Luận văn sử dụng phương pháp đại lượng cực biên giải các bài toán sơ cấp

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Hồ Thị Minh i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Trong trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K11 cao học Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Tốn giải tích khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thị Minh ii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương pháp đại lượng cực biên 1.2 Các định lí giá trị trung gian định lí giá trị trung bình 1.2.1 Định lí giá trị trung gian 1.2.2 Các định lí giá trị trung bình 1.3 Hàm lồi .11 Chương Các tốn áp dụng định lí giá trị trung gian trung bình 18 2.1 Các tốn sử dụng định lí giá trị trung gian 18 2.2 Các toán sử dụng định lí Rolle 24 2.3 Các toán sử dụng định lí giá trị trung bình 30 Chương Các toán liên quan tới hàm lồi 41 3.1 Sử dụng định nghĩa hàm lồi chứng minh toán bất đẳng thức 41 3.2 Sử dụng tính chất cực trị hàm lồi giải số toán bất đẳng thức cực trị 54 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp đại lượng cực biên (một số tài liệu gọi phương pháp đại lượng cực hạn) phương pháp sử dụng giải nhiều toán sơ cấp thuộc nhiều chủ đề khác toán phổ thông Nội dung phương pháp lợi dụng phần tử gọi đại lượng cực biên theo nghĩa nhỏ nhất, lớn nhất, điểm đầu đoạn thẳng, phần tử nằm ranh giới phần phần tập Trong tài liệu "Giải toán phương pháp đại lượng cực biên" Nguyễn Hữu Điển, tác giả trình bày việc sử dụng phương pháp đại lượng cực biên vào chủ đề khác đại số, số học, hình học giải tích với hệ thống tốn tập đa dạng Để hiểu rõ việc sử dụng phương pháp đại lượng cực biên giải tốn sơ cấp chúng tơi chọn đề tài: Sử dụng phương pháp đại lượng cực biên giải tốn sơ cấp Đề tài ngồi mục tiêu khảo sát kĩ kĩ thuật cách sử dụng đại lượng cực biên để giải tốn cịn tổng hợp đưa cách hệ thống minh họa phương pháp, phát triển tốn giúp ích cho học sinh giáo viên việc học dạy tốn Các tốn trình bày luận văn liên quan tới định lí giá trị trung bình, định lí giá trị trung gian hàm lồi Đây chủ đề quan trọng tốn phổ thơng, đặc biệt giảng dạy học sinh giỏi Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp đại lượng cực biên sử dụng phương pháp để giải toán sơ cấp với hệ thống toán lựa chọn từ việc tổng hợp tài liệu đưa Mục đích đề tài đưa tài liệu hữu ích (bên cạnh tài liệu[1]) phương pháp giải lớp tốn khó,thú vị tốn học phổ thông việc sử dụng phương pháp đại lượng cực biên Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Định lí giá trị trung gian hàm số, định lí Rolle, định lí giá trị trung bình ứng dụng sơ cấp chúng • Hàm liên tục, hàm khả vi, hàm lồi toán bất đẳng thức, cực trị liên quan Phương pháp nghiên cứu • Phân tích tổng hợp tài liệu • Phân tích, đánh giá phát triển kết liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày chứng minh định lí có ứng dụng liên quan đến điểm cực biên kiến thức phổ thơng định nghĩa đơn giản • Tổng hợp toán liên quan đưa toán tương