 G(x) là một nguyên ham cua g(x) Vay
yv=[CGX) + Cr}y1 = Cry) GX) + Cry)
Trang 19Thé vao phuong trinh da cho ta duge (1-x)(2w°+ xu”)+2x(u+xu)-2xu =0 hay w”x(l- x) +2u'=0 Dat u’ = v ta co , 2 _ dv_ _2dx vx(l-x)+2v=0> vox Lay tích phân hai về ta được J? =2| (f+ 5 dx là" > In| v| =-2 In| x| + In| 1-x° | + In| K, | _ 2 = " = x x trong đó K; là hang số tùy ý Chọn K; = -7 ta được y = ï- Š, do đó đun dx x =uw=x+ T+K, x 1 2
Chon K> = 0 taduge u =x + x vay y=xu=x +1
Hai nghiém y, =x, y) =x’ + / la déc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của phương trình là:
yH=C)xt+ C(x t+)
trong d6 C;, C; là hai hằng số tùy ý
1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tỉnh cấp 2 không thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có dạng
Trang 20Định lí 1.8 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.8) bang
tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.8) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất
Chứng mình Thật vậy, gọi y la nghiém téng quat cua phuong trinh (1.7) Yla một nghiệm riêng nào đó cua phương trình (1.8)
Đặty= y + Ytac6y'= ÿy '+Y, yrayrt Y” Thế vào phương trình (1.8) ta được:
y”+p@)y'+ q6 y= y”+Y” +p@)(y '+*Ÿ) +4@)(y +) =[¥ "+ p(x) ¥ "+ q6)y] + [Y” + pO@Y’ + q@)¥]
Theo giả thiết:
”+p(@)y "+ g(x)y =0;
Y" + pQ@Y’ + q)¥ = f(x)
Do do: y”+p() y`* q4) y =ƒ)
Vậy y = y+Ƒ cũng là nghiệm của phương trinh (1.8) Vi y phu thudc
hai hằng số tùy ý nên y =y+ Y cũng phụ thuộc hai hằng số tùy ý, do đó nó là
nghiệm tổng quát phương trình (1.8) Dinh lí 1.9 ( Nguyên lý chẳng chất nghiệm)
Cho phương trình: y” + p(x)y' + q(y =/@) + Ø9) Nếu }¡(*) là một
nghiệm riêng của phương trình y”+ p()y` + q(x)y = fi(); y›() là một nghiệm riêng của phương trình y’’+ p(x)y’ + qQ)y = fox) thì y = yi(x) + y2(x)
Trang 211.3.3.Phương trình vỉ phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi 1.3.3.1 Phương trình thuần nhất Định nghĩa 1.14 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi thuần nhất là phương trình có dạng: y”+py`+qy=0 (1.9) trong do p, q là hai hệ số hằng số
Cách giải: Để tìm nghiệm tổng quát của nó ta tìm 2 nghiệm riêng độc lập
tuyến tính Ta tìm nghiệm riêng của nó đưới dạng
y=" (1.10)
trong đó & là một hằng số nào đó
Ta có y' = ke", y” = k”e*, thế vào phương trình (1.9) được
e S8 + pk + q) = Ú
Vie™ Z0, ta có R + pk + ạ =0 (1.11)
Vậy nếu & thỏa mãn phương trình (1.11) thi ham sé y = e* 1a mét nghiém
riêng của phương trình (1.9) Phương trình (1.11) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1.9)
Xét ba trường hợp sau:
Truong hop |: Phương trình đặc trưng (1.11) có hai nghiệm thực phân biệt k; và k; khi ấy phương trình (1.9) có hai nghiệm
Vị — „kr&)x khác hằng số Do đó
2
Hai nghiệm này độc lập tuyến tính vì
Trang 22Ta sẽ tìm nghiệm riêng y; độc lập tuyến tính với y¡ dưới dạng
kx
V2 = Vp u(x) = uae Ta co:
» „ KiX , khx 2 kix yy =u"e +2ku’e +kfue Thé vao phuong trinh (1.9) ta duoc
kạx >
ee [u” + (2k, + p)u’ + (ky + pk; + qu] = 0
Vik, la nghiém kép của phương trình đặc trưng nên ta có
ki + pki +q = 0, ky =~ 5 hay 2k + p = 0
kx :
