➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ◆❣✉②Ơ♥ ❍÷✉ ❚❤❛♥❤ ø♥❣ ❞ù♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥ s➡ ❝✃♣ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ✿ P❤➢➡♥❣ P❤➳♣ ❚♦➳♥ ❙➡ ❈✃♣ ▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✹✵ ▲✉❐♥ ❱➝♥ ❚❤➵❝ ❙Ü ❚♦➳♥ ❍ä❝ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ P●❙✳❚❙✳ ➜➭♠ ❱➝♥ ◆❤Ø ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✶✶ Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn trì ợ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ P❤➯♥ ❜✐Ö♥ ✶✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ P❤➯♥ ❜✐Ö♥ ✷✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ sÏ ➤➢ỵ❝ ❜➯♦ ✈Ư tr➢í❝ ❤é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❤ä♣ t➵✐✿ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ◆❣➭② ✷✷ t❤➳♥❣ ✶✶ ♥➝♠ ✷✵✶✶ ❈ã t❤Ĩ t×♠ ❤✐Ĩ✉ t➵✐ ❚❤➢ ❱✐Ư♥ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ơ❝ ✶ ❙è ♣❤ø❝ ✹ ✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ sè ♣❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ❚Ý♥❤ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ✽ C ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✷ ❱❐♥ ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè✱ ❙è ❤ä❝ ✈➭ ▲➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✶✺ ✷✳✶ P❤➞♥ tÝ❝❤ ➤❛ t❤ø❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝đ❛ ♠ét ✈➭✐ ➤❛ t❤ø❝ ➤➷❝ ❜✐Ưt ✷✳✸ ❈❤✉②Ó♥ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥ Z t❤➭♥❤ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥ C ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✹ ❙ư ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ▲➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ❱❐♥ ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ❍×♥❤ ❤ä❝ ✹✻ ✸✳✶ ❙ư ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ q✉❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✸✳✷ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ë ➤➬✉ ❉♦ tr➢ê♥❣ sè ♣❤ø❝ C ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝đ❛ ❞✬❆❧❡♠❜❡rt✲ ●❛✉ss✱ ♥➟♥ ♠ä✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❞➢➡♥❣ tr♦♥❣ C[x] ➤Ị✉ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ♠➭ ❦❤✐ ❣✐➯✐ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ t❤✉é❝ R[x], ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ợ ệ tr R, t tờ ét ữ t♦➳♥ ➤ã tr➟♥ C ❱Ị ♠➷t ❤×♥❤ ❤ä❝✱ t❛ ❝ã tể ỗ số ứ ột ét ể ệ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♠ét sè ②Õ✉ tè sÏ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤✐✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝✱ số ì ọ ợ tỏ r ó rt ề t ợ tr trì t ♣❤æ t❤➠♥❣ ❝✃♣ ❚❍P❚ ➤➲ ➤➢❛ ♣❤➬♥ sè ♣❤ø❝ ✈➭♦ trì í ì ữ ý ♥❤➢ ✈❐② ♠➭ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② t❐♣ tr✉♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị sè ♣❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❚♦➳♥ s➡ ❝✃♣✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ rì ữ ệ tí t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ♣❤ø❝✳ ❑Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ë ➤➞② ❧➭ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝❤♦ ❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ➜➵✐ sè✳ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈✐Ư❝ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè✱ ❙è ❤ä❝ ✈➭ ▲➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ✹ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ♣❤ø❝✿ ❱❐♥ ❞ơ♥❣ ➤Ĩ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤❛ t❤ø❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝➳❝ ♥❤➞♥ tư ❜✃t ❦❤➯ q✉✐❀ ❱❐♥ ❞ơ♥❣ ✈➭♦ tÝ♥❤ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝ñ❛ ♠ét ✈➭✐ ➤❛ t❤ø❝ ➤➷❝ ❜✐Ưt❀ ❱❐♥ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❝❤✉②Ĩ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥ Z t❤➭♥❤ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥ C❀ ❱❐♥ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ✈✐Ư❝ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ ➤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♣❤Ð♣ q✉❛② ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ ➤ã ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ♥❤➢ ✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ▼❡♥❡❧❛✉s✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❈Ð✈❛✱ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥✱✳✳✳ ✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ ❝❤Ø ❜➯♦ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ P●❙✳❚❙ ➜➭♠ ❱➝♥ ◆❤Ø ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ P❤➵♠ ❍➭ ◆é✐✳ ❚❤➬② ➤➲ ❞➭♥❤ ♥❤✐Ị✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ ❣✐➯✐ ➤➳♣ ❝➳❝ t❤➽❝ ♠➽❝ ❝đ❛ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❚❤➬②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❣ư✐ tí✐ ❝➳❝ t❤➬② ✭❝➠✮ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝ï♥❣ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❦❤ã❛ ❈❛♦ ❤ä❝ ✷✵✵✾✲✷✵✶✶ s s ề ỗ tr♦♥❣ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ t❤ê✐ ❣✐❛♥ q✉❛✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ t❐♣ t❤Ĩ ❧í♣ ❈❛♦ ❤ä❝ ❚♦➳♥ ❑✸❇ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❙ë ◆é✐ ❱ơ✱ ❙ë ●✐➳♦ ❞ơ❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦ ❇➽❝ ◆✐♥❤✱ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉ ✈➭ tỉ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ❚❤✉❐♥ ❚❤➭♥❤ sè ✶ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❣✐ó♣ ➤ì ➤Ó t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤ã❛ ❤ä❝ ♥➭②✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❞♦ sù ❤✐Ĩ✉ ❜✐Õt ❝đ❛ ❜➯♥ t❤➞♥ ✈➭ ❦❤✉➠♥ ❦❤ỉ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ r➺♥❣ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✱ t➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❝❤Ø ❜➯♦ ✈➭ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝đ❛ q✉Ý t❤➬② ✭❝➠✮ ✈➭ ➤é❝ ❣✐➯ q✉❛♥ t➞♠ tí✐ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ◆❣✉②Ơ♥ ❍÷✉ ❚❤❛♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ố ứ trì ữ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị sè ♣❤ø❝✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✷❪✱❬✸❪✱❬✺❪✳ ✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ sè ♣❤ø❝ ▼ét ✈➭✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❳Ðt ❚Ý❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s T = R × R = {(a, b)|a, b ∈ R} ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♣❤Ð♣ t♦➳♥✿ (a, b) = (c, d) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) ➜Ĩ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ✈✐Õt ✭✐✮ ❱í✐ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ (a, b).