tự Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương 1: Trong chương này, số vấn đề liên quan tới hàm số, định lí trung gian, định lí giá trị trung bình số khái niệm kết liên quan tới hàm lồi sở cho phương pháp đại lượng cực biên Chương 2: Trong chương trình bày ứng dụng định lí trung gian, định lí giá trị trung bình Cụ thể, chúng tơi lựa chọn trình bày số tốn lời giải có sử dụng định lí trung gian, định lí Rolle định lí giá trị trung bình Lagrange, Cauchy Chương 3: Chương trình bày việc giải toán liên quan tới hàm lồi, đặc biệt hàm nhiều biến lồi theo biến Bên cạnh toán (bao gồm toán bất đẳng thức cực trị) tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau, đưa số toán áp dụng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan tới định lí giá trị trung gian, định lí Rolle, định lí giá trị trung bình Lagrange định lí giá trị trung bình Cauchy số khái niệm, kết liên quan tới hàm lồi Nội dung phần tìm thấy tài liệu [1] nhiều tài liệu giải tích khác 1.1 Phương pháp đại lượng cực biên Trong toán học, đại lượng cực biên, hay gọi đại lượng cực hạn, theo nghĩa phần tử, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, điểm đầu đoạn thẳng, phần tử nằm ranh giới phần phần tập Đại lượng cực biên tốn cụ thể khác nhau, có tính chất chung phần tử nằm miền xác định miền khơng xác định tốn theo nghĩa Phương pháp đại lượng cực biên phương pháp giải tốn giải toán, ta dùng đại lượng cực biên làm mấu chốt cho xuất phát lí luận Nhiều kết quả, định lí giải tích thực có ứng dụng liên quan tới điểm cực biên Nhất hàm thực xác định đoạn thẳng đóng dựa vào giá trị hai đầu đoạn thẳng hàm này, ta có số kết để giải tốn tốt Những định lí quan trọng làm sở để giải tốn định lí giá trị trung gian hàm số, định lí giá trị trung bình, đặc biệt định lí Rolle Hàm lồi hàm quan trọng tốn học, tính chất hàm lồi sử dụng nhiều tốn cực trị, tốn bất đẳng thức Mơt tính chất quan trọng hàm lồi xác định đoạn thẳng nhận giá trị lớn điểm mút đoạn thẳng Tính chất quan trọng cho phương pháp đại lượng cực biên giải toán liên quan tới hàm lồi trình bày chương 1.2 Các định lí giá trị trung gian định lí giá trị trung bình 1.2.1 Định lí giá trị trung gian Định nghĩa 1.2.1 Một hàm số thực f gọi hàm số lên tục điểm x0 f (x) → f (x0 ) x → x0 Như hàm thực f gọi hàm liên tục điểm x0 , thỏa mãn ba điều: • f (x0 ) xác định; • lim f (x) tồn tại; x→x0 • lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Nếu hàm số f liên tục điểm c ∈ [a, b], f gọi hàm liên tục miền xác định [a, b] Mệnh đề 1.2.2 Hàm số f liên tục c với dãy số {xn } hội tụ tới c dãy { f (xn )} hội tụ tới f (c) Mệnh đề 1.2.3 Nếu f g hai hàm số liên tục x0 , ( f + g)(x) = f (x) f f (x) + g(x), ( f g)(x) = f (x).g(x) hai hàm liên tục x0 (x) = g g(x) hàm liên tục x0 với điều kiện g(x0 ) 6= Mệnh đề 1.2.4 Nếu f hàm liên tục x0 g hàm liên tục f (x0 ) ( f ◦ g)(x) = g( f (x)) hàm liên tục x0 Trước xét số tính chất hàm liên tục ta đưa khái niệm hàm bị chặn Định nghĩa 1.2.5 Hàm số f : I → R gọi hàm bị chặn tồn số thực M > cho | f (x)| ≤ M với x ∈ I (ở I tập R) (0, 1) hàm x không bị chặn Nhưng ngược lại, hàm liên tục khoảng đóng (cụ thể Ví dụ hàm số f (x) = x R hàm f (x) = đoạn thẳng [a, b]) hàm bị chặn Định nghĩa 1.2.6 Hàm số f : I → R gọi bị chặn (hoặc bị chặn dưới) tồn số thực M cho f (x) ≤ M (hoặc f (x) ≥ M) với x ∈ I Định nghĩa 1.2.7 Giả sử f hàm bị chặn (hoặc bị chặn dưới) tập hợp I Số thực M nhỏ ( lớn nhất) thỏa mãn f (x) ≤ M (hoặc f (x) ≥ M) với x ∈ I gọi số chặn (hoặc số chặn dưới) hàm số f kí hiệu M = sup f (x) (hoặc M = inf f (x)) x∈I x∈I Mệnh đề 1.2.8 Nếu f hàm liên tục khoảng đóng [a, b], f hàm bị chặn [a, b] Định lí sau cho ta điều kiện để giá trị cực biên trùng với giá trị hàm số Định lý 1.2.9 (Định lí giá trị cực biên) Nếu f hàm số liên tục [a, b], tồn điểm x1 , x2 ∈ [a, b] cho f (x2 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) với x ∈ [a, b] Chứng minh Giả sử f hàm liên tục [a, b] Khi f hàm bị chặn [a, b] M = sup f (x) m = inf f (x) tồn Giả sử M không x∈I x∈I trùng với giá trị hàm số f (x) Khi f (x) < M với x ∈ [a, b] Ta [a, b] Dễ thấy g(x) > với x ∈ [a, b] Khi đặt g(x) = M − f (x) theo mệnh đề 1.1.4, g hàm liên tục [a, b] Khi theo mệnh đề 1.1.8, g hàm bị chặn [a, b], tồn số thực k > cho g(x) ≤ k với x ∈ [a, b] Nghĩa là, với x ∈ [a, b], k ≥ g(x) = M − f (x) 1 > Do f (x) ≤ M − [a, b] Điều trái với k k định nghĩa M số chặn nhỏ f [a, b] Do tồn x1 ∈ [a, b] cho f (x1 ) = M Để chứng minh tồn x2 ∈ [a, b] với f (x2 ) = m, áp dụng M − f (x) ≥ lí luận với hàm số − f Định lý 1.2.10 (Định lí giá trị trung gian) Nếu f hàm số liên tục [a, b] f (a) < y < f (b) ( f (b) < y < f (a), tồn số c ∈ [a, b] cho f (c) = y Chứng minh Giả sử f hàm số liên tục khoảng đóng [a, b] giả sử f (a) < f (b) (chứng minh tương tự cho trường hợp f (b) < f (a)) Cho y ∈ ( f (a), f (b)) Ta cần tìm c ∈ (a, b) cho f (c) = y Quy trình tìm điểm c mơ tả theo bước sau đây: Lấy a0 = a, b0 = b x1 trung điểm đoạn thẳng [a, b] Nếu f (x1 ) < y ta đặt a1 = x1 , b1 = b , ngược lại y ≤ f (x1 ) ta đặt a1 = a, b1 = x1 Cả hai trường hợp ta có f (a1 ) ≤ y ≤ f (b1 ) độ dài [a1 , b1 ] nửa độ dài [a, b] Lấy x2 trung điểm đoạn thẳng [a1 , b1 ] Nếu f (x2 ) < y đặt a2 = x2 , b2 = b1 y ≤ f (x2 ) đặt a2 = a1 , b2 = x2 Quá trình tiếp tục lặp lại Kết tạo dãy đoạn thẳng đóng [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⊃ Dãy số độ dài đoạn thẳng hội tụ tới (vì ta có bi − = b−a ) Điều kéo theo hai dãy {ai } {bi } dãy hội tụ tới 2i số thực [a, b], cho số c Do f hàm liên tục, nên lim f (ai ) = f (c) lim f (bi ) = f (c) Hơn nữa, i→∞ i→∞ với i, f (ai ) ≤ y ≤ f (bi ) (theo ngun lí dãy bị kẹp hai dãy), suy f (c) = lim f (ai ) ≤ y ≤ lim f (bi ) = f (c) i→∞ i→∞ Từ suy f (c) = y định lí chứnng minh 1.2.2 Các định lí giá trị trung bình Ta nhắc lại định nghĩa đạo hàm số toán đạo hàm để làm cơng cụ để giải tốn Định nghĩa 1.2.11 Đạo hàm hàm số f : [a, b] → R điểm x thuộc (a, b) định nghĩa f ′ (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) , h giới hạn tồn Định nghĩa 1.2.12 Cho hàm số f : [a, b] → R