Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
419,96 KB
Nội dung
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ THU TRANG lu an n va p ie gh tn to Sĩ TầN TI NGHIM CếA PHìèNG TRNH VI PH N CP BA VỴI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PH N d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUN VN THC S TON HÅC z m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n - 2019 n va ac th si I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ THU TRANG lu an n va p ie gh tn to SÜ TÇN TI NGHIM CÕA PHìèNG TRNH VI PHN CP BA VẻI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PH N d oa nl w Ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 8.46.01.02 nf va an lu lm ul z at nh oi LUN VN THC S TON HÅC z @ m co l gm Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS TRN NH HỊNG an Lu Th¡i Nguy¶n - 2019 n va ac th si Líi cam oan Tỉi xin cam oan r¬ng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thüc v khỉng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan lu an r¬ng måi sü gióp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v va n cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc tn to gh ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 p ie TĂc giÊ luên vôn d oa nl w XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc z at nh oi lm ul X¡c nhªn cõa khoa To¡n nf va an lu PhÔm Th Thu Trang z @ m co l gm TS TrƯn ẳnh Hũng an Lu n va ac th i si Lới cÊm ỡn Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS TrƯn ẳnh Hũng, ngữới thƯy tên tẳnh hữợng dăn lu an tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tổi cõ th hon thnh luên vôn va n ny gh tn to Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n cịng to n thº p ie c¡c th¦y cỉ giĂo trữớng HSP ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng nl w d oa gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn an lu BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ nf va vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc lm ul bÔn hồc viản luên vôn ny ữủc ho n ch¿nh hìn Ci cịng xin c£m z at nh oi ỡn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! z ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 gm @ TĂc giÊ m co l an Lu PhÔm Th Thu Trang n va ac th ii si Möc löc lu an n va i ii iii p ie gh tn to Trang b¼a phư Líi cam oan Líi c£m ìn Mưc lưc Mð ¦u Mët sè ki¸n thùc cì sð nl w Mët sè ành lỵ im bĐt ởng 1.2 To¡n tû Fredholm 1.3 H m Green d oa 1.1 nf va an lu 2.1 z at nh oi lm ul Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im v dÔng tẵch phƠn 12 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu z 2.2 12 @ gm kiằn biản dÔng