Luận văn bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền đa diện (tt)

i MỤC LỤC MỤC LỤC i Một số kí hiệu ii Mở đầu Chương TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TỐN 1.1 Thiết lập toán 1.2 Tính giải toán 1.3 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào kiện cho Chương TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 10 2.1 Tính trơn theo biến thời gian 10 2.2 Bài toán eliptic miền đa diện 11 2.3 Tính qui nghiệm suy rộng 13 2.4 Ví dụ 15 KẾT LUẬN CHUNG 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 ii MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN N - tập số tự nhiên, R - tập số thực, C - tập số phức Với số phức z ∈ C, kí hiệu Rez, Imz phần thực phần ảo z, z số phức liên hợp z, x = (x1 , , xn ) ∈ Rn đa số p = (p1 , , pn ) ∈ Nn , Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn, với biên ∂Ω, kí hiệu QT = Ω × (0, T ), ST = ∂Ω × (0, T ) với T ∈ (0, ∞) xp = xp11 xpnn , |p| = p1 + p2 + + pn Nếu khơng có đặc biệt ta dùng kí hiệu u (thay cho u(x, t), với (x, t) ∈ QT hay u(x), với x ∈ Ω) hàm véc tơ nhận giá trị phức, Dp u = ∂ |p| u đạo hàm (suy rộng) u(x, t) theo biến x cấp |p|, Trong ∂xp11 ∂xpnn luận văn dùng chữ C để kí hiệu chung cho số (và với số khác nhau, thay phải dùng kí hiệu C1 , C2 ta kí hiệu C) Luận văn sử dụng không gian hàm sau C0∞ (Ω): không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω,(giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác khơng) L2 (Ω): khơng gian hàm bình phương khả tích Ω H m (Ω): không gian Sobolev hàm véc tơ phức u(x) có đạo hàm suy rộng Dp u, |p| ≤ m thuộc L2 (Ω) với chuẩn kukH m (Ω) = XZ |p|≤m Ω p |D u(x)| dx 1/2 < +∞ iii ˚m (Ω): bao đóng C0∞ (Ω) với chuẩn H m (Ω) H H m (QT ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dp u, |p| ≤ m thuộc L2 (QT ) với chuẩn  u m = H (QT ) Z X m 1/2 |D u| dx dt < +∞ p QT |p|=0 H m,k (QT ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dp u, utj , |p| ≤ m, ≤ j ≤ k thuộc L2 (QT ) với chuẩn u m,k = H (QT ) Z X m QT |p|=0 p |D u| + k X |utj |  dx dt < +∞ j=1 ˚m,k (QT ): bao đóng tập Cs∞ (QT ) với chuẩn H m,k (QT ) H MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Các tốn biên phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ ngành khoa học kĩ thuật, đặc biệt mơ hình giải tích nhiều tượng vật lí Bởi tính thực tiễn đó, nghiên cứu tốn người ta quan tâm đến tính đặt tốn (sự tồn nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu cho) Việc nghiên cứu nghiệm toán biên phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường tách thành ba bước: (i) Tính đặt tốn; (ii) Tính quy nghiệm; (iii) Tiệm cận nghiệm suy rộng Các tốn biên tuyến tính phương trình đạo hàm riêng miền với biên trơn nghiên cứu hoàn thiện vào nửa đầu kỷ XX Các tốn biên khơng dừng trụ với đáy miền biên trơn nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace phép biến đổi Fourier để đưa toán dừng với