LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Vũ Ngọc Phát Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồn[.]
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn GS TSKH Vũ Ngọc Phát Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án kết chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Nguyễn Huyền Mười i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy tận tụy bảo từ ngày chập chững nghiên cứu, động viên đốc thúc tôi nản lòng xao nhãng Những gặp vấn đề khó hiểu, Thầy bảo tơi bình tĩnh xem xét không vội vàng kết luận chưa hiểu thấu đáo vấn đề Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Viện Tốn học, nơi tơi cơng tác tạo điều kiện, giúp đỡ công việc thời gian làm nghiên cứu sinh Nơi mà tơi nghe, bàn, học chủ đề tốn, tốn khó, cách nhìn nhận vấn đề thời điểm với đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét từ đồng nghiệp, phản biện giúp tơi hồn thiện luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tơi động viên tơi giúp tơi có thêm động lực hoàn thành luận án ii Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CƠ SỞ TỐN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính 1.2 1.3 12 12 1.1.1 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian 15 1.1.2 Bài tốn ổn định hóa hữu hạn thời gian 17 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Một số bổ đề bổ trợ 18 20 ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA HỮU HẠN THỜI GIAN CHO MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN SUY BIẾN CÓ TRỄ 22 2.1 Ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến có trễ 23 2.2 Ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên bị chặn khơng khả vi 31 Kết luận Chương 49 2.3 ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA HỮU HẠN THỜI GIAN CHO MỘT SỐ LỚP HỆ SUY BIẾN RỜI RẠC CĨ TRỄ 3.1 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian hệ suy biến rời rạc có trễ 3.2 3.3 50 50 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian hệ suy biến rời rạc chuyển mạch có trễ 60 Kết luận chương 69 KẾT LUẬN 70 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 72 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn khơng gian Euclide n chiều Rn×r tập ma trận thực kích thước (n × r) (x, y) = x> y tích vơ hướng Rn , x> y = n P xi yi i=1 n ||x|| chuẩn Euclide véc tơ x ∈ R , ||x|| = n P x2i 1/2 i=1 C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn kxkC = sup kx(t)k a≤t≤b C ([a, b], Rn ) không gian hàm khả vi liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn kxkC = max{ sup kx(t)k, sup kx(t)k} ˙ a≤t≤b a≤t≤b C = C([−h, 0], Rn ) C0 ((a, b); R) không gian hàm liên tục (a,b) có giá compact P C([−h, 0], Rn ) không gian hàm liên tục đoạn [−h, 0] I ma trận đơn vị kích thước n × n Ii ma trận đơn vị kích thước i × i ∗ phần tử đường chéo ma trận đối xứng A> ma trận chuyển vị ma trận A kAk = p λmax (A> A) λ(A) tập giá trị riêng ma trận A Re(λ) phần thực số phức λ λmax (A) := max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} λmin (A) := min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} λA = λmax (A> A) A ≥ có nghĩa ma trận A nửa xác định dương, nghĩa x> Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A > có nghĩa ma trận A xác định dương, nghĩa x> Ax > 0, ∀x ∈ Rn \{0} L2loc ([0, ∞), Rn ) khơng gian hàm bình phương khả tích địa phương [0, ∞) L2 ([0, ∞), Rn ) khơng gian hàm bình phương khả tích [0, ∞) LMI– bất đẳng thức ma trận tuyến tính MỞ ĐẦU Nghiên cứu tính chất định tính nghiệm hệ động lực học hướng nghiên cứu quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học ngồi nước Tính chất ổn định hữu hạn thời gian hệ động lực học tính chất quan trọng tính chất định tính hệ động lực học đảm bảo hệ động lực học có hoạt động định mức cho phép hay không Khái niệm ổn định hữu hạn lần đưa nhà khoa học người Nga G Kamenkov năm 1953 [30], tính ứng dụng mạnh mẽ khái niệm ổn định hữu hạn thời gian cho hệ động lực học nhà khoa học phương Tây quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ từ năm 1960 P Dorato [18], A Michel [41], L Weiss [60], áp dụng q trình cơng nghiệp kĩ thuật [21], [25], [57], [67] Đặc biệt khái niệm ổn định hữu hạn thời gian khác khái niệm ổn định