Do đó e ˆ w” = 0 hay #” = 0 suy ra = 4x + B trong đó 4, 8 là những hăng số tùy ý Chọn 4 =1, B8 = 0 ta được ¡ =x vay kix V(x) =xe Như vậy hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.9) là: kix kạx y(X) =e , W(x) =xe 2 kix Vậy nghiệm tông quát của (1.9) la: y =e ' (C¡ + C; x) Trường hợp 3: #¡, k; là các số phức.Giả sử kị =ữŒ+i1Ø k;=ø-¡i8 các nghiệm riêng tương ứng của phương trình (1.9) là: vị = e8 ụ, = g/910X
Đó là những hàm số phức với đối số thực Đề tìm những nghiệm riêng là hàm
Trang 23y, =e” cosBx + ie™ sinB x; yo = e™ cosBx - ie sinB x
Các hàm số thực cos x, ‘yp =e% sin x cũng là những nghiệm riêng
của phương trình (1.9)
Mặt khác, dễ thấy rằng các hàm số e” eosx và e“” sinx độc lập tuyến
tính với nhau trên toàn trục số Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân (1.9) là:
y=Ce” cos8x + C; e” sin8x
hay y =e (C; cosBx + Cr sinB x)
Vi du 1.6 : Tìm nghiệm của phương trình y”+ 2y” - 3 y = 0 thỏa mãn các điều
kiện
y|:=ø =9, y†c=o = 1
Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là: #“ + 2& - 3 = 0 phương
trình có hai nghiệm phân biệt k¡ = 7, k; = -3
Vậy nghiệm tông quát của phương trình đã cho là: y=CŒ,ểZ+CŒ;c” do đó yˆ=C,e-3CŒ;e* Từ các điều kiện ban đầu ta có: C,+C,=0 C,—3C, = Giải hệ trên ta được C= 4 C2 =~ Vay nghiém riêng phải tìm là Ty 1 x y= „rác Ví dụ 1.7: Giải phương trình : y” + 2y” + 4y = 0
Trang 24Vậy nghiệm tổng quát là: y = £“(C; + Œ; x) với C;, C; la hai hang sé tùy ý Ví dụ 1.8: Cho phương trình y”+2y'+5y=0 phương trình đặc trưng tương ứng kh +2k+5=0 có các nghệm phức #; = -1 + 2i; ky =-1 - 2i Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y= € (Ctcos2x + C› sin2x)
1.3.3.2 Phương trình không thuần nhất
Định nghĩa 1.15 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đối không thuần nhất là phương trình có dạng :
y” + py’ + qv = fa) (1.12)
trong do p, q là những hệ số hằng số
Cách giải: Nghiệm tổng quát của (1.12) bằng nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng (1.9) cộng với nghiệm riêng của (1.12)
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu cách tìm nghiệm riêng của phương trình
(1.12) trong trường hợp:
f(x)=e"P (x) (1.13)
trong đó ;(+) là một đa thức bậc ø của x và ø là một hằng SỐ
Trang 25Thé y, y’, y” vao (1.12) và rút gọn lại ta được
a’ O, (x)e** +2aQ', (x)e” +Ø", (x)e” +pơO, (x)e” + pQ', (x)e” + +qe"O (x)=e” P (x)
> & [0",(x) + (2a+ p) Ox) + (0 + pat q) On x)] =e Pr x)
> 0", (x) + 2a p)Q'(x) + (ob + pat VOn(x) =P, x) (1.15)
Nếu ø không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng ( bao gồm cả trường hợp phương trình đặc trưng vô nghiệm) thì ø” + pø + ạ #0 Do đó về trái của (1.15) cũng là một đa thức bậc ø cùng với đa thức ở về phải Đồng
nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ở hai về của (1.15) ta tìm được các
hệ số của đa thức O,(x) (n + 7 hệ số từ ú + 7 phương trình)
Phương pháp xác định hệ số của Ø„(x) như trên được gọi là phương pháp
hệ số bắt định
- Nếu ø là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì
đ`+pơz+q= 0 và 2z+p Z0
Trong trường hợp này đa thức ở về trái có bậc (ø - ï) - Nếu ø là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì
3 +pz+q=0 và 2œ+p=0
Trong trường hợp này đa thức ở về trái có bậc là (ø - 2)
Muốn cho hàm ở đạng ( 1.14) nghiệm đúng phương trình (1.12) thì ta