tham biến miền trơn Vào năm chín mươi kỷ XX, toán biên tổng quát phương trình hệ phương trình khơng dừng miền không trơn nghiên cứu không nhiều cơng trình Ngun sử dụng phương pháp truyền thống (biến đổi Fourier, biến đổi Laplace), dừng lại việc giải việc giải toán miền với biên trơn, hệ số phương trình hệ phương trình buộc phải khơng phụ thuộc thời gian 2 Năm 1995 toán biên phương trình hệ phương trình khơng dừng có hệ số phụ thuộc thời gian miền trụ với đáy có biên khơng trơn nghiên cứu cách hệ thống GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng sử dụng phương pháp cắt thiết diện để đưa tốn khơng dừng xét thiết diện toán dừng Với phương pháp GS cộng xét toán biên hệ khơng dừng miền trụ với đáy có biên không trơn (xem [2, 3]) Khi đáy trụ nhị diện hay đa diện toán nhận nhiều quan tâm nghiên cứu năm gần ( xem [6, 7] ) Bài toán biên ban đầu thứ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền đa diện chưa nghiên cứu cách có hệ thống Với lí nêu chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: "Bài tốn biên ban đầu thứ hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền đa diện." Đối tượng nghiên cứu Chúng tơi nghiên cứu tốn sau: (−1)m L(x, t, D)u + ut = f (x, t) , (x, t) ∈ QT , (1.2) ∂j u = 0, ≤ j ≤ m − 1, (x, t) ∈ ST , ∂ν j (1.3) u|t=0 = ϕ(x) , x ∈ Ω (1.4) 3 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu toán (1.2) - (1.4) về: Tính đặt tốn; Tính qui nghiệm Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu toán trụ với đáy miền đa diện Phương pháp nghiên cứu Để giải toán sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp cắt thiết diện, bất đẳng thức tiên nghiệm kết toán elliptic miền đa diện Ý nghĩa luận văn Các kết luận văn góp phần hồn thiện lí thuyết định tính tốn biên ban đầu hệ phương trình khơng dừng miền có biên không trơn Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Tính đặt tốn: Thiết lập toán; Chứng minh tồn nghiệm suy rộng; Chứng minh nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào kiện cho 4 Chương 2: Tính qui nghiệm: Nêu lại kết toán biên elliptic miền đa diện; Chứng minh tính trơn nghiệm theo biến thời gian; Chứng minh tính qui tồn cục nghiệm 5 Chương TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TỐN Chúng tơi chứng minh tồn nghiệm suy rộng; Sự phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào liệu cho (đây tính đặt toán) toán biên ban đầu thứ hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền có biên khơng trơn Các kiến thức chương chủ yếu tổng hợp từ tài liệu [1, 6, 7] 1.1 Thiết lập toán n Cho Ω = x ∈ R3 : x kxk o = ω ∈ K miền đa diện R3 với đỉnh gốc Giả sử biên ∂Ω gồm đỉnh x = 0, cạnh (các nửa đường thẳng) M1 , , Md mặt trơn (thuộc lớp C ∞ ) Γ1 , , Γd Nghĩa K = Ω ∩ S miền kiểu đa diện hình cầu đơn vị S với mặt γk = Γk ∩ S Với < T < +∞, ký hiệu: Γi,T = Γi × (0, T ), i = 1, , d; QT = Ω × (0, T ) Xét tốn tử vi phân đạo hàm riêng cấp 