Luận văn sử dụng dãy số để giải một số dạng phương trình hàm

1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích tốn học Các dạng tốn phương trình hàm phong phú bao gồm loại phương trình tuyến tính phương trình phi tuyến, phương trình ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm Các nhà tốn học tiếp cận phương trình hàm theo mục tiêu nghiên cứu khác nhau, nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng cụ thể nghiệm); nghiên cứu nghiệm địa phương nghiên cứu nghiệm toàn cục; xác định nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn,… Phương trình hàm chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trường THPT chuyên Các toán liên quan đến phương trình hàm tốn thường gặp kì thi học sinh giỏi mơn toán Quốc gia, khu vực Quốc tế Hiện nước ta, phương trình hàm chủ yếu giảng dạy cho học sinh lớp chuyên toán (đối với THPT) sinh viên trường ĐH,CĐ tham gia đội tuyển thi Olympic toán sinh viên Quốc gia Quốc tế Việc giải phương trình hàm địi hỏi vận dụng nhiều kiến thức giải, có khả tư tốt, phán đốn, khái qt tốt, Vì việc học tập tìm hiểu phương trình hàm cần thiết, đặc biệt việc sử dụng dãy số để giải số dạng phương trình hàm, khơng làm cho kho tàng phương pháp giải phương trình hàm thêm phong phú, mà cịn giúp người giải tốn nói chung, học sinh THPT nói riêng dễ tiếp cận u thích tốn phương trình hàm Vì vậy, tơi chọn đề tài “ Sử dụng dãy số để giải số dạng phương trình hàm” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng tính chất dãy số việc giải số dạng phương trình hàm Nội dung nghiên cứu - Trình bày số khái niệm tính chất dãy số; - Nghiên cứu ứng dụng tính chất dãy số việc giải số dạng phương trình hàm Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức dãy số - Vận dụng kiến thức dãy số việc giải tốn phương trình hàm có liên quan Ý nghĩa khoa thực tiễn đề tài: Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học viên cao học bạn học sinh việc tìm hiểu ứng dụng tính chất dãy số việc giải số dạng phương trình hàm 2 Bố cục luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn trình bày kiến thức dãy số: Khái niệm dãy số;giới hạn dãy số; Tính chất thứ tự giới hạn, nguyên lý kẹp; tính chất dãy hội tụ; hội tụ dãy đơn điệu dãy kề dãy con; bổ đề Bolzano-Weierstrass; giới hạn trên, giới hạn ; dãy Cauchy ; Dãy riêng số tính chất; phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số số Chương 2: Sử dụng dãy số để giải số dạng phương trình hàm Bao gồm: Phương trình hàm dạng n  a f ( x)  g ( x)  ; Phương trình hàm dạng i 1 i i f ( x)  f ( g ( x)) ; Phương trình hàm dạng af ( x)  bf ( g ( x))  h( x) ; Cuối việc sử dụng dãy số phương trình hàm đa thức số toán khác 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến dãy số Một số định nghĩa tính chất dãy số 1.1.1 Dãy số: Ánh xạ u : *   n  u  n   un gọi dãy số - Ta kí hiệu dãy số sau: u1 , u2 , u3 , , un , un  1.1.2 Giới hạn dãy số: * Dãy un  gọi hội tụ đến l (hay có giới hạn đến l ) với số   , tồn N   cho un  l   , n  N Khi ta viết lim un  l hay un  l  n    n * Ta nói un  dãy hội tụ tồn l   để lim un  l Ta nói dãy un  phân kì n khơng hội tụ * Ta nói dãy un  tiến đến  (hay un  