Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không kahler

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHƠNG K�HLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHƠNG K�HLER Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài công bố Tôi xin cam đoan tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Vân Anh i M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan i Mục lục ii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức 1.2 Đa tạp phức 1.3 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 1.4 Metric Hermit đa tạp phức 1.6 Hàm đa điều hòa 1.7 Dòng 1.8 Miền giả lồi 1.9 Mặt cầu Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 10 2.1 Ánh xạ phân hình khơng gian chu trình 10 2.1.1 Khơng gian chu trình gắn với ánh xạ phân hình 10 2.1.2 Tính giải tích C f cách xây dựng G f 14 2.2 Thác triển kiểu Hartogs ánh xạ phân hình 29 2.2.1 Tổng quát lí thuyết đa vị 29 2.2.2 Thác triển kiểu Hartogs ánh xạ phân hình từ hình Hartogs H n1  r  vào không gian phức lồi đĩa U ii 35 KẾT UẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 ii LỜI MỞ ĐẦU Giải tch phức hay gọi lý thuyết hàm biến phức nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức Trong đó, thác triển phân hình toán trung tâm Giải tch phức Những năm gần đây, thác triển phân hình vấn đề nhận quan tâm nhiều nhà toán học giới Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho tập mở khác rỗng ̂ , ánh xạ f thác triển cho f thác triển phân hình ̂ Vậy, giá trị cực đại ? Vấn đề gọi thác triển kiểu Hartogs Nếu ̂ với f lấy giá trị X gốc (khác rỗng) U ta nói định lý thác triển kiểu Hartogs với ánh xạ phân hình vào X Với , tức với hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs chứng minh F Hartogs Nếu , tức hàm phân hình, kết chứng minh E Levi Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs chứng minh hai lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát không riêng hàm chỉnh hình hay hàm phân hình Để hệ thống lại kết thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức khơng K hler, tơi trình bày hai chương luận văn: Chương 1: Trình bày kiến thức sở không gian phức, hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới, phủ, mặt cầu Chương 2: Trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nghiên cứu vềsự thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức khơng K hler Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, em ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô xin gửi l i tri ân em điều cô dành cho em Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, q thầy giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tận tình truyền đạt kiến thức q báu cho em hồn thành khóa học Em xin gửi l i cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngư i ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng nhiều luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong có ý kiến đóng góp thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Vân Anh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức 1.1.1 Định nghĩa không gian phức 2n Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R , điểm có thứ tự 2n số thực  x1, x2n  Ta đưa vào cấu trúc phức cách đặt zv  xv  ixnv (v  1, n) Ta thư ng kí hiệu xnv  yv nên zv  xv  iyv (v  1, , n) Không gian mà điểm n số phức (hữu hạn) z   z1, zn   zv  gọi không gian phức n chiều kí hiệu biệt, n = 1, ta có Đặc mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùy ý, khơng gian tích n mặt phẳng phức ⏟ 1.1.2 Khơng gian phức chuẩn tắc Định nghĩa 1.2: Cho E không gian vecto phức Một giả chuẩn p E ánh xạ từ E vào tập số thực không âm thỏa mãn: (i) (ii) ) p( p( ) p( ) p( ) với a, b | |p( ) với E , với a Giả chuẩn p E xác định tôpô E (* lân cận mở E p( ) + ) Không gian vecto phức E với tôpô định nghĩa gọi không gian giả chuẩn tắc Nếu p chuẩn E khơng gian phức E gọi khơng gian phức chuẩn tắc Nói cách khác, không gian phức E không gian phức chuẩn tắc p thỏa mãn điều kiện (i) (ii) điều kiện sau: (iii) p( ) a = 1.1.3 Không gian phức khả quy Định nghĩa 1.3: Một cặp ( ) gọi không gian vành phức nếu: X khơng gian tơpơ;  bó -đại số địa phương X Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy không gian vành phức ( ) mà có tính chất sau: X khơng gian Hausdorff; có lân cận mở ( ) Với điểm A cho ( | ) tập giải tích ( )) ( n (A nằm tập mở B ( ):=( ( /(A)|A, (A) bó ideal A) 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa đa tạp phức Định nghĩa 1.5: Cho M không gian tôpô Hausdorff V tập mở M  :V  n ánh xạ Khi đó: Cặp V ,  gọi đồ địa phương M, điều kiện sau  thỏa mãn: i)  (V ) tập mở ii)  : V   (V) n , đồng phôi Định nghĩa 1.6: Họ   (Vi ,i ) i∈I M gọi tập đồ giải tích (atlas) M điều kiện sau thỏa mãn i) Vi i∈I phủ mở M, ... Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 10 2.1 Ánh xạ phân hình khơng gian chu trình 10 2.1.1 Khơng gian chu trình gắn với ánh xạ phân. .. X cho   qua ánh xạ chỉnh hình từ lân cận khơng tương ứng tới X Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 2.1 Ánh xạ phân hình khơng gian... rỗng ̂ , ánh xạ f thác triển cho f thác triển phân hình ̂ Vậy, giá trị cực đại ? Vấn đề gọi thác triển kiểu Hartogs Nếu ̂ với f lấy giá trị X gốc (khác rỗng) U ta nói định lý thác triển kiểu