Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNNGUYỄN QUỐC TUẤNPHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHYVÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUANĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 3 Đề án "PHƯƠNG TR
Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính
CHƯƠNG 2 Một số phương trình hàm Cauchy một biến
2.2 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng mũ.
2.3 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng logarit.
2.4 Phương trình hàm Cauchy một biến nhân tính.
CHƯƠNG 3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến
3.2 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến cộng tính.
Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức
CHƯƠNG 2 Một số phương trình hàm Cauchy một biến
Phương trình hàm Cauchy một biến nhân tính
CHƯƠNG 3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến
Phương trình hàm Cauchy nhiều biến
3.3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến nhân tính.
3.4 Một số phương trình hàm Cauchy nhiều biến khác.
Bình Định, ngày 10 tháng 10 năm 2023
Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính Tài liệu tham khảo chính là [6].
Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A M Legendre - người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy f(x+y) = f(x) +f(y) với mọi x, y ∈ R Đến năm 1821, A L Cauchy bắt đầu đề xuất những nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính trong sách Cours d’Analyse của mình Hàm cộng tính chính là nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên Vì vậy trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng tính.
1.2 Một số phương trình hàm
Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết chính là các hàm, giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu). Một phương trình bao gồm một hàm chưa biết và một hoặc nhiều đạo
4 hàm của nó được gọi là phương trình vi phân Ví dụ như: f ′ (x) + mx = 5 và f ′′ (x) +f ′ (x) + sin(x) = 0.
Các phương trình gồm tích phân của hàm số chưa biết được gọi là phương trình tích phân Một vài ví dụ về phương trình tích phân f(x) = e x −
[1−xcos(xt)]f(t)dt, và f(x) Z x 0 h tf 2 (t)−1 i dt.
Phương trình hàm là phương trình trong đó các ẩn là các hàm số Ví dụ về phương trình hàm là f(x+y) =f(x) +f(y), f(x+y) = f(x)f(y), f(xy) =f(x)f(y), f(xy) =f(x) +f(y), f(x+y) =f(x)g(y) + g(x)f(y), f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y), f(x+y) +f(x−y) = 2f(x) + 2f(y), f(x+y) =f(x) +f(y) + f(x)f(y), f(x+y) = g(xy) +h(x−y), f(x)−f(y) = (x−y)h(x+y), f(pr, qs) +f(ps, qr) = 2f(p, q) + 2f(r, s), g(f(x)) = g(x) +β,g(f(x)) =αg(x), α ̸= 1 và f(t) =f(2t) +f(2t−1).
Phạm vi của phương trình hàm bao gồm các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, Các phương trình hàm là một lĩnh vực của toán học trên 200 năm tuổi Hơn 5000 bài báo đã được công bố trong lĩnh vực này Tuy nhiên đối với luận văn thạc sĩ tôi chỉ tập trung nghiên cứu về phương trình hàm Cauchy và một số ứng dụng của nó.
Năm 1747 và 1750, d’Alambert đã công bố 3 bài báo trong đó bài thứ nhất là phương trình hàm (xem J Aczél, Lectures on functional equa- tions and their applications Academic Press, New York, London, 1966.). Phương trình hàm được nghiên cứu bởi d’Alambert (1747), Euler (1768), Poissons (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) và nhiều nhà toán học khác Hilbert (1902) đề xuất trong sự nối tiếp với vấn đề 5 của ông là định lý hàm vi phân cung cấp phương pháp đẹp và mạnh để giải phương trình hàm, trong đó giả thiết khả vi là điều kiện không thể thiếu Nhờ đề xuất của Hilbert nhiều nghiên cứu về phương trình hàm đã xem xét với các phương trình hàm khác nhau không có một vài hoặc ít các giả thiết Sự nổ lực này đã góp phần phát triển định lý hiện đại về phương trình hàm.
Lý thuyết các dạng quy tắc toán học hiện đại của phương trình hàm ngày càng phát triển nhanh ở cuối thập niên 60 của thế kỉ trước.
Giải phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm Để thu được một nghiệm, các hàm số phải bị giới hạn bởi một đặc trưng riêng (như là giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu).
1.3 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính
Phần này giới thiệu về phương trình hàm Cauchy cộng tính và xác định nghiệm của nó.