dần  , hay un  nhận  làm giới hạn) L  0; N   : n  N,u n  L Khi ta viết lim un   u n   (n  ) n * Ta nói dãy un  tiến đến  (hay un  có giới hạn  ) viết lim un   : n L  0; N   : n  N, u n  L * Tính chất thứ tự giới hạn + Nếu a n  b n với n  n đó; lim an  a , lim bn  b a  b n n + Nguyên lí kẹp Cho un  , vn  , w n  ba dãy Nếu từ số N trở xảy bất đẳng thức u n  w n  v n un  vn  hội tụ đến giới hạn l Khi w n  hội tụ đến l * Các tính chất dãy hội tụ un  , vn  hai dãy ; r, l , l ' ba số thực Ta có : un  l (n  )  un  l (n  ) ; un  0( n  )  un  0( n  ) ; un  l (n  )   un   l  l ' (n  ) ' vn  l (n  ) un  l ( n   )  un  l (n  ) un  0( n  )   unvn  (n  ) vn  bị chặn un  l (n  )   unvn  ll ' (n  ) ' vn  l (n  ) 1 un  l  0( n   )    xác định từ số N  un  1  n   un l u  un  l ;  l '  0(n  )   n  xác định từ số N   u  l lim  n   ' n v  n l * Sự hội tụ dãy đơn điệu Dãy kề Dãy con; Bổ đề Bolzano-Weierstrass; Giới hạn trên, giới hạn ; Dãy Cauchy ; số kiến thức liên quan un  gọi dãy tăng (giảm) un1  un (un1  un ) với n un  gọi dãy tăng (giảm) un1  un (un1  un ) với n Dãy tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu * Dãy tăng (giảm), bị chặn ( dưới) hội tụ - Dãy tăng, khơng bị chặn dần  + Đối với dãy un  giảm bị chặn dưới, xét dãy un  phần lại rõ *Dãy kề Hai dãy un  vn  gọi kề un  tăng, vn  giảm  un  0(n  ) * Hai dãy un  vn  kề chúng hội tụ đến giới hạn l Hơn un  un1  vn1  , n   * Dãy Cho dãy un  : u1 , u2 , u3 , Dãy unk với số thỏa mãn : n1  n2  n3    gọi dãy trích từ dãy un  * Nếu un  có giới hạn l dãy trích từ có giới hạn l * Cho un  dãy, l   Khi un  l  n    lim u2 n  l n lim u2 n1  l n Có thể mở rộng định lí cách tách dãy un  thành hai k dãy rời * Bổ đề Bolzano-Weierstrass Từ dãy số thực bị chặn ln trích dãy hội tụ * Nếu từ dãy  xn  trích dãy xnk hội tụ đến giới hạn a   a   gọi điểm giới hạn dãy cho * Giới hạn trên, giới hạn un  dãy số, unk dãy thỏa mãn   -  lim unk  l ; k    - Đối với dãy umk khác mà lim umk  l ' l '  l k  Khi l gọi giới hạn dãy un  , kí hiệu limun Tương tự ý nghĩa cho giới hạn limun Ta có: a) Ln tồn limun   , un  không bị chặn limun   ; b) Nếu un  bị chặn M limun  M ; c) lim un  l  limun  limun  l k  *Dãy Cauchy : Dãy un  gọi dãy Cauchy   0, N  *, m, n  N : xn  xm   * Dãy un  dãy Cauchy    0,  *, n  N : xn  xn  p   , p  * Dãy un  dãy Cauchy hội tụ 1.2 Dãy riêng số tính chất * Bổ đề Nếu f :    toàn ánh hàm số tăng nghiêm ngặt  f hàm số liên tục  * Định nghĩa Dãy xnk dãy số  xn n dãy phần   k trích từ dãy  xn n ra, số nk thỏa mãn điều kiện: lim nk  , n1  n2   nk  nk 1  n   * Định nghĩa Nếu dãy xnk k (của dãy số  xn n ) hội tụ giới hạn gọi giới hạn riêng dãy số  xn n * Định nghĩa - Giới hạn riêng lớn dãy số  xn n gọi giới hạn kí hiệu lim xn (hay lim sup xn ) n n - Giới hạn riêng bé dãy số  xn n gọi giới hạn kí hiệu lim xn (hay lim infxn ) n n * Định lý: Mọi dãy số thực  xn  có giới hạn giới hạn * Hệ - Với dãy bị chặn  xn  , x giới hạn dãy   tồn số hữu hạn số hạng dãy cho xn  x   - Với dãy bị chặn  xn  , x giới hạn dãy   tồn số hữu hạn số hạng dãy cho xn  x   Ta phát biểu hệ sau: - Với dãy bị chặn  xn  x giới hạn dãy   tồn n0   * cho xn  x   , n  n0 - Nếu