Những cản trở đối với sự thác triển ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - DƯƠNG THỊ THU HẰNG NHỮNG CẢN TRỞ ĐỐI VỚI SỰ THÁC TRIỂNÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ ÁNH XẠ PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên, năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - DƯƠNG THỊ THU HẰNG NHỮNG CẢN TRỞ ĐỐI VỚI SỰ THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Nguyên, năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi với hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2020 Tác giả luận văn Dương Thị Thu Hằng i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp em nhận nhiều giúp đỡ để hoàn tất luận văn Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô Nguyễn Thị Tuyết Mai, giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Xin gửi lời cảm ơn đến q thầy Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên , Viện Toán học trường Đại học Sư phạm Hà Nội người truyền đạt kiến thức quý báu cho em suốt thời gian học tập vừa qua Cuối cùng, em xin cảm ơn người thân, bạn bè ln bên động viên em hồn thành khóa học luận văn Trong luận, hẳn khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong muốn nhận nhiều đóng góp quý báu đến từ quý thầy cô, ban cố vấn bạn đọc để đề tài hoàn thiện Một lần nữa, xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Dương Thị Thu Hằng ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp phức 1.2 Miền Hartogs 1.3 Dòng đa xác định 1.4 Thác triển ánh xạ chỉnh hình 10 1.5 Thác triển ánh xạ phân hình 14 1.6 Vỏ cầu 15 1.7 Hàm đa điều hòa 15 1.8 Miền giả lồi chặt 16 Chương 2: Những cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ phân hình 17 2.1 Sự cản trở đường cong hữu tỉ thác triển ánh xạ chỉnh hình 17 2.2 Sự cản trở vỏ cầu thác triển ánh xạ chỉnh hình 23 2.3 Sự cản trở vỏ cầu thác triển ánh xạ phân hình 24 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 iii LỜI MỞ ĐẦU Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình bắt đầu sau: Kí hiệu: Hr   z , w  miền Hartogs 2  : z  r , w  z < 1, - r < w < ,  r  Định nghĩa 0.1 Đa tạp phức X gọi có tính chất thác triển chỉnh hình (phân hình) tồn ánh xạ chỉnh hình (phân hình) f : Hr  X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình (phân hình) f : 2  X ,  bao chỉnh hình H r Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Điều kiện cần đủ để đa tạp phức X có tính chất thác triển chỉnh hình (phân hình) gì? Câu hỏi mở hướng nghiên cứu giải tích phức năm cuối kỉ 20 Kiernan, Griffiths, Siu, … thu vài kết nghiên cứu theo hướng Ivashkovitch (trong [8] [9]) chứng minh rằng: đa tạp Kähler phức X có tính chất thác triển chỉnh hình X lồi phức không chứa đường cong hữu tỉ Chứng minh đa tạp Kähler compact có tính chất thác triển phân hình vấn đề không giải tiếng Ivashkovitch [10] nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình vào đa tạp phức mà có metric Hermit đa đóng Ví dụ, siêu mặt phức compact có metric Đồng thời, Ivashkovitch [8], mô tả cản trở việc thác triển ánh xạ chỉnh