Cho f : R →R trong đóR là tập số thực,f là hàm số thỏa mãn phương trình hàm f(x+y) = f(x) +f(y) (1.1) với mọi x, y ∈ R Phương trình hàm này đã được biết là phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm (1.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi A M. Legendre(1791) và C F Gauss (1809) nhưng A L Cauchy (1821) là người đầu tiên tìm ra nghiệm trong lớp hàm liên tục Phương trình (1.1) có vị trí quan trọng trong toán học nó được đề cập tới trong hầu hết các khía cạnh của toán học. Định nghĩa 1.1 Hàm số f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn: f(x+y) = f(x) +f(y) với mọi x, y ∈ R. Định nghĩa 1.2 Hàm số f : R → R được gọi là hàm tuyến tính nếu nó có dạng: f(x) =cx (∀x ∈ R), trong đó c là một hằng số. Đồ thị của hàm tuyến tính f(x) = cx là một đường thẳng, đi qua gốc do đó nó được gọi là tuyến tính Hàm số tuyến tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy Các câu hỏi được đưa ra là có hàm nào khác thỏa mãn phương trình hàm Cauchy hay không?
Ta thấy rằng chỉ có nghiệm liên tục của phương trình hàm Cauchy là tuyến tính Đây là kết quả được chứng minh bởi Cauchy vào năm 1821. Định lý 1.1 Cho f : R → R là liên tục và thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi đó f tuyến tính, nghĩa là f(x) =cx trong đó c là một hằng số tùy ý.
Chứng minh Trước tiên ta cố định x rồi lấy tích phân hai vế của phương trình (1.1) theo biến y ta được f(x) Z 1 0 f(x)dy
Vì hàm số f liên tục nên f ′ (x) = f(1 +x)−f(x) (1.2) f(1 +x) = f(1) +f(x) (1.3)
Thay (1.3) vào (1.2) ta có f ′ (x) = f(1) = c Suy ra f(x) = cx+ d, rồi thay vào (1.1) suy ra d = 0.
Trong Định lý 1.1 ta sử dụng tính liên tục của f bắt buộc nghiệm f của phương trình Cauchy cộng tính là tuyến tính Do đó mỗi nghiệm khả tích của phương trình Cauchy cộng tính cũng tuyến tính. Định nghĩa 1.3 Một hàm f : R →R được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ khi nó là tích phân trên mọi khoảng hữu hạn.
Theo trên mỗi nghiệm khả tích địa phương của phương trình Cauchy cộng tính cũng là tuyến tính Ta đưa ra một cách chứng minh được đưa ra bởi Shapiro 1973 Giả sử f là một nghiệm khả tích địa phương của phương trình Cauchy cộng tính Do đó f(x+y) = f(x) +f(y) đúng với mọi x, y ∈ R Từ đó sử dụng tính khả tích địa phương của f ta được yf(x) Z y 0 f(x)dz
Vế phải của đẳng thức trên bất biến khi ta thay đổi vai trò của x và y từ đó suy ra yf(x) = xf(y) với mọi x, y ∈ R Do đó với x ̸= 0 ta được f(x) x = c, với c là một hằng bất kỳ Điều này suy ra f(x) =cx với mọi x ∈ R\ {0}.Cho x = 0 và y = 0 ở (1.1) ta được f(0) = 0 Như vậy f là một hàm tuyến tính trên R Mặc dù chứng minh của Định lý (1.1) ngắn gọn và chỉ gồm các phép tính vi phân, tích phân nhưng nó lại không hiệu quả cao và có nhiều kiến thức Giờ ta sẽ trình bày một cách chứng minh khác sẽ giúp ta hiểu hơn về nghiệm của phương trình Cauchy cộng tính.
Ta xét định lý sau. Định lý 1.2 Cho f : R → R là hàm cộng tính Khi đó f là thuần nhất hữu tỉ Hơn nữa, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ Q.
Chứng minh Cho x = 0 = y trong (1.1) ta có, f(0) = f(0) + f(0) từ đó suy ra f(0) = 0 (1.4)
Thay y = −x trong (1.1) và sử dụng (1.4), ta thấy f là hàm lẻ trong R hay f(−x) = −f(x) (1.5) với mọi x ∈ R Tiếp theo, chúng ta chứng minh hàm cộng tính là thuần nhất hữu tỉ.
Với x bất kì ta có, f(2x) = f(x+y) =f(x) +f(y) = 2f(x).
Từ đó f(3x) =f(2x+ x) =f(2x) + f(x) = 3f(x); tổng quát, ta có f(nx) = nf(x) (1.6) với mọi số nguyên dương n Nếu n là số nguyên âm thì −n là số nguyên dương và do đó từ (1.6) và (1.5), ta có f(nx) = f(−(−n)x) = −f((−n)x) = −(−n)f(x) =nf(x).