x giới hạn dãy   tồn n0   * cho xn  x   , n  n0 * Hệ - Với dãy bị chặn  xn  , x giới hạn dãy   k   , tồn nk  k cho xnk  x   - Với dãy bị chặn  xn  , x giới hạn dãy   k   , tồn nk  k cho xnk  x   * Định lý Dãy  xn  hội tụ bị chặn lim xn  lim xn n n * Định lý Dãy  xn  có giới hạn (hữu hạn  ) lim sup xn  lim inf xn n n  - Khi lim xn  lim sup xn  lim inf xn x  n  n  1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số hằng: 1.3.1 Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số số có dạng: xn1  qxn  f n (1) axn1  bxn  f n ( 1/ ) Trong q, a, b số; f n hàm số n ; xn ẩn Phương trình (1) ( 1/ ) gọi phương trình sai phân tuyến tính không với hệ số số 7 Nếu fn  (1) trở thành: xn1  qxn (2) / (1 ) trở thành: axn1  bxn  ( 2/ ) Phương trình (2) ( 2/ ) gọi phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số 1.3.2 Nghiệm riêng phương trình khơng Xét trường hợp sau: a) f n đa thức bậc k n * Nếu q  tìm nghiệm riêng xn* (1) dạng : xn*  Qk (n) * Nếu q  tìm nghiệm riêng xn* (1) dạng: xn*  nQk (n) Trong đó: Qk (n)  b0  b1n  b2n2   bk nk đa thức bậc với đa thức Pk (n) Để xác định hệ số b0 , b1 , , bk ta so sánh hệ số lũy thừa n hai vế sau thay xn* vào phương trình (1) (phương pháp hệ số bất định), cho n giá trị n  0, 1, 2, giải hệ phương trình đại số b) f n hàm mũ: f n   n ,  ,  số  Nếu q   tìm nghiệm riêng xn* (1) dạng xn*   n  Nếu q   tìm nghiệm riêng xn* (1) dạng xn*  a n Để tìm a ta thay xn* vào (1), sau ước lược hai vế cho  n , ta phương trình xác định a c) f n tổng hàm f n  fn  Trong trường hợp tìm nghiệm riêng xn* (1) dạng xn*  xn*  xn*  Trong xn* i nghiệm riêng phương trình xn1  qxn  fn i 1.3.3 Nghiệm tổng quát * Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (2) có dạng xn  Cqn (3) Trong C số tùy ý * Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính khơng (1) có dạng xn  xn  xn* (4) Trong xn nghiệm tổng quát (2), xn* nghiệm riêng (1) 8 Chương SỬ DỤNG DÃY SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM n a 2.1 Phương trình hàm dạng i 1 i f i ( x )  g ( x)  Xét phương trình hàm n a i 1 i f i ( x )  g ( x)  Với f n ( x)   f ( f ( ( f ( x )) )) có n chu f (với f (x) hàm cần tìm; a1 , a 2, , , a n số cho trước) Cách giải:  Giả sử f hàm số thỏa mãn đề Với x thuộc tập xác định hàm số f (x) , ta xây dựng dãy số (u n ) sau: u0  x, u1  f (uo ), u2  f (u1 )  f ( f ( x )), , un 1  f (un ) , n    Tìm số hạng tổng quát dãy (u n ) , từ suy u , suy u1  f ( x)  Thử lại kết luận Bài tốn 2.1.1 Tìm tất hàm số f :0;   0;  thỏa mãn: f  x   f  f  x   x, x  (1) Giải: Với x  0,  ta xây dựng dãy số u n n sau: u  x, u1  f u   f  x , u  f u1 , , u n 1  f u n , Do un  f (un1 )  0;   nên un  0, n   Trong (1) lấy x  u n un   un 1  2un  0, n  0,1, 2,3, Phương trình đặc trưng 2     có nghiệm -2 Do un       , n  0,1,2, n Cách Ta có  u n      2n  u n1      1       2 n 1 2n 1       2 n 1 (2) Từ (2) cho n   sử dụng nguyên lí kẹp ta   Cách Do u0  x, u1  f  x  nên x      x  f x  x  f x     ;     ;   3    f x     2 Do un  x  f x  x  f x   (2) n , n  0,1,2, 3 (3)  Nếu x  f ( x)  từ (3) ta có: nlim u n 1   suy tồn n   cho   u n 1  , mâu thuẫn  Nếu x  f ( x)  từ (3) ta có: nlim u n   