Preview một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính số phức và ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGAN – KẸO PẠ SỚT MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Thuộc nhóm chun ngành: Khoa học tự nhiên KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sinh viên: Ngan - Kẹo Pạ Sớt Lớp: K55 ĐHSP Tốn Ngƣời hƣớng dẫn : TS Hồng Ngọc Anh Sơn La, năm 2018 https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn khoá luận Ơ Nhiệm vụ nghiên cứu N Mục đích nghiên cứu N H Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Đ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính N G 1.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính H Ư 1.1.2 Phân loại hệ phương trình tuyến tính TR ẦN 1.2 Ma trận 1.2.1 Các khái niệm 10 00 B 1.2.2 Các tính chất ma trận 1.3 Định thức A 1.3.1 Định nghĩa định thức H Ĩ 1.3.2 Tính chất định thức -L Í- Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 10 ÁN 2.1 Phương pháp 10 2.1.1 Phương pháp giải 10 ÀN 2.1.3 Bài tập áp dụng 11 https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP Cấu trúc khoá luận TO http://daykemquynhon.ucoz.com Dự kiến đóng góp khóa luận DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y Phương pháp nghiên cứu D IỄ N Đ 2.2 Phương pháp cộng đại số 12 2.2.1 Phương pháp giải 12 2.2.2 Một số ví dụ 13 2.2.3 Bài tập áp dụng 14 2.3 Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo 18 2.3.1 Phương pháp giải 18 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 2.3.3 Bài tập áp dụng 20 2.4 Phương pháp dùng định thức 24 2.4.1 Phương pháp giải 24 Ơ 2.4.3 Bài tập áp dụng 26 N 2.4.2 Một số ví dụ 25 N H 2.5 Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss 31 Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định TO ÁN D IỄ N Đ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ -L Í- H Ĩ A 10 00 B TR ẦN H Ư N G Đ ẠO TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP KẾT LUẬN 35 ÀN http://daykemquynhon.ucoz.com 2.5.2 Một số ví dụ 32 DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y 2.5.1 Phương pháp giải 31 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com MỞ ĐẦU Lý chọn khố luận Việc giải tốn tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa Ơ N to lớn việc nghiên cứu khoa học thực tế N H Rất nhiều sinh viên học mơn Tốn cao cấp nói chung mơn Đại số Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định G Đ học phổ thơng nước CHDCND Lào Đề thi tuyển sinh vào đại học nước N CHDCND Lào hàng năm có câu liên quan đến hệ phương trình tuyến tính H Ư Đó phần học quan trọng nội dung đại số lớp 12 TR ẦN Từ lâu việc tìm cách tổng hợp phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính nhiều người quan tâm Các nhà toán 10 00 B học tìm nhiều phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính Tuy nhiên hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp A cho kết tốt việc nghiên cứu quan trọng H Ĩ Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu, tổng hợp phân loại phương -L Í- pháp giải hệ phương trình tuyến tính, tơi chọn nghiên cứu khố luận: “Một số ÁN phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính” Mục đích nghiên cứu Tổng quan kiến thức hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức ÀN Từ nghiên cứu số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính làm rõ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO phương trình tuyến tính chun đề quan trọng chương trình tốn MỌI U CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP đến kiến thức tốn cao cấp vốn khó này? Nhưng thực tế, hệ TO http://daykemquynhon.ucoz.com trường dạy tốn Trung học phổ thơng, kiến thức đâu liên quan DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y tuyến tính nói riêng có câu hỏi: Tại phải học môn mà D IỄ N Đ kiến thức, phương pháp nói để phân tích, tìm lời giải tập áp dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Khoá luận tập trung nghiên cứu số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 4.1 Đối tƣợng nghiên cứu Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 4.2 Phạm vi nghiên cứu Giáo trình Tốn học cao cấp Đại số tuyến tính sách giáo khoa mơn Ơ N Tốn lớp 12 nước CHDCND Lào U Y - Nghiên cứu tài liệu ẠO Dự kiến đóng góp khóa luận Đ Khố luận trình bày cách có hệ thống kiến thức hệ N G phương trình tuyến tính ví dụ áp dụng phương pháp giải hệ H Ư phương trình tuyến tính TR ẦN Cấu trúc khố luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận bao 10 00 B gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở D IỄ N Đ ÀN TO ÁN -L Í- H Ĩ A Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ TP - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com - Phân tích, tổng hợp kiến thức DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N H Phƣơng pháp nghiên cứu Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hệ phƣơng trình tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa hệ phƣơng trình tuyến tính N Ơ H (1) H Ư N gọi hệ phương trình tuyến tính tổng quát (gồm m phương trình, n ẩn số) aij gọi B a12 a22 10 00  a11 a 21 Ma trận A = (aij )      an1 TR ẦN hệ số, bi gọi hệ số tự a12 a1n a22 a2 n an ann b1  b2  có cách thêm vào hệ   bn  ÁN -L Í- H Ĩ A  a11 a 21 bs Ma trận A      an1 an a1n  a2 n  gọi ma trận hệ số   ann  Đ ÀN TO số tự vào cột thứ (n+1) gọi ma trận bổ sung  x1  x  Nếu kí hiệu ma trận cột ẩn số x    ma trận cột hệ số tự      xn  https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G Đ Trong aij , bi cho trước ( j  1, n; i  1, m) thuộc K, x j ( j  1, n) ẩn số DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N U Y  bi , i  1, m ẠO j MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) ij j 1 IỄ N D a x Hay Q n TP Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  22 2n n Hệ phương trình:  21  am1 x1  am x2   amn xn  bm  b1  b  β    hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận      bn  Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com là: A.x = β - Một nghiệm hệ (1) n số c1 , c2 , , cn   K cho thay t x j  c j đẳng thức hệ (1) đẳng thức số N - Hệ phương trình (1) gọi có nghiệm (hay tương thích) tập hợp H Ơ nghiệm khác rỗng Ngược lại tập hợp nghiệm tập rỗng Đ a) Hệ Cramer G Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số mà ma trận hệ số H Ư N khơng suy biến ( det A  ) gọi hệ Cramer TR ẦN Hệ Cramer có nghiệm Phương pháp giải: B Cách 1: Xét phương trình ma trận A X  B det A  nên tồn ma 10 00 trận nghịch đảo A1 ta có: X  A1.B Ó A Cách 2: Nếu ta gọi  j định thức ma trận nhận cách thay j  j  1, n (ở  định Í- H cột thứ j ma trận A cột hệ số tự x j  -L thức ma trận A) ÁN b) Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng qt TO n Hệ phương trình tuyến tính tổng qt a x ÀN j 1 ij j  bi i  1,m  có nghiệm https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO 1.1.2 Phân loại hệ phƣơng trình tuyến tính MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) Q TP ẩn số tập nghiệm Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com - Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y N hệ (1) gọi vô nghiệm D IỄ N Đ hạng A = hạng Abs Phương pháp giải: Cách 1: Phương pháp dùng định thức Cách giải: Giả sử hạng A  hạng Abs  k - Nếu k  n hệ có nghiệm (sử dụng cách giải hệ Cramer) - Nếu k  n hệ vơ số nghiệm (chọn k ẩn chính, cịn n  k ẩn cịn lại coi Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com ẩn tự ) Cách 2: Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss n Nhận xét: Cho hệ phương trình tuyến tính :  aij x j  bi , i  1, m (1) j 1 G Đ phương trình cho H Ư N Khi giải hệ phương trình phương pháp Gauss, ta dùng phép biến đổi cho ma trận bổ xung để biến đổi ma trận dạng tam giác hay dạng TR ẦN hình thang Hay đưa hệ phương trình cho hệ phương trình tương đương, cho phương trình sau số ẩn 10 00 B c) Hệ phƣơng trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính mà hệ số tự gọi hệ A phương trình tuyến tính a x ij j  0, i  1, m (1') - Hệ (1’) ln có nghiệm (ít nghiệm  x1 , x2 , , xn  t Đ ÀN TO ÁN j 1 -L n Í- H Ĩ Như hệ phương trình tuyến tính có dạng:  x1  x     , gọi      xn  https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO lại ta hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP - Cộng vào phương trình tổ hợp tuyến tính phương trình IỄ N D Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định - Nhân vế phương trình với số k  DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y - Đổi chỗ cho hai phương trình hệ http://daykemquynhon.ucoz.com H N trình tương đương với hệ (1), nghĩa hệ có tập nghiệm với hệ (1) Ơ N Nếu dùng phép biến đổi sau ta nhận hệ phuơng nghiệm tầm thường) - Hệ (1’) có nghiệm khơng tầm thường hạng A  p  n Cách giải tương tự hệ (1) Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 1.2 Ma trận 1.2.1 Các khái niệm a) Định nghĩa N Ma trận cấp  m, n  bảng gồm m.n số thực (phức) viết thành m Ơ H Ư Ma trận không Ma trận đối xứng B 10 00 0 0 Ví dụ A  0 0    0 0  TR ẦN Aij  0, i, j (tất phần tử khơng) H Ĩ A Ma trận vuông A   aij  cấp n gọi ma trận đối xứng -L Í- aij  a ji , i, j  1, n ÀN TO ÁN  1 Ví dụ A       1  D IỄ N Đ Ma trận chuyển vị https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ N G b) Các ma trận đặc biệt MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) Đ ẠO Kí hiệu: A   aij  ( m ,n ) DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N U Y Q am H a1n  a2 n     amn  a12 a22 TP  a11 a A   21    am1 Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com dịng n cột sau: Cho ma trận A   aij  Đổi dòng thành cột (cột thành dòng) ma trận A , ta ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận A Kí hiệu: At Vậy At   a ji  nm Nếu A có m dịng n cột At có n dịng m cột Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com z  a  bi Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z có nghĩa vecto OM biểu diễn số phức Ơ N Dễ thấy rằng, u,u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z,z' u  u ' G Đ phép nhân cách hình thức biểu thức a  bi với biểu thức a ' b'i thay H Ư N i  1, ta đƣợc (a  bi)(a ' b'i)  aa ' bb'i  (ab' a 'b)i  aa ' bb' (ab' a 'b)i TR ẦN Định nghĩa 10 00 zz'  aa ' bb' (ab' a 'b)i B Tích hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) số phức Nhận xét H Ó A Với số thực k số phức a  bi (a,b  ) thì: -L Í- k(a  bi)  (k  0i)(a  bi)  ka  kbi ÁN Đặc biệt: 0z  , z  Đ ÀN TO b) Tính chất phép nhân số phức Tính chất giao hoán: zz'  z'z, z  https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO Cho hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) Thực MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP a) Tích hai số phức IỄ N D Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com 1.3.4 Phép nhân số phức DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y N H biểu diễn số phức z  z' u  u ' biểu diễn số phức z  z' Tính chất kết hợp: (zz')z"  z(z'z"), z,z',z"  Nhân với 1: 1.z  z.1  z, z  Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: z(z' z")  zz' zz", z,z',z"  Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 1.3.5 Số phức liên hợp module số phức a) Số phức liên hợp Định nghĩa H Ơ N Số phức liên hợp số phức z  a  bi(a,b  ) z  a  bi Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định N G Đ Định lý https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO xứng với qua trục thực Ox MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP Hai số phức liên hợp điểm biểu diễn chúng đối z  z, z  z.z  z1  z  z1  z , z1,z  z1.z2  z1.z2 , z1,z  z 1  (z)1, z   z1  z1    , z1 ,z   z2  z2 Re(z)  zz , z,z  Im(z)  zz , z,z  2i ÁN -L Í- H Ó A 10 00 B TR ẦN H Ư TO http://daykemquynhon.ucoz.com z  z ÀN DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y N Nhận xét Định nghĩa D IỄ N Đ b) Module số phức Module số phức z  a  bi(a,b  ) số thực không âm a  b2 đƣợc kí hiệu z 10 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Định lý Cho số phức z thì:  z  Re(z)  z  z  Im(z)  z z 0 z  z  z z1.z  z1 z z1  z2  z1  z  z1  z z 1  z z z1  z2 z2 10 00 B Số nghịch đảo số phức z khác z 1  z z A z' phép chia số phức z ' cho số phức z khác tích z ' z Í- H Ĩ Thƣơng z'  z '.z 1 z ÁN -L với số phức nghịch đảo z, tức TO 1.3.7 Căn bậc hai số phức D IỄ N Đ ÀN Định nghĩa https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ Định nghĩa MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TR ẦN 1.3.6 Phép chia cho số phức khác không DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y Q TP N G Đ ẠO 1 H Ư Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com N H Ơ N Cho số phức w  a  bi(a,b  ) Mỗi số phức z  x  yi (x, y  ) gọi bậc hai w khi: x  y2  a z w 2xy  b 11 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 1.4 Dạng lƣợng giác số phức 1.4.1 Argument số phức z  Định nghĩa Ơ N Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số U Y Argument z .Q Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định N G Hai số phức z iz (với z  i số thực dƣơng) có Argument sai H Ư khác k2, điểm biểu diễn chúng thuộc tia gốc O TR ẦN 1.4.2 Dạng lƣợng giác số phức B Xét số phức z  a  bi  0(a,b  ) 10 00 Kí hiệu r module z  Argument z dễ thấy H Í- Định nghĩa Ó A a  r cos , b  rsin  Từ ta có: -L Dạng z  r(cos   isin ) r  đƣợc gọi dạng lƣợng giác ÁN số phức z  1.4.3 Nhân chia số phức dƣới dạng lƣợng giác D IỄ N Đ ÀN Định lý https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ Đ ẠO   k2, k  MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP Nếu  Argument z Argument z có dạng TO http://daykemquynhon.ucoz.com Nhận xét DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N H phức z Số đo (rađian) góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi Nếu z  r(cos   isin ) z'  r '(cos  ' isin  ') (r,r '  0) thì: zz'  rr '[cos(+')+isin(+')] z r   cos(   ')  isin(   ') ( r  ) z' r ' 12 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 1.4.4 Công thức Moivre Từ công thức nhân số phức dƣới dạng lƣợng giác, quy nạp toán dễ dàng suy với số nguyên dƣơng n ta có:  r n (cos n  isin n) N G Đ w n  z (n số nguyên cho trƣớc, n  ) H Ư N Định lý TR ẦN Khi w  0, ta viết w dƣới dạng lƣợng giác w  R(cos   isin ), R  B    k2    k2    Khi bậc n w số phức z  n R  cos    isin    n n n n       D IỄ N Đ ÀN TO ÁN -L Í- H Ĩ A 10 00 Lấy k  0;1;2; .;n 1 ta đƣợc n bậc n phân biệt w https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO Cho số phức z, số phức w đƣợc gọi bậc n số phức z MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP Định nghĩa Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định N U Y Q 1.4.5 Căn bậc n số phức dƣới dạng lƣợng giác http://daykemquynhon.ucoz.com H Đặc biệt: Khi r  thì: (cos   isin )n  cosn  isin n DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN n Ơ  r(cos   isin  13 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Chƣơng 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ Ơ N 2.1 Ứng dụng số phức lƣợng giác B TR ẦN H Ư N G Đ   2 2 r  a  b r  a  b   a a thức hai số phức ta có: a  r cos   cos    ,(1) 2 r a  b b  r sin     b b ,(2) sin    2 r a  b  10 00 Hệ phƣơng trình cho phép thực việc chuyển đổi dễ A dàng từ đại số sang lƣợng giác H Ó Chú ý Í- - Từ hệ thức (1) (2), kết hợp với kiến thức lƣợng giác cung ÁN -L góc lƣợng giác ta xác định đƣợc  TO - Nhiều số phức cho dạng “na ná” lƣợng giác dễ làm “lầm ÀN tƣởng” dạng lƣợng giác Nhƣng khơng, việc chuyển đổi linh D IỄ N Đ hoạt công thức từ cos sang sin ngƣợc lại ta thu đƣợc dạng lƣợng giác https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ ẠO ta phải tìm đƣợc moudle argument số phức Bằng việc đồng biểu MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Q Để chuyển số phức z  a  bi sang dạng lƣợng giác z  r  cos   isin  DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N U Y a) Phƣơng pháp giải http://daykemquynhon.ucoz.com H 2.1.1 Cách chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang lƣợng giác “chính gốc” - Trong biểu thức cho phép xác định  thƣờng có hai giá trị  chấp nhận đƣợc, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy  theo chiều dƣơng hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị    5 7   chấp nhận đƣợc) 6 14 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com b) Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính module argament số phức sau: b) z   i N Ơ H  H Ó A Vậy số phức z   i có: r    Đ ÀN TO ÁN -L Í-   r  a  b   r   r    a a 3   b) z   i  cos      cos     r 1 a  b2       b b   sin sin        r 1 a  b2  Vậy số phức z   i có: r    D IỄ N r        https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 10 00 B TR ẦN H Ư N    2 r  r  a  b     a a  a) z   i  cos      cos   r 11 a  b2     b b sin      sin   2 r  1  a b  DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N U Y Q TP ẠO G Đ   2 r  a  b  a a Áp dụng công thức: cos    r a  b2   b b sin    r a  b2  Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com Lời giải: MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) a) z   i  Ví dụ 2: Viết số phức sau dƣới dạng lƣợng giác: a)z   i b)z   i 15 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com H Ó A 2.1.2 Nhân chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác Í- a) Phƣơng pháp giải ÁN -L Nhân hai số phức dƣới dạng lƣợng giác TO Cho hai số phức dạng lƣợng giác z1  r1  cos 1  isin 1  ÀN z2  r2  cos 2  isin 2  Khi số phức z  z1.z đƣợc cho công thức https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 10 00 B    Vậy dạng lƣợng giác số phức z   i là: z   cos  isin  3  DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN TP ẠO TR ẦN H Ư N G Đ    2 r  r  a  b    r   a a 1   b) z   i  cos      cos     2 r    a  b      b b sin    sin     2 r 1  a b MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) Q     Vậy dạng lƣợng giác số phức z   i là: z   cos  isin  6   Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com U Y N H Ơ   r  a  b   r2   r    a a 3     cos    a)z   i  cos     2 r     a  b      1 b b  sin    sin     r 1 a b  N Lời giải: D IỄ N Đ z  z1.z  r1.r2 cos  1  2   isin  1  2  Từ ta có số phức z  z1.z có module argument thỏa mãn: r  r1.r2   1  2 Chứng minh: Thật ta có: z  z1.z  r1  cos 1  isin 1  r2  cos 2  isin 2  16 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com  r1.r2  cos 1.cos 2  sin 1.sin 2   i  cos 1.sin 2  sin 1 cos 2    r1.r2 cos  1  2   isin  1  2   Chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác Ơ H z1 r1 z  cos  1  2   isin  1  2   Từ ta có số phức z  có z r2 z2 r1.r2  cos 1 cos 2  sin 1 sin 2   i sin1 cos2  cos1 sin2   A  10 00 B z1 r1  cos 1  isin 1   r1  cos 1  isin 1   r2  cos 2  isin 2    z r2  cos 2  isin 2  r22 H Ó r1 cos  1  2   isin  1  2  r2  -L Í-  r22 ÁN b) Một số ví dụ a)z   cos18o  isin18o  cos72o  isin 72o  cos85o  isin85o b)z  cos 40o  isin 40o D IỄ N Đ ÀN TO Ví dụ 1: Viết số phức sau dƣới dạng đại số https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ TR ẦN Thật ta có: MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) TP ẠO H Ư N Chứng minh: z Đ r1   1  2 r2 G module argument thỏa mãn: r  DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N U Y z1 đƣợc cho công thức z2 Q z Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com z2  r2  cos 2  isin 2  Khi số phức z  N Cho hai số phức dạng lƣợng giác z1  r1  cos 1  isin 1  Lời giải: a) Áp dụng công thức z  z1.z  r1.r2 cos  1  2   isin  1  2  ta có: 17 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com z   cos18o  isin18o  cos72o  isin 72o   cos 18o  72o   isin 18o  72o     cos90o  isin 90o   i  B 10 00  i  ` b) z  1 i  2i Lời giải: ÁN -L Í- H a) z  1  i  Ó A Ví dụ 2: Viết số phức sau dƣới dạng lƣợng giác: TO Đối với phần (a) ví dụ hồn tồn thực phép nhân ÀN chuyển kết thành lƣợng giác, nhƣng thƣờng argument số https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ cos85o  isin85o 1 z   i o o cos 40  isin 40 2 Vậy dạng đại số số phức z  MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) Đ TR ẦN H Ư N G cos85o  isin85o z  cos  85o  40o   isin 85o  40o   cos 45o  isin 45o o o cos 40  isin 40 1 1   iz  i 2 2 DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y z1 r1  cos  1  2   isin  1  2   , ta đƣợc: z r2  ẠO b) Áp dụng công thức z  TP Q z  i Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định N Vậy dạng đại số số phức z  cos18o  isin18o cos72o  isin 72o http://daykemquynhon.ucoz.com  H  Ơ N zi D IỄ N Đ phức khó tìm đƣợc kết đẹp nên chuyển biểu thức sang lƣợng giác thực phép nhân sau Với dạng tốn nhƣ chuyển sang lƣợng giác thực nhanh mà khơng phải trình bày rƣờm rà thao tác chuyển nhƣ 18 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com        a) Ta có:  i   cos  isin  ;  i   cos  isin  4 6               isin  i    cos  isin   2  cos  4    6      G b) Ta có: TR ẦN H Ư N         i   cos  isin  ;2  2i  2 1 i  2 cos  isin  4  4   10 00 B      cos  isin  1 i 4  1         z   cos      isin         2i  2  4  4  2  cos  isin  4  Í- H Ĩ A 1      cos  isin  i 2 2  ÁN -L 1 i Vậy z   i dạng lƣợng giác số phức z  2  2i ÀN TO Chú ý Có thể dùng máy tính bỏ túi để chuyển đổi dạng đại số với dạng lƣợng https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/  MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) i ẠO  Đ z  1  i  TP Q    Vậy z  2 cos isin  dạng lƣợng giác số phức 12 12   Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com U Y N H Ơ     2  cos  isin  12 12   DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN  N Khi z  1  i  D IỄ N Đ giác số phức z  Chẳng hạn, dụng máy tính bỏ túi CASIO fx  500MS để: 1) Đổi từ dạng đại số z   3i thành dạng lƣợng giác z  r  cos   isin  (đặt chế độ “rađian”) ấn liên tiếp: 19 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Pol( , )  : hình (tức r  ); Ơ  )  hình Đ G N H Ư 2.1.3 Tính tốn biểu thức số phức với lũy thừa lớn TR ẦN a) Phƣơng pháp giải B Công thức Moivre 10 00 Từ công thức nhân số phức dƣới dạng lƣợng giác, quy nạp toán học A dễ dàng suy với số nguyên dƣơng n, ta có: r  cos   isin   r n  cosn  isin n r  1, ta có: Í- H Ĩ n n -L  cos   isin   cosn  isin n Cả hai cơng thức đƣợc gọi TO ÁN công thức Moivre  a) z  1  i  1 i  b) z    1 i  100 IỄ N Đ ÀN b) Ví dụ: Tính module viết số phức liên hợp số phức sau: https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/  F : hình F  1,732050808 (tức b  ấn tiếp RCL MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) ẠO (tức a  1), DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y  Q Rec( , SHIET TP Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com z  a  bi (đặt chế độ “rađian”) ấn liên tiếp: SHIET H N    2) Đổi từ dạng lƣợng giác z   cos  isin  thành dạng đại số 3  N  F : hình F  1,047197551 (tức    3 ấn tiếp RCL D Lời giải: 2 2    isin  a) Ta có: 1  i   cos 3   20 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com  Ơ  N   2 2    z  1  i    cos  isin   3    12 12    26  cos  isin    cos 4  isin 4  3    26  z  64 100 100 100  isin 1 2 10 00 B Vậy z  1;z 1  cos 2.1.4 Tìm bậc n số phức Ó A Cho số phức z, số phức w đƣợc gọi bậc n số phức z Í- H w n  z -L a) Phƣơng pháp giải TO ÁN Giả sử số phức z cho z  r  cos   isin  , số phức w  r '  cos  ' isin  '    r  cos   isin    r 'n cos  n '  isin  n '    r  cos   isin   n D IỄ N Đ ÀN w  r '  cos  ' isin  ' Khi điều kiện w n  z tƣơng đƣơng với: https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/       cos  isin  2   TR ẦN 100 MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 1 i    1 i  H Ư N G Đ ẠO      cos  isin  1 i   4      cos  isin  i   1 i 2   cos  isin  4  DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y TP Q        b) Ta có:  i   cos  isin  ;1  i   cos  isin  4  4   Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com N H Vậy z  64;z  64 r '  n r r 'n  r   Từ suy    k2 ; với k  0;1;2;3; ;n 1 n  '    k2   '     n 21 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Vậy bậc n số phức z là:   k2   k2    isin w  n r  cos  ,k  0,n  n n   Ơ N b) Ví dụ: Tìm bậc z   i U Y B 3      cos  isin  18 18   Ó A 10 00 Với k = ta đƣợc: w1         cos  isin   3     H Với k = ta đƣợc : -L Í-            cos  isin  3     3 11 11    cos  isin  18 18   Với k = ta đƣợc : Đ ÀN TO ÁN w2  w3       4  4    cos  isin  3     https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ TR ẦN w H Ư N      k2   k2     cos  isin  ,k  0,2 3     MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) G Đ Theo công thức tính bậc n số phức ta có : ẠO Gọi số phức w  r(cos  isin  bậc z, w  z IỄ N D Q TP Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com     Ta có z   i   cos  isin  6   DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N H Lời giải: 23 23    cos  isin  18 18   Vậy số phức cho có ba bậc ba : 22 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com     w1   cos  isin  18 18   11 11   w   cos  isin  18 18   H Ơ N 23 23   w   cos  isin  18 18   Q 2 H Ư Bài 2: Viết số phức sau dƣới dạng lƣợng giác: b)z  5  3i 4 4   b)z  10  cos  isin  3   10 00 B 4 4   Đáp án: a)z   cos  isin  3   TR ẦN a)z  1  i A Bài 3: Viết số phức sau dƣới dạng đại số: Í- H Ó a)z  3 cos120o  isin120o  cos15o  isin15o  ÀN TO ÁN -L 2 2    cos  isin  3   b)z      cos  isin  2  Đ IỄ N 3  i 2 b)z  https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G Đ b) r    MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 7 N Đáp án: a) r  2   Đáp án: a)z   D b)z  2  3i ẠO a)z    i TP Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com Bài 1: Tìm module argument số phức sau: DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y N 2.1.5 Bài tập tự luyện  i 4 Bài 4: Viết số phức sau dƣới dạng lƣợng giác: a)z     3  i 1 i ` b)z  1  3i 3i 23 Giới thiệu trích đoạn GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial ... loại phương -L Í- pháp giải hệ phương trình tuyến tính, tơi chọn nghiên cứu khoá luận: ? ?Một số ÁN phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính? ?? Mục đích nghiên cứu Tổng quan kiến thức hệ phương trình. .. 10 00 B 2.1.5 Bài tập tự luyện 23 2.2 Ứng dụng số phức đại số 24 H Ó A 2.2.1 Ứng dụng số phức giải hệ phƣơng trình 24 Í- 2.2.2 Ứng dụng số phức giải phƣơng trình bậc hai... a) Hệ Cramer G Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số mà ma trận hệ số H Ư N khơng suy biến ( det A  ) gọi hệ Cramer TR ẦN Hệ Cramer có nghiệm Phương pháp giải: B Cách 1: Xét phương