Từ đó ta có f(nx) = nf(x) với mọi số nguyên n và mọi x ∈ R Tiếp theo, cho r là một số hữu tỉ bất kì Ta có r = k l trong đó k là số nguyên còn l là số tự nhiên Hơn nữa, kx = l(rx) Sử dụng tính thuần nhất nguyên của f, ta được kf(x) =f(kx) =f(l(rx)) = lf(rx)
Suy ra f(rx) = k lf(x) = rf(x).
Do đó, f là thuần nhất hữu tỉ Hơn nữa, cho x = 1 trong phương trình trên và định nghĩa m = f(1), ta thấy f(r) = mr với mọi số hữu tỉ r ∈ Q Vì vậy f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ và chứng minh được hoàn thành. Định lý 1.3 Nếu hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục mọi nơi.
Chứng minh Cho f là hàm liên tục tại t và x là một điểm bất kì Vì vậy, ta có lim y→tf(y) =f(t) Tiếp theo, ta chứng f liên tục tại x Xét y→xlimf(y) = lim y→xf(y −x+t+x−t)t
= f(x). Điều này chứng tỏ f là liên tục tại x và do tính bất kỳ của x, do đó f liên tục mọi nơi.
1.4 Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính Định nghĩa 1.4 Đồ thị của hàm số f : R → R là một tập
Dễ thấy rằng đồ thị G của hàm số f : R → R là một tập con của R 2 Định lý 1.4 Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R trù mật khắp nơi trong R 2
Chứng minh Đồ thị G của hàm f được cho bởi
Chọn x1 ∈ R, x1 ̸= 0 Từ f là hàm cộng tính phi tuyến, với bất kì hằng số m, tồn tại x2 ∈ R, x2 ̸= 0 sao cho f (x 1 ) x1 ̸= f (x 2 ) x2
, nếu không viết m = f (x 1 ) x1 và cho x 1 = x, ta sẽ có f(x) = mx,∀x ̸= 0, và từ f(0) = 0 điều này ngụ ý f là hàm tuyến tính trái với giả thiết f là hàm phi tuyến Từ x 1 f (x 1 ) x 2 f (x 2 ) ̸= 0, ta có vectơ X 1 = x 1 , f(x 1 ) và X 2 = x 2 , f(x 2 ) là độc lập tuyến tính và chúng sinh ra toàn bộ R 2 Từ đó, với bất kì vectơ X = (x, f(x)), tồn tại số thực r 1 và r 2 sao cho
Một số phương trình hàm Cauchy nhiều biến khác
Bình Định, ngày 10 tháng 10 năm 2023
Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính Tài liệu tham khảo chính là [6].
Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A M Legendre - người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy f(x+y) = f(x) +f(y) với mọi x, y ∈ R Đến năm 1821, A L Cauchy bắt đầu đề xuất những nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính trong sách Cours d’Analyse của mình Hàm cộng tính chính là nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên Vì vậy trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng tính.
1.2 Một số phương trình hàm
Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết chính là các hàm, giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu). Một phương trình bao gồm một hàm chưa biết và một hoặc nhiều đạo
4 hàm của nó được gọi là phương trình vi phân Ví dụ như: f ′ (x) + mx = 5 và f ′′ (x) +f ′ (x) + sin(x) = 0.
Các phương trình gồm tích phân của hàm số chưa biết được gọi là phương trình tích phân Một vài ví dụ về phương trình tích phân f(x) = e x −
[1−xcos(xt)]f(t)dt, và f(x) Z x 0 h tf 2 (t)−1 i dt.
Phương trình hàm là phương trình trong đó các ẩn là các hàm số Ví dụ về phương trình hàm là f(x+y) =f(x) +f(y), f(x+y) = f(x)f(y), f(xy) =f(x)f(y), f(xy) =f(x) +f(y), f(x+y) =f(x)g(y) + g(x)f(y), f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y), f(x+y) +f(x−y) = 2f(x) + 2f(y), f(x+y) =f(x) +f(y) + f(x)f(y), f(x+y) = g(xy) +h(x−y), f(x)−f(y) = (x−y)h(x+y), f(pr, qs) +f(ps, qr) = 2f(p, q) + 2f(r, s), g(f(x)) = g(x) +β,g(f(x)) =αg(x), α ̸= 1 và f(t) =f(2t) +f(2t−1).