phải nâng bậc của đa thức Ó„(x) lên một hay hai bậc tủy theo ø là nghiệm đơn
hay nghiệm kép của phương trình đặc trưng
+ Trường hợp 1: Nếu ø là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng phải tìm của ( 1.12) có dạng:
y=xe™ 0,(x)
+ Trường hợp 2: Nếu ø là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm
Trang 26vax e® 0,6 Trong đó Ó„(x) là đa thức bậc ø mà các hệ số của nó ta có thể tìm bằng phương pháp hệ số bắt định ở trên Vi du 1.9: Hãy tìm một nghiệm riêng của phương trình y”-2y'+y=1l+2x Giải: phương trình đặc trưng ke -2k+1=0
Trong trường hợp này ø = 0 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: y=e*(Ax+B)=Ax+B thế y, y’, y” vao phuong trình đã cho ta được Ax+B-2A=2xt1 A=2 A=2 2S > B-2A=1 B=5
Vậy nghiệm riêng cua phuong trinh da cho la y = 2x + 5 Vi dụ 1.10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y”-3y'+ 2y =ể(4 + 3x) Giải: Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng :
K -3k+2=0
giải phương trình đặc trưng ta được k, = 7, k = 2 Do do nghiém tong quat của phương trình thuần nhất tương ứng của phương trình đã cho là:
y=Cye + Cre”
Mặt khác ø = 7 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên một nghiệm
riêng của phương trình đã cho có dạng
y =x &(Ax + B) = &(Ax’ + Bx)
=> y’ =e (Ax? + Bx) + 26 (2Ax + B) + 2A
Trang 27e/Ax” + (B + 4A)x + 2(B + A)] - 3£/Ax” + (B + 2A)x + BỊ + 2£'(Ax”+Bx) = =(4 + 3x) => Ax’ + (B+ 4A)x + 2(B + A) - 3Ax° - 3(B + 2A)x - 3B + 2(AX’ + Bx) = =4+ 3x => (Ax? + 24x’ - 34x’) + (B+ 44 -3B-6A + 2B)x + 2B + 24-3B= =4 + 3x => -2Ax + (24 - B) = 4 + 3x 3 ba A=-— 24-B=4 a B=-7 2 Vậy nghệm riêng của phương trình không thuần nhất là y= ec3# - 7x)
Nghiệm tông quát của phương trình đã cho là:
y = Cie" + Coe - Bx + 7x je
1.4 Phương trình sai phân
1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính
Định nghĩa 1.16 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x„ là một biểu
thức tuyến tính giữa các giá tri cua ham x, tai các điểm khác nhau
Li Xh =A0 Xnvk + Ai Anse + et AEX = fre (1.16) Trong d6 L, la ki hiéu toan tir tuyén tính tác dụng lên hàm x„, xác định trên lưới có bước lưới h: ao, a, , Ar VOI ag #0, a #0 la cac hang số hoặc các
hàm số của ø, được gọi là các hệ số của phương trình sai phan; f, la ham sé
của 7, được gọi là về phải; x„ là giá trị cần tìm được gọi là an
Phương trình (1.16) được gọi là phương trình sai phan tuyén tinh cap &
(còn gọi là bậc #) vì để tính được tất cả các giá trị x„ ta phải cho trước k giá trị
Trang 28Định nghia 1.17 Néu f, = 0 thì (1.16) được gọi là phương trình sai phân tuyến tỉnh thuần nhất Nếu ƒ, < 0 thì (1.16) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Nếu ƒ, =0 va ag, a), « , Ay la cdc hang số, Ap ~ 0; a, £0 thi phương trình ( 1.16) trở thành Ln Xn = Ao Xn+k + A Xpskep + t+ Ap Xn = 0; (1.17) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tinh thuẫn nhất cấp k với các hệ số hằng số
Định nghĩa 1.18 Hàm số x„ biến n thỏa mãn (1.16) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.16)
Hàm số # phụ thuộc k tham số thỏa mãn phương trình (1.17) được gọi là nghiệm tổng quát của (1.17) nếu với mọi tập giá trị ban đầu xp, x,, , x¿ ta đều