hình (phân hình) trường hợp X siêu mặt phức compact, tức đa tạp phức compact có số chiều phức Trong [8] ông sử dụng kĩ thuật kết Kodaira siêu mặt Kĩ thuật áp dụng trường hợp siêu mặt V ||0 Để khắc phục khó khăn này, Ivashkovitch đưa cách khác, dùng metric đa đóng „vỏ cầu‟ Nhờ kĩ thuật này, ông chứng minh “vỏ cầu” đường cong hữu tỉ cản trở thác triển kiểu Hartogs ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình Mục đích luận văn “Những cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình” nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết có hệ thống kết nghiên cứu Ivashkovitch [10] cản trở việc thác triển ánh xạ chỉnh hình (phân hình) Nội dung luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo cịn chia làm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm định nghĩa tính chất đa tạp phức, miền Hartogs, dòng đa xác định, đa tạp lồi phức, thác triển chỉnh hình, thác triển phân hình; bất đẳng thức Chern - Levine – Nirenberg vỏ cầu Chương 2: Trình bày cản trở vỏ cầu đường cong hữu tỉ thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức Giả sử X không gian tô pô Hausdorff Định nghĩa 1.1.1 Cặp (U , ) gọi đồ địa phương X , U tập mở X  : U  C n ánh xạ từ X vào C n , điều kiện sau thỏa mãn: i)  (U ) tập mở C n ii)  : U   (U ) đồng phôi Định nghĩa 1.1.2 Họ A = {(Ui ,i )}iI đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn: i) {Ui}iI phủ mở X ii) Với Ui ,U j mà Ui  U j  Ø , ánh xạ  j i 1 : i (Ui  U j )   j (Ui  U j ) ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.1.3 Xét họ atlas X Hai atlas A1 , A2 gọi tương đương A1  A2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ví dụ 1.1.4 + Cho D  n miền Khi D đa tập phức n chiều với đa tạp địa phương {(D, IdD )} + Đa tạp xạ ảnh P n (C ) Xét Ui  {[z0 : z1 : : zn ]  P n (C ) | zi  0} với i  0,1 , n Rõ ràng {Ui}in1 phủ mở P n (C ) Xét đồng phôi i : Ui  C n [z0 : z1 : : zn ] ( z0 z z z , , i 1 , i 1 , , n ) zi zi zi zi Ta có z ( k )k  j ; k  0, , m ; zi  zj  j i1: (z0 : z1 : : zn ) Rõ ràng  j i1 ánh xạ chỉnh hình Vậy P n (C ) đa tạp phức n chiều gọi đa tạp xạ ảnh n chiều 1.2 Miền Hartogs Định nghĩa 1.2.1 [10] Cho V miền khác rỗng đĩa đơn vị   {z  Kí hiệu: HV , r   z , z2   : z  1}  : z1  V , z2   or z1  , - r < z2 < ,  r  HV , r gọi miền Hartogs V Đặc biệt, V  r  {z  : z  r} HV , r  Hr Theo định lý cổ điển Hartogs bao chỉnh hình HV , r song đĩa đơn vị  Định nghĩa 1.2.2 Khơng gian giải tích phức Z gọi có tính chất thác triển Hartogs với p chiều ánh xạ f  O(H p (r ), Z ) thác triển tới ánh xạ f  O(E p , Z ) Hơn nữa, Z gọi có tính chất thác triển Hartogs có tính chất thác triển Hartogs với chiều p  Trong H p (r ) lược đồ Hartogs p chiều Kết cổ điển Ivashkovitch ( [9]) nói Z gọi có tính chất thác triển Hartogs chiều với số chiều p  Shiffman chứng minh đặc trưng quan trọng không gian có tính chất thác triển Hartogs sau: Định lý 1.2.3 Khơng gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs với miền D đa tạp Stein M , ánh xạ f  O(D, Z ) thác triển thành ánh xạ f  O(D, Z ), D