Phạm vi của phương trình hàm bao gồm các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, Các phương trình hàm là một lĩnh vực của toán học trên 200 năm tuổi Hơn 5000 bài báo đã được công bố trong lĩnh vực này Tuy nhiên đối với luận văn thạc sĩ tôi chỉ tập trung nghiên cứu về phương trình hàm Cauchy và một số ứng dụng của nó.
Năm 1747 và 1750, d’Alambert đã công bố 3 bài báo trong đó bài thứ nhất là phương trình hàm (xem J Aczél, Lectures on functional equa- tions and their applications Academic Press, New York, London, 1966.). Phương trình hàm được nghiên cứu bởi d’Alambert (1747), Euler (1768), Poissons (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) và nhiều nhà toán học khác Hilbert (1902) đề xuất trong sự nối tiếp với vấn đề 5 của ông là định lý hàm vi phân cung cấp phương pháp đẹp và mạnh để giải phương trình hàm, trong đó giả thiết khả vi là điều kiện không thể thiếu Nhờ đề xuất của Hilbert nhiều nghiên cứu về phương trình hàm đã xem xét với các phương trình hàm khác nhau không có một vài hoặc ít các giả thiết Sự nổ lực này đã góp phần phát triển định lý hiện đại về phương trình hàm.
Lý thuyết các dạng quy tắc toán học hiện đại của phương trình hàm ngày càng phát triển nhanh ở cuối thập niên 60 của thế kỉ trước.
Giải phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm Để thu được một nghiệm, các hàm số phải bị giới hạn bởi một đặc trưng riêng (như là giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu).
1.3 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính
Phần này giới thiệu về phương trình hàm Cauchy cộng tính và xác định nghiệm của nó.
Cho f : R →R trong đóR là tập số thực,f là hàm số thỏa mãn phương trình hàm f(x+y) = f(x) +f(y) (1.1) với mọi x, y ∈ R Phương trình hàm này đã được biết là phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm (1.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi A M. Legendre(1791) và C F Gauss (1809) nhưng A L Cauchy (1821) là người đầu tiên tìm ra nghiệm trong lớp hàm liên tục Phương trình (1.1) có vị trí quan trọng trong toán học nó được đề cập tới trong hầu hết các khía cạnh của toán học. Định nghĩa 1.1 Hàm số f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn: f(x+y) = f(x) +f(y) với mọi x, y ∈ R. Định nghĩa 1.2 Hàm số f : R → R được gọi là hàm tuyến tính nếu nó có dạng: f(x) =cx (∀x ∈ R), trong đó c là một hằng số. Đồ thị của hàm tuyến tính f(x) = cx là một đường thẳng, đi qua gốc do đó nó được gọi là tuyến tính Hàm số tuyến tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy Các câu hỏi được đưa ra là có hàm nào khác thỏa mãn phương trình hàm Cauchy hay không?
Ta thấy rằng chỉ có nghiệm liên tục của phương trình hàm Cauchy là tuyến tính Đây là kết quả được chứng minh bởi Cauchy vào năm 1821. Định lý 1.1 Cho f : R → R là liên tục và thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi đó f tuyến tính, nghĩa là f(x) =cx trong đó c là một hằng số tùy ý.
Chứng minh Trước tiên ta cố định x rồi lấy tích phân hai vế của phương trình (1.1) theo biến y ta được f(x) Z 1 0 f(x)dy
Vì hàm số f liên tục nên f ′ (x) = f(1 +x)−f(x) (1.2) f(1 +x) = f(1) +f(x) (1.3)
Thay (1.3) vào (1.2) ta có f ′ (x) = f(1) = c Suy ra f(x) = cx+ d, rồi thay vào (1.1) suy ra d = 0.
Trong Định lý 1.1 ta sử dụng tính liên tục của f bắt buộc nghiệm f của phương trình Cauchy cộng tính là tuyến tính Do đó mỗi nghiệm khả tích của phương trình Cauchy cộng tính cũng tuyến tính. Định nghĩa 1.3 Một hàm f : R →R được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ khi nó là tích phân trên mọi khoảng hữu hạn.