tẵch phƠn 35 36 m co l Kát luên Ti liằu tham khÊo 24 an Lu n va ac th iii si Mởt số kỵ hiằu v viát tưt lu têp cĂc số thỹc tªp réng A⊂B A A∪B hđp cõa hai tªp hđp A v B A∩B giao cõa hai tªp hđp A v B an R B n va l tªp cõa p ie gh tn to A×B A v B oa nl w tẵch Descartes cừa hai têp hủp ker(f ) hÔt nhƠn cừa f d ối hÔt nhƠn cõa f nf va k¸t thóc chùng minh z at nh oi lm ul an lu Coker(f ) z m co l gm @ an Lu n va ac th iv si M Ưu Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba cõ nhiÃu ựng dửng a dÔng cĂc lắnh vỹc vêt lỵ, k thuêt [1], [9] Chng hÔn nhữ bi toĂn xt ở vóng cừa mởt dƯm ba lợp ữủc tÔo thnh bi cĂc lợp song song cĂc vêt liằu khĂc lu [8], bi toĂn nghiản cựu dỏng chÊy cừa mởt mng mọng chĐt lọng nhợt an va trản bà mt rưn, mởt mng nhữ vêy chÊy xuống mởt vêt liằu theo n hữợng thng ựng s chu Ênh hững cừa sực công bà mt, lỹc hĐp dăn gh tn to cụng nhữ ở nhợt [12] NhiÃu phữỡng trẳnh cừa hằ dao ởng cụng ữủc p ie ữa và cĂc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba [11] Trong c¡c b i to¡n â, c¡c i·u kiằn biản ữủc dăn án cõ th dÔng ba im, dÔng tẵch phƠn nl w hay cĂc dÔng phi tuyán d oa Nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn an lu cĐp ba Ưy ừ vợi cĂc loÔi iÃu kiằn biản khĂc thu hút ữủc nhiÃu nf va sỹ quan tƠm cừa cĂc nh toĂn hồc K thuêt khĂ phờ bián ữủc sỷ dửng nghiản cựu cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba l phữỡng phĂp nghiằm lm ul trản v nghiằm dữợi [6], [7] v cĂc phữỡng phĂp liản tưc düa tr¶n vi»c z at nh oi ¡nh gi¡ tiản nghiằm cừa mởt hồ cĂc bi toĂn vợi mởt tham sè th¶m v o, sau â sû dưng c¡c ành lỵ và im bĐt ởng [2], [3], [4], [5] z Chúng tổi  chồn luên vôn Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi @ phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im v dÔng tẵch phƠn Mửc ẵch gm l cừa luên vôn l trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ cừa Abdelkader Boucherif < t < 1, an Lu y 000 (t) = f (t, y(t), y (t), y 00 (t)), m co [3], [4] và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ: n va ac th si hai trữớng hủp, iÃu kiằn biản Dirichlet ba im v iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· mët sè nh lẵ im bĐt ởng, toĂn tỷ Fredholm v hm Green Chữỡng trẳnh by mởt số iÃu kiằn ừ Ôt ữủc Ănh giĂ tiản nghiằm cừa mởt hồ bi toĂn cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ hai trữớng hủp: iÃu kiằn biản dÔng ba im v iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Sau õ sỷ dửng cĂc nh lỵ im bĐt ởng chựng minh mởt lu số kát quÊ và sỹ tỗn tÔi nghi»m an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng Mởt số kián thực cỡ s lu Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực cỡ s cƯn thiát cho ch÷ìng sau, an n va ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [10], [13] ie gh tn to 1.1 Mởt số nh lỵ im bĐt ởng p Cho Ănh xÔ T : A A Mội nghiằm cừa phữỡng trẳnh x = Tx ữủc T nl w gồi l mởt im bĐt ởng cừa Ănh xÔ x d oa Mởt số nh lỵ im bĐt ởng sau Ơy l cĂc nh lỵ nÃn tÊng cỡ bÊn an lu ữủc sỷ dửng phờ bián chựng minh sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn nf va nh lỵ im bĐt ởng Banach cho c¡c to¡n tû co vỵi h» sè co k lm ul nh lỵ im bĐt ởng Brouwer cho cĂc to¡n tû li¶n tưc khỉng z at nh oi gian hỳu hÔn chiÃu nh lỵ im bĐt ởng Schauder cho c¡c to¡n tû ho n to n li¶n tưc tr¶n mởt têp lỗi, khĂc rộng v compact khổng gian Banach (vổ z gm @ hÔn chiÃu) Ơy l mởt tờng quĂt hõa cừa nh lỵ bĐt ởng Brouwer nh lỵ im bĐt ởng Scheafer cho cĂc toĂn tû li¶n tưc v compact l co khỉng gian Banach m Ngoi mởt số nh lỵ im bĐt ởng quan trồng khĂc ữủc sỷ dửng an Lu nhiÃu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn phi n va ac th si tuyán, chng hÔn nhữ nh lỵ Leray - Schauder cho cĂc toĂn tỷ compact trản mởt têp lỗi, khĂc réng, bà ch°n cõa khỉng gian Banach Cịng vỵi c¡c nh lỵ im bĐt ởng, lẵ thuyát bêc Brouwer v lẵ thuyát ch số im bĐt ởng cụng l nhỳng cổng cử quan trồng, ữủc ựng dửng nhiÃu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ liản tửc cụng nhữ sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán nh lỵ im bĐt ởng Banach Xt phữỡng trẳnh phi tuyán lu x = T x an ành ngh¾a 1.1.1 n va (X, d) ữủc gồi l co vợi hằ số tn to metric (xem [13]) To¡n tû k (1.1) T :M ⊆X→X trản khổng gian náu v ch náu ie gh d(T x, T y) ≤ kd(x, y) p vỵi måi x, y ∈ M k cè ành, ≤ k < (xem [13]) ( nh lỵ im bĐt ởng Banach (1922)) GiÊ sỷ rơng d oa nl w nh lỵ 1.1.2 v (1.2) an lu (i) T : M ⊆ X M l mởt Ănh xÔ tứ M vo chẵnh nõ; nf va (ii) M l têp õng, khĂc réng khỉng gian metric ¦y õ (X, d); (iii) T l mởt Ănh xÔ co vợi hằ số k lm ul Khi õ phữỡng trẳnh (1.1) z at nh oi mởt im bĐt ởng trản M cõ nh§t nghi»m x, tùc l T câ nh§t ành lỵ im bĐt ởng Banach cõ ỵ nghắa quan trồng gi£i t½ch, z °c bi»t vi»c chùng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc @ m co nh lỵ im bĐt ởng Brouwer l gm phữỡng trẳnh phi tuyán an Lu KhĂc vợi nh lỵ im bĐt ởng Banach, nh lỵ im bĐt ởng ac th n va Brouwer khỉng ch¿ t½nh nhĐt cừa im bĐt ởng, nhiản cĂc si Tø â ta câ |f1 (t, yn (t), yn0 (t), yn00 )| ≤ Mf , Hìn núa Nf1 (yn ) → Nf1 (y) º chùng minh Nf1 C (I) Suy ∀t ∈ I Nf li¶n tưc ho n to n li¶n tưc, gåi n o BR = y ∈ C0 (I); kyk(3) ≤ R Khi â, tỗn tÔi M1 > thọa mÂn kNf1 (y)k0 M1 , ∀y ∈ BR v Z t1 lu kNf1 (y)(t1 ) − Nf1 (y)(t2 )k ≤ |f1 (s, y(s), y (s), y 00 (s)|ds ≤ Mf (R)|t1 −t2 |, an t2 va