suy tồn n   cho   u n  , mâu thuẫn Vậy f ( x)  x  Do x lấy tùy ý 0;  nên f ( x)  x, x  0;  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy có hàm số thỏa mãn đề f ( x)  x, x  Bài toán 2.1.2 ( Dự tuyển IMO 1992) Cho a,b hai số thực dương Tìm tất số f : 0,   0,  cho : f ( f ( x))  af ( x)  b(a  b) x, x  0;  (1) Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) Với x  0;  , ta cố định x xây dựng dãy ( u n ) sau : u0  x, u1  f (u0 )  f ( x), u2  f (u1 )  f ( f ( x)), , un 1  f (un ), n   Từ (1) thay x u n  0;  ta : un   aun 1  b(a  b)un  0, n   Phương trình đặc trưng dãy số u n  2  a  b(a  b)  Phương trình có hai nghiệm b –(a+b), n u n   b n    (a  b) , n  0,1,2, (  số tìm sau) Ta có u n  f (u n 1 )  0;  Vậy u n  0, n  0,1,2, Ta có 2n  b   u n       ab  u n 1 Hơn   b     ab n 1  a  nên từ ab 2n  b   b        ab ab n 1  , n  0,1,2, Cho n   sử dụng nguyên lí kẹp ta   Vậy un   b n , n   Bài tốn 2.1.3 Tìm tất hàm số f : 0;   0;  thỏa mãn f  f  x    f  x   21x  2019, x   0;   (1) Bài tốn 2.1.4 Tìm tất hàm số f : 0,   0,  thỏa mãn f  f  f  x   f  f  x   f  x   18 x  0, x  0,  Bài tốn 2.1.5 Tìm tất hàm số f : 0;   0;  thỏa mãn   2018   2018 f ( f ( x)  f ( x)   263  263  x   Bài toán 2.1.6 Tìm tất hàm số f : 0;   0;  thỏa mãn (1) 10 f ( x( f ( y ))  f ( y ( f ( x))  xy, x, y  0;  (1) Bài toán 2.1.7 (Đề thi chọn đội tuyển Singapỏe năm học 2001-2002) Tìm tất hàm f : 0;1  0;3 thỏa mãn điều kiện f  f  x   f  x   12 x, x  (1) Bài toán 2.1.8 ( Đề thi HSG quốc gia năm 2012) Tìm tất hàm số f xác định tập số thực  , lấy giá trị  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (1) f toàn ánh từ  đến  ; (2) f hàm số tăng  ; (3) f  f x   f x   12 x với số thực x Bài tốn 2.1.9 Tìm hàm số f :    liên tục  thỏa mãn : f  f  x    f  x   x, x   (1) Bài tốn 2.1.10 Tìm hàm số f :    liên tục  thỏa mãn : f  f  x    f  x   x, x   (1) 2.2 Phương trình hàm dạng f  x   f  g  x  Xét phương trình hàm dạng : f  x   f  g  x  , g hàm số cho trước, f hàm số cần tìm với giả thiết liên tục tập xác định Cách giải  Lấy a giá trị tùy ý thuộc tập xác định hàm số f  xây dựng dãy số thích hợp  x n 1 với x1  a Hơn dãy  xn  thỏa mãn đồng thời: o f a   f  x1   f  x    f  x n   f  x n 1   o Dãy  xn  hội tụ b  Sử dụng tính liên tục f để suy f a   f b  Do f hàm Chú ý Thường ta xây dựng dãy số  x n 1 sau: x1  a, x n1  g  x  x1  a, xn 1  g 1  x  n  1,2,  (với g 1  xn   y : g  y   xn  Bài tốn 2.2.1 Tìm tất hàm số f : 0;   0;  cho f hàm liên tục khoảng 0;   2x  1 f x   f  , x  0;   x4  Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn đề Với a  , ta xây dựng dãy số x n1 sau: x1  a, xn1   xn n  1,2,  xn f a   f  x1   f  x    f  x n   f  x n 1    11 Đặt b   1, Khi b  xn 1  b    2b Ta có: 4b  xn  2b  b  xn  2bxn   xn  8b  2bxn    xn  b   b   xn    b   xn  xn  b Mà b  xn  0, n  * nên   b   xn   , n  * Do 16 n  7 7 xn 1  b  xn  b    xn 1  b     x1  b 16  16   16  n 1 7 Vậy xn  b    a  b Từ cho n   suy nlim x  b Vì f liên   n  16  tục 0;  nên ta có:    f a   nlim f a   nlim f  xn   f nlim x  f       n    1 Vậy với a  0;  f a   f  tức f không đổi khoảng 0;  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy tất hàm số cần tìm có dạng: f  x   C , x  0;  , (Với C số dương) Bài toán 2.2.2 (Đề dự tuyển thi Olympic toán quốc tế 1982, đề thi học sinh giỏi tốn 12 -TP Hồ Chí Minh, năm học 2003-2004) Tìm tất hàm liên tục f :    thỏa mãn điều kiện f  x   f  x   x  x, x   (1) Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn đề Khi ta có (1) Ta đặt: f  x   x  g  x  , x   , chứng minh g hàm Dễ thấy g hàm số liên tục  g  x    g  x  , x   (2) Trong (2) lấy x  ta ta g 0    g 0   g 0   Trong (2) lấy x  , ta g 1   g 1  g 1  Trong (2) thay x  x , ta g   x    g  x  , x   Kết hợp với (2) g  x   g   x  , x   , g hàm số chẵn  , ta cần chứng minh g hàm với x  Trước với x  g  x    g x   g x  , g  x   g x , x  Với x  , thay x x   14  ta g  x   g  x , x  lấy a  tùy ý, xét dãy xn     n 1 sau: 12 n x1  a, xn 1  x , n  1,2, Khi  14  g  xn 1   g  xn   g  xn   g xn 1    g x1   g a    xn   xn1    xn   1 42 4n1    x1  a 4n1 Mà g hàm liên tục nên ta có:        g 1    g a   nlim g x  g lim x  g lim a n  n   n   n   Vậy g  x   0, x   Suy f  x   x, x   Thử lại thấy thỏa mãn Do hàm số thỏa mãn đề f  x   x, x   Bài tốn 2.2.3 Cho n   Tìm tất hàm số liên tục f  x  thỏa mãn n 1 Cno f  x   Cn1 f  x    Cnn f  x n   0, x   Bài toán 2.2.4 (Đề thi HSG toán 12-TP Hồ Chí Minh, năm học 1997 – 1998) Tìm hàm số f  x  xác định liên tục  cho : f  x  f  x   1, x   (1) Bài toán 2.2.5 Cho    \ 1,1 Tìm hàm số f  x  xác định liên tục 0;  cho f x    f  x , x  0;  (1) Bài tốn 2.2.6 Tìm hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn điều kiện f  x   f  sin x  , x   Bài tốn 2.2.7 (Olympic tốn Bungari – vịng 3- 1997) Tìm tất hàm số liên tục f :    thỏa mãn 1  f  x   f  x   , x   4  (1) Bài toán 2.2.8 (Chọn đội tuyển Việt Nam thi tốn quốc tế năm 2007) Tìm tất hàm số f liên tục  thỏa mãn điều kiện x 1  f ( x)  f  x    , x   9  Bài toán 2.2.9 Cho  k  Hàm liên tục f :    thỏa mãn f  x   f  x  k  , x   (1) Chứng minh f hàm  Chú ý: Tương tự toán Bài toán 2.2.7, Bài toán 2.2.9, ta giải phương trình hàm sau: 13 f  x   f  ax  b  , x   (*) Trong f hàm số cần tìm với giả thiết liên tục  , phương trình x  ax  b có nghiệm thực khơng âm Cịn phương trình hàm f  x   f  mx  nx  p  , x   giải cách đưa phương trình hàm (*) (xem lại tốn 2.2.8) Bài tốn 2.2.10 Tìm hàm số liên tục f :    thỏa mãn điều kiện f  3xy    x  y   f  x  y   xy, x, y   (1) Bài tốn 2.2.11 Tìm tất hàm số liên tục f :    thỏa mãn:  x2  4x   f  x  f    x  x  3, x     (1) Bài tốn 2.2.12 Tìm tất hàm liên tục f :  1;1   thỏa mãn:  2x  f x   f  , x   1;1   x   Bài tốn 2.2.13 Tìm tất hàm liên tục f :  1;1   thỏa mãn:  2x  f x   f  , x   1;1  1  x  Bài tốn 2.2.14 Tìm tất hàm liên tục f :    thỏa mãn  x  f  x  f  , x     1 x  2x Hãy tìm  x2 tất hàm f xác định, liên tục khoảng  1;1 thỏa mãn hệ thức Bài toán 2.2.15 ( Đề thi HSG quốc gia năm 2001) Cho g  x   1  x  f g x   1  x  f x , x  1; 1 2 Bài tốn 2.2.16 Tìm tất hàm liên tục f :    thỏa mãn  x  y  12 x  12 xy  y f  xy   f  , x , y    2   2.3 Phương trình hàm dạng af  x   bf  g  x   h x  Xét phương trình hàm dạng af  x   bf  g  x   h x  , với a,b số thực g  x  h x  hàm số biết, f hàm số cần tìm * Cách giải Lấy x1 giá trị tùy ý