2m L(x, t; D) = m X Dp (apq (x, t)Dq ), |p|,|q|=0 apq ma trận cấp s × s gồm phần tử thuộc C ∞ (QT ), apq , ∂apq ∂t ma trận hàm nhận giá trị phức bị chặn QT Chúng ta giả sử apq = (−1)|p|+|q| aqp với aqp ma trận chuyển vị liên hợp phức aqp Ta ln giả thiết tốn tử L elliptic mạnh theo t ∈ (0, T ), nghĩa tồn số C > cho với véc tơ ξ ∈ Rn véc tơ η ∈ Cs ta có X apq ξ p ξ q ηη ≥ C|ξ|2m |η|2 ∀(x, t) ∈ QT (1.1) |p|,|q|=m H m (Ω), H m,k (QT ) không gian Sobolev thông thường định nghĩa phần ký hiệu, m, k ký hiệu cấp đạo hàm ˚m,k (QT ) tương ứng theo biến x biến thời gian t Thêm vào H bao đóng H m,k (QT ) tập hàm thuộc C ∞ (QT ) triệt tiêu lân cận mặt xung quanh ST = ∂Ω × (0, T ) Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tốn biên ban đầu thứ hệ phương trình parbolic mạnh trụ QT sau (và từ gọi toán (1.2)-(1.4)) P u ≡ ut + (−1)m L(x, t; D)u = f ∂j u = 0, ∂ν j QT , ≤ j ≤ m − Γi,T , i = 1, , d u(x, 0) = ϕ(x) Ω, (1.2) (1.3) (1.4) đó, ν véc tơ pháp tuyến đơn vị mặt xung quanh Γi,T , i = 1, , d, f ϕ hàm cho trước, xác định QT Ω Ký hiệu Z B(u, v; t) = m X (−1)|p| apq (x, t)Dq uDp vdx, Ω |p|,|q|=0 ˚m (Ω) Khi đó, B(., ; t) dạng song tuyến tính phụ u, v ∈ H thuộc thời gian gọi liên kết với toán tử L(x, t; D) Theo cơng thức Green ta có (L(x, t; D)u, v)L2 (Ω) = B(u, v; t), với u, v ∈ C0∞ (Ω) với hầu khắp t ∈ [0, T ) ˚m,1 (QT ) gọi nghiệm Định nghĩa 1.1.1 ( xem[6]) Hàm u ∈ H suy rộng toán (1.2)-(1.4) u(x, 0) = ϕ(x) thỏa mãn đồng thức (ut , v)L2 (Ω) + (−1)m B(u, v; t) = (f, v)L2 (Ω) ˚m (Ω) với hầu khắp t ∈ (0, T ) với hàm v ∈ H 1.2 (1.5) Tính giải toán Trong mục này, chúng tơi nghiên cứu tốn (1.2)-(1.4) trụ khơng trơn QT Tuy nhiên, kết trụ với đáy miền đa diện Ở đây, chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm suy rộng, phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào hàm vế phải (1.2) Kí hiệu apqtk = Btk (u, v; t) = ∂ k apq k ∂t P |p|,|q|6m (−1)|p| R Ω apqtk (., t)Dq uDp vdx, k > Cùng với kí hiệu ta qui ước B(u, v; t) = Bt0 (u, v; t) 8 Định lí 1.2.1 ( xem [7]) Giả sử hệ số toán tử L(x, t; D) thỏa mãn sup{|apq |, |apqtk | : ≤ |p|, |q| ≤ m; (x, t) ∈ QT , k ≤ h + 1} ≤ µ, ˚m (Ω) Khi tốn (1.2)-(1.4) µ = const, f ∈ L2 (QT ) ϕ(.) ∈ H ˚m,1 (QT ) Hơn nữa, nghiệm có nghiệm suy rộng u(x, t) ∈ H thỏa mãn đánh giá
kuk2H m,1 (QT ) C kf k2L2 (QT ) + kϕk2H m (Ω) , C số không phụ thuộc vào u f 1.3 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào kiện cho Định lí 1.2.1 thiết lập tính giải tốn (1.2) (1.4) Ngồi ra, cịn cho thấy nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào hàm f vế phải (1.2) Mục ta chứng minh nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào hệ số tốn tử L Cho δ > 0, ta kí hiệu δ m X δ L = L (x, t; D) := Dp (aδpq (x, t)Dq ), |p|,|q|=0 toán tử phụ thuộc vào δ , aδpq ma trận cấp s × s hàm với giá trị phức bị chặn C ∞ (QT ), aδpq = (−1)|p|+|q| aδqp , với aδqp ma trận chuyển vị liên hợp phức aδqp , aδqp