bao chỉnh hình D 1.3 Dịng đa xác định Định nghĩa 1.3.1 [10] Cho T dòng song chiều ( p, p) miền   n Dòng T gọi chuẩn tắc T dT có độ đo hệ số + T gọi dòng đa dương T chuẩn tắc, không âm dd cT không âm + T gọi dòng đa âm dòng T chuẩn tắc, âm dòng dd cT âm Định nghĩa 1.3.2 [10] Cho T dòng song chiều ( p, p) T gọi dịng đa đóng dd cT  Định nghĩa 1.3.3 Nhắc lại khối dịng T có số chiều k tập mở U   || T || (U )  sup{| T (u) | : u  D k (U ), | u( x) |  1, x U} Trong D k (U ) khơng gian k - dạng trơn với giá compact U | u( x ) | chuẩn Euclidean k  đối véctơ u( x ) Hơn nữa, cho K tập đóng  T dòng  \ K với độ đo hệ số Ta nói T có khối hữu hạn điạ phương lân cận K với tập mở K  U  , || T || (U \ K )   Nhắc lại thác triển tầm thường T dòng T từ  \ K tới  xác định sau: Cho {un} dãy hàm khả vi lớp C  ,  un  1, un  lân cận K Và un X \ K tập compact  \ K Trong X \ K thay cho hàm đặc trưng  \ K Vậy Vậy   (z) siêu điều hịa V Giả sử tồn x  V \  dãy {xn}  V hội tụ tới x cho (  )( xn ) bị chặn Khi  ( xn ) bị chặn Theo Mệnh đề 1.4.1.1, f thác triển chỉnh hình tới HV U , r với lân cận tùy ý U  x Điều mâu thuẫn với tính cực đại V Do  (z)  (z) tiến đến  z tiến gần V \ D Xét dãy giảm hàm điều hòa  : un  min{ (z)  (z), n}, n  Giới hạn u dãy {un} hàm điều hoà  Chú ý u V    , nên u không đồng  u  \V   Do  \ V có độ đo điều hịa khơng  \ V  V \    Thu hẹp chút dùng điều hiển nhiên tập độ đo điều hịa khơng có số chiều Hausdorff khơng, giả sử  compact  Chú ý  xác tập mà u   Định lý 2.1.2 Nếu X lồi phức không chứa đường cong hữu tỉ f : Hr  X thác triển chỉnh hình 2 \ K , K     với tập cực compact đầy    Chứng minh Theo bổ đề thác triển f tới 2 \ {  r } Bây ta cần thay tham số áp dụng bổ đề lần ta có định lý Chúng ta dùng kết K     tập compact đa cực đầy có số chiều Hausdorff không Thác triển f 2 \ K , nghịch ảnh  dạng metric w qua f thác triển 2 \ K 18 Bổ đề 2.1.3 Cho K compact  dạng    ,   tập compact có độ đo điều hịa khơng  Cho  (1,1) - dạng trơn đa âm 2 \ K Khi hệ số  khả tổng địa phương toàn  Chứng minh Xét hàm  (z1 ) xác định (2.1) Cho  xác định (2.3) Khi    siêu điều hòa  \  bị chặn địa phương  Do    thác triển thành hàm siêu điều hòa  Vì    khơng đồng  nên tổng địa phương  Nhưng cách xác điều khơng có nghĩa 22  L1loc (2 ) Tương tự, 11  L1loc (2 ) Vì  dương nên kéo theo 1122  12  Do  12   11 22        12 11 12 22 Điều có nghĩa 12  L1loc (2 ) Do xét   f * w dòng  Chính xác hơn, xét thác triển tầm thường   Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có: dd c   i 2dz1  dz i 2dz2  dz (2.4) Trong  độ đo  Tiếp theo sử dụng điều hiển nhiên sau: v  i c4 (dz, dz) z nghiệm dd c , tức dd c v   {0}i dz1  dz  i dz2  dz Trong c4 thể tích hình cầu đơn vị (dz, dz)  dz1  dz  dz2  dz Bổ đề 2.1.4 Nếu dạng metric w đa đóng, hình cầu B  2 cho B  K  Ø ảnh f (B) B tương ứng với không X , dd c   theo nghĩa phân bố 19 Chứng minh Chú ý tính chất đa đóng   f * w ln có dd c  2 \ K Cho B hình cầu  cho B  2 \ K Khi theo giả thiết f (B) đồng với không Do  B d c  f * d c w  B f ( B ) d cw  (2.5) tính đa đóng w Cho  độ đo xác định (2.4) Đặt B  XB Vì d c v nghiệm d nên ta có d (d c  d c v *B )  (2.6) B Làm nhẵn tích chập ta có d (d c   d c v *  B )  (2.7) B với   đủ nhỏ Do (2.8) d c   d c v *  B  d Với 2-dạng trơn   B phụ thuộc vào ép Áp dụng (2.5) (2.8) ta thu  B d c v *B  d c   d   d c   d c  B B B B Do  B d c v *B  Mà  B d c v *B B  B (B)   (B) Chúng ta chứng minh hình cầu B  thỏa mãn B  2 \ K ,  (B  K )  Chúng ta cần định lý hội tụ kiểu Vitali với độ đo tổng quát sau Giả sử D tập mở n  độ đo hoàn toàn hữu hạn dương D Cho B họ hình cầu đóng có bán kính dương D, cho với điểm x D họ 20 B chứa hình cầu có bán kính nhỏ tùy ý với x tâm Khi tồn hợp đếm hình cầu rời {B j } B cho  (D \  j Bj )  Bây cho D tập mở  Xét họ hình cầu B  có tính chất B  2 \ K với B  D Vì K có số chiều Hausdorff khơng nên họ thỏa mãn giả thiết định lý hội tụ kiểu Vitali Kí hiệu      ,  , độ đo dương giá K Lấy hợp hình cầu rời thuộc B cho  (B j )   (D) Khi ta có  (D)   (D)   (D)   (B j )   (B j )   (B j )  đề cập Do  (D)  Áp dụng định lý kiểu Vitali, thay     có  (D)  Vì  (D)  với D  2 ,   Chúng ta chứng minh dd c   theo nghĩa phân bố Dựa vào kết chứng minh d c d  khớp 2 \ K dạng trơn Để chứng tỏ điều cần chứng minh với đa tạp định hướng compact chiều M 2 \ K ,  M d c  Đặt d c  d với - dạng phân bố  Làm nhẵn tích chập chứng minh  M d c  lim  d c   lim  d    M  M Trong phần chứng minh bổ đề sử dụng kết sau: H DR (2 \    )  với  ,    tập compact mà số chiều Hausdorff không Để nhận thấy điều ta viết dãy Mayer – Vitoris với đối đồng điều DeRham cặp A  ( \  )  , B    ( \  ) :    H ( A)  H (B)   H ( A  B)  H ( A)  H (B)   Từ cấu trúc tích A B, dễ thấy  toàn ánh H ( A)  H (B)  Do H ( A  B)  21 Bổ đề 2.1.5 Nếu d c d  khớp 2 \    , hàm  định nghĩa (2.1) bị chặn lân cận  Chứng minh Nếu d c d  khớp  d  khớp Điều có nghĩa tồn t=t2,0  t1,1  t0,2 cho (2.9)  = t2,0  t1,1  t 2,0 (2.10) 1,1  t Từ ta thu d  d (t2,0  t2,0 )  t1,1   t1,1  d (t2,0  t2,0  t1,1  t1,1 )  t1,1  t1,1  d (t2,0  t2,0  t1,1  t1,1 )  t0,2  t0,2  d (t2,0  t2,0  t1,1  t1,1  t0,2  t0,2 ) (2 \ K )  nên ta có Vì H DR  =t2,0  t2,0  t1,1  t1,1  t0,2  t0,2  d  (2.11) Bằng cách lấy tích phân sau:  (z1) =  |z | t    |z | t t1,1  t1,1   |z2 | t  (2.12) Xét  :  \   2Re(g) giá trị  (z1 ) nhau, g(z1 )   |z | t t1,1 d z  d z  t0,2  t0,2 dz1  dz2 Từ (2.10) ta có Viết t1,1  t1,1  g =  z1 t1,1 2,2 t0,2 2 0,2 |z2 |t  z dz  d z  |z2 |t  z2 dz  d z  |z2 |t t 2 Vậy g /  z thác triển trơn  Thật từ (2.12) ta thấy Re( g) bị chặn Do phần thực hàm chỉnh hình G(z1 )  g(z1 )  1/ 2 i  | |  t 22 g d  d ( )    z1 bị chặn trên  \  Vì  điểm khơng độ đo điều hịa, G thác triển chỉnh hình  Vậy g  bị chặn lân cận  2.2 Sự cản trở vỏ cầu thác triển ánh xạ chỉnh hình Để chứng minh cản trở vỏ cầu thác triển ánh xạ chỉnh hình, trước hết Ivashkovitch chứng minh mệnh đề dòng đa dương, mệnh đề 1.3.6 Trong chứng minh mệnh đề Ivashkovitch sử dụng kĩ thuật Siboni [4] Rõ ràng, “vỏ cầu” cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ F:  X cho vỏ khơng thể thác triển