ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN, 5/2018 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang, Ban Giám Hiệu trường Trung Học Phổ Thơng Hiệp Hịa số Bắc Giang, tồn thể đồng nghiệp, người thân gia đình quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH LÝ iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Không gian Banach lồi 1.1.3 Không gian Banach trơn 1.1.4 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.2 Toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co ánh xạ không giãn 14 1.3 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 17 1.4 Giới hạn Banach 19 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 23 Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 28 2.1 Phương pháp lặp ẩn 28 2.2 Phương pháp lặp 35 Kết luận 43 iv Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vơ bé bậc cao t Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm toán ngồi nước Một tốn xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ không giãn Những kết cổ điển lĩnh vực phải kể đến phương pháp lặp Mann [9], phương pháp lặp Halpern [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết [10] Cho đến có nhiều phương pháp đưa dựa cải biên phương pháp cho lớp toán liên quan, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục đích luận văn trình bày lại phương pháp lặp tổng quát đề xuất Jung tài liệu [7] cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach khơng có tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp ứng dụng vào việc giải toán cực trị dạng tồn phương (xem [8]) tập lồi, đóng C (tập điểm bất động phép chiếu mêtric) Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co mạnh ánh xạ không giãn; giới hạn Banach Ngoài ra, chương luận văn giới thiệu số phương pháp giải toán điểm bất động với số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chương sau luận văn Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Jung [7] phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân không gian Banach 3 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn toán tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co, giả co mạnh ánh xạ không giãn Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 đề cập đến giới hạn Banach số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i, với x∗ ∈ E Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx, x∗ i để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E 4 Mệnh đề 1.1 [1] Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn * x nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất đẳng thức cho n → ∞, ta nhận hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục khơng gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục C, cho f (xn ) → ∞ kxn k → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} 5 Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } không bị chặn tồn dãy {xnk } {xn } cho kxnk k → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy {xnj } {xn } cho xnj * x0 ∈ C Vì f nửa liên tục tơpơ yếu nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do đó, m = f (x0 ) Mệnh đề chứng minh 1.1.2 Không gian Banach lồi Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Chú ý 1.3 Định nghĩa 1.2 phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có ktx + (1 − t)yk < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : kxk = 1} Mệnh đề 1.4 Giả sử C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach lồi chặt phản xạ E Khi đó, tập C = x ∈ C : kxk = inf{kyk : y ∈ C} gồm phần tử Chứng minh Đặt d = inf{kyk : y ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho kxn k → d, n → ∞ Từ tính bị chặn {xn } Mệnh đề 1.1, tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk * x Từ tính đóng yếu C (Mệnh đề 1.2), suy x ∈ C Do đó, từ tính nửa liên tục yếu chuẩn ta có kxk ≤ lim kxn k = d n→∞ ... luận văn giới thiệu số phương pháp giải toán điểm bất động với số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chương sau luận văn Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun... pháp cho lớp toán liên quan, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích luận văn trình bày lại phương pháp lặp tổng quát đề xuất Jung tài liệu [7] cho tốn tìm điểm