xác định được duy nhất các tham số Cy, C¿ , Œ để nghiệm trở thành
nghiệm riéng cua (1.17) tức là vừa thỏa mãn (1.17) vua thỏa mãn
Ấg =Xg;Xi EM Key =H,
1.4.2 Tuyến tính hóa
Trong thực tế ta có thé gặp rất nhiều phương trình sai phân không tuyến
tính, tuy nhiên để thuận lợi trong việc tìm công thức nghiệm thì một số
phương trình sai phân không tuyến tính, ta có thê biến đôi về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa
Giả sử phương trình sai phân x„ = Ø( X;-¡ X„.z , X„+ ) VỚI Các giá trị ban
dau x)= @), x; = đ„ , x„ = œ„ là tuyến tính hóa được, khi đó điều kiện cần là
tồn tại các số a„, d„ , da để x„ = ai „+ đa X„ + đyXyk
Trang 29Xeet = D(A, Ut yo, GH)
Xpe2 = O(Xtr Ay, )
Xe = P(r ty X22 y 00, Ak)
thay x), X2, , x¿ Và các giá trỊ X¿:;, X;:;, , xz„ vừa tìm được vào biêu thức x„
ta được hệ phương trình đại số tuyến tính
Xp) = AX, +4,X,_) + +, X, Xp =X, 4, FOX, + 4 A,X,
Xyp =AXy, 1 FAX, 4 H+ AX,
Nếu hệ trên có nghiệm duy nhất thì
Xn = Ap Xn-1 Ð dạ Xu; đ Tay Xa
là đạng tuyến tính hóa của phương trình Xn= OP (Xn Xp-2 00 Xa-k )
1.4.3 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tinh
Trang 30[“ 4; a 4À | 1 0 0 0 | Va ma tran ¬ 01 0 | li 0 1 2) n+k+l Xp = — n+k-l xX; 2 = Vast ; 7= Xn Xo Khi đó phương trình (1.18) có thé đưa về dạng > > 3 Vn+1 =A Yn + fn (1.19) > z
với yạ cho trước Phương trình (1.19) được gọi là dạng chính tắc của phương
trình sai phân tuyến tính „
Trang 331.5 Một số kiến thức về lập trình trong Maple 1.5.1 Giới thiệu
Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng chu trình (procedure) Chung ta
có thể làm việc với Maple bằng hai chế độ khác nhau: Chế độ tương tác trực
tiếp thông qua việc nhập từng lệnh đơn lẻ ngay tại dấu nhắc lệnh của Maple
và nhận được ngay kết quả của lệnh đó Chế d6 chu trinh được thực hiện bang
cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào trong một chu
trình (procedure) duy nhất, sau đó ta chi cần gọi chu trình này và Maple tự
động thực hiện các lệnh có trong chu trình đó một cách tuần tự và sau đó trả
lại kết quả cuối cùng
Maple chứa một lượng rất lớn các hàm tạo sẵn đáp ứng cho những yêu cầu tính toán khác nhau trong nhiều lĩnh vực Các hàm này được lưu trữ trong
các gói chu trình (pzckage) và người sử dụng có thê dễ dàng gọi đến mỗi khi
cần thiết Tuy nhiên, người dùng Maple có thể tự tạo cho riêng mình những gói chu trình cũng như có thể trao đổi dùng chung những gói chu trình nào
đây, phục vụ cho công việc mang tính đặc thù riêng của mình
Các khái niệm cơ bản cần phải nắm vững để tạo ra một chu trình
(procedure) là:
Cấu trúc proe( end; cùng với các khai báo trong cấu trúc này (global, local, option, )
Các cấu trúc dữ liệu và các hàm có lién quan (day-sequence, tap hop-set, danh
sach-list, mang-array, bang-table)
Các hàm lập trình cơ bản (đã nêu ở trên) và các hàm liên quan đến việc xử lí
dit liéu (eval, evalf, subs, map, convert, )
1.5.2 Khai báo chu trình
Lời gọi khai bảo một chu trình:
Trang 34[local local_sequence] [global global_sequence] [options options_sequence] statements sequence, end;
Giải thích các khai báo:
parameter_name: Là một dãy các kí hiệu, ngăn cách nhau bởi các dấu
phẩy, chứa tên các tham biến truyền cho chu trình
