ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hồn thành Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội hướng dẫn tận tình chu đáo GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh hướng dẫn bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc suốt trình tác giả nghiên cứu luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian tác giả học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân bạn bè ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Học viên Nguyễn Thành Chiêu Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc 1.1.2 Nguyên lý cực đại cho tốn điều khiển tối ưu Phương trình sai phân tuyến tính ẩn số 11 1.2.1 Khái niệm tính chất 12 1.2.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính số 19 1.2.3 Phương trình liên hợp 23 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến 36 2.1 36 Bài tốn điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 2.1.1 Giới thiệu toán 36 2.1.2 Phương trình Hamilton cho tốn điều khiển tối ưu rời rạc 38 2.1.3 2.2 Nghiệm toán điều khiển tối ưu 40 Bài tốn điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân số 55 2.2.1 Giới thiệu toán 55 2.2.2 Phương trình Hamilton tốn biên 56 2.2.3 Điều kiện đủ tối ưu 57 2.2.4 Điều kiện cần đủ để hệ Pontryagin có số 59 2.2.5 Nghiệm toán điều khiển tối ưu 60 Bài toán điều khiển tối ưu mơ hình kinh tế 3.1 3.2 71 Mơ hình mơ tả phương trình sai phân thường 71 3.1.1 Cấu trúc hệ thống sản xuất 72 3.1.2 Điều kiện đạt tới cân 74 Mơ hình mơ tả phương trình sai phân suy biến 75 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • dimW : số chiều khơng gian vectơ W • kerA: khơng gian nhân ma trận A • imA: khơng gian ảnh ma trận A • rankA: hạng ma trận A • span({xi }ni=1 ): khơng gian sinh hệ vectơ x1 , x2 , , xn • W1 ⊕ W2 : tổng trực tiếp hai không gian W1 , W2 • W1 ∩ W2 : giao hai khơng gian W1 , W2 n P • Ai : tổng ma trận A1 , A2 , , An i=1 † • A : nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose ma trận A • diag(A1 , A2 ): ma trận đường chéo khối có thành phần A1 , A2 nằm đường chéo MỞ ĐẦU Do nhu cầu thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn nhiều nhà nghiên cứu tốn học nước nước ngồi quan tâm nghiên cứu Nhiều toán thực tế (hệ thống điện, mơ hình dân số, mơ hình kinh tế, ) mơ tả phương trình sai phân ẩn Mặt khác phương trình sai phân ẩn kết việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số Chẳng hạn, dùng phương pháp Euler hiển áp dụng cho phương trình vi phân đại số số ta nhận phương trình sai phân tuyến tính ẩn số [3] Xuất phát từ nghiên cứu tác giả D J Bender and A J Laub [5] tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương cho hệ động lực mơ tả phương trình sai phân ẩn hệ số hằng, đưa kết cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn số Ngồi ra, từ mơ hình kinh tế tác giả D G Luenberger [8] cho tốn điều khiển mơ tả phương trình sai phân thường, đưa kết tương tự cho hệ mơ tả phương trình sai phân tuyến tính ẩn số Bố cục luận văn sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu điều kiện cần cho tốn điều khiển tối ưu rời rạc mơ tả phương trình sai phân thường Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu khái niệm phương trình sai phẩn tuyến tính ẩn số 1, phương trình liên hợp có số cơng thức nghiệm cho toán giá trị ban đầu, toán điều kiện cuối Chương Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương cho phương trình sai phân ẩn hệ số khai triển kỳ dị phương trình Riccati Từ ta tìm nghiệm tối ưu tốn Cuối cùng, chúng tơi đưa phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn số nhờ phép biến đổi Kronecker -Weierstrass phương trình Riccati Kết cuối thu chương Chương Bài toán điều khiển tối ưu mơ hình kinh tế Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện cân cung cầu để đạt lợi nhuận cực đại mơ tả tốn điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc Tiếp theo chúng tơi mở rộng kết cho toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc suy biến Đây kết luận văn nội dung trình Seminar mơn Tốn học tính tốn, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài tốn điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường Trong mục chúng tơi trình bày số nghiên cứu tác giả A P Sage [9] toán điều khiển tối ưu cho hệ động lực mơ tả phương trình sai phân thường 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc Xét hàm mục tiêu J= N −1 X Φ(xn , xn+1 , n) = n=0 N −1 X Φn n=0 với n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) : Rm × Rm → R hàm khả vi liên tục Bây ta tìm điều kiện cần để cực tiểu hàm J Giả sử rằng, xn = x ˆn + εηxn , xn+1 = xˆn+1 + εηxn+1 , với xˆ = (ˆ x0 , , xˆN −1 ) điểm cực trị, ε > đủ nhỏ Sử dụng khai triển Taylor ta có ∆J = J(ˆ xn + εηxn ) − J(ˆ xn ) = = N −1 X n=0 N −1 X {Φ(ˆ xn + εηxn , xˆn+1 + εηxn+1 , n) − Φ(ˆ xn , xˆn+1 , n)} {( n=0 ∂Φn ∂Φn , εηxn ) + ( , εηxn+1 ) + o(ε)}, ∂ xˆn ∂ xˆn+1 suy δJ = N −1 X {( n=0 ∂Φn ∂Φn , ηxn ) + ( , ηx )} ∂ xˆn ∂ xˆn+1 n+1 Do x ˆ điểm cực trị nên ∂J |ε=0 = 0, ∂ε N −1 X {( n=0 ∂Φn ∂Φn , ηxn ) + ( , ηx )} = ∂ xˆn ∂ xˆn+1 n+1 Với δxn = ηxn , ta thu N −1 X ∂Φn ∂Φn + δxTn+1 } = 0, {δxTn ∂ x ˆ ∂ x ˆ n n+1 n=0 (1.1) kết hợp ∂Φn ∂Φn ∂xn ∂Φn = = ∂ xˆn ∂xn ∂ xˆn ∂xn N −1 X n=0 N δxTn+1 X ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) ∂Φn = δxTn ∂ xˆn+1 n=1 ∂xn = N −1 X n=0 δxTn ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) n=N + δxTn |n=0 , ∂xn ∂xn ta nhận N −1 X n=0 δxTn ( ∂Φn ∂Φn−1 ∂Φn−1 n=N + ) + δxTn | = ∂xn ∂xn ∂xn n=0 (1.2) Do (1.2) không phụ thuộc vào việc chọn δxTn nên để J đạt cực tiểu ∂Φn−1 = 0, với n = 