(c, d) q✉❛ (a, b)(c, d) ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥✿ i = (0, 1) ∈ T ❝ã i2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T A´♥❤ ①➵ φ : R → T, a → (a, 0), ❧➭ ♠ét ➤➡♥ ➳♥❤ ✈➭ φ(a + a ) = φ(a) + φ(a ), φ(aa ) = φ(a)φ(a ) ✈í✐ ♠ä✐ a, a ∈ R ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✶✳ t❤á❛ ♠➲♥ ➜å♥❣ ♥❤✃t (a, 0) ∈ T ✈í✐ a ∈ R ❑❤✐ ➤ã ❝ã t❤Ó ✈✐Õt (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi ✈í✐ i2 = (−1, 0) = −1 ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺ ❑ý ❤✐Ö✉ C ❧➭ t❐♣ T ❝ï♥❣ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ➤➲ ♥➟✉ r❛ ë tr➟♥✳ ◆❤➢ ✈❐② C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} ✈➭ t❛ ❝ã a + bi = c + di ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i ỗ tử z = a + bi ∈ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét sè ♣❤ø❝ ✈í✐ ♣❤➬♥ t❤ù❝ a, ❦ý ❤✐Ư✉ Re z, ✈➭ ♣❤➬♥ ➯♦ b, ❦ý ❤✐Ư✉ Im z; ❝ß♥ i ợ ọ ị ố ứ a bi ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ♣❤ø❝ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ z = a + bi ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ q✉❛ 2 z = a + bi ❉Ơ √ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ zz = (a + bi)(a − bi) = a + b , z1 z2 = z1 z2 ✈➭ ❣ä✐ |z| = zz ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝ñ❛ z ❙è ➤è✐ ❝ñ❛ z = c + di ❧➭ −z = −c − di ✈➭ ❤✐Ö✉ z − z = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b d)i ét t tọ ộ (Oxy) ỗ số ♣❤ø❝ z = a + bi t❛ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ➤✐Ĩ♠ M (a; b) ❚➢➡♥❣ ø♥❣ ♥➭② ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤ C → R×R, z = a+bi → M (a; b) ❑❤✐ ➤å♥❣ ♥❤✃t C ✈í✐ (Oxy) q✉❛ ✈✐Ư❝ ➤å♥❣ ♥❤✃t z ✈í✐ M, t❤× ♠➷t ♣❤➻♥❣ tä❛ ➤é ✈í✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ sè ♣❤ø❝ ♥❤➢ t❤Õ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❤❛② ♠➷t ♣❤➻♥❣ ●❛✉ss ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✷✳ ➤Ó ❣❤✐ ❝➠♥❣ ❈✳ ❋✳ ●❛✉ss✲♥❣➢ê✐ ➤➬✉ t✐➟♥ ➤➢❛ r❛ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥✳ ❚❐♣ C ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝❤ø❛ tr➢ê♥❣ R ♥❤➢ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝♦♥✳ C ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ➤➡♥ ✈Þ ✶✳ ●✐➯ sư z = a + bi = ❑❤✐ ➤ã a + b2 > ●✐➯ sö z = x + yi ∈ C t❤á❛ ♠➲♥ ax − by = a b zz = ❤❛② ●✐➯✐ ❤Ư ➤➢ỵ❝ x = ,y = − a +b a + b2 bx + ay = a b ❱❐② z = − i ❧➭ ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝đ❛ z ❚ã♠ ❧➵✐ C ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ a + b2 a2 + b2 ❱× ➤å♥❣ ♥❤✃t a ∈ R ✈í✐ a + 0i ∈ C ♥➟♥ ❝ã t❤Ĩ ❝♦✐ R ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝đ❛ C ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ z = ❧➭ z −1 = ❈❤♦ sè ♣❤ø❝ z zz z −1 ✈➭ = z z = |z|2 z |z|2 z = ●✐➯ sư M ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ sè ♣❤ø❝ z ❙è ➤♦ ✭r❛➤✐❛♥✮ ủ ỗ ó ợ t Ox t ❝✉è✐ OM ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❛r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ z ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ q✉❛ arg(z) ●ã❝ ∠xOM ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❆r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ z ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ Arg z ❆r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ sè ♣❤ø❝ ✵ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♥Õ✉ α ❧➭ ♠ét ❛r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ z t❤× ♠ä✐ ❛r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ z ➤Ị✉ ❝ã ❞➵♥❣ α + k.2π ✈í✐ k ∈ Z ❱í✐ z = 0, ❦ý ❤✐Ư✉ α + k.2π ❧➭ ❆r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ z √ ❑ý ❤✐Ö✉ r = zz ❑❤✐ ➤ã sè ♣❤ø❝ z = a + bi ❝ã a = r cos α, b = r sin α ❱❐② ❦❤✐ z = t❤× ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ z = r cos α + i sin α ✈➭ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➵♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ❝đ❛ z ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✹✳ ✈í✐ r1 , r2 ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ z1 = r1 cos α1 + i sin α1 , z2 = r2 cos α2 + i sin α2 t❤× |z1 z2 | = |z1 ||z2 | ✈➭ | z1 |z1 | |= z2 |z2 | z1 z2 = r1 r2 cos α1 + α2 + i sin α1 + α2 z1 r1 cos α1 − α2 + i sin α1 − α2 = z2 r2 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❦❤✐ r > ❍✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ✈í✐ ❤❛✐ sè ♣❤ø❝ z1 ✈➭ z2 t❛ ❧✉➠♥ ❝ã z1 = z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 ❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✺✳ ❱í✐ ⇔ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) + arg(z2 ) = arg(z1 ) − arg(z2 ) a + bi = x + iy ❚õ a + bi = x + iy n 2 a + b = x + y2 ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ n n ❝ã s✉② r❛ n a2 + b = x + y n a − bi = x − iy ◆❤➞♥ ❧➵✐ t❛ ❝ã ❈➠♥❣ t❤ø❝ ▼♦✐✈r❡ ✈➭ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❊✉❧❡r z = r(cos α + i sin α) cos nα + i sin nα ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✻✳ ❬▼♦✐✈r❡❪ ❞➢➡♥❣ n n ❝ã z = r ứ t n ế tì ỗ số ♥❣✉②➟♥ ❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ❈❤♦ ❝➝♥ ❜❐❝ ❍Ư q✉➯ ✶✳✶✳✼✳ n n ❣✐➳ trÞ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ zk = r1/n ✈í✐ k = 1, 2, , n t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ z = r cos α + i sin α = α + 2kπ α + 2kπ cos + i sin n n ❝đ❛ ♠ét sè ♣❤ø❝ ❍✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳ z = r(cos α + i sin ) ò ợ ể ễ t z = reiα ➜➷❝ ❜✐Öt ❦❤✐ r = t❤× z = eiα ✈➭ ❦❤✐ r = 1, α = t❤× e0 = ❙è ♣❤ø❝ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✽✳ ❱í✐ ❦ý ❤✐Ư✉ tr➟♥ t❛ ❝ã eiα eiβ = ei(α+β) ✈➭ eiα = ei(α−β) iβ e ❚õ eiα eiβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + eiα cos α + i sin α iα iβ i(α+β) i sin(α + β) s✉② r❛ ♥❣❛② e e = e = ❉♦ ❜ë✐ iβ = e cos β + i sin β eiα cos(α − β) + i sin(α − β) ♥➟♥ iβ = ei(α−β) e eiα + e−iα cos α = eiα = cos α + i sin α −iα ✈➭ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝✿ ❚õ s✉② r❛ iα e − e e−iα = cos α − i sin α sin α = 2i ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ eiα + e−iα eiα − e−iα ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✾✳ ❬❊✉❧❡r❪ ❚❛ ❝ã cos α = ✈➭ sin α = 2i nπ nπ + i tan α n n +i sin ✈➭ = ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶✵✳ ❚❛ ❝ã 1+i = 2n/2 cos 4 − i tan α + i tan nα π ✱ ✈í✐ α = , n = 2✳ − i tan nα π n π n ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ▼♦✐✈r❡ ❝ã + i = 2n/2 cos + sin = 4 n cos α + i sin α nπ + i tan α n nπ +i sin ❚❛ ❝ò♥❣ ❝ã 2n/2 cos = n = 4 − i tan α cos α − i sin α cos nα + i sin nα + i tan nα = cos nα − i sin nα) − i tan nα 1 z = ✈➭ z + = cos α t❤× z n + n = cos nα ✈í✐ ♠ä✐ z z sè tù ♥❤✐➟♥ ❞➢➡♥❣ n ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶✶✳ ◆Õ✉ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ z − 2z cos α + = ❝ã ✷ ♥❣❤✐Ö♠ z = z1 = cos α + 1 i sin α, = z2 = cos α − i sin α ❑❤✐ ➤ã z n = z1n = cos nα + i sin nα, n = z z n n z2 = cos nα − i sin nα ❉♦ ✈❐② z + n = cos nα ✈í✐ ♠ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ z ❞➢➡♥❣ n ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ✶✳✷ ❚❛ ❝ã ❚Ý♥❤ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ❝đ❛ tr➢ê♥❣ C ▼ơ❝ ♥➭② sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣✱ ♠ä✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❞➢➡♥❣ t❤✉é❝ tr♦♥❣ C[x] ➤Ị✉ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ C ➜ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè✳ ◆❣➢ê✐ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❧➭ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❈✳ ●❛✉ss ✭✶✼✼✼✲✶✽✺✺✮✳ ❚❛ ❜➽t ➤➬✉ ♠ơ❝ ♥➭② ❜➺♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè✳ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ♥Õ✉ ♠ä✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❞➢➡♥❣ t❤✉é❝ K[x] ➤Ị✉ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ K ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ tr♦♥❣ ❚r➢ê♥❣ K[x] ♠ä✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❞➢➡♥❣ ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝➳❝ ♥❤➞♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❇ỉ ề tộ ỗ tứ tộ R[x] ➤Ị✉ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ t❤ù❝ R f (x) = a0 x2s+1 + a1 x2s + · · · + a2s x + a2s+1 ∈ R[x] ✈í✐ a0 = ❉Ô ❞➭♥❣ t❤✃② r➺♥❣ a0 f (x) sÏ t✐Õ♥ r❛ +∞ ❦❤✐ x → +∞ ✈➭ a0 f (x) sÏ t✐Õ♥ r❛ −∞ ❦❤✐ x → −∞ ❚õ ➤➞② s✉② r❛ sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè t❤ù❝ α > ✈➭ β < t❤á❛ ♠➲♥ a0 f (α) > 0, a0 f (β) < ❉♦ ✈❐② a20 f (α)f (β) < ❤❛② f (α)f (β) < ❱× ➤❛ t❤ø❝ f (x) ❧➭ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ R t❤á❛ ♠➲♥ f (α)f (β) < ♥➟♥✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❲❡✐❡rstr❛ss✱ ➤❛ t❤ø❝ f (x) ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ t❤ù❝ t❤✉é❝ (α, ) ứ ổ ề sử ỗ t❤ø❝ ❜❐❝ ❤❛✐ t❤✉é❝ C[x] ➤Ị✉ ❝ã ❤❛✐ ♥❣❤✐Ư♠ t❤✉é❝ C z ➤Ò✉ ❝ã ❤❛✐ sè ♣❤ø❝ = = z ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö z = a+bi = ✈➭ ❣✐➯ sö z1 = x+yi x2 − y = a ✈í✐ a, b, x, y ∈ R ➤Ĩ z1 = z ❤❛② 2xy = b ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ z1 , z2 ➤Ĩ z12 ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ❝❤Ø r❛✱ ✈í✐ ỗ số ứ z, z22 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✶ A, B, C, D t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ sè ♣❤ø❝ z1 = 1, z2 = i, z3 = −1, z4 = −i ●✐➯ sö M t➢➡♥❣ ø♥❣ sè ♣❤ø❝ z ❑❤✐ ➤ã ❝ã ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❑❤➠♥❣ ❤➵♥ ❝❤Õ ❝ã t❤Ó ❝♦✐ ➤Ø♥❤ −→ −→ −→ −→ AM = z − 1, BM = z − i, CM = z + 1, DM = z + i −→ −→ −→ −→ AB = i − 1, BC = −1 − i, CD = −i + 1, DA = + i ❑ý ❤✐Ö✉ M AB = A1 , M BC = B1 , M CD = C1 , M DA = D1 ✈➭ ❝➳❝ ❣ã❝ ♣❤ô t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ A2 , B2 , C2 , D2 ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ A1 + B1 + C1 + D1 + A2 + B2 + C2 +D2 = 2π ◆Õ✉ A2 +B2 +C2 +D2 > A1 +B1 +C1 +D1 t❤× ❧✃② ➤è✐ ①ø♥❣ M q✉❛ trơ❝ IJ t❤➭♥❤ M , tr♦♥❣ ➤ã I ❧➭ tr✉♥❣ ➤✐Ó♠ BC ✈➭ J ❧➭ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ AD ▲ó❝ ♥➭② f (M ) = M AB + M BC + M CD + M DA = A2 +B2 +C2 +D2 ❉♦ ✈❐② ❝ã t❤Ó ❝♦✐ π f (M ) < 2π ❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤Ø r❛ z−1 z−i z+1 z+i z4 − f (M ) = Arg = Arg i − −i − −i + i + ❍❛✐ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ❝➽t ♥❤❛✉ O = AC × BD ✈➭ ❝❤✐❛ ❤×♥❤ ✈✉➠♥❣ r❛ ❧➭♠ ✹ ♠✐Ò♥✳ ❑❤✐ ➤ã M t❤✉é❝ ♠ét ♠✐Ò♥✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ M t❤✉é❝ ♠✐Ị♥ OAB ✈➭ t❛ π π π ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt α = M OA ◆❤➢ ✈❐② α = Arg(z) ❉♦ 4 5π ✈❐② f (M ) = Arg(z − 1) = xAN = π + OAN π + OAD = , ë ➤ã N ø♥❣ ✈í✐ sè ♣❤ø❝ z ❉✃✉ ❂ ①➮② r❛ ❦❤✐ M ≡ B, ❝❤➻♥❣ ❤➵♥✳ ❑❤✐ π π π ✈➭ M DA = ❚ã♠ ❧➵✐✱ t❛ ❝ã ➤ã M AB = 0, M BC = , M CD = 2 5π f (M )ln = ❈❤ó ý ✸✳✶✳✽✳ ❑❤✐ M ≡ B t❤× t❛ ❝♦✐ M ❧➭ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ t❤✉é❝ ❝➵♥❤ AB π t✐Õ♥ ❞ä❝ t❤❡♦ AB ➤Õ♥ B ❑❤✐ ➤ã M BC = ❈❤ó ý ❆r❣✉♠❡♥t ❝đ❛ sè ♣❤ø❝ ✵ ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ tï② ý✱ ❝ß♥ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ sè ♥➭♦ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛✳ M ë tr♦♥❣ ❤❛② tr➟♥ ❝➵♥❤ t❛♠ ề ABC ì trị t ủ f (M ) = M AB + M BC + M CA ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳✾✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ●✐➯ sư ➤✐Ĩ♠ ❑❤➠♥❣ ❤➵♥√❝❤Õ ❝ã t❤Ó ❝