tồn hình cầu kể thác triển phân hình Ví dụ: Cho X  tự nhiên Vậy    2\   z~2 z  siêu mặt Hopf  : \ 0  X phép chiếu   vỏ cầu X Chú ý siêu mặt Hopf không chứa đường cong hữu tỉ Do cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình xác “vỏ cầu” Dựa vào kết mục 2.1 từ ví dụ trên, Ivashkovitch chứng minh định lý sau: Định lý 2.2.1: Cho đa tạp phức X có metric Hermitian đa đóng Khi X có tính chất thác triển chỉnh hình lồi phức không chứa đường cong hữu tỷ, không chứa vỏ cầu Chứng minh Sử dụng Mục 2.1 2.2 ta chứng minh Định lý 2.2.1 Hiển nhiên đa tạp phức compact lồi phức Hơn nữa, theo Gauduchon siêu mặt phức compact có metric Hermitian đa đóng Do đó, định lý tất cản trở việc thác triển ánh xạ chỉnh hình vào siêu mặt phức compact Hệ 2.2.2 Một siêu mặt phức compact có tính chất thác triển chỉnh hình khơng chứa đường cong hữu tỉ vỏ cầu 2.3 Sự cản trở vỏ cầu thác triển ánh xạ phân hình 23 Đặc biệt, Ivashkovitch sử dụng tính chất đường cong hữu tỉ siêu mặt chứng minh siêu mặt phức compact có tính chất thác triển phân hình khơng chứa vỏ cầu Bổ đề 2.3.1 Cho f ánh xạ phân hình từ 2 \ {(z,0) :| z | r},  r  1, tới siêu mặt Enoki (S, L ) cho f |2 \{w0} chỉnh hình với ảnh S \ L Giả sử f ({(z,w) :| z | r})  L Khi f thác triển phân hình  f ( {0})  L Chứng minh Cho  : S \ L  E phép chiếu đường cong elliptic với / {1, w} với w thỏa mãn Im w  Kí hiệu  đường trịn thớ Đặt E  {(0, w) :| w | },  Khi ( f )( ) tương ứng với n1  n2 w n1 , n2  Cho n ước chung lớn n1n2 n2 Xét đường cong elliptic khác E1  / {n, nw} phép chiếu tự nhiên p : E1  E Cho P (S \ L ) không gian phân thớ afin E1 Theo cách xây dựng nâng f thành ánh xạ chỉnh hình f1 từ 2 \ {w  0} tới p (S \ L ) Khơng gian tồn phần  không gian phân thớ p (S \ L ) ta kí hiệu p (S \ L ) Đặt n1  m1n, n2  m2 n tìm l1 , l2   m1  l1 thuộc SL(2 cho: m2   l2  ) Khi   nm1  nm2 w   ,  nl1  nl2w nguyên âm lưới {n, nw} Cho  :   E1 ánh xạ phủ với 2 nhóm phép ánh xạ phủ Khi nâng f1 thành ánh xạ chỉnh hình f2 từ 2 \ {w  0} tới   ( p (S \ L ))    Cuối  khơng gian phân thớ afin tầm thường Xét hàm phân hình  (u1 , u2 )  1/ u2 ( f2 )(z, w) quay vơ hạn w  0,| z | r Vì  24    Chú ý f2  (  p) f tập giới hạn f w  0,| z | r chứa L theo giả thiết Vì  f2 thác triển phân hình tồn  có {w  0} tập cực Điều chứng minh tập giới hạn f w  0, | z |  nằm L Do vậy, đồ thị  f đóng (2  S) \ ({w  0} L ) Áp dụng định lý ThullenRemmert-Stein [12] ta  f tập giải tích 2  S Do f thác triển phân hình tồn  f ({(z,0) :| z | 1})  L Vì bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.2 Cho f ánh xạ phân hình từ hình cầu thủng B2  vào đa tạp phức compact X mà chứa metric Hermitian đa đóng Khi f thác triển phân hình tồn B f (S3r ) tương ứng tới không X với  r  Chú ý S3r kí hiệu cho vỏ cầu có bán kính r Chứng minh Kí hiệu nghịch ảnh f w qua f dạng metric w Cho F tập ˆ không xác định ánh xạ f Kí hiệu F {0} F Khi theo kết chương có: (1)  (1,1) - dịng song chiều dương B với hệ số Llloc (B2 ) (2) dd c   dV , dV dạng thể tích  giá độ đo F Từ giả thiết bổ đề tính phân hình f