local_sequence: Là một dãy các tên được khai báo là biến cục bộ trong
chu trình, nó chỉ có giá trị sử dụng trong phạm vi chu trình đang xét (/ocal được sử dụng đề khai báo cho các biến chỉ sử dụng bên trong một chu trình)
global_sequen: Dãy các tên biến toàn cục có giá trị sử dụng ngay cả bên ngoài chu trình
options_sequence: Day cac tuy chon cho một chu trình
statements_sequence: Day cac cau lệnh do người lập trình đưa vào
1.5.3 Tham biến
Tham bién (parameter) la cdc biến được đặt giữa hai dấu ngoặc trong
biểu thức proe( ) Tham biến được dùng đề nhận dữ liệu truyền cho chu trình
khi gọi chu trình đó Ví dụ ta có thể khai báo chu trình tính tổng của 2 số
[tong:=proc(x,y) x+y; end.] thi khi gọi chu trình này để tính tổng của hai số
10 và 5 ta phải truyền các dữ liệu này cho các tham biến (cho x nhận giá trị là 10, y nhận giá trị là 5), tức là tại dấu nhắc lệnh ta phải viết #ong(10, 5); và sau
khi thực hiện chu trình trả lại kết quả là 15
Tham biến có tính cục bộ: chúng chỉ được sử dụng bên trong chu trình đã
được khai báo, bên ngoài chu trình này chúng không mang ý nghĩa gì
Trang 351.5.4 Pham vi céc bién (biến toàn cục, biển cục bộ và tham biến)
Biến toàn cục:
Biến toàn cục được khai báo su £ừ khoá global trong khai báo chu trình
Biến toàn cục được khai báo bên trong một chu trình, nhưng có phạm vi
giá trị trong toàn bộ chương trình, tức là bên ngoài phạm vi của chu trình mà nó được khai báo trong đó
Biến cục bộ:
Biến cục bộ được khai báo sau từ khoá local trong khai báo chu trình Biến cục bộ chỉ có giá trị bên trong chu trình mà nó được khai báo
Ngoài chu trình này nó không mang ý nghĩa gì
Tham biến:
Cũng giống như biến cục bộ, các tham biến chỉ cô giá trị bên trong phạm vi của chu trình mà nó được khai báo Sau khi chu trình kết thúc, chúng không
còn gia tri
Tham biến còn được sử dụng để trả lại kết quả, như các ngôn ngữ lập
trình truyền thống Ngoài ra, do Maple có những hàm có khả năng trả lại
nhiều hơn một giá trị Ta có thé gdp các giá trị này vào một danh sách để trả lại như một phần tử
1.5.5 Định giá trên các biễn
Định giá tên hàm và tham biến:
Như đã đề cập trước đây, các tên biến trong một biểu thức được Maple
định giá trước khi thực hiện các phép tính trên chúng Đối với việc thực hiện
các hàm cũng tương tự như vậy Trước tiên là tên chu trình được định giá Sau đó lần lượt đến các đối số trong danh sách các đối số truyền cho chu trình
(được định giá từ trái sang phải) Nếu tên chu trình được định giá trỏ đến một chu trình, thì chu trình ấy được thực thi trên các đối số đã được định giá Tuy
Trang 36Định giá biến cục bộ và biến toàn cục:
Các biến cục bộ và tham biến truyền cho chu trình được định giá một cấp
(định giá một lần), còn các biến toàn cục thì được định giá hoàn toàn
(iHl evaluation) Hàm eval( ) được dùng đề ép định giá hoàn toàn cho biến
cục bộ và tham biến, và định giá một mức cho các biến toàn cục
1.5.6 Các chức năng khác
+Ì Muốn in ra màn hình các "vòng lệnh ẩn" ta sử dụng biến printlevel
Đây là cách đơn giản nhất để xem xét các quá trình thực hiện lệnh Khi
printlevel được gán giá trị âm thì không hiện gì cả, nếu được gán giá trị 0 thì chỉ có kết quả của các câu lệnh được hiện ra
-*| Dò từng lệnh trong chu trình:
trace(f)
trace(f,g,h, )
Tham số: Các hàm ƒ, ø, Ù, là các hàm cần chạy từng bước
Lénh trace cho in cách thức hiện từng lệnh của một chu trình ra màn
hình
Lệnh dò trace() hoạt động tương tự như khi ta gán cho biến printlevel
một số đủ lớn đề có thể hiện ra màn hình tất cả các câu lệnh cũng như điểm
vào và điển ra của hàm mà ta đang thực hiện
Trong suốt quá trình thực hiện, các điểm vào, các kết quả của các câu lệnh, các điểm ra của hàm cần dò được hiện ra màn hình Các tham biến được hiện ra ở điểm vào chu trình, giá trị trả lại của hàm được hiện ra ở điểm cuối chu trình
Chú ý: Không thể đò từng bước một số hàm có quy tắc định giá đặc biệt,
bao gồm: øssigned, eval, evalhƒ, evalƒ, evaÌn, traperror, seq, userinfo
Xem mã nguồn một chu trình:
Trang 37showstat(procName, statRange)
Tham số: proeName: Tên của chu trình cần hiển thị mã nguồn
SfatRange: Phạm vi các dòng lệnh cần được hiển thị (từ dòng nào đến
dòng nào)
Phần lớn các lệnh trong Maple đều được viết bằng ngôn ngữ Maple, do đó chúng ta có thể đọc được mã nguồn của những lệnh này Maple cung cấp ham showstat(Q để hiện đoạn chương trình là mã nguồn của các lệnh trên Nhờ có hàm này mà người học lập trình trên Maple có thể dễ dàng học được cách thức cũng như đặc trưng ngôn ngữ bằng cách nghiên cứu phương thức
mà các lệnh của Maple thực hiện (thông qua việc xem mã nguồn của chúng)
Ta có thể hiển thị một phần mã nguồn của các chu trình bằng cách định rõ phạm vi của các dòng cần thẻ hiện
Chúng ta cũng có thể sử dụng các hàm printQ va interface() dé doc ma nguồn của các hàm trong Maple Thông thường thì Maple không hiền thị phan thân của các chu trình đó nếu ta cho hiển thị chúng Muốn làm điều này, ta phải gọi lệnh interface( với tham số verbosepro =2 trước, sau đó dùng lệnh print thì ta có thê xem được thân của chu trình
i*l Chặn bắt lỗi: traperror(expr1, eXpF2 )
Tham số: éxpz1, expr2, là các biểu thức
Maple sử dụng biến lasterror để lưu thông báo lỗi của lỗi xảy ra mới
nhất trong quá trình tính toán Ta có thể sử dụng biến này giống như bất cứ biến nào khác trong Maple, cụ thê là ta có thể gán giá trị bất kì nào đó cho nó, tính toán trên biến này và ghi giá trị nó đang lưu trữ ra màn hình Tuy nhiên
khi xảy ra lỗi, Maple tự động gán cho biến này xâu kí tự thông báo lỗi mà hàm ERRORQ sẽ hiển thị ra màn hình
Trang 38lỗi nào đó trong một biểu thức trước khi lỗi đó được thông báo ra màn hình
Nếu có lỗi nào đó xảy ra trong lúc định giá trị hoặc đơn giản biểu thức, hàm
traperror() sé tra lai xu kí tự thông báo lỗi của lỗi đầu tiên gặp phải khi tinh toán biểu thức đó Nếu không có lỗi, hàm traperror(Q trả lại kết quả tính toán
biểu thức Mỗi lần gọi đến hàm traperror(Q, Maple tự động xoá di giá trị cũ
có trong bốn lần tính toán trước 1.6 Các lệnh lập trình cơ bản 1.6.1 Vòng lap While Cấu trúc cú pháp: While <điều kiện> do <dãy lệnh> od; Chức năng:
Vòng lặp w#¿/e cho phép lặp chuỗi các câu lệnh giữa đo và ođ khi mà điều kiện condition vẫn còn đúng (tức là biểu thức điều kiện cho giá trị true)
Điều kiện condirion được kiểm tra ngay tại đầu mỗi vòng lặp, nếu nó thỏa mãn (giá trị của nó là đúng) thì các câu lệnh bên trong được thực hiện, sau đó