Theo trên mỗi nghiệm khả tích địa phương của phương trình Cauchy cộng tính cũng là tuyến tính Ta đưa ra một cách chứng minh được đưa ra bởi Shapiro 1973 Giả sử f là một nghiệm khả tích địa phương của phương trình Cauchy cộng tính Do đó f(x+y) = f(x) +f(y) đúng với mọi x, y ∈ R Từ đó sử dụng tính khả tích địa phương của f ta được yf(x) Z y 0 f(x)dz
Vế phải của đẳng thức trên bất biến khi ta thay đổi vai trò của x và y từ đó suy ra yf(x) = xf(y) với mọi x, y ∈ R Do đó với x ̸= 0 ta được f(x) x = c, với c là một hằng bất kỳ Điều này suy ra f(x) =cx với mọi x ∈ R\ {0}.Cho x = 0 và y = 0 ở (1.1) ta được f(0) = 0 Như vậy f là một hàm tuyến tính trên R Mặc dù chứng minh của Định lý (1.1) ngắn gọn và chỉ gồm các phép tính vi phân, tích phân nhưng nó lại không hiệu quả cao và có nhiều kiến thức Giờ ta sẽ trình bày một cách chứng minh khác sẽ giúp ta hiểu hơn về nghiệm của phương trình Cauchy cộng tính.
Ta xét định lý sau. Định lý 1.2 Cho f : R → R là hàm cộng tính Khi đó f là thuần nhất hữu tỉ Hơn nữa, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ Q.
Chứng minh Cho x = 0 = y trong (1.1) ta có, f(0) = f(0) + f(0) từ đó suy ra f(0) = 0 (1.4)
Thay y = −x trong (1.1) và sử dụng (1.4), ta thấy f là hàm lẻ trong R hay f(−x) = −f(x) (1.5) với mọi x ∈ R Tiếp theo, chúng ta chứng minh hàm cộng tính là thuần nhất hữu tỉ.
Với x bất kì ta có, f(2x) = f(x+y) =f(x) +f(y) = 2f(x).
Từ đó f(3x) =f(2x+ x) =f(2x) + f(x) = 3f(x); tổng quát, ta có f(nx) = nf(x) (1.6) với mọi số nguyên dương n Nếu n là số nguyên âm thì −n là số nguyên dương và do đó từ (1.6) và (1.5), ta có f(nx) = f(−(−n)x) = −f((−n)x) = −(−n)f(x) =nf(x).
Từ đó ta có f(nx) = nf(x) với mọi số nguyên n và mọi x ∈ R Tiếp theo, cho r là một số hữu tỉ bất kì Ta có r = k l trong đó k là số nguyên còn l là số tự nhiên Hơn nữa, kx = l(rx) Sử dụng tính thuần nhất nguyên của f, ta được kf(x) =f(kx) =f(l(rx)) = lf(rx)
Suy ra f(rx) = k lf(x) = rf(x).
Do đó, f là thuần nhất hữu tỉ Hơn nữa, cho x = 1 trong phương trình trên và định nghĩa m = f(1), ta thấy f(r) = mr với mọi số hữu tỉ r ∈ Q Vì vậy f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ và chứng minh được hoàn thành. Định lý 1.3 Nếu hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục mọi nơi.
Chứng minh Cho f là hàm liên tục tại t và x là một điểm bất kì Vì vậy, ta có lim y→tf(y) =f(t) Tiếp theo, ta chứng f liên tục tại x Xét y→xlimf(y) = lim y→xf(y −x+t+x−t)t
= f(x). Điều này chứng tỏ f là liên tục tại x và do tính bất kỳ của x, do đó f liên tục mọi nơi.
1.4 Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính Định nghĩa 1.4 Đồ thị của hàm số f : R → R là một tập
Dễ thấy rằng đồ thị G của hàm số f : R → R là một tập con của R 2 Định lý 1.4 Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R trù mật khắp nơi trong R 2
Chứng minh Đồ thị G của hàm f được cho bởi
Chọn x1 ∈ R, x1 ̸= 0 Từ f là hàm cộng tính phi tuyến, với bất kì hằng số m, tồn tại x2 ∈ R, x2 ̸= 0 sao cho f (x 1 ) x1 ̸= f (x 2 ) x2
, nếu không viết m = f (x 1 ) x1 và cho x 1 = x, ta sẽ có f(x) = mx,∀x ̸= 0, và từ f(0) = 0 điều này ngụ ý f là hàm tuyến tính trái với giả thiết f là hàm phi tuyến Từ x 1 f (x 1 ) x 2 f (x 2 ) ̸= 0, ta có vectơ X 1 = x 1 , f(x 1 ) và X 2 = x 2 , f(x 2 ) là độc lập tuyến tính và chúng sinh ra toàn bộ R 2 Từ đó, với bất kì vectơ X = (x, f(x)), tồn tại số thực r 1 và r 2 sao cho