0, N, ∂xn ∂Φn ∂Φn−1 + = ∂xn ∂xn Phương trình (1.3) phương trình Euler - Lagrange rời rạc 1.1.2 (1.3) Nguyên lý cực đại toán điều khiển tối ưu Xét phương trình sai phân xn+1 = f (xn , un , n), với n = 0, 1, , N − 1, (1.4) xn ∈ Rm , un ∈ Rk Bài toán đặt tìm vectơ điều khiển un để cực tiểu hàm mục tiêu J= ϕ(xn , n)|n=N n=0 + N −1 X Φ(xn , un , n), (1.5) n=0 với n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) : Rm × Rk → R hàm khả vi liên tục, ϕ(., n) : Rm → R hàm khả vi liên tục n = N , n = Xét hàm Lagrange L= ϕ(xn , n)|n=N n=0 + n=N = ϕ(xn , n)|n=0 + N −1 X {Φ(xn , un , n) + λTn+1 (f (xn , un , n) − xn+1 )} n=0 N −1 X (Hn − λTn+1 xn+1 ), n=0 Hn = Φ(xn , un , n) + λTn+1 f (xn , un , n) Đặt xn = xˆn + εηn , xn+1 = xˆn+1 + εηn+1 , un = uˆn + εvn Do L = ϕ(ˆ xN + εηN , N ) − ϕ(ˆ x0 + εη0 , 0) + N −1 X {H(ˆ xn + εηn , uˆn + εvn , λn+1 , n) − λTn+1 (ˆ xn+1 + εηn+1 )} n=0 10 Chúng ta biết ∂L = 0, ∂ε nên N −1 X ∂Hn ∂ϕN T ∂ϕ0 T ( ) ηN − ( ) η0 + ( )T ηn ∂ xˆN ∂ xˆ0 ∂ xˆn n=0 − N −1 X λTn+1 ηn+1 + n=0 N −1 X n=0 ( ∂Hn T ) = ∂ uˆn (1.6) Ta có − N −1 X n=0 λTn+1 ηn+1 =− N X λTn ηn =− n=1 N −1 X λTn ηn − λTN ηN + λT0 η0 n=0 Thay phương trình vào phương trình (1.6) ta thu ∂ϕ0 T ∂ϕN T ) − λTN )ηN − (( ) − λT0 )η0 (( ∂xN ∂x0 N −1 N −1 X X ∂Hn T ∂Hn T T ) − λn )ηn + ( ) = + (( ∂x ∂u n n n=0 n=0 (1.7) Do phương trình (1.7) khơng phụ thuộc vào việc chọn ηn , ta thu nguyên lý cực đại cho toán điều khiển tối ưu Định lý 1.1.1 Giả sử un , xn , n = 0, 1, , N − điểu khiển tối ưu quỹ đạo tối ưu toán (1.4) - (1.5) Khi tồn vectơ λn thỏa mãn λn = ∂H(xn , un , λn+1 , n) , ∂xn ∂ϕ(0, n) λ0 = , ∂x0 λN = ∂ϕ(N, n) , ∂xN H(xn , un , λn+1 , n) = Φ(xn , un , n) + λTn+1 f (xn , un , n), cho với n = 0, 1, , N − H(xn , un , λn+1 , n) = mink H(xn , v, λn+1 , n) v∈R 11 Ví dụ 1.1.2 Xét tốn điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc xn+1 = Axn + Bun , n = 0, 1, , N − 1, (1.8) với điều kiện ban đầu x0 = x0 , (1.9) hàm mục tiêu N −1 W S 1X T T (xn un ) J(x, u, N ) = k=0 ST R ! xn un ! −→ un xn biến trạng thái un biến điều khiển Hệ số phương trình (1.8), (1.9) ma trận A, W, V ∈ Rm×m , B, S ∈ Rm×k , R ∈ Rk×k Giả sử W R ma trận đối xứng ma trận W S ST R ! nửa xác định dương Xét hàm Hamilton H = λTn+1 (Axn + Bun ) − 1 xTn W S n n T un T Sn Rn ! ! xn un (1.10) Áp dụng nguyên lý cực đại, ta thu phương trình sau xn+1 = Axn + Bun , ∂H λn = = W xn + AT λn+1 + Sun , ∂xn Run + S T xn + B T λn+1 = 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn số Trong mục chúng tơi trình bày số nghiên cứu tác giả P K Anh, H T N Yến [1] phương trình sai phân tuyến tính ẩn số tác giả L C Lợi [6] phương trình liên hợp phương trình sai phân tuyến tính ẩn số 12 1.2.1 Khái niệm tính chất Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng En xn+1 = An xn + qn , n = 0, 1, , N, (1.11) En , An ∈ Rm×m qn ∈ Rm cho Ma trận En giả thiết suy biến với n rankEn = r (1 ≤ r ≤ m − 1) Với n ≥ 0, gọi Qn ∈ Rm×m phép chiếu lên kerEn , tức Q2n = Qn imQn = kerEn Khi đó, tồn ma trận không suy biến ˜ = diag(Or , Im−r ) ˜ n−1 , Q Vn ∈ Rm×m cho Qn = Vn QV ˜ n−1 Đặt Pn = I − Qn Gn = En + An Vn−1 QV Chúng ta định nghĩa toán tử nối hai không gian kerEn−1 kerEn ˜ −1 ˜ n−1 Qn,n−1 = Vn QV Qn−1,n = Vn−1 QV n−1 Ta có Qn−1,n = Qn−1 Qn−1,n = Qn−1,n Qn , Qn−1,n Qn,n−1 = Qn−1,n−1 Qn,n−1 Qn−1,n = Qn Định nghĩa 1.2.1 [1] Ta nói phương trình (1.11) có số (i) rankEn = r , n = 0, N , (ii) Sn ∩ kerEn−1 = {0}, n = 1, N , Sn = {ξ ∈ Rm : An ξ ∈ imEn } Ngoài ra, giả thiết dimS0 = r Gọi E−1 ∈ Rm×m ma trận thỏa mãn điều kiện S0 ⊕ kerE−1 = Rm Nếu cặp ma trận {E0 , A0 } có số (xem [7]) ta lấy E−1 = E0 Gọi Q−1 phép chiếu lên kerE−1 P−1 = I − Q−1 Ta nhận thấy điều kiện (ii) với n = 0, N toán tử nối Qn−1,n xác định với n = 0, N Dưới ví dụ phương trình sai phân tuyến tính ẩn số 13 Ví dụ 1.2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.11) với n + −1 n En = 0 , An = 0 −(n + 1) n Với n ≥ 0, ta có < rankEn = < kerEn = 1 u + v u, v ∈ R , n+1 −1 Sn = u u, v ∈ R} n+1 Ta tính Sn ∩ kerEn−1 = {0} Vậy phương trình sai phân (1.11) với En , An xác định phương trình sai phân ẩn tuyến tính số Để rankE−1 = S0 ∩ kerE−1 = {0} ta chọn ma trận 0 −1 E−1 = 0 0 0 Bây chúng tơi trình bày số tính chất quan trọng phương trình sai phân tuyến tính ẩn số (xem [1]) Mệnh đề 1.2.3 Giả sử ma trận Gn = En + An Qn−1,n khơng suy biến ta có đẳng thức sau: (i) En Pn = En , (1.12) Pn = G−1 n En , (1.13) G−1 n An Qn−1,n = Qn , (1.14) (ii) (iii) Pn G−1 n An Qn−1 = 0, Qn G−1 n An Qn−1 = Qn,n−1 (1.15) 14 Chứng minh Do Qn phép chiếu lên kerEn nên Qn x ∈ kerEn với x ∈ Rm Vì vậy, với x ∈ Rm , En Qn x = hay En Qn = Do đó, En = En (Pn + Qn ) = En Pn + En Qn = En Pn Đẳng thức (1.12) chứng minh Ta có Gn Pn = (En + An Qn−1,n )Pn = En Pn + An Qn−1,n Pn = En + An Qn−1,n Qn Pn = En Nhân G−1 n từ bên trái đẳng thức trên, ta nhận đẳng thức (1.13) Tương tự, Gn Qn = (En + An Qn−1,n )Qn = An Qn−1,n Qn = An Qn−1,n −1 Vậy Qn = G−1 n An Qn−1,n , từ suy Pn Gn An Qn−1,n = Pn Qn = 0, −1 Qn G−1 n An Qn−1 = Qn Gn An Qn−1,n Qn,n−1 = Qn Qn Qn,n−1 = Qn,n−1 Đẳng thức (1.14), (1.15) chứng minh Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.2.4 Các khẳng định sau tương đương (i) Sn ∩ kerEn−1 = {0} (ii) Ma trận Gn = En + An Qn−1,n không suy biến (iii) Rm = Sn ⊕ kerEn−1 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Do Gn ∈ Rm×m nên Gn khả nghịch Gn đơn ánh, tức kerGn = Giả sử x ∈ kerGn , = Gn x = (En + An Qn−1,n )x = En x + An Qn−1,n x Ta có An Qn−1,n x = −En x nên Qn−1,n x ∈ Sn Mặt khác Qn−1,n x = Qn−1 Qn−1,n x ∈ kerEn−1 Vậy Qn−1,n x ∈ Sn ∩ kerEn−1 = {0} hay Qn−1,n x = 0, suy Qn x = Qn,n−1 Qn−1,n x = Hơn nữa, x ∈ kerEn = imQn nên x = Qn x = Vậy kerGn = hay ma trận Gn không suy biến 15 (ii) ⇒ (i) Giả sử x ∈ Sn ∩ kerEn−1 Vì x ∈ kerEn−1 = imQn−1 tồn y ∈ Rm cho x = Qn−1 y Mặt khác, x ∈ Sn tức tồn η ∈ Rm thỏa mãn En η = An x = An Qn−1 y Sử dụng giả thiết Gn khả nghịch tính chất nêu Mệnh đề (1.2.3) ta có −1 −1 G−1 n En η = Gn An Qn−1 y = Gn An Qn−1,n Qn,n−1 y ⇔ Pn η = Qn,n−1 y Tác động Qn từ bên trái hai vế phương trình trên, ta thu Qn,n−1 y = Vậy x = Qn−1 y = Qn−1,n Qn,n−1 y = hay Sn ∩ kerEn−1 = {0} (iii) ⇒ (i) Ta có từ định nghĩa tổng trực tiếp hai không gian (i) ⇒ (iii) Với x ∈ Rm , đặt v = Qn−1,n G−1 n An x, u = x − v Ta có, −1 v = Qn−1,n G−1 n An x = Qn−1 Qn−1,n Gn An x ∈ kerEn−1 Hơn nữa, An u = An (x − v) = An x − An Qn−1,n G−1 n An x −1 = (I − An Qn−1,n G−1 n )An x = (Gn − An Qn−1,n )Gn An x = En G−1 n An x ∈ imEn Vậy u ∈ Sn Rm = Sn ⊕ kerEn−1 Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.2.5 Giả sử phương trình (1.11) có số Đặt ˜ −1 phép chiếu lên kerEn−1 Khi Qn−1 = Vn−1 QV n−1 ˜ n−1 = Qn−1,n G−1 (i) Q n An phép chiếu tắc lên kerEn−1 song song với Sn ; m (ii) Với V˜n−1 = (s1n , , srn , hr+1 n−1 , , hn−1 ) ma trận có cột tương ứng sở Sn kerEn−1 , tức Sn = span({sin }ri=1 ) ˜ n−1 = V˜n−1 Q ˜ V˜ −1 kerEn−1 = span({hj }m ) Q n−1 j=r+1 n−1 Chứng minh (i) Theo Mệnh đề (1.2.4), phương trình (1.11) có số nên Gn ma trận khả nghịch Ta có −1 −1 ˜ 2n−1 = Qn−1,n (G−1 ˜ Q n An Qn−1,n )Gn An = Qn−1,n Gn An = Qn−1 ˜ n−1 = Qn−1 Qn−1,n G−1 Mặt khác, Q n An , suy ˜ n−1 ⊂ imQn−1 = kerEn−1 imQ 16 Ngược lại, với x ∈ kerEn−1 bất kỳ, ta ln có x = Qn−1 x, ˜ n−1 x = Qn−1,n G−1 Q n An Qn−1 x = Qn−1,n (G−1 n An Qn−1,n )Qn,n−1 x = Qn−1 x = x, ˜ n−1 Vậy kerEn−1 = imQ ˜ n−1 hay kerEn−1 ⊂ imQ Ta có −1 x ∈ Sn ⇔ An x = En ξ ⇔ Qn G−1 n An x = Qn Gn En ξ −1 −1 ⇔ Qn G−1 n An x = ⇔ Vn−1 Vn Qn Gn An x = ⇔ Qn−1,n G−1 n An x = 0, ˜ n−1 x = 0, tức kerQ ˜ n−1 = Sn hay x ∈ Sn Q −1 j −1 ˜ −1 i hn−1 = ej , (ii) Do V˜n−1 Vn−1 = I nên V˜n−1 sn = ei , i = 1, r V˜n−1 j = r + 1, m, với ek = (0, , 1, , 0)T , k = 1, m Vậy ta có ˜ n−1 sin = V˜n−1 Q ˜ V˜ −1 si = V˜n−1 Qe ˜ i = 0, Q n−1 n i = 1, r với j = r + 1, m ˜ n−1 hj = V˜n−1 Q ˜ V˜ −1 hj = V˜n−1 Qe ˜ j = hj Q n−1 n−1 n−1 n−1 ˜ n−1 phép chiếu tắc lên kerEn−1 song song với Sn Nói cách khác, Q Do có phép chiếu lên kerEn−1 song song với Sn nên theo (i), ˜ n−1 = V˜n−1 Q ˜ V˜ −1 Mệnh đề chứng minh ta có Q n−1 Chúng ta đề cập đến bất biến tính chất số phương trình sai phân tuyến tính ẩn qua cặp biến đổi tuyến tính khơng suy biến (Hn , Kn ), trình bày mệnh đề sau (xem [1]) 17 Mệnh đề 1.2.6 Giả sử {Hn }n≥0 {Kn }n≥−1 họ ma trận khả nghịch giả sử phương trình (1.11) có số Khi (1.11) tương đương với phương trình sai phân tuyến tính ẩn E¯n xn+1 + A¯n xn = q¯n , (1.16) ¯n = Hn En Kn , A¯n = Hn An Kn−1 , q¯n = Hn qn , Hn gọi với E ma trận tỷ lệ Kn ma trận phép đổi biến xn = Kn−1 x ¯n Hơn (1.16) có số Chứng minh Do Hn , Kn song ánh tuyến tính nên rankEn = dim(imEn ) = dim(imEn Kn ) = dim(imHn En Kn ) = dim(imE¯n ) = rankE¯n Vì phương trình (1.11) có số nên Sn ∩ kerEn−1 = {0}, −1 −1 Kn−1 (Sn ∩ kerEn−1 ) = Kn−1 ({0}) = {0} Mặt khác, −1 Kn−1 kerEn−1 = kerE¯n−1 , −1 Kn−1 Sn = S¯n −1 Thật , với x ∈ Kn−1 kerEn−1 tồn ξ ∈ kerEn−1 cho En−1 ξ = −1 x = Kn−1 ξ Suy ξ = Kn−1 x, En−1 Kn−1 x = En−1 ξ = nên E¯n−1 x = hay x ∈ kerE¯n−1 ¯n−1 , ta có E¯n−1 x = 0, suy En−1 Kn−1 x = 0, Ngược lại, với x ∈ kerE ¯n−1 x ∈ K −1 kerEn−1 Vậy K −1 kerEn−1 = kerE n−1 Tương tự, ta n−1 −1 Kn−1 Sn = S¯n Như −1 −1 −1 Kn−1 (Sn ∩ kerEn−1 ) = Kn−1 (Sn ) ∩ Kn−1 (kerEn−1 ) = S¯n ∩ kerE¯n−1 , ¯n−1 = {0} hay (1.16) có số Mệnh đề chứng nên S¯n ∩ kerE minh Bây xây dựng cặp ma trận không suy biến Hn Kn để đưa phương trình (1.11) dạng đơn giản dễ giải hơn, trình bày định lý sau (xem [1]) 18 Định lý 1.2.7 Mọi phương trình sai phân tuyến tính số đưa dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass ! ! ¯ Ir Or×m−r A11n Or×m−r x¯n+1 + x¯n = q¯n Om−r×r Om−r Om−r×r Im−r (1.17) Chứng minh Giả sử phương trình (1.11) có số Do Gn khả nghịch không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Qn , Qn−1 nên ta có ¯ n = En +An Q ˜ n−1,n không suy biến, ta suy G ¯ n V˜n = En V˜n +An V˜n−1 Q ˜ G ˜n = G ¯ n V˜n , G ˜ n ma trận khơng suy biến Ta chọn ma Đặt G ˜ −1 phép đổi biến Kn = V˜n tức E¯n = G ˜ −1 En V˜n trận tỷ lệ Hn = G n n ˜ ˜ −1 A¯n = G n An Vn−1 Do ˜ Q ˜ ˜ = (En V˜n + An V˜n−1 Q) ˜ nQ G ˜ + An V˜n−1 Q ˜Q ˜ = En V˜n Q ˜ ˜ n V˜n + An V˜n−1 Q = En Q ˜ = An V˜n−1 Q, ˜ ˜ ˜ ˜ −1 suy G n An Vn−1 Q = Q Tương tự, ˜ P˜ ˜ n P˜ = En V˜n P˜ + An V˜n−1 Q G = En V˜n ˜ −1 ˜ ˜ ¯ ˜ −1 ˜ ˜ nên G n En Vn = P Từ En = Gn En Vn = P = diag(Ir , Om−r ) ˜=G ˜ −1 An V˜n−1 Q ˜=Q ˜ nên Ta lại có A¯n Q n ˜ = Q ˜ A¯n Q ˜ Mặt khác, z ∈ imQ ˜ Q ˜ A¯n z = Q( ˜ G ˜ −1 ˜ ˜ ˜ z = Qz n An Vn−1 Q)z = Qz = z Tương tự, với z ∈ imP˜ , ta có z = P˜ z Do đó, V˜n−1 z = V˜n−1 P˜ z = P˜n−1 V˜n−1 z ∈ Sn Suy An V˜n−1 z = En ξ với ξ ∈ Rm Hơn ˜ A¯n z = Q ˜G ˜ −1 ˜ ˜ ˜ −1 ˜ ˜ ˜ −1 Q n An Vn−1 z = QGn En ξ = QP Vn = (1.18) ... tốn điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến 36 2 .1 36 Bài tốn điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 2 .1. 1 Giới thiệu toán 36 2 .1. 2 Phương trình. .. cho toán điều khiển tối ưu rời rạc 38 2 .1. 3 2.2 Nghiệm toán điều khiển tối ưu 40 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân số 55 2.2 .1 Giới thiệu toán. .. hợp phương trình sai phân tuyến tính ẩn số 12 1. 2 .1 Khái niệm tính chất Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng En xn +1 = An xn + qn , n = 0, 1, , N, (1. 11) En , An