c ∈ [a, b] hàm số f xác định Ta nói c điểm cực đại ( điểm cực tiểu ) f f (c) ≥ f (x) ( f (c) ≤ f (x)) với số x mà f xác định Nếu ta có f (c) ≥ f (x) với x đoạn đó, ta nói c điểm cực đại hàm số f (x) đoạn Định lý 1.2.13 Hàm số f xác định có đạo hàm khoảng (a, b) Cho c ∈ (a, b) điểm cực đại f Khi f ′ (c) = y f (x) O a c−k c c+h b x Hình 1.1 Chứng minh Nếu ta lấy giá trị đủ nhỏ h > 0, số c + h ∈ (a, b) Ta có f (c) ≥ f (c + h) − f (c) f (c + h) Do f (c + h) − f (c) ≤ Do h > 0, suy ≤ 0, Do h Bất đẳng thức cuối theo Bất đẳng thức Cauchy Vậy ta có điều phải chứng minh ✷ Bài tập 3.2.2 Cho a, b, c ≥ a + b + c = Tìm giá trị lớn của: r r r 1−a 1−b 1−c + + P= 1+a 1+b 1+c Lời giải Giả sử a ≤ b ≤ c Xét hàm số r 1−x f (x) = , x ∈ [0, 1] 1+x Ta có f ′ (x) = − 2x −1 r s , f ′′ (x) = 3 − x 1−x (x + 1)2 (x + 1)4 1+x 1+x 1 Ta thấy f ′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, ] f ′′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ ( , 1] Do P đạt giá trị lớn 2 a, b, c nhận giá trị thuộc {0, , 1} Vì a + b + c = 1, a ≤ b ≤ c nên xảy khả sau: i) a = 0, b = c = Khi P = + √ ii) a = b = 0, c = Khi P = + + ≤ + √ Vậy giá trị lớn P + √ ✷ Tổng qt hóa tốn trên, ta thu tốn tạp chí Crux Mathematicorum Cho x1 , x2 , , xn (n ≥ 2) số khơng âm có tổng Chứng minh r r r − x1 − x2 − xn ≤ n−2+ √ + + + + x1 + x2 + xn Bài tập 3.2.3 ([4]) Cho a, b, c > p, q, r ∈ [0, 1] thỏa mãn a + b + c = p + q + r = Chứng minh pa + qb + rc ≥ 8abc 55 Lời giải Giả sử a ≤ b ≤ c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với pa + qb + (1 − p − q)c ≥ 8abc Xét hàm số hai biến f (p, q) = pa + qb + (1 − p − q)c, hàm số hàm tuyến tính biến biến lại cố định Do hàm số đạt cực trị đầu mút khoảng xác định biến Vì p, q ∈ [0, ] nên   1 1 f (p, q) = min{ f (0, 0), f ( , 0), f (0, ), f } , 2 2 Hay 1 1 1 1 f (p, q) = min{c, a + b, a + c, c + a} = a + b 2 2 2 2 Ta chứng minh 1 a + b ≥ 8abc 2 Thật vậy, 1 a+b a+ b = [(a + b) + (1 − a − b)]2 2 a+b 4.(a + b).(1 − a − b) ≥ ≥ 2(a + b)2 c ≥ 8abc Vậy toán chứng minh ✷ Bài tập 3.2.4 ([4]) Cho a, b số thực dương x1 , x2 , , xn ∈ [a, b] Chứng minh   (a + b)2 1 ≤ (x1 + x2 + + xn ) + + + n x1 x2 xn 4ab Lời giải Với A, B > 0, xét hàm số f (x) = Ax + Ta có f ′′ (x) = B + AB + 1, x > x 2B > 0, ∀x > Do f (x) hàm lồi (0, ∞) Đặt x3   1 + + + F = (x1 + x2 + + xn ) x1 x2 xn 56 Cố định x2 , x3 , , xn F có dạng f (x) nên hàm lồi theo x1 Chứng minh tương tự ,F hàm lồi theo biến x2 , x3 , , xn Vì giá trị lớn F đạt xi ∈ {a, b}, i = 1, , n Giả sử có k, ≤ k ≤ n, biến xi nhận giá trị a n − k biến lại nhận giá trị b Khi  k n−k max F = [ka + (n − k)b] + a b  Ta chứng minh  (a + b)2 k n−k [ka + (n − k)b] + ≤ n a b 4ab  Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4[k(a + b) + (n − 2k)b][k(a + b) + (n − 2k)a] ≤ (a + b)2 n2 Bất đẳng thức ln ≤ (n − 2k)2 (a − b)2 Do   (a + b)2 k n−k ≤ n F ≤ [ka + (n − k)b] + a b 4ab Bất đẳng thức chứng minh ✷ Bài tập 3.2.5 ([Hoa Kỳ 1980, [1] ) Chứng minh a, b, c ∈ [0, 1], a b c + + + (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ b+c+1 c+a+1 a+b+1 Lời giải Ta xét hàm số F(a, b, c) = b c a + + + (1 − a)(1 − b)(1 − c) b+c+1 c+a+1 a+b+1 [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] Cho số không âm α , β , hàm số f (x) = f ”(x) = 2α ≥ 0, (x + β )3 α lồi [0, 1] x+β ∀x ∈ [0, 1] Do F(a, b, c) hàm lồi theo biến hai biến cố định (vì tổng hai hàm lồi hai hàm tuyến tính) 57 Giá trị lớn hàm đạt 23 điểm đỉnh khối hộp [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] Tất điểm đỉnh là: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) Ta suy max F(a, b, c) = 1, giá trị lớn đạt đỉnh a,b,c∈[0,1] khối hộp Vậy ta có điều phải chứng minh ✷ Bài tập 3.2.6 Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27 Lời giải Ta có xy + yz + zx − 2xyz = x(y + z) + yz − 2xyz = x(1 − x) + yz − 2xyz Mặt khác, (y + z)2 (1 − x)2 yz ≤ = 4   (1 − x)2 Cố định x xét hàm số f (yz) = x(1 − x) + yz − 2xyz − Vì 0, 27 (1 − x)2 f hàm tuyến tính theo yz nên f đạt giá trị lớn Ta có   1 2 f (0) = x(1 − x) − < −(x + x + ) = − x − ≤0 27 f Do đó,  (1 − x)2      1 =− x− x+ ≤   (1 − x)2 f (yz) ≤ 0, ∀yz ∈ 0, Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh ✷ Bài tập 3.2.7 Cho ≤ xk ≤ với k = 1, 2, , n Chứng minh x1 + x2 + + xn − x1 x2 xn ≤ n − Lời giải Cố định x2 , x3 , , xn xét hàm f : [0, 1] → R xác định f (x) = x + x2 + x3 + + xn − xx2 x3 xn 58 Hàm hàm tuyến tính x, đạt giá trị lớn điểm đầu đoạn [0, 1] Nghĩa vế trái bất đẳng thức đạt giá trị lớn x1 Lập luận tương tự với x2 , x3 , , xn , ta thấy giá trị lớn x1 + x2 + + xn − x1 x2 xn đạt xi ∈ {0, 1} Nếu xi = 1, ∀i = 1, 2, , n, x1 + x2 + + xn − x1 x2 xn = n − Nếu biến xi tích chúng tổng n − biến khác nhỏ n − Do x1 + x2 + + xn − x1 x2 xn ≤ giá trị lớn vế trái n − Bất đẳng thức chứng minh ✷ Bài tập 3.2.8 Tìm giá trị lớn biểu thức S = a1 (1 − a2 ) + a2 (1 − a3 ) + + a2020 (1 − a1 ), ≤ ≤ với i = 1, 2, , 2020 Lời giải Cố định a1 , , ak−1 , ak+1 , , a2020 ta hàm số S = S(ak ) hàm tuyến tính với k = 1, 2, , 2020 Do S hàm lồi theo ak , k = 1, 2, , 2020 Vì giá trị lớn S đạt điểm đầu  thẳng biến, nghĩa biểu thức S có giá trị lớn  đoạn ak ∈ , với k = 1, 2, , n Nếu ak = với k = 1, 2, , 2020 S = 505 Nếu có n biến ak chọn 2020 − n biến cịn lại , có n số hạng tổng 2020 − n số hạng cịn lại có tổng 1 n (2020 − n) = 505 − 2 (vì số hạng có dạng ak (1 − ak+1 ) với quy ước a2020 = a0 ) Do S = n.0 + 505 − n ≤ 505 Vậy giá trị lớn S 505, đạt ak = ✷ với k = 1, 2, , 2020 Bài tập 3.2.9 ([1]) Cho n ≥ ≤ xi ≤ với i = 1, 2, , n Chứng minh hni (x1 + x2 + + xn ) − (x1 x2 + x2 x3 + + xn x1 ) ≤ 59 xác định có đẳng thức, [x] số ngun lớn không vượt x Lời giải Xét hàm số F(x1 , x2 , , xn ) = (x1 + x2 + + xn ) − (x1 x2 + x2 x3 + + xn x1 ), với xi ∈ [0, 1] Hàm số tuyến tính biến xi , đạt giá trị lớn điểm đầu mút h n iđoạn [0, 1] biến Nghĩa ta cần chứng minh F(x1 , x2 , , xn ) ≤ ta chọn xi 1, với i = 1, 2, , n Nếu có k số biến xi 0, cịn n − k biến khác 1, x1 + x2 + + xn = n − k x1 x2 + x2 x3 + + xn x1 ≥ n − 2k Suy F(x1 , x2 , , xn ) ≤ n − k + n − 2k = k Như max F(x1 , x2 , , xn ) ≤ min(k, n − k) ≤ hni Bất đẳng thức chứng minh Với n chẵn, dấu xảy (x1 , x2 , , xn ) = (1, 0, 1, 0, , 1, 0) (x1 , x2 , , xn ) = (0, 1, 0, 1, , 0, 1) Với n số lẽ, dấu xảy tất cặp (xi , xi+1 ), i = 1, 2, , n gồm số 1, ngoại trừ cặp chứa hai số (quy ước xn+1 = x1 ) ✷ Bài tập 3.2.10 [1] Cho a, b, c, d, e ∈ [p, q] với p > Chứng minh   r r 2 1 1 p q P = (a + b + c + d + e) ≤ 25 + + + + + − a b c d e q p Lời giải Xét hàm số  1 1 F(a, b, c, d, e) = (a + b + c + d + e) + + + + a b c d e  D = [p, q] × [p, q] × [p, q] Hàm số F(a, b, c, d, e) lồi theo biến Thật cố định biến coi biến lại biến x hàm F(a, b, c, d, e) có dạng 60 f (x) = α x + β +γ x với α , β , γ > 0, x ∈ [p, q] Ta có β 2β ⇒ f ′′ (x) = > ∀x ∈ [p, q] x x Vậy f (x) hàm lồi đoạn [p, q] hay hàm F(a, b, c, d, e) lồi theo f ′ (x) = α − biến Như đạt giá trị lớn điểm đầu khoảng xác định Khi a, b, c, d, e nhận giá trị p q Nếu có n, (n ≤ 5) số p, − n số q,   1 P = [np + (5 − n)q] n + (5 − n) p q   p q = n2 + (5 − n)2 + n(5 − n) + q p r r 2 p q − = 25 + 5(5 − n) q p Giá trị lớn n(5 − n) với ≤ n ≤ đạt n = n = 3, tức r r 2 p q max P = 25 + − q p Vậy bất đẳng thức chứng minh ✷ Từ ví dụ ta có toán tổng quát: Cho số a1 , a2 , , an ∈ [p, q] (p ≥ 0) Chứng minh rằng:  1 (a1 + a2 + + an ) + + + a1 a2 an  ≤ n + kn r p − q r 2 q p n2 n2 − với kn = n chẵn kn = n lẻ 4 Bài tập 3.2.11 Cho x, y ∈ [−1, 1], tìm giá trị lớn biểu thức M = x(1 − 2y3 ) + 2+y 2+x 2+y với x, y ∈ [−1, 1] Dễ thấy F 2+x có đạo hàm tới cấp hai theo biến x [−1, 1] với Lời giải Xét hàm số F(x, y) = x(1 − 2y3 ) + 61 Fx′ (x, y) = (1 − 2y3 ) − 2(2 + y) 2+y , F” (x, y) = ≥0 x (x + 2)2 (x + 2)3 với x, y ∈ [−1, 1] Do đó, F hàm lồi theo biến x [−1, 1] Theo Mệnh đề 2.6, F(x, y) đạt giá trị lớn x = −1 x = Tức là, giá trị lớn M giá trị lớn g(y) = F(−1, y) h(y) = F(1, y) với y ∈ [−1, 1] Ta có h(y) = F(1, y) = −2y3 + y + 3 Dễ dàng tính max h(y) = h(−1) = y∈[−1,1] 10 Mặt khác, g(y) = F(−1, y) = 2y3 + y + Dễ thấy, max g(y) = g(1) = y∈[−1,1] Do đó, giá trị lớn M 4, đạt x = −1 y = ✷ Bài tập 3.2.12 Cho x, y ∈ [0, 2], tìm giá trị lớn biểu thức S = x2 − y3 − 6x + (x + 2)y2 Lời giải Cố định y, dễ thấy S hàm số theo x Sx′′ = > 0, ∀x, y ∈ [0, 2] Vì S hàm lồi theo biến x đạt giá trị lớn x = x = Tức giá trị lớn S giá trị lớn f1 (y) = − y3 + 2y2 (ứng với x = ) giá trị lớn f2 (y) = − y + 4y − (ứng với x = 2) đoạn [0, 2] Bằng phương pháp hàm số ta có max f1 (y) = f1 (1) = max f2 (y) = f2 (2) = y∈[0,2] y∈[0,2] So sánh hai kết quả, kết luận S đạt giá trị lớn , x = 0, y = ✷ 62 Bài tập 3.2.13 Cho x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1], tìm giá trị lớn biểu thức y2 + x − 2x(y − 2) + x+2 y2 + Lời giải Đặt F(x, y) = x+2 Cố định y, F(x, y) hàm số theo x y2 + ′ 3 Fx (x, y) = 4x − 2(y − 2) − (x + 2)2 2(y2 + 1) ′′ ≥ 0, ∀x ∈ [−1, 1] Fx (x, y) = 12x + (x + 2)3 Suy F(x, y) hàm lồi theo biến x, đạt giá trị lớn điểm đầu mút −1, biến x x4 − 2x(y3 − 2) + -Khi x = 1, y2 + y2 16 F(x, y) = f (y) = −2y + + = −2y + + 3 3 3889 