lại tiếp tục kiểm tra điều kién condition cho đến khi điều kiện không còn thỏa
man nita.Vong lap while thuong được sử dụng khi số lần lặp một hay một
chuỗi biểu thức là không xác định rõ, đồng thời ta muốn các biểu thức đó cần
được lặp trong khi một điều kiện nào đó còn được thỏa mãn
Diéu kién condition trong vòng lặp phải là một biểu thức boolean, tức là
giá trị của nó chỉ có thê là đúng hoặc sai, nêu không thì sẽ sinh ra lỗi
Trong trường hợp muốn thoát ra khỏi vòng lặp ngay từ trong giữa vòng lặp, ta có thể thực hiện bằng cách dùng câu lệnh R#TURN, break hoặc quii
Chú ý rằng vòng lặp wile- do- od; không bắt buộc phải nằm trên nhiều
dòng lệnh nhưng người ta thường viết trên nhiều dòng đề câu lệnh dễ đọc và
dễ hiểu hơn
Trang 39mà điều kiện vẫn còn đúng 1.6.2 Vong lặp for Cấu trúc cú pháp: for name from start by change to finish do statement sequence od; Hoặc dạng phát biểu khác: for name in expression do statement sequence od; Chức năng:
Vong lap for duoc ding dé lặp một chuỗi các biểu thức được đặt giữa do va od, mdi lần lặp tưng ứng với một giá tri phan biét cua bién chi sé name đứng sau từ khoá /oz Ban dau, gid tri start được gán cho biến chỉ số Nếu giá tri cua bién name nho hon hay bang gid tri finish thì chuỗi lệnh nằm giữa đo
và ođ được thực hiện, sau đó biến name được gan giá trị tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó gid tri change (name:=name+change) Sau a6, bién name dugc so sanh voi finish để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có được tiếp tục nữa không Quá trình so sánh biến chỉ số name và thực hiện chuỗi
lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá trị của bién name 16n hơn gia tri finish
Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị vượt quá finish đầu tiên
Chú ý Nếu các từ khóa #om start hoặc by change bị bỏ qua thì mặc định from 1 va by 1 được dùng
Vòng lặp for- in- do- od thực hiện việc lặp với mỗi giá trị mà biến chỉ số
Trang 40dụng hiệu quả khi mà giá trị của biến name là một phần tử của một tập hợp
hoặc danh sách
Trong trường hợp muốn thoát khỏi từ giữa vòng lặp, ta có thể dùng các
cau lénh break, quit, RETURN giéng nhw trong vong lap while
1.6.3 Lénh diéu kién if
Cấu trúc cú pháp:
if condition then
statement sequence
| elif condition then statement sequence | | else statement sequence |
fi;
(Ghi chú: Các câu lệnh trong cặp dấu ngoặc đứng là các lệnh tuỳ chọn Thí dụ: biểu thức | s/a£emen | cho biết rằng s/4/emen¿ là một câu lệnh tuỳ chọn) Chức năng:
Nếu bạn muốn một dãy biểu thức được thực hiện khi điều kiện nào đó
được thoả mãn và một dãy biểu thức khác được thực hiện nếu trái lại thì có
thể dùng câu lệnh if then- else- fi Trong cau lénh trên, nếu điều kiện
condition 1a ding thi chuỗi biểu thức đứng sau /hen được thực hiện, nếu trái
lại thì điều kiện condition sau từ khoá elj sẽ được kiểm tra, nếu nó đúng thì
chuỗi lệnh tương ứng sau ¿hen được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các điều kiện condition déu không thỏa mãn, thì các biểu thức sau lệnh e/se được thực hiện
Lưu ý rằng cấu trúc lệnh (tuỳ chọn) eij £hen được lặp lại với số lần tuỳ ý
Từ khoá e/ là dạng viết tắt của else ¡/: