Khóa luận phương trình sai phân và một số mô hình thực tiễn

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ————– * ————— TRỊNH THỊ TUYẾT PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH THỰC TIỄN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2014 UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ————– * ————— TRỊNH THỊ TUYẾT PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH THỰC TIỄN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62460102 Giáo viên hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy THANH HÓA, 2014 i Mục lục Sơ lược phương trình sai phân 1.1 Sai phân 1.2 Phương trình sai phân 1.3 Giải phương trình sai phân Tính ổn định phương trình sai phân 16 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân 16 2.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định 17 2.2.1 Phương pháp thứ Lyapunov 17 2.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov 26 Định tính vài mơ hình dạng sai phân thực tiễn 31 3.1 Mơ hình thị trường mặt hàng 32 3.2 Mơ hình tăng trưởng GDP 33 Kết luận 38 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình lao động riêng tơi Các nội dung luận văn hình thành lần đầu, khơng chép từ cơng trình có Tác giả Trịnh Thị Tuyết Mở đầu Các phương trình vi phân xây dựng giả thiết biến độc lập (gọi biến thời gian) liên tục Trong thực tiễn số liệu thường thu thập, thống kê xử lý thời điểm liên tục mà rời rạc (xem [3,4,5,6]) Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân, đẳng thức chứa hàm cần tìm với biến độc lập nhận giá trị Z+ := {0, 1, 2, } ⊂ Z := {0, ±1, ±2, } chứa sai phân đến cấp hàm cần tìm Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức sở phương trình sai phân: giới thiệu khái niệm cách tìm nghiệm số loại phương trình Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm phương pháp để nghiên cứu tính ổn định phương trình sai phân (xem [1,2]) Chương ba trình bày số ứng dụng phương trình vi phân có chậm, cụ thể ứng dụng kết ổn định phương trình sai phân vào mơ hình như: Mơ hình cân thị trường mặt hàng, mơ hình tăng trưởng GDP (tổng thu nhập kinh tế Quốc Dân) Bản luận văn thực trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc tìm hiểu kiến thức chuyên ngành hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, phòng Đào tạo, trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Cám ơn thầy bạn lớp giúp đỡ ý kiến trao đổi q báu thân tơi thời gian qua Cuối tơi muốn tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi điều thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận bao dung lời góp ý quý báu quý thầy, bạn Thanh Hóa, tháng năm 2014 Trịnh Thị Tuyết Bảng kí hiệu ρ(A) - tập giải tốn tử tuyến tính A σ(A) - tập phổ tốn tử tuyến tính A Φ(n, m) - ma trận hệ K - lớp hàm Hahn R+ := [0; +∞) Z+ := {0; 1; 2; 3; } Z := {0; ±1; ±2; ±3; } Rd Không gian véc tơ d- chiều Z(n0 ) := {n0 ; n0 + 1; n0 + 2; } Z(m; n) := {m; m + 1; m + 2; : n} ∆k x(n) - sai phân bậc k hàm x(.) n GDP - Tổng thu nhập Quốc Dân Chương Sơ lược phương trình sai phân 1.1 Sai phân Cho điểm t0 ∈ R khoảng cách h : < h < +∞ Tập I = {t0 + nh : n = 0, ±1, ±2, } gọi lưới thời gian rời rạc cách với bước lưới h > 0, thời điểm t0 ∈ R Nếu lấy t0 = h = (một đơn vị thời gian) tập I trở thành tập số nguyên Z I = {n = 0, ±1, ±2, } := Z Trường hợp riêng: với n = 0, 1, 2, ta có tập số nguyên không âm: I = {0, 1, 2, 3, } := Z+ Kí hiệu: R+ = [0, +∞) Z(n0 ) = {n0 , n0 + 1, n0 + 2, , } (n0 ∈ Z) Z(m, n) = {m, m + 1, m + 2, , n − 1, n} (m < n) Giả sử f ánh xạ từ Z vào Rd (hoặc vào không gian tổng quát X): f :Z → Rd Z ∋n → f (n) ∈ Rd Định nghĩa 1.1 Giả sử f (·) hàm số xác định tập Z, nhận giá trị Rd Khi đó, hiệu sau gọi sai phân cấp hàm f (·) n ∈ Z: ∆f (n) := f (n + 1) − f (n) (1.1) ∆2 f (n) := ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n) (1.2) Sai phân cấp hai f (.) n Sai phân cấp k k ∆ f (n) := ∆(∆ k−1 f (n)) = k X i=0 1.2 Cki (−1)i f (n + k − i) (1.3) Phương trình sai phân Trong luận văn, kí hiệu x(n) xn hiểu Đó hàm biến số nguyên, chưa biết, cần tìm Định nghĩa 1.2 Giả sử x(n), n ∈ Z hàm số chưa biết cần tìm từ đẳng thức n, x(n) sai phân cấp, chẳng hạn đến cấp k x(n): F (n, x(n), ∆x(n), , ∆k x(n)) = 0, đẳng thức gọi phương trình sai phân Từ Định nghĩa 1.1 sai phân cấp, ta thấy phương trình chứa đến sai phân cấp k đưa dạng tổng quát sau G(n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = (1.4) Cấp phương trình sai phân xác định bởi: max{i|x(n), x(n + i) có mặt phương trình } i∈Z+ Giả sử cấp phương trình k Nếu giải x(n + k) theo bước lại, nghĩa là: x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)) (1.5) nói phương trình sai phân có dạng tắc cấp k Phương trình có dạng sau gọi phương trình tuyến tính cấp k x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(n + 1) + a0 (n)x(n) = f (n) (1.6) Nếu f (n) ≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(n + 1) + a0 (n)x(n) = (1.7) Nếu hệ số (n) khơng phụ thuộc vào n ta có phương trình sai phân tuyến tính hệ số x(n + k) + ak−1 x(n + k − 1) + · · · + a1 x(n + 1) + a0 x(n) = Trong trường hợp phương trình tuyến tính hệ số x ∈ R1 , phương trình nghiệm phức sau gọi phương trình đặc trưng phương trình trên: P (λ) := λk + ak−1 λk−1 + · · · + a1 λ + a0 = (λ ∈ C) Nghiệm phương trình gọi nghiệm đặc trưng phương trình sai phân tương ứng Tập nghiệm đặc trưng gọi tập phổ phương trình đó, thường kí hiệu σ 1.3 Giải phương trình sai phân Chưa có phương pháp chung để giải phương trình sai phân dạng tổng quát Rd R1 Tuy nhiên, việc giải phương trình thực số trường hợp đặc biệt Sau số trường hợp Ta trường hợp đơn giản nhất, d = 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số R1 Phần hướng dẫn cách giải xem tài liệu tham khảo [3], [4] Chúng tơi bỏ qua việc trình bày lại mà xin tới việc giải ví dụ Ví dụ 1.1 Giải phương trình y(n + 2) + y(n + 1) − 6y(n) = 4.3n+1 Lời giải Phương trình tương ứng: y(n + 2) + y(n + 1) − 6y(n) = Phương trình đặc trưng tương ứng λ2 + λ − = có hai nghiệm phân biệt là: λ = 2, λ = −3 Nghiệm tổng quát phương trình là: y¯(n) = C1 2n + C2 (−3)n Do khơng phải nghiệm phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng: yˆ(n) = A.3n Khi đó: yˆ(n + 1) = 3A.3n ; yˆ(n + 2) = 9A.3n Thay yˆ(n); yˆ(n + 1); yˆ(n + 2) vào phương trình khơng nhất, ta có: 9A.3n + 3A.3n − 6A.3n = 4.3(n+1) Từ đây, so sánh hệ số 3n , ta được: A = yˆ(n) = 2.3n Nghiệm tổng qt phương trình khơng cho y(n) = y¯(n) + yˆ(n) = C1 2n + C2 (−3)n + 2.3n Ví dụ 1.2 Giải phương trình x(n + 2) + x(n) = cos nπ nπ − sin 2 Lời giải Phương trình nhất: x(n + 2) + x(n) = Phương trình đặc trưng: λ2 + = có nghiệm   π π λ = ±i = cos ± i sin 2 Nghiệm tổng quát phương trình là: x ¯(n) = C1 cos nπ nπ + C2 sin 2 Ta tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng: x ˆ(n) = A.n cos nπ nπ + B.n sin 2 Khi đó: nπ nπ + π) + B.(n + 2) sin( + π) 2 nπ nπ = (−A.n − 2A) cos + (−B.n − 2B) sin 2 nπ nπ ; sin ta được: Thay x ˆ(n); x ˆ(n + 2) vào phương trình khơng nhất, So sánh hệ số cos 2    −2A =  A = −3 ⇔  −2B = −4  B=2 x ˆ(n + 2) = A.(n + 2) cos( nπ nπ + 2n sin 2 Nghiệm tổng quát hệ không là: Vậy x ˆ(n) = −3n cos x(n) = C1 cos nπ nπ nπ nπ + C2 sin − 3n cos + 2n sin 2 2 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số biến thiên R1 Người ta thường sử dụng phương pháp biến thiên số để giải phương trình dạng tuyến tính khơng Cách làm sau: Giải phương trình nhất, nghiệm tổng quát Ở nghiệm tổng quát phương trình coi số hàm biến thời gian, thay vào phương trình khơng nhận phương trình sai phân khác để qua xác định số nói hàm thời gian n số Ví dụ 1.3 Giải phương trình sai phân: x(n + 1) − nx(n) = n! ln(n + 2) Lời giải Giải phương trình cơng thức truy hồi: x(n + 1) = nx(n) ⇔ x(n) = (n − 1)!x(0) Đặt C = x(0), ta có nghiệm tổng quát phương trình là: x(n) = C.(n − 1)! Tiếp theo, công thức nghiệm tổng quát coi C = C(n), ta có: x(n) = C(n).(n − 1)! x(n + 1) = C(n + 1).n! Thay chúng vào phương trình khơng nhất, ta có: n!C(n + 1) − nC(n)(n − 1)! = n! ln(n + 2) ⇔ C(n + 1) − C(n) = ln(n + 2) < ⇔ |1 + a + ib| < |1 − a − ib| − a − ib ⇔(1 + a)2 + b2 < (1 − a)2 + b2 ⇔ + 2a + a2 + b2 < − 2a + a2 + b2 ⇔a < −a ⇔ a < (Đúng) Chiều ngược lại Giả sử |µ| < 1, cần Reλ < Quả vậy, đặt µ = a+ib, |µ| < ⇔ a2 +b2 < Do |µ < 1| nên ta có µ−1 1+λ ⇔λ= 1−λ µ+1 a − + ib (a − + ib)(a + + ib) a2 + b2 − + i2b ⇒λ = = = 2 a + + ib (a + 1) + b (a + 1)2 + b2 a + b2 − ⇒Re λ = (ngược lại đổi dấu) Áp dụng định lý Hurwitz cho hệ vi phân x(t) ˙ = Ax(t), ta có: 18 Định lý 2.2 Hệ phương trình sai phân dừng x(n + 1) = Ax(n) ổn định tiệm cận định thức ma trận sau  a a0    a3 a2 a1   Hn =  a5 a4 a3     0 dương 0 a0 a2 a1 0 0    0   ,     an ain = i > n Ví dụ 2.1 Xét tính ổn định hệ sau:    x1 (n + 1) = −x1 (n) − x2 (n) − x3 (n) − x4 (n)       x2 (n + 1) = x1 (n)    x3 (n + 1) = x2 (n)      x (n + 1) = x (n) Lời giải Dạng ma trận hệ x(n + 1) = Ax(n),  −1 −1   1 A=  0  −1 −0, 0 0         ||Ax|| ||A|| < ||x||6=0 ||x|| tính nghiệm phương trình đặc trưng det(A − λI) = |λ| < với λ Đầu tiên ta lưu ý cách giải khác, chẳng hạn: Tính ||A|| = sup khó Ta giải tốn sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz cải biên Quả vậy, phương trình đặc trưng hệ P (λ) = λ4 + λ3 + λ2 + λ + Đặt λ = 1+z , thay vào phương trình ta có 1−z (1 − z)4 P ( 1+z ) = 0, 2z + 3, 2z + 5, 2z + 3, 2z + 4, 1−z Giá trị z = không thỏa mãn đẳng thức, đa thức đặc trưng ta quan tâm G(z) = 0, 2z + 3, 2z + 5, 2z + 3, 2z + 4, Ta có ma trận Hurwitz  a1   a3 H4 =   0  a0 a2 a1 a4 a3 0   3, 0, 0        a0  3, 5, 3, 0, 2 =     a2   4, 3, 5, 2    a4 0 4, 19 Tính định thức chính:   3, 0,  = 16 > 0; D2 =  3, 5, D1 = 3, > 0;  3, 0,      D3 = 3, 5, 3, 2 = 696, 2229 > 0;   4, 3, D4 = 4, 2.D3 > Do định thức dương Vậy, theo tiêu chuẩn Hurwitz hệ ổn định tiệm cận 2.2.1.2.Sự ổn định hệ tuyến tính khơng dừng Ta phương trình sai phân tuyến tính Rd : x(n + 1) = A(n)x(n) (2.4) ma trận A(n) phụ thuộc vào n (n ∈ Zn0 ) Với ma trận hàm A(n) tập giá trị riêng thay đổi theo n nên ta không dùng khái niệm phương trình đặc trưng Với loại phương trình ta thường nghiên cứu ổn định thơng qua tính bị chặn nghiệm Nếu lấy điều kiện ban đầu (n0 , x(n0 )) = (n0 , C) trình bày Chương 1, ta có nghiệm (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(n) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0 )x(n0 ) = Φ(n, n0 )C, Φ(n, n0 ) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0 + 1)A(n0 ) Khơng khó để thấy rằng, với m ≤ n ta có x(n) = Φ(n, m)x(m) Trong trường hợp A(n) không suy biến với n, ta thường đưa vào ma trận: G(n, m) = G(n, n0 )G−1 (m, n0 ) kể cho trường hợp m ≤ n m ≥ n Khái niệm nghiệm tầm thường ổn định nêu lên phần đầu Trường hợp A(n) không suy biến với n ta lưu ý rằng: Φ−1 (n, n0 ) = A−1 (n0 )A−1 (n0 + 1) · · · A−1 (n − 2)A−1 (n − 1) Định lý 2.3 Hệ phương trình sai phân sau Rd : x(k + 1) = A(k)x(k) (2.5) ổn định ma trận Φ(k, n0 ) bị chặn với k ≥ n0 , nghĩa tồn số C > cho ||Φ(k, n0 )|| ≤ C với k ≥ n0 Chứng minh Chiều thuận Giả sử tồn C > Với k0 ∈ N(n0 ) tùy ý x0 ∈ Rd Gọi x(k) = x(k, n0 , x0 ) nghiệm hệ (2.