y = Trên đoạn [0, 1], hàm số f (y) đạt giá trị lớn 729 -Khi x = −1, y2 + F(x, y) = f (y) = 2y − + = 2y3 + y2 − 3 Trên đoạn [0, 1], hàm số f (y) đạt giá trị lớn 1, y = 1 3889 , x = 1, y = ✷ Vậy F(x, y) đạt giá trị lớn 729 Bài tập 3.2.14 Cho x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1] Tìm giá trị nhỏ biểu thức p N = (y − 1) − xy − x2 Lời giải Với x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1], ta đặt p A = xy − x2 − (y − 1)3 Khi đó, giá trị nhỏ N giá trị lớn A Xét hàm số hai biến số p F(x, y) = xy − x2 − (y − 1)3 với x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1] Khi đó, F có đạo hàm tới cấp hai theo biến y thoả mãn Fy′ (x, y) = x p − x2 − 3(y − 1)2 , Fy′ (x, y) = −6(y − 1) ≥ 63 với y ∈ [0, 1] Do đó, F hàm lồi theo biến y F đạt giá trị lớn y = y = đó, giá trị lớn A giá trị lớn h(x) = F(x, 0) g(x) = F(x, 1) [−1, 1] √ Ta có h(x) = với x ∈ [−1, 1] Mặt khác, g(x) = x − x2 Ta tính √ ! = max g(x) = g 2 x∈[−1,1] Kết hợp hai trường hợp, A đạt giá trị lớn đạt x ∈ [−1, 1] y = Do đó, giá trị nhỏ N 1, đạt x ∈ [−1, 1] y = ✷ Bài tập 3.2.15 Cho x, y, z ≥ thoả mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx − 3xyz − 4x2 − y2 − z2 (y + z)2 (2 − x)2 = Ngoài ra, Lời giải Ta có ≤ x ≤ ≤ yz ≤ 4 A = x(y + z) + yz − 3xyz − 4x2 − (y + z)2 + 2yz = x(2 − x) + (3 − 3x)yz − 4x2 − (2 − x)2 = −6x2 + 6x − + (3 − 3x)yz (2 − x)2 Đặt u = yz Khi ≤ u ≤ A = −6x2 + 6x − + (3 − 3x)u Xét hàm số   (2 − x)2 f (u) = −6x + 6x − + (3 − 3x)u 0, (2 − x)2 Vì f hàm bậc theo biến u, nên f hàm lồi ≤ u ≤ Do (2 − x)2 Tức là, giá trị lớn đó, f đạt giá trị lớn u = u =   (2 − x)2 A giá trị lớn hàm số g(x) = f (0) h(x) = f đoạn [0, 2] Ta có g(x) = f (0) = −6x2 + 6x − Bằng cách lập bảng biến thiên, ta thấy   =− max g(x) = g 2 x∈[0,2] 64 Mặt khác, h(x) = f  (2 − x)2  3x3 9x2 =− − − 4 Dễ thấy, max h(x) = h(0) = −1 Từ suy giá trị lớn A −1 A x∈[0,2] đạt giá trị lớn x = 0, y + z = yz = Tức là, A đạt giá trị lớn −1 x = 0, y = z = ✷ Bài tập 3.2.16 Cho a, b, c, d số thuộc [0, 1] Tìm giá trị lớn V= d +1 d +2 d +3 + + + d (abc − 1) a+b+1 b+c+2 c+a+3 Lời giải Xét hàm số F(a, b, c, d) = d +2 d +3 d +1 + + + d (abc − 1) a+b+1 b+c+2 c+a+3 với a, b, c, d ∈ [0, 1] Dễ thấy F hàm lồi theo biến a, b c khơng lồi theo biến d Do đó, giá trị lớn V giá trị lớn hàm f1 (d) = F(0, 0, 0, d), f2 (d) = F(0, 0, 1, d), f3 (d) = F(0, 1, 0, d), f4 (d) = F(1, 0, 0, d), f5 (d) = F(0, 1, 1, d), f6 (d) = F(1, 0, 1, d), f7 (d) = F(1, 1, 0, d) f8 (d) = F(1, 1, 1, d) đoạn [0, 1] 11d Ta có f1 (d) = −d + + dễ thấy   553 11 max f (d) = f = 12 144 d∈[0,1] Tương tự ta có,    1753 29 19 19 =f = max f2 (d) = max −d + d + 12 12 24 576 d∈[0,1] d∈[0,1]     7 361 13 max f3 (d) = max −d + d + =f = 6 12 144 d∈[0,1] d∈[0,1]     5 169 =f = max f4 (d) = max −d + d + 4 64 d∈[0,1] d∈[0,1]     max f5 (d) = max −d + d + =f =2 d∈[0,1] d∈[0,1]  65    7321 53 31 31 =f = max f6 (d) = max −d + d + 30 30 60 3600 d∈[0,1] d∈[0,1]     11 11 1129 max f7 (d) = max −d + d + =f = 12 24 576 d∈[0,1] d∈[0,1]   133 43 