B có với hình cầu B  B2 cho B  F  ảnh f (B) tương ứng với không X Áp dụng Bổ đề 2.1.4 ta dd c  B Chúng ta cần chứng minh đồ thị  f ánh xạ f tích hữu hạn lân cận {0} X Cụ thể, chứng minh rằng:  Bt \ Br (dd c || z ||2  )  (dd c || z ||2  )  C   25 (2.13) Với  t  1, đồng r cận S3r chặn r Cố định t cho f  trơn lân Vì  thuộc Llloc (B2 ) nên số hạng  Bt \ Br dd c || z ||2   (2.13) bị Để hồn thành chứng Bổ đề 2.3.2 sử dụng định lý Bishop [1] thác triển giải tích  f (B2 \ {0})  X thể tích hữu hạn địa phương lân cận {0} X Theo định lý bao đóng  f  f tập giải tích B2  X Do f thác triển phân hình B Chú ý: Bổ đề 2.3.2 xét đến suy rộng định lý Griffiths [5] từ trường hợp đa tạp Kahler tới đa tạp với metric Hermitian đa đóng Bổ đề 2.3.3 Cho  (1,1) - dòng đa đóng dương B Giả sử  trơn B2 trừ tập rời rạc F Khi tồn số C   cho với  r  t  S3r  F  S3t  F  Ø,  Bt \ Br     C (2.14) Chứng minh Theo giả thiết,   Do  (1,2) - dòng   khớp B Ta cần tìm (0,2) - dịng h B thỏa mãn h   (2.15) Chú ý tính chất ellip  (0,2) - dạng nên h trơn B2 / F  thực Do từ (2.15) ta có h   (2.16) d  d (h  h ) (2.17) Áp dụng (2.15) (2.16) ta Do   h  h dạng d  đóng B Trên B xét hệ sau d    h  h d   26 (2.18) Theo hệ (2.18) ta có nghiệm B Thật vậy, cho 1 nghiệm phương trình Tìm phân phối f B cho d  d f  d 1 Vì d  d   hàm nên tìm f Lấy   1  df Khi  nghiệm (2.18) Do (2.18) có tính chất ellip nên ta có nghiệm  trơn B2 / F Làm trơn tích chập, ta thu  Bt \ Br     Bt \ Br (  h  h )  (  h  h )  lim   Bt \ Br (  h  h )  (  h  h )  lim  (  h  h )  (  h  h )  lim  d   d   Bt  Bt  lim    d      d   St St Vế phải không phụ thuộc vào r Bổ đề 2.2.3 chứng minh Định lý 2.3.4 Một siêu mặt phức compact có tính chất thác triển phân hình khơng chứa vỏ cầu Chứng minh Phần chứng minh định lý sử dụng phân loại siêu mặt kết [8] Kí hiệu a(S ) độ siêu việt trường hàm phân hình S Theo định lý Siegel, a(S ) nhận giá trị 1,2,0 Chúng ta thường giả thiết siêu mặt cực tiểu, tức khơng chứa đường cong hữu tỉ tự cắt -1 Nếu siêu mặt chứa đường cong chúng blown down tới điểm trơn Và blown down phép song hữu tỉ, mà không làm thay đổi tính chất thác triển phân hình Nếu a(S)  S phép chiếu , tức S nhúng vào PN Vậy ánh xạ phân hình f từ H r tới S xác định N hàm phân hình f1 , , fN Theo định lý Levi-Oka [12] chúng thác triển  Kí hiệu thác triển 27 ˆ ˆ tương ứng bởi: f , , f N Khi hàm f , , f N cho thác triển phân hình f  Kodaira chứng minh a(S)  S elliptic Điều có nghĩa tồn đường cong phức compact C toàn ánh phân hình  : S  C cho với điểm tổng quát a  C, thớ S   1 (a) đường cong elliptic Ivashkovitch [8] chứng minh siêu mặt elliptic khơng có tính chất thác triển phân hình siêu mặt S bị phủ siêu mặt Hopf elliptic, tức siêu mặt H   2 \{0}/ {(z1 , z2 ) (1z1 ,2 z2 )} Trong 1 , số phức,  | 1 |  |  |  1, 1p   2q với p, q N Nhưng tất siêu mặt S chứa vỏ cầu Nếu cho : \ {0}  H1 phép chiếu tự nhiên,  : H1  S ánh xạ phủ hình cầu đơn vị ,   (  )(S3 ) vỏ cầu S Kodaira chứng minh a(S)  S hình xuyến, K  siêu mặt siêu mặt lớp V ||0 Ivashkovitch [8] chứng tỏ hình xuyến K  siêu mặt có tính chất thác triển phân hình Do phải chứng minh Định lý 2.3.4 siêu mặt lớp V ||0 khơng có hàm phân hình Cho {C j }Nj 1 họ đường cong hữu tỉ V ||0  siêu mặt S Theo Enoki [2] chứng tỏ dạng liên hợp xác định V ||0  siêu mặt có tính chất xác định nửa âm Do ta thu tính chất sau ma trận liên hợp Q dây chuyền Ở Q || qij ||, qij  (Ci ,C j ) số liên hợp đường cong Ci C j : (1) Q  0, (2) qij  với i  j, 28 (3) Không tồn tập I , J  {1, , N}, I  J   , I  J  {1, , N} cho qij  với i  I , j  J Theo bổ đề đại số tuyến tính, kết luận Q xác định âm chặt tồn số nguyên không âm p1 , , pN , không đồng thời 0, cho ( p1C1   pN CN )2  Trong (L )2 kí hiệu cho số điểm tự liên hợp divisor L Do vậy, phải xét trường hợp sau: Trường hợp Trong trường hợp này, siêu mặt có tính chất : với dây chuyền đường cong hữu tỉ S ma trận liên hợp Q dây chuyền xác định âm chặt Theo tiêu chuẩn Grauert, trường hợp dây chuyền đường cong hữu tỉ S co tới điểm chuẩn tắc Kodaira chứng tỏ siêu mặt mà không chứa hàm hữu tỉ có số hữu hạn đường cong Vì tương tự việc chứng minh định lý chính, ta dùng trường hợp Mệnh đề 1.4.4.5 thay cho trường hợp thu S có tính chất thác triển phân hình khơng chứa vỏ cầu Trường hợp Trong trường hợp ta xét siêu mặt mà chứa divisor L cho (L )2  Kodaira mô tả đầy đủ siêu mặt thuộc lớp V ||0 trường hợp b2 (S)  theo Enoki trường hợp b2 (S)  [2] Nếu b2 (S)  S siêu mặt Hopf Elliptic Các siêu mặt Elliptic đuợc xét đến Siêu mặt Hopf có phủ phổ dụng \ {0} Vì chúng chứa vỏ cầu Nếu b2 (S)  S \ L có cấu trúc khơng gian phân thớ afin đường cong elliptic; ([2]) Cho f : Hr  S ánh xạ phân hình Đặt A  f 1 (L ) A tập giải tích H r Nếu A chứa H r f ánh xạ H r vào đường cong phức L Mọi đường cong phức compact xạ ảnh f thác triển  Vì S \ L có tính chất thác triển phân hình nên A khơng có điểm lập H r (xem Mệnh đề 1.4.4.5.) 29 ˆ Theo định lý Dloussky, bao chỉnh hình Hr \ A có dạng  \ A, A đường cong  (nó rỗng) Áp dụng Mệnh đề 1.1 Mệnh đề ˆ 2.2.1 lần nữa, thác triển f thành ánh xạ chỉnh hình từ  \ A tới ˆ S \ L Chúng ta thác triển f thành ánh xạ phân hình từ (2 \ A)  Hr tới S nghịch ảnh qua ánh xạ divisor L A  A  Hr Bây quay lại phần chứng minh trường hợp Chúng ta thác triển ánh xạ phân hình (2 \ A)  Hr , A đường cong  Áp dụng Bổ đề 2.3.2, thác triển f 2 \ Sin g A Trong Sin g A kí hiệu cho tập điểm kì dị A Từ Bổ đề 2.3.2 ta chứng minh Định lý 2.3.4 30 KẾT LUẬN Thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình hướng nghiên cứu thuộc lĩnh vực Giải tích phức nhà tốn học giới quan tâm thu kết nghiên cứu đẹp đẽ Một câu hỏi đặt là: Có cản trở việc thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình? Ivashkovitch thu kết nghiên cứu đáng kể vấn đề Luận văn “Những cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình” trình bày lại số kết nghiên cứu cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình Cụ thể số kết sau: + Trình bày số kiến thức sở liên quan đến luận văn là: định nghĩa tính chất đa tạp lồi phức; định nghĩa đa tạp phức, dòng đa xác định miền