thỏa mãn (1.1) Đặt δ B (u, v; t) = Z m X (−1)|p| aδpq (x, t)Dq uDp vdx Ω |p|,|q|=0 Sử dụng bất đẳng thức G˚ arding Nhận xét (??) ta có (−1)m B δ (u, u; t) ≥ µ b0 kuk2H m (Ω) , µ b0 > 0, (1.6) ˚m (Ω) t ∈ [0, T ) Kí hiệu uδ nghiệm thỏa mãn với u ∈ H suy rộng toán (1.2) - (1.4) với thay toán tử L Lδ Khi ta có định lí sau ˚m,1 (QT ) nghiệm suy rộng Định lí 1.3.1 ( xem [7] ) Giả sử u ∈ H toán (1.2) - (1.4) sup{|apq (x, t) − aδpq (x, t)| : ≤ |p|, |q| ≤ m, (x, t) ∈ QT } ≤ µ(δ) Khi đó, µ(δ) → δ → hàm uδ hội tụ tới hàm u
không gian H m,1 (QT ) δ → 0, Kết luận Chương Trong chương chứng minh được: ˚m,1 (QT ) • Sự tồn nghiệm suy rộng khơng gian H hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền có biên khơng trơn • Nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào hệ số toán tử vi phân cho vế trái hàm f cho vế phải hệ phương trình 10 Chương TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM Trong chương chúng tơi trình bày tính quy nghiệm suy rộng u toán (1.2)-(1.4) Kiến thức chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [7] 2.1 Tính trơn theo biến thời gian Trước tiên, đưa bổ đề đề cập tính quy nghiệm theo biến thời gian Bổ đề chứng minh ([3]) (Định lý 3.1) Bổ đề 2.1.1 ( [7] ) Cho h ∈ N∗ , giả sử  (i) sup |apqtk | : i, j = 1, , n; (x, t) ∈ QT , k ≤ h + ≤ µ, (ii) ftk ∈ L2 (QT ), k ≤ h; ftk (x, 0) = 0, ≤ k ≤ h − ˚m,1 (QT ) tốn (1.2)-(1.4)) có đạo hàm Khi nghiệm suy rộng H ˚m,1 (QT ), k = 0, , h, theo t đến bậc h với utk ∈ H kuth k2H˚m,1 (Q ) T ≤C h X kftj k2L2 (QT ) , j=0 C số khơng phụ thuộc u f (2.1) 11 2.2 Bài tốn eliptic miền đa diện Chúng tơi giới thiệu chùm toán tử sinh toán Dirichlet phương trình elliptic nón K Với Mk cạnh nón Ω, Γk+ , Γk− mặt kề với Mk Khi đó, ký hiệu Dk nhị diện bị chặn nửa mặt phẳng Γok± tiếp xúc với Γk± Mk Gọi r, ϕ hệ tọa độ cực mặt phẳng vng góc với Mk cho   θ k Γok± = x ∈ R3 : r > 0, ϕ = ± Cố định t ∈ [0, T ], định nghĩa toán tử Ak (λ, t) sau: Ak (λ, t)U = r2m−λ L0 (0, t, D)(rλ U ), với L0 (0, t, D) = P Dp (a(0, t)Dq ), u(x) = rλ U (ϕ), λ ∈ C Toán tử |p|,|q|=m ˚2m (Ik ) vào L2 (Ik ) với Ak (λ, t) toán tử liên tục từ W22m (Ik ) ∩ W λ ∈ C, Ik = (− θ2k , θ2k ) Một số phức λ0 gọi giá trị riêng toán tử chùm Ak (λ, t) tồn hàm số khác không (k) ˚2m (Ik ) cho Ak (λ, t)U = Chúng ta ký hiệu δ+ (t) U ∈ W22m (Ik ) ∩ W (k) δ− (t) số thực lớn cho dải (k) (k) m − − δ− (t) < Reλ < m − + δ+ (t) không chứa giá trị riêng Ak (λ, t) Hơn nữa, ta định nghĩa (k) δ± = inf δ± (t) với k = 1, , d t∈[0,T ] Chúng giới thiệu hệ tọa độ cầu ρ = |x|, ω = x |x| Ω định nghĩa U(λ, t)U = ρ2m−λ L0 (0, t, D)(ρλ U ), u(x) = ρλ U (ω) Tốn tử U(λ, t) liên tục từ ˚2m (Ω) → L2 (Ω) Wm2m (Ω) ∩ W 12 Mỗi giá trị riêng U(λ, t) số phức λ0 mà U(λ0 , t)U = với ˚2m (Ω) U 6= 0, U ∈ Wm2m (Ω) ∩ W Cho l số nguyên không âm, β ∈ R, δ = (δ1 , , δd ) ∈ Rd Đặt S = {0} ∪ M1 ∪ ∪ Md tập điểm kỳ dị biên l (Ω) bao đóng tập C ∞ (Ω r S) với chuẩn: Khi Vβ,δ  l (Ω) =  kukVβ,δ Z X ρ2(β−l+|α|) K |α|≤l d Y  21 ( k=1 rk 2(δk −l+|α|) α  ) |∂x u| dx ≤ +∞, ρ (2.2) ρ = |x| khoảng cách từ điểm x đến gốc 0, rk khoảng cách từ x đến cạnh Mk Bao đóng C ∞ (Ω) theo chuẩn (2.2) ký hiệu ˚l (Ω) V β,δ Từ (2.2) có phép nhúng sau l l−1 Vβ,δ (Ω) ⊂ Vβ−1,δ−1 (Ω) ⊂ ⊂ Vβ−l,δ−l (Ω) Chúng ta xét toán Dirichlet phương trình elliptic sau   Lu = F Ω, (2.3)   ∂ k uk = 0, j = 1, , d ∂v Γj Đối với bổ đề tính quy nghiệm toán giá trị biên elliptic miền kiểu đa thức, tham khảo Hệ 4.1.10 Định lý 4.1.11 [4] l Bổ đề 2.2.1 ( [7] ) Cho u ∈ Vβ,δ (Ω) nghiệm tốn (2.3), l−2m F ∈ Vβ,δ (Ω) ∩ Vβl0 ,δ−2m (Ω), l ≥ m, l0 ≥ m Giả sử miền đóng hai đường thẳng Reλ = l − β − Reλ = l0 − β − 32 không chứa giá trị riêng chùm U hợp thành 13 δ δ thỏa mãn bất đẳng thức (k) (k) (k) (k) −δ+ < δk − l + m < δ− , δ+ < δk0 − l0 + m < δ− Khi u ∈ Vβl0 ,δ0 (Ω) ≤ CkF k2V l0 −2m (Ω) , kuk2V l0 (Ω) β ,δ β ,δ C số không phụ thuộc vào u F Từ Bổ đề 3.1.3 Bổ đề 3.1.6 [4], β, δk ∈ [−m, m], k = 1, , d, có phép nhúng sau m H m (Ω) ⊂ V0,0 (Ω) ⊂ Vβ,δ (Ω), m V0,0 (Ω) ⊂ V−β,−δ (Ω), −m Vβ,δ (Ω) ⊂ V0,0 (Ω), −m m V0,0 (Ω) không gian đối ngẫu V0,0 (Ω) m,h Chúng ta ký hiệu Hβ,δ (QT ) không gian Sobolev trọng số hàm u xác định QT với chuẩn: kuk2H m,h (Q ) T β,δ = Z  X QT ρ 2(β−m+|α|) |α|≤m + X d Y rk ( )2(δk −m+|α|) |∂xα u|2 ρ k=1  ρ |utj | dxdt h j=1 2.3 Tính qui nghiệm suy rộng Định lí 2.3.1 ( [7] ) Cho l, h số nguyên không âm, l ≥ 2m, β ∈ R, δ = (δ1 , , δd ) ∈ Rd , β, δk ∈ [−m, m], k = 1, , d Giả sử điều kiện sau thỏa mãn l−2m (i) ftk ∈ L2 (QT ) ∩ Vβ,δ (QT ), k = 0, 1, , h + 1, 14 k = 0, 1, , h − (ii) ftk (x, 0) = 0, Giả sử thêm miền đóng đường thẳng Reλ = m − Reλ = l − β − 3 không chứa giá trị riêng chùm toán tử U(λ, t), t ∈ [0, T ] (k) (k) −δ+ < δk − l + m < δ− , k = 1, , d ˚m,1 (QT ) nghiệm suy rộng toán (1.2)-(1.4) Khi Với u ∈ H l,0 (QT ), k = 0, 1, , h, utk ∈ Vβ,δ h X kutk kV l,0 (QT ) ≤ C h X β,δ k=0 l−2m kftk kVβ,δ (QT ) + k=0 h+1 X kftk kL2 (QT ) , (2.4) k=0 C số không phụ thuộc vào u f Nhận xét 2.3.2 Đặt r = rk Khi tồn số dương 1≤k≤d C1 , C2 không phụ thuộc x cho C1 ρ(x) d Y rk (x) k=1 ρ(x) ≤ r ≤ C2 d Y rk (x) k=1 ρ(x) , với x ∈ Ω l Do đó, chuẩn Vβl (Ω) := Vβ,β (Ω) tương đương với chuẩn sau  21  kukVβl (Ω) =  XZ r2(β−l−|α|) |Dα u|2 dx |α|≤l Ω Từ Định lý 2.3.1, có định lý sau Định lí 2.3.3 ( [7] ) Với l, h số nguyên không âm, l ≤ 2m, β ∈ R, β ∈ [−m, m] Giả sử điều kiện sau thỏa mãn ftk ∈ Vβl−2m,0 (QT ), ftk (x, 0) = 0, k = 0, , h + 1, k ≤ h 15 Hơn nữa, giả sử miền đóng đường thẳng Reλ = m − Reλ = l − β − 32 không chứa giá trị riêng toán tử chùm U(λ, t), t ∈ [0, T ] (k) (k) −δk < β − l + m < δ− ˚m,1 (QT ) nghiệm suy rộng tốn (1.2)-(1.4)) Khi Với u ∈ H utk ∈ Vβl,0 (QT ), k = 0, 1, , h, h X kutk kV l,0 (QT ) ≤ C h X β k=0 kftk kVβl−2m (QT ) + k=0 h+1 X kftk kL2 (QT ) (2.5) k=0 Trong trường hợp m = 1, có kết tương tự cho toán (1.2)-(1.4) miền đa diện, điều chứng minh [21] 2.4 Ví dụ Để minh họa Định lý ??, mục chúng tơi đưa ví dụ trường hợp L = ∆ Khi giá trị riêng Ak (λ, t) [xem [5], chương 2] λj = jπ , θk j = ±1, ±2, , (k) (k) (xem [18 mục 2.1.1]) Chúng ta có δ+ = δ− = π θk số thực dương lớn cho miền − π π < Reλ < θk θk ˆ giá trị riêng không chứa giá trị riêng toán tử chùm Ak (λ, t) Với λ toán tử Laplace - Beltrami −δ (với điều kiện Dirichlet) miền Ω hình cầu đơn vị ( Ω định nghĩa từ mục trước.) Khi giá trị riêng tốn tử chùm U(λ) r b+ Λ± = − ± λ cho 16 Chúng ta biết phổ −δ tập đếm giá trị riêng dương (xem [18], mục 2.2.1) Do đó, khoảng [−1, 0] khơng chứa giá trị riêng tốn tử chùm U(λ) Chúng ta ký hiệu giá trị riêng dương nhỏ + U(λ) Λ+ Khi khoảng [−1 − Λ+ j , Λj ] khơng chứa giá trị riêng toán tử chùm U(λ) Bây giờ, Các điều kiện giá trị riêng Ak (λ, t) U(λ) Định lý ?? viết sau −1 − Λ+ < m − , l−β− < Λ+ , |δk + l − m| < π , θk k = 1, , d 17 Kết luận Chương Trong chương chúng tơi trình bày: • Tính trơn theo biến thời gian nghiệm suy rộng không ˚m,1 (QT ) phụ thuộc vào độ trơn theo biến thời gian gian H hàm vế phải hàm hệ số hệ phương trình mà không phụ thuộc vào dáng điệu biên, trụ với đáy miền có biên khơng trơn • Tính qui tồn cục nghiệm toán (1.2)-(1.4) xét trụ với đáy miền đa diện 18 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp cắt thiết diện, chúng tơi chứng minh được: • Tính đặt tốn biên ban đầu thứ hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền có biên khơng trơn • Tính trơn nghiệm theo biến thời gian phụ thuộc vào tính trơn theo biến thời gian hàm vế phải hàm hệ số, mà không phụ thuộc vào dáng điệu biên đáy trụ • Trình bày tính qui nghiệm khơng gian Sobolev có trọng, trụ với đáy miền miền đa diện 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2005), "Phương trình đạo hàm riêng (Phần II)", Nxb Đại học sư phạm Hà Nội [2] Đỗ Văn Lợi, (2006), "Bài toán biên ban đầu thứ phương trình parabolic mạnh trụ hữu hạn với đáy khơng trơn", Tạp chí khoa học ĐHSPHN số 4, pp 18-21 Tiếng Anh [3] N M Hung, and N T Anh (2008), "Regularity of solutions of initial - boundary value problems for parabolic equations in domains with conical points" J Differential Equations 245, 1801-1818 [4] V G Maz’ya and Rossmann J (2010), ”Elliptic Equations in Polyhedrat Domains" Mathematical Surverys and Monographs, 162, (Amer, Math Soc, Providence, RI, 2010) [5] V A Kozlov, V G Maz’ya and J Rossmann (2001), "Spectral Problems Associated with Corner Singularities of Solutions to Elliptic Equations", Mathematical Surveys and Monographs 85, Amer Math Soc [6] Luong V.T., Loi D.V., (2013), "Initial - Boundary value Problems for second order parabolic systems in cylinder with polyhedral base" Boundary value Problems, 2011:56 (2011), doi: 10.1186/1687-27702011-56 20 [7] Luong V.T., Loi D.V., (2015), "The first Initial - Boundary value Problem for parabolic equations in a cone with edges"