47 = f (1) = d+ max f8 (d) = max 30 60 d∈[0,1] d∈[0,1] 60  553 Từ kết ta thấy giá trị lớn V đạt 144 11 a = 0, b = 0, c = 0, d = ✷ 12 Tương tự, bạn đọc giải số tập sau Bài tập 3.2.17 Cho x, y ∈ [0, 2], tìm giá trị lớn biểu thức S = x2 − y3 − 6x + (x + 2)y2 Hướng dẫn Hàm số hai biến số F(x, y) = x2 − y3 − 6x + (x + 2)y2 lồi theo x Vì ta tìm giá trị lớn hàm h(y) = S(0, y) = − y3 + 2y2 g(y) = S(1, y) = − y + 4y − đoạn [0, 2] từ suy max S Bài tập 3.2.18 Tìm giá trị lớn P = (x2 + 3x − 9)xy + y − biết x ∈ [−4, 3], y ∈ [0, 1] Hướng dẫn Hàm số F(x, y) = (x2 + 3x − 9)xy + y − lồi theo y Vì ta tìm giá trị lớn hàm h(x) = P(x, 0) = −8 g(x) = P(x, 1) = −x3 + 3x2 − 9x − đoạn [−4, 3] từ suy max P = 20 x = x = −3, y=1 Bài tập 3.2.19 Cho a, b, c ∈ [0, 1], tìm giá trị lớn biểu thức Q= b c a + + − a2 bc b+c+1 a+c+1 a+b+1 Hướng dẫn Hàm F(a, b, c) = a b c + + − a2 bc b+c+1 a+c+1 a+b+1 66 lồi theo biến b, c (nhưng không lồi the biến a) Vì để tìm giá trị lớn Q ta cần tìm giá trị lớn hàm f1 (a) = F(a, 0, 0), f2 (a) = F(a, 1, 0), f3 (a) = F(a, 0, 1), f4 (a) = F(a, 1, 1) đoạn [0, 1] từ suy tốn Bài tập 3.2.20 Cho x, y, z,t ∈ [0, 1], tìm giá trị lớn biểu thức E = t(x + y + z) − t (xy + yz + zx) Hướng dẫn Lập luận tương tự tập 3.3.16, dễ thấy E hàm lồi theo biến x, y, z khơng lồi theo t Vì để tìm giá trị lớn E ta tìm giá trị lớn hàm f1 (t) = E(0, 0, 0,t), f2 (t) = E(0, 0, 1,t), f3 (t) = E(0, 1, 0,t), f4 (t) = E(1, 0, 0,t), f5 (t) = E(0, 1, 1,t), f6 (t) = E(1, 0, 1,t), f7 (t) = E(1, 1, 0,t) f8 (t) = E(1, 1, 1,t) đoạn [0, 1] Bài tập 3.2.21 Cho x, y, z,t ∈ [−1, 1], tìm giá trị lớn biểu thức M = + txy − t yz + t zx Hướng dẫn Giải tương tự 3.2.16 3.2.20 với ý hàm số F(x, y, z,t) = + txy − t yz + t zx hàm lồi theo biến x, y, z (nhưng không lồi theo t) 67 KẾT LUẬN Luận văn "Sử dụng phương pháp đại lượng cực biên giải toán sơ cấp" đề cập tới vấn đề việc giải toán đại lượng cực biên Bên cạnh tổng hợp số kiến thức hàm số, hàm lồi, định lý giá trị trung gian, định lý giá trị trung bình, kết luận văn bao gồm: • Trình bày số tốn chọn lọc lời giải có sử dụng định lý giá trị trung gian, định lý Rolle định lý giá trị trung bình Lagrange Cauchy • Trình bày số tốn cực trị, bất đẳng thức, lời giải sử dụng định nghĩa hàm lồi tính chất cực trị hàm lồi Đặc biệt, đề xuất số toán (Bài tập 3.2.11 đến Bài tập 3.2.21) lời giải đưa xét cực trị hàm nhiều biến lồi theo số biến Các kết viết thành báo: Hồ Thị Minh, Sử dụng tính chất hàm lồi giải số toán cực trị, Dạy học ngày nay, số 2- 06/2020, 59-61 68 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Điển (2005), Giải toán đại lượng cực biên, NXB Giáo dục [2] Kỷ yếu Olympic tốn học sinh viên tồn quốc, 2013-2019 [3] Nguyễn Vũ Thanh, Áp dụng tính liên tục hàm số, Định lí Lagrange, Định lí Rolle để giải toán, 2008-2009 Tiếng Anh [4] H Sedrakyan, N Sedrakyan (2018) Algebraic Inequalities, Springer [5] W J Kaczor, M T Nowak ( 2001) Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and Differentiation, American Mathematical Society 69