Hartogs + Trình bày số vấn đề thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình + Đã trình bày lại cách chi tiết kết nghiên cứu Ivashkovitch cản trở “vỏ cầu” đường cong hữu tỉ thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình Cho đến nay, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình hướng nghiên cứu nhiều nhà Toán học quan tâm Luận văn dừng lại việc trình bày nghiên cứu Ivashkovitch “vỏ cầu” đường cong hữu tỉ cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình Nếu có điều kiện thời gian ta tìm hiểu vấn đề khác tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ phân hình 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Bishop (1964), “Conditions for the analyticity of certain sets” Michigan Mathematical Journal, (11), 289-304 [2] I Enoki (1981), “Surfaces of class V ||0 with curves” Tohoku Mathematical Journal , (33), 453-492 [3] M Kato (1977), “Compact complex manifolds containing “global sphesical shell”” Proceedings of the Japan Academy, 53(1), 15-16 [4] N Sibony (1985), “Quelques problemes de prolongement de courants en analyse complexe Duke Mathematical Journal” ,(52), 157-197 [5] P Griffiths (1971), “Two theorems on extension of holomorphic mappings” Inventiones mathematicae 14, 27-62 [6] P Kiernan (1973), “Hyperbolically embedded spaces and the big Picard theorem” Mathematische Annalen,(204), 203-210 [7] P Lelong (1969), Plurisubharmonic functions and positive differential forms New York: Gordon and Breach [8] S Ivashkovitch (1991), “Rational curves and extensions of holomorphic mappings” In: Proceeding of the AMS Summer Research Institute on Several Complex Geomatry 1989 Proc Symp Pure Math, (53), 93-104 [9] S Ivashkovitch (1987), “The Hartog phenomenon for holomophically convex Kähler manifolds” Math USSR Izvestiya, (29), 225-232 [10] S Ivashkovitch (1992), “Spherical shells as obstructions for the extension of holomorphic Mappings” The Journal of Geometric Analysis, (4), 352-371 [11] S Ivashkovitch (1999), “The Hartogs-type extension theorem for meromorphic maps into compact Kähler manifolds” Invent Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, 2(B), 251-261 [12] Y-T Siu (1974), Technlques of extension of analytic objects New York: Dekker [13] Y-T Siu (1976), “Every Stein subvariety admits a Stein neighborhood” Inventiones mathematicae, (38), 89-100 32 ... Chương 2: Những cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ phân hình 17 2.1 Sự cản trở đường cong hữu tỉ thác triển ánh xạ chỉnh hình 17 2.2 Sự cản trở vỏ cầu thác triển ánh xạ chỉnh hình ... CHƯƠNG NHỮNG CẢN TRỞ ĐỐI VỚI SỰ THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH, ÁNH XẠ PHÂN HÌNH 2.1 Sự cản trở đường cong hữu tỉ thác triển ánh xạ chỉnh hình Cố định đa tạp phức X mà X có metric Hermit với phần... “vỏ cầu” đường cong hữu tỉ cản trở thác triển kiểu Hartogs ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình Mục đích luận văn ? ?Những cản trở thác triển ánh xạ chỉnh hình ánh xạ phân hình? ?? nghiên cứu trình bày