â n to gh tn Mf (R) = sup {|f (t, y, p, w)|; t ∈ I, |y| ≤ R, |p| ≤ R, |w| ≤ R} Nf1 p ie Do â Ta chùng minh Bữợc hon ton liản tửc C (I) L1 Nf1 cõ im bĐt ởng, thêt vêy tứ ba bữợc oa nl w trản, ta cõ têp cĂc im bĐt ởng cừa hồ phữỡng trẳnh d y = λL−1 Nf1 (y), 0 r1 v mồi y R z at nh oi lm ul pf (t, y, p, 0) > 0, Khi õ tỗn tÔi R1 [r1 , +∞) cho nghi»m y cõa b i to¡n h1 v h2 liản tửc nản tỗn tÔi l gm V¼ c¡c h m @ Chùng minh ∀t ∈ I z thäa m¢n |y (t)| ≤ R1 v |y(t)| ≤ R1 , (2.18), (2.19) m co h0i = max {|hi (u, v)|; u, v ∈ [−r1 ; r1 ]} , i = 1, R1 > max(h01 , h02 ) n ac th 26 v va R1 = max(r1 + h01 , r1 + h02 ) Khi â R1 > r1 an Lu Gi£ sû si Gi£ sû R1 y 6= l nghi»m cõa b i to¡n (2.18), (2.19) Ta s³ ch¿ |y (t)| ≤ t ∈ I GiÊ sỷ ngữủc lÔi, tỗn tÔi t1 I vỵi måi y (t1 ) > R1 â ho°c ho°c y (t1 ) < −R1 y (t1 ) > R1 X²t tr÷íng hđp (tr÷íng hđp cỏn lÔi chựng minh tữỡng tỹ) max{|y (t)|; t ∈ I} > R1 Ta câ |y (t)| > R1 Khi cho Do y0 li¶n tưc, nản tỗn tÔi t2 I cho y (t2 ) = max{|y (t)|; t ∈ I} N¸u t2 ∈ (0, 1) th¼ y (t2 ) > R1 > r1 , y 00 (t2 ) = y (t2 )y 000 (t2 ) ≤ v Tø (H3) ta câ y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), y 00 (t2 )) = y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), 0) > Do < λ ≤ 1, n¶n tø (2.18) suy ≥ λy (t2 )y 000 (t2 ) > i·u n y l lu mƠu thuăn an Náu t2 = 0, y0 tực l Ôt giĂ tr cỹc Ôi tÔi t = 0, â y 00 (0) ≤ v va n y (0) > R1 > r1 y 00 (0) = 0, theo (H3) ta câ y (0)y 000 (0) = y (0)f (0, 0, y (0), 0) > p ie gh tn to N¸u y 000 (0) > suy nl w y 00 (t) > y 00 (0) = y (0) y 00 Tữỡng tỹ y0 gƯn cụng ỡn iằu tông vợi t ỡn iằu tông vợi oa Vẳ vêy Do õ, khổng th l giĂ tr cỹc Ôi cừa t |y (t)| v t > 0, gƯn suy v t > Vẳ vêy dăn tợi mƠu d R1 h01 y (0) − ay 00 (0) > y (0) > R1 , Trong tr÷íng hđp t2 = 1, x²t tữỡng tỹ cụng dăn tợi iÃu mƠu t ∈ I ∀t ∈ I T÷ìng tü, cơng ch¿ ÷đc Rt y (s)ds v 0≤t≤1 suy |y(t)| ≤ R1 , ∀t ∈ I m co y(t) = ∀t ∈ I l |y (t)| ≤ R1 gm @ Do â Tø an Lu Nhên xt : Trong trữớng hủp iÃu kiằn biản thuƯn nhĐt, tực l vợi mồi u, v R, i = 1, 2., â R1 = r1 n ac th 27 hi (u, v) = va 0, y (t) ≥ z −R1 , y (t) − R1 0, z at nh oi thuăn Nhữ vêy, mƠu thuăn vợi lm ul cĂch xĂc nh thẳ nf va y 00 (0) < an Náu lu thuăn si Mằnh à 2.2.4 (H4) GiÊ sỷ tỗn tÔi hơng số dữỡng K1, K2 thọa mÂn |f (t, y, p, w)| ≤ K1 w2 + K2 , vỵi måi w ∈ R, (t, y, p) ∈ I × [−R1 ; R1 ] ì [R1 ; R1 ] Khi õ, tỗn tÔi R2 > 0, khổng phử thuởc vo , cho vỵi nghi»m y cõa b i to¡n (2.19) m |y(t)| ≤ R1 , |y (t)| ≤ R1 , ∀t ∈ I th¼ |y 00 (t)| ≤ R2 , ∀t ∈ I Chùng minh m¢n (2.18), Gi£ sû y 6= l mët nghi»m cõa b i to¡n (2.18), (2.19) thäa |y(t)| ≤ R1 , |y (t)| ≤ R1 vỵi måi t ∈ I |h01 + R1 | |y (0)| ≤ , a |h02 + R1 | |y (1)| ≤ b 00 lu Gåi an n va 00 |h0 + R | |h0 + R | 1 r0 = max , a b 00 00 (2.26) ta câ |y (0)| ≤ r0 , v |y (1)| ≤ r0 (2.25) (2.26) Gi£ sỷ tỗn tÔi |y 00 (t)| = max{|y 00 (t)|; t ∈ I} > r0 Do y ∈ C (I) nản tỗn 00 tÔi mởt nûa kho£ng α, t ⊂ I (ho°c t, α ⊂ I ) cho |y (α)| = r0 v |y 00 (t)| > r0 vỵi måi t ∈ α, t (ho°c vỵi måi t ∈ t, α ) Khổng mĐt tẵnh 00 tờng quĂt, giÊ sỷ α ≤ t X²t tr÷íng hđp y (t) > r0 vỵi måi t ∈ α, t Tø tn to Tø (2.25) v Khi â t∈I cho p ie gh oa nl w (2.18) suy ra: d lu ∀t ∈ I nf va an |y 000 (t)| = λ|f (t, y(t), y (t), y 00 (t))| ≤ λ K1 |y 00 (t)|2 + K2 , Vẳ < nản vợi t ∈ α, t ta câ lm ul y 000 (t) ≤ K1 y 00 (t)2 + K2 , z at nh oi suy ∀t ∈ α, t z y 000 (t)y 00 (t) ≤ y 00 (t), 00 K1 (y (t)) + K2 @ 2K1 y 000 (t)y 00 (t) dt ≤ 2K1 K1 y 00 (t)2 + K2 t y 00 (t)dt = 2K1 y (t) − y (α) ≤ 4K1 R1 α m an Lu Bði vªy Z co α t l Z gm Khi â n ac th 28 (2.27) va K1 y 00 (t)2 + K2 K1 y 00 (t)2 + K2 ln = ln ≤ 4K1 R1 K1 y 00 (α)2 + K2 K1 r02 + K2 si T÷ìng tü, x²t tr÷íng hđp ln y 00 (t) < −r0 vỵi måi t ∈ α, t , ta câ K1 y 00 (t)2 + K2 ≥ −4K1 R1 K1 r02 + K2 Tø (2.27), (2.28), suy tỗn tÔi (2.28) R2 > 0, ch¿ phö thuëc v o r0 , r1 , h10 , h20 , K1 , K2 cho |y 00 (t)| ≤ R2 Do â |y 00 (t)| ≤ R2 t I nh lỵ 2.2.5 GiÊ sỷ iÃu kiằn v  ữủc thọa mÂn (H5) GiÊ sỷ tỗn tÔi số dữỡng i, i = 1, vợi (b + 1)β1 + (a + 1)β2 < (H3) (H4) lu a + b + v h m σi : (0, ∞) (0, ) liản tửc, khổng giÊm thọa mÂn an σi (u) ≤ βi u vỵi u > v |hi (y1 , y2 ) − hi (z1 , z2 )| ≤ σi (max{|y1 − z1 |, |y2 − va n z2 |}), ∀y1 , y2 , z1 , z2 R Khi õ bi toĂn (2.25), (2.26) tỗn tÔi ½t nh§t mët tn to nghi»m Gi£ sû y l nghi»m cõa (2.18) v (2.19) ie gh Chùng minh p Tø i·u ki»n (H3) ta câ v |y 00 (t)| ≤ R2 |y (t)| ≤ R1 vỵi måi vỵi måi t ∈ I t ∈ I nl w Tø i·u ki»n (H4) ta câ |y(t)| ≤ R1 d oa Gåi Khi â, °t r = max(R1 , R2 , R3 ), ta ÷đc kyk(3) ≤ r Ω = {y ∈ C (I); kyk(3) < r + 1} Tứ tẵnh chĐt cừa hm Green v tẵnh f suy to¡n tû G1 : Ω → C (I) z at nh oi li¶n tưc cõa h m lm ul °t nf va an lu R3 = max{|f (t, y, p, w)|; t ∈ I, |y| ≤ R1 , |p| ≤ R1 , |w| ≤ R2 } p döng (H5), ta chựng minh ữủc vêy, ta cõ: hon ton liản töc G2 : Ω → C (I) l ¡nh xÔ co Thêt z Z |G2 (y)(t) G2 (z)(t)| = [ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))] ds Z 10 ≤ |ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))|ds co l gm @ m i = 1, n ac th 29 va |Hi (y) − Hi (z)| ≤ σi (ky − zk(3) ) an Lu Hìn núa, vỵi si Do â |ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))| ≤ g1 (t)|H1 (y(s)) − H1 (z(s))| + g2 (t)|H2 (y(s)) − H2 (z(s))| ≤ g1 (t)σ1 (ky − zk(3) ) + g2 (t)σ2 (ky − zk(3) ) b + 1/2 a + 1/2 β1 + β2 ky − zk(3) ≤ a+b+1 a+b+1 T÷ìng tü lu ∂ϕ(t, y(s)) ∂ϕ(t, z(s))