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu (k0 , x0 ), nghĩa x(k0 , k0 , x(k0 )) = x0 Để đơn giản không giảm tổng quát, ta lấy k0 = n0 Khi x(k) = Φ(k, n0 )x(n0 ) Với ε > tùy ý cho trước ||x(k)|| ≤ ||Φ(k, n0 )|| · ||x(n0 )|| ≤ C||x(n0 )|| < ε 20 ε , ta có ||x0 || = ||x(n0 )|| < δ ⇒ ||x(k)|| < ε với k ≥ n0 C Chiều ngược lại Nghiệm x(k) ≡ ổn định Khi với ε > 0, tồn δ > cho Chỉ cần chọn δ = ||x(n0 )|| = ||x0 || < δ ⇒ ||x(k)|| = ||x(k, n0 , x0 )|| ≤ ε, ∀ k ≥ n0 Nhưng x(k) = x(k, n0 , x0 ) = Φ(k, n0 )x0 nên theo ||x(k)|| = ||Φ(k, n0 , x0 )|| < ε, Lấy x0 = có ||x0 || < δ δ j e , ej vector đơn vị thứ j Gọi Φj (k, n0 ) cột thứ j ma trận Φ(k, n0 ), ta δ j δ δ Φ (k, n0 ) ⇒ ||Φj (k, n0 )|| = ||Φ(k, n0 ) ej || < ε, ∀ k ≥ n0 2 2ε 2ε ⇒||Φj (k, n0 )|| ≤ ⇒ ||Φ(k, n0 )|| = max ||Φj (k, n0 )|| ≤ j δ δ Φ(k, n0 )ej = Do chuẩn Φ tương đương nên tồn C > cho ||Φ(k, n0 )|| ≤ C với k ∈ N(n0 ) Định lý 2.4 Xét hệ (2.5) Nếu x ≡ ổn định nghiệm ổn định (theo nghĩa ổn định khác nhau) Chứng minh Chiều thuận Mọi nghiệm ổn định ⇒ x ≡ ổn định Chiều ngược lại Giả sử x(k) ≡ ổn định Xét nghiệm tùy ý x(k), không tính tổng quát, ta lấy điểm khởi tạo (n0 , x0 ) Nhắc lại rằng, nghiệm x ≡ ổn định tồn c > cho ||Φ(k, n0 )|| ≤ c, với k Gọi y(k) nghiệm tùy ý (2.5) Ta có ||y(k) − x(k)|| = ||Φ(k, n0 )y(n0 ) − Φ(k, n0 )x(n0 )|| ≤ ||Φ(k, n0 )|| · ||y(n0 ) − x(n0 )|| ≤ c||y(n0 ) − x(n0 )|| < ε ε ta có ||y(k) − x(k)|| < ε với k ≥ n0 , hay nghiệm x = x(k) ổn định Do c x(k) tùy ý nên nghiệm (2.5) ổn định Vậy, chọn δ = Các nghĩa ổn định khác như: ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận đều, chứng minh cách tương tự Định lý 2.5 Xét hệ (2.5) Hệ (i) Ổn định tồn số C > cho ||Φ(k, n0 )|| ≤ C với k ∈ N(n0 ) (ii) Ổn định tồn C > cho ||G(k, l)|| = ||Φ(k, n0 )Φ−1 (l, n0 )|| ≤ C với l ≤ k, l ∈ N(n0 ) (iii) Ổn định tiệm cận ||Φ(k, n0 )|| → k → +∞ (iv) Ổn định tiệm cận tồn số dương C, λ cho ||G(k, l)|| = ||Φ(k, n0 )Φ−1 (l, n0 )|| ≤ Ce−λ(k−l) , ∀ l : n0 ≤ l ≤ k 21 Chứng minh (i) Ý nội dung định lý 2.3 mà ta chứng minh (ii) Chiều thuận Với ε > 0, k1 ∈ N(n0 ) tùy ý Với điều kiện ban đầu (n0 , x0 ), ta xét x(k) = x(k, n0 , x0 ) = Φ(k, n0 )Φ Suy ||x(k)|| ≤ ||Φ(k, n0 )|| · ||Φ−1 (k1 , n0 )|| · ||x(k1 )|| ≤ C ||x(k1 )|| < ε ε từ ||x(k1 )|| < δ kéo theo ||x(k)|| < ε k1 tùy ý, δ không phụ thuộc vào k1 C2 Vậy hệ (2.5) ổn định Chỉ cần chọn δ = Chiều ngược lại Nếu hệ ổn định đều, với ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho với k1 ∈ N(n0 ): ||x(k1 )|| < δ ⇒ ||x(k)|| = ||G(k, k1 )x(k1 )|| < ε Lấy x(k1 ) = δ j e , tương tự ý sau định lý 2.3 Ta có ||G(k, k1 )|| = ||Φ(k, n0 )Φ−1 (k1 , n0 )|| ≤ C, ∀ k1 ∈ N(n0 ) Gọi l = k1 , ta có bất đẳng thức cần chứng minh (iii) Chiều thuận x(k) = Φ(k, n0 )x(n0 ) Do Φ(k, n0 ) → nên bị chặn, nghĩa tồn số C > cho: ||Φ(k, n0 )|| ≤ C với k ∈ N(n0 ) Khi theo Định lý 2.3, hệ ổn định Hơn nữa, nghiệm x(k) = x(k, n0 , x0 ) ổn định nên: k→∞ ||x(k)|| = ||Φ(k, n0 )x(n0 )|| = ||Φ(k, n0 )x0 || ≤ ||Φ(k, n0 )|| · ||x0 || −→ Vậy hệ ổn định tiệm cận Chiều ngược lại Với x0 : ||x(k)|| = ||Φ(k, n0 )x0 || → k → ∞ ổn định tiệm cận Từ đây, ta có ||Φ(k, n0 )|| → (iv) Chiều thuận ||G(k, l)|| ≤ Ce−λ(k−l) với l ≤ k Do e−λ(k−l) < nên ||G(k, l)|| ≤ C với l ≤ k Vậy theo (ii), hệ ổn định Do x(k) = Φ(k, n0 )x0 = Φ(k, n0 )Φ−1 (k1 , n0 )x(k1 ) nên suy ||x(k)|| ≤ ||Φ(k, n0 )Φ−1 (k1 , n0 )|| · ||x(k1 )|| ≤ C||x(k1 )||e−λ(k−k1 ) → k → +∞ (do ||x(k1 )||, k1 ổn định) Do k1 tùy ý, ổn định tiệm cận Chiều ngược lại Nghiệm x(k) ≡ hệ (2.5) ổn định tiệm cận Với số η ∈ (0, 1) tùy ý cho trước, ||x(k)|| = ||G(k, k1 )x(k1 )|| ⇒ k → +∞, với k1 nên với ε > 0, tồn k(ε) ∈ N(n0 ) cho ||x(k)|| = ||G(k, k1 )x(k1 )|| < ε, ∀ k ≥ k(ε) 22 Bằng cách chọn x(k1 ) (theo tọa độ thích hợp), ta lấy ε > đủ nhỏ cho ||G(k, k1 )x(k1 )|| < ε, ∀k ≥ k(ε), ∀ suy Với   k ≥ k(ε)   k ≥ k1 ||G(k, k1 )|| < η < 1, ∀ k ≥ k(ε), ∀ k1 ∈ N(n0 ) tồn số nguyên dương m (m ∈ N(n0 )) cho k1 + mk(ε) ≤ k ≤ k1 + (m + 1)k(ε) (Điều khơng ảnh hưởng đến trình k → +∞ m dương tùy ý, cho m → +∞ ) Khi với k ∈ N(k1 + mk(ε), k1 + (m + 1)k(ε)), m ∈ N(0), ta có ||G(k, k1 )|| ≤ ||G(k, k1 + mk(ε))|| · ||G(k1 + mk(ε), k1 + (m − 1)k(ε))|| {z } | {z } | η ≤n ||G(k1 + k(ε), k1 )|| {z } | (**) ≤C ≤ Cη m (m ∈ N(0)) m+1 = Cη −1 η k(ε) k(ε) ≤ Cη −1 η k−k1 k(ε) (do k ≤ k1 + (m + 1)k(ε) ⇒ (m + 1)k(ε) ≥ k − k1 Lại < η < nên từ η (m + 1)k(ε) < η k−k1 ) Đặt C1 = Cη −1 , λ = − ln η Khi (**) trở thành k(ε) ||G(k, k1 )|| ≤ C1 e−λ(k−k1 ) , ∀ k ≥ k1 Nhận xét Như với hệ tuyến tính Rp , ổn định tiệm cận kéo theo ổn định mũ Định lý 2.6 Xét hệ (2.5) Nếu lim k→∞ k Y λmax A(l) = hệ (2.5) ổn định tiệm cận l=0 Chứng minh Nếu có k ≥ n0 cho A(k) = ta có x(n) = 0, ∀n ≥ k với giá trị ban đầu Hệ ổn định tiệm cận Giả sử A(k) khác với k Khi đó, ma trận A(k) = AT (k)A(k) đối xứng xác định dương với k Ta có ||x(k + 1)||2 = xT (k + 1)x(k + 1) = xT (k)AT (k)A(k)x(k) ≤ λmax [AT (k)A(k)]||x(k)||2 Để cho gọn, ta kí hiệu M (k) = λmax (AT (k)A(k)) Như ||x(k + 1)||2 ≤ M (k)||x(k)||2 23 Thay k 0, 1, 2, ||x(1)||2 ≤ M (0)||x(0)||2 ||x(2)||2 ≤ M (1)||x(1)||2 ||x(3)||2 ≤ M (2)||x(2)||2 ||x(k)||2 ≤ M (k − 1)||x(k − 1)||2 ⇒||x(k)||2 ≤ Do ||x(0)|| cố định nên k−1 Q l=0 k−1 Y M (l)||x(0)||2 l=0 M (l) → k → ∞, ta có ||x(k)|| → Từ suy ra, hệ hút Do hệ tuyến tính nên tính chất hút kéo theo tính ổn định tiệm cận Ví dụ 2.2   x(n + 1) = x(n)  y(n + 1) = x(n) + y(n) Lời giải Ở  A= Cách 1/2 1/4 kAk = supx6=0   kAxk = kxk Vậy, ta kết luận nghiệm tầm thường (x1 , x2 ) = (0, 0) hệ ổn định Chưa thể kết luận ổn định tiệm cận Cách Ta có phương trình đặc trưng 1/2 − λ P (λ) =