thuộc tập xác định hàm số f  x  xây dựng dãy số  xn  dãy số tuần hồn giải phương trình hàm phương pháp Nếu dãy  xn  hội tụ 14 (thường xuất trường hợp giả thiết cho f hàm số liên tục) áp dụng phương pháp chuyển qua giới hạn 1 Bài tốn 2.3.1 Tìm hàm số f xác định  \  ;   cho: 3  x 1  1  f  x   f    x , x   \  ;     3x  3 3 3 (1) Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) Lấy x1 giá trị x 1 1 tùy ý  \  ;   , ta xây dựng dãy số  xn  sau: xn  n , n  1,2, 3 3  xn ta có x 1 x 1 x 1 x 1 x2  , x3   , x4   x1  x1  x2  x1  x3 Vậy  xn  dãy số tuần hồn chu kì Trong (1) thay x x1, x2 , x3 ta được:  f  x1   f  x2   x1   f  x2   f  x3   x2  f x   f x   x 3  Giải hệ với ẩn f  x1  ta f  x1     x1  x3  x2    x1  x1   x1   2  x1  x1  x13  x12  x1    x12  1 Do x1 lấy tùy ý  \  ;   nên sau thử lại ta có kết luận: Có 3 3 hàm số thỏa mãn đề f  x  x3  x  x   1 , x   \   ;  18 x   3 Bài tốn 2.3.2 Giải phương trình hàm:  x 1 f x   f     x, x  0,1  x  Giải Ta xây dựng dãy số  xn n sau: x1   \ 0,1 , xn  (1) xn 1  , n  xn 1 x 1 x1  x 1 1 , x3   , x4   x1 Như  xn n dãy tuần x1 x2 x1  x3 hồn chu kì Trong (1) thay x  xi (với i  1,2,3) ta Khi x2  15  f  x1   f  x2    x1   f  x   f  x3    x  f x   f x    x 3  1 1   Vì x1   \ 0;1 tùy ý, nên Giải hệ phương trình f  x1    x1   2 x1  x1  1 1  f  x   x    , x   \ 0,1 Thử lại ta thấy nghiệm thỏa mãn toán 2 x 1 x  Bài tốn 2.3.3 (Cuộc thi tìm kiếm tài Tốn học Quốc tế vòng 19) Giả sử hàm f thỏa mãn phương trình hàm sau:  x  29  f x   f  (1)   100 x  80  x2  Hãy tìm f 3 Bài tốn 2.3.4 Tìm tất hàm liên tục thỏa mãn Bài toán 2.3.5  x  3x (1) f  x   f    , x     Tìm hàm số f :    liên tục x  thỏa mãn nf  nx   f  x   nx, x   (1) (trong n  số tự nhiên cố định đó) Bài tốn 2.3.6 (Đề thi HSG Tỉnh Gia Lai năm học 2001 – 2002) Tìm tất hàm số liên tục f :    , cho: f  x   f  x   x, x   6 Bài tốn 2.3.7 Tìm tất hàm số liên tục f :    , cho: f 9x   f  x   f  x   f  x   100 x, x   Bài toán 2.3.8 Cho hàm số f : 0;   0;  thỏa mãn f  x   2018 f  x   2019 f  x  , x  Chứng minh tồn số thực k  để f  x   f  kx  , x  Bài tốn 2.3.9 Tìm hàm f :    thỏa mãn điều kiện   f    0, f 1    f  x  y   f  x  y   f  x  f  y  , x, y    (1) (1) (1) (1) 2.4 Sử dụng dãy số phương trình hàm đa thức số tốn khác Bài tốn 2.4.1 Tìm tất đa thức hệ số thực P x  không đồng không thỏa mãn P 1987   2019, P ( x)  P  x  1  33  32, x  16 Giải Giả sử P x  đa thức thỏa mãn đề Khi ta có P( x  1)  P x   32  33, x  Suy P 1987  1   2019  32   33  1987  33 Đặt x0  1987 , ta có x0  32  2019, P x0   x0  32 (do P 1987   2019 ) Xét dãy xn  sau: x0  1987, x1  x02  1, xn 1  xn2  1, n  1, 2, Khi P x0   x0  32 P x1   P ( x02  1)  P  x0   32  33  x02  33  ( x02  1)  32  x1  32, P x2   P( x12  1)  P x1   32  33  x12  33  ( x12  1)  32  x2  32 Bằng quy nạp ta P xn   xn  32, n  0,1,2, (*) Vì dãy số xn n0 dãy tăng nghiêm ngặt nên từ (*) suy P x   x  32 Sau thử lại ta kết luận: Có đa thức thỏa mãn đề P x   x  32 Bài tốn 2.4.2 Cho m số ngun dương lẻ Tìm đa thức hệ số thực P x   thỏa mãn P  2019   2025 P  x   m P  x m  1   6, x   Giải Từ giả thiết ta có P  x m  1   P  x     7, x   m Đặt P x   Q x   x  ta có Q x   x   Qx m  1  