tiệm cận Lyapunov đưa Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian xem xét trạng thái hệ phương trình vi phân khoảng thời gian hữu hạn cố định, hệ ổn định hữu hạn thời gian không ổn định tiệm cận ngược lại hệ ổn định tiệm cận chưa ổn định hữu hạn thời gian (xem Amato et al [6]) Khái niệm ổn định hữu hạn cho hệ x(t) ˙ = f (t, x(t)), x(t) ∈ Rn với f (t, x) hàm thỏa mãn điều kiện cho hệ có nghiệm với điều kiện ban đầu phát biểu sau: Cho trước số T > hai tập hợp X0 , X1 , hệ x(t) ˙ = f (t, x), x(0) = x0 gọi ổn định hữu hạn thời gian theo (T, X0 , X1 ) x0 ∈ X0 → x(t) ∈ X1 , ∀t ∈ [0, T ] Thông qua việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian hệ giúp có thêm thơng tin chặn trên, chặn nghiệm hệ khoảng thời gian hữu hạn Các kết ban đầu tính ổn định hữu hạn thời gian đưa từ việc đánh giá trực tiếp công thức nghiệm hệ, hệ động lực học ngày phức tạp, việc mơ hình hóa hệ động lực học, robot ngày trở nên gần sát với thực tế hơn, kéo theo hệ phức tạp Từ năm 1976 trở đây, nhờ khoa học máy tính phát triển, thuật toán tối ưu kiểm tra điều kiện bất đẳng thức ma trận chạy máy tính tốt tạo điều kiện cho phương pháp xây dựng hàm Lyapunov từ đánh giá trạng thái hệ dẫn điều kiện bất đẳng thức ma trận phát triển [4], [6], [12] Hệ phương trình vi phân suy biến (singular systems) E x(t) ˙ = Ax(t) + f (t) nghiên cứu Weierstrass (1867) với điều kiện |sE − A| 6= 0, sau Kronecker (1880) xem xét trường hợp |sE − A| = E, A ma trận không vuông đưa khái niệm số hệ phương trình vi phân suy biến Do tính ứng dụng cao hệ phương trình vi phân suy biến nhiều ngành như: hệ động lực học, học [43]; kinh tế học (Leotief dynamic model [39]), mạng lưới điện [11] nên năm gần nghiên cứu tính chất định tính nghiệm hệ phương trình vi phân suy biến phát triển mạnh mẽ [6], [10], [17], [11] Bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến cịn gặp nhiều khó khăn phương pháp kỹ thuật: • Bài tốn tồn nghiệm hệ phương trình vi phân suy biến khơng phải thỏa mãn, với trường hợp hệ tuyến tính [11], [17] • Nghiên cứu tốn tồn nghiệm tính chất nghiệm hệ suy biến có trễ, có nhiễu, có xung [11], [17] • Xây dựng hàm Lyapunov thích hợp tính đạo hàm chúng để thiết lập điều khiện đủ hữu hiệu [68], [69] Ngoài việc quan tâm xem xét toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến nhu cầu ứng dụng lý thuyết điều khiển kỹ thuật, tốn ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ (bài toán thiết kế điều khiển phản hồi) để đảm bảo hệ đóng ổn định hữu hạn thời gian) nhà khoa học quan tâm tính ứng dụng tốn [6], [40], [44], [45], [46] Bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ suy biến nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu như: F Amato, E Moulay, S.B Stojanovic, Y Lin, V.N Phát [7], [42], [53], [37], [44] với phương pháp hàm Lyapunov sử dụng mạnh mẽ ước lượng để đưa điều kiện đủ kiểm tra tính ổn định hữu hạn thời gian hệ suy biến Hiện phương pháp hàm Lyapunov phương pháp hữu hiệu nghiên cứu tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Ứng dụng linh hoạt phương pháp (thiết kế hàm Lyapunov nâng cao thích hợp) để đảm bảo điều kiện tồn nghiệm điều kiện đủ tính ổn định, ổn định hố Trong báo [63], S Xu cộng xét tốn ổn định ổn định hóa cho hệ tuyến tính liên tục suy biến với trễ dạng E z(t) ˙ = (A + 4A)z(t) + (Ad + 4Ad )z(t − τ ) + (B + 4B)u(t), z(t) (1) = φ(t), t ∈ (τ, 0], z(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rn véc tơ điều khiển Các ma trận E, A, Ad , B ma trận cho trước có số chiều thích hợp, E ∈ Rn×n ma trận suy biến Còn đại lương 4A, 4Ad , 4B thỏa mãn điều kiện [4A 4Ad 4B] = M F (σ)[NA Nd NB ] F (σ)F > (σ) ≤ I Trường hợp hệ tuyến tính khơng có điều khiển nhiễu dạng E x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − τ ) (2) dựa phép biến đổi ma trận đổi biến: Ir A A Ad12 , A¯ = GAH = , A¯d = GAd H = d11 , GEH = 0 In−r Ad21 Ad22 ξ1 (t) = H −1 x(t) ξ(t) = ξ2 (t) Hệ (2) trở thành ˙ ξ(t) = A1 ξ1 (t) + Ad11 ξ1 (t − τ ) + Ad12 ξ2 (t − τ ), 0 (3) = ξ2 (t) + Ad21 ξ1 (t − τ ) + Ad22 ξ2 (t − τ ) S Xu cộng xây dựng lớp hàm Lyapunov thích hợp dựa thành phần véc tơ trạng thái: ξ1 (t), ξ(t) Việc xây dựng hàm Lyapunov dựa vào thành phần véc tơ trạng thái hệ cảm sinh xuất phát từ tính suy biến ma trận suy biến E đồng thời đảm bảo tồn nghiệm không phụ thuộc xung hệ mà ổn định Từ kết hệ (2) S Xu cộng mở rộng kết hệ (1) Năm 2009, A Haidar cộng báo [23] xét tốn ổn định mũ cho hệ tuyến tính liên tục suy biến với nhiều trễ biến thiên khả vi bị chặn dạng P E x(t) ˙ = Ax(t) + pk=1 Ak x(t − dk (t)), x(t) = φ(t), −d¯ ≤ t ≤ 0, x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, E, A, Ak ma trận cho trước có số chiều thích hợp, E ∈ Rn×n ma trận suy biến Các kết hệ liên tục suy biến đa số tập trung vào tính ổn định tiệm cận Đối với toán ổn định (và ổn định hoá) hữu hạn thời gian, năm 2001 Amato cộng [4] xét cho hệ tuyến tính khơng suy biến có nhiễu dạng : x(t) ˙ = A(p)x(t) + B(p)u(t) + G(p)w(t), x(0) = x0 , (4) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, A(p), B(p), C(p) ma trận cho trước, hàm nhiễu w(.) bị chặn, tốn ổn định hữu hạn thời gian phát biểu sau: Với số dương c1 , c2 , T , d cho trước R ma trận xác định dương Hệ (4) ổn định hữu hạn thời gian theo (c1 , c2 , T, R, d) với c2 > c1 R > x> (0)Rx(0) ≤ c1 ⇒ x> (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ], với w thỏa mãn w> w ≤ d Các kết tính ổn định hữu hạn thời gian đa số nhận cho hệ phương trình vi phân khơng suy biến khơng có trễ có trễ Trong chương 2, chúng tơi trình bày nghiên cứu toán ổn định hữu hạn thời gian hai phần: • Phần thứ nhất: Nghiên cứu toán ổn định vững hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ dạng E x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − h) + B1 w(t), t ≥ 0, x(t) = ψ(t), (5) ∀t ∈ [−h, 0], x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái; E, A, D, B1 ma trận cho trước với số chiều thích hợp; E ∈ Rn×n ma trận suy biến; w(t) hàm nhiễu thỏa mãn điều kiện w> (t)w(t) ≤ d với t ∈ [0, T ] Ở toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ có trễ phát biểu sau: Với số dương c1 , c2 , T , d, c2 > c1 cho trước ma trận R ∈ Rn đối xứng xác định dương Hệ (5) gọi ổn định vững hữu hạn thời gian theo (c1 , c2 , T, R) max ψ > (t)Rψ(t) ≤ c1 ⇒ x> (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ], t∈[−h,0] với hàm nhiễu w(.) thỏa mãn w> (t)w(t) ≤ d Bằng cách cải tiến phương pháp hàm Lyapunov (xây dựng hàm Lyapunov thích hợp bao gồm ma trận trọng tự do) sử dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng) sử dụng phương pháp phân tích giá trị kì dị (singular value decomposition method -SVD), đề thiết lập điều kiện đủ dựa giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalitiesLMIs) • Phần thứ hai: Mở rộng kết hệ tuyến tính suy biến có trễ biến thiên hàm bị chặn không khả vi, thu quy tắc thiết kế điều khiển phản hồi điều kiện đủ tính ổn định hóa vững hữu hạn thời gian cho hệ: E x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t) + B1 w(t), t ≥ 0, x(t) = ψ(t), ∀t ∈ [−h, 0], với h(t) hàm trễ bị chặn < h1 ≤ h(t) ≤ h2 không khả vi Đồng thời với hệ liên tục hệ suy biến rời rạc nhiều quan tâm nghiên cứu xuất nhiều mơ hình xử lý tín hiệu, liệu nhiều ngành khoa học máy tính, xử lý tín hiệu nhiều nhà khoa học, kĩ sư quan tâm, nghiên cứu [5], [53] Chúng tơi trình bày số kết tốn ổn định - ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ rời rạc không suy biến nhận năm gần F Amato (2005) cộng [5] xét tốn ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ rời rạc dạng x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Gw(k), w(k + 1) = F w(k), với x(k) ∈ Rn véc tơ trạng thái; A, B, G ma trận số thực có số chiều phù hợp; w(k) hàm nhiễu [62] Các tác giả sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kỹ thuật đánh giá thơng qua sai phân hàm tồn phương đưa điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính tính ổn định hữu hạn thời gian Sau kết mở rộng cho trường hợp hệ có trễ biến thiên S.B Stojanovic cộng [37] cho toán ổn định hữu hạn thời gian Năm 2000, S Xu cộng [61] xét toán điều khiển H∞ cho hệ rời rạc suy biến trễ dạng Ex(k + 1) = Ax(k) + B1 u(k) + Bw(k), (6) z(k) = Cx(k) + Du(k), với x(k) ∈ Rn véc tơ trạng thái; u(k) ∈ Rm hàm điều khiển đầu; w(k) véc tơ nhiễu; z(k) véc tơ quan sát; E, A, B1 , B, C, D ma trận có số chiều phù hợp; E ∈ Rn ma trận suy biến Năm 2011, Y Lin cộng [37] mở