x m Q  2019   Xét dãy số u n  xác định u1  2019 u n1  u nm  Dễ thấy u n  tăng nghiêm ngặt, tập hợp  un n  1, 2,  có vơ hạn phần tử Mà Qu n   0, n  Nên m Q  x   0, x   , tức P x   x  Thử lại thấy thỏa mãn Bài tốn 2.4.3 Tìm tất đa thức hệ số thực P x  không đồng không thỏa mãn P  2007   4026 , P  x   P  x    2014  2019, x  Bài tốn 2.4.4 Tìm tất đa thức hệ số thực P x  thỏa mãn P669  2009 , P x   3P x    24  2, x  Bài tốn 2.4.5 (Đề nghị thi Olympic 30/04/2004) Tìm tất đa thức hệ số thực P x  thỏa mãn P x   30  Px    34  2, x  , P2004  2034 Bài tốn 2.4.6 Tìm tất đa thức hệ số thực P x  Q x  thỏa mãn  P  x  Q  x   Q  x    Q 1  x  P  x    P  x   , x   Chứng minh phương trình P x   Q x  có nghiệm thực P  x   Q x  Bài tốn 2.4.7 Tìm đa thức P  x     x  thỏa mãn P0   17 P  x  1   P  x    1, x   (1) Bài tốn 2.4.8 Tìm tất đa thức bậc lẻ P  x     x  thỏa mãn P  x  1   P  x    1, x   (1) Bài tốn 2.4.9 Tìm đa thức P  x     x  có degP   thỏa mãn P  x  1   P  x    1, x   (1) Bài tốn 2.4.10 Tìm đa thức P  x     x  thỏa mãn P0  P  x  x  1  P  x   P  x   1, x   (1) Bài tốn 2.4.11 Tìm tất hàm số tăng thực f : *  * thỏa mãn f  n  f  n    f  n  , n  * Bài tốn 2.4.12 Tìm tất hàm số f :  0;     0;   , thỏa mãn: Với x  0, y  , ta ln có f  x  f  y    f  x  yf  x  (với   ,   cho trước) (1) Bài toán 2.4.13 Tìm tất hàm số f : 0;   0;  thỏa mãn f  f  x   x   x, x  (1) 2.5 Vận dụng để tạo toán Ví dụ Sau cách đơn giản để tạo toán Xét hàm số f  x   x, x  Khi f  x    x  3, f  f  x   3  f  x   25 x  15  10 x  35 x  15 Do ta tốn sau: Bài tốn 2.5.1 Tìm tất hàm số f :  0;     0;   thỏa mãn f  f  x   3  f  x   35 x  15, x  0;  Ví dụ Từ lời giải toán Bài toán 2.2.2, lấy g  x   f  x   x , x   , sau thay vào g  x    g  x  , x   ta f  x   x    f  x   x  , x    f  x   f  x   x  x , x   Ta có tốn sau: Bài tốn 2.5.2.Tìm tất hàm liên tục f :    thỏa mãn điều kiện  f  x   f  x   x  x , x   Ví dụ Từ lời giải tốn Bài toán 2.2.2 lấy g  x   f  x    x  1 , x   , Sau thay vào g  x    g  x  , x   ta f  x    x  1    f  x    x  1 , x   18  f  x   f  x    x  1   x  1 , x    f  x   f  x   x  x  2, x   Ta có tốn sau: Bài tốn 2.5.3 Tìm tất hàm liên tục f :    thỏa mãn điều kiện f  x   f  x   x  x  2, x   (1) Ví dụ Từ phép tốn biến đổi hiển nhiên: 3x 2 3x  2   x  12 x    x   Ta có tốn sau Bài tốn 2.5.4 Tìm tất hàm số liên tục  thỏa mãn điều kiện  3x  f  x  f    , x    3 (1) Ví dụ Từ toán 2.4.7., ta xét hàm số g sau: g  x   f  x  1  f  x   g  x  1 Khi  3x   3x  g  x  1  g    1  g    , x   3    Lại thay x x-1 ta   x  1   3x 3x 25  g  x  g     g    , x     4 12     Ta tốn sau Bài tốn 2.5.5.Tìm tất hàm số liên tục  thỏa mãn điều kiện:  x x 25  f  x  f     , x   12   1  Ví dụ Xuất phát từ phương trình hàm f  x   f  x   Đặt 9  1 1   g x   f  x    f x   g  x   3 3   1 1 4    Khi g  x    g  x     g  x   Thay x x  ta 3 3 9     4 2x    g  x   g   x      g  x    9      Ta tốn sau Bài tốn 2.5.6 Tìm tất hàm liên tục f :    liên tục  thỏa mãn điều kiện: 19 2x   f  x   f  x2    , x   9  x2  y2 Ví dụ Xuất phát từ biến đổi  x  y    xy  với hàm số f  x   2 x  C ta có  x2  y   2x2  y f  xy   2 xy  C , f   C  x2  y2  C     x2  y2   f  xy   f    x  y    Vậy ta có tốn sau Bài tốn 2.5.7 (Đề nghị thi Olympic 30/04/2011) Tìm tất hàm số liên tục f :    thỏa mãn điều kiện:  x2  y  f  xy   f     x  y  , x, y   ,   (1) x2  Ví dụ Xét phương trình có hai nghiệm khơng âm x  Xét phương trình hàm  x2   h  x  h   , x     (1) Xét hàm số g  x   h x   hay h x   g  x   Từ (1) ta  x2   g  x  2  g   , x      x2  x   Trong (2) , thay x x+2 ta g  x   g   , x     Lấy g  x   f  x   x ta  x2  4x   f  x   5x  f    x  x  3, x      x  4x    f  x  f    x  x  3, x     Bài tốn 2.5.8 Tìm tất hàm số f :    liên tục  thỏa mãn điều kiện:  x2  4x   f  x  f    x  x  3, x   ,   Ví dụ 10 Muốn tạo dãy số tuần hồn chu kì n  3 , ta xét hệ 20   a  d  a  d  cos   ad  bc  ad  bc  2 Chọn a  , d   bc  Suy bc   Tiếp tục chọn b  3 9 2x  c   , f  x   Vậy ta có tốn sau  7x Bài tốn 2.5.9 Tìm hàm số f xác định  \  ,   cho: 7 7  2x   1 2 f  x  f    x  1, x   \  ,    1 7x  7  (1) Ví dụ 11 Muốn tạo dãy số tuần hồn chu kì n  4 , ta xét hệ   a  d  a  d  cos    ad  bc  ad  bc  Chọn a  , d   bc  Tiếp tục chọn b  c  1 , f x   Vậy ta có tốn sau 2x  Bài tốn 2.5.10 Tìm hàm số f xác định  \ 0, 2,      f  x  f     x, x   \ 0, 2, 2  2x   Hướng dẫn Lấy x1 giá trị tùy ý  \ 0, 2,    cho: 2 (1)   ta xây dựng dãy số 2 , x  N Ta có 2x 1  x1 x1  1 x2  , x3   , x4   , x5   x1 x1  x3  x4  x1  x2  x1 Vậy  xn  dãy số tuần hoàn chu kì Trong (1) thay x x1 , x2 , x3 , x4 ta được:  f  x1   f  x2   x (1)   f  x2   f  x3   x2 (2)   f  x3   f  x4   x3 (3)  f  x4   f  x1   x4 (4) x   n n 1 sau: xn1  21 Suy f  x1   x1  x2  f  x3   x1  x2  x3  f  x4   x1  x2  x3  x4  f  x1  Từ ta kết Ví dụ 12 Từ lời giải toán 2.5.3 lưu ý sau đó, ta có phương pháp xây dựng toán dạng sau: Xét hàm số liên tục thỏa mãn điểu kiện x (1) 3g  x   g   , x    n  , n  1 n n Dễ dàng chứng minh g  x   0, x   Trong (1) thay x nx ta 3g  x   g  x  , x  n  3n.g  nx   g  x  , x  (2) nx Xét hàm số f sau: f  x   g  x   thay vào (2) ta 3n  n2 x  nx    3n  f nx    2 f  x    3n   3n     3n x 2nx  3nf nx   f  x     f  x   nx 3n  3n  Ta có tốn sau Bài tốn 2.5.11 Tìm tất hàm số f :    liên tục x  thỏa mãn 3nf  nx   f  x   nx, x  (trong n  số tự nhiên cố định ) Ví dụ 13 Xét hàm số liên tục  f  x   x 2 x Khi f  nx   n x 2 nx  x  x 2 x   n 2 n 1 x f  x  f  x  y    x  y  x  y  x  y  xy .2 x.2 y  x 2 x.2 y  y 2 y.2 x  x y 1.xy  y f  x   x f  y   x y 1.xy Ta đươc toán sau Bài tốn 2.5.12 Tìm tất hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn điều kiện: f 1  y x y 1 f  x  y   f  x   2x f  y   xy, x, y   Hướng dẫn Đưa phương trình Cauchy (1) 22 Kết luận Luận văn với đề tài: Sử dụng dãy số để giải số dạng phương trình hàm, trình bày việc vận dụng tính chất dãy số việc giải phương trình hàm liên quan, kết luận văn bao gồm: Ứng dụng tính chất dãy số vào việc giải phương trình hàm dạng: - Phương trình hàm dạng n  a f ( x)  g ( x )  ; i 1 i i - Phương trình hàm dạng f ( x)  f ( g ( x)) ; - Phương trình hàm dạng af ( x)  bf ( g ( x))  h( x) ; - Sử dụng dãy số phương trình hàm đa thức số toán khác; - Vận dụng để tạo số toán Xây dựng hệ thống toán liên quan đến việc sử dụng tính chất dãy số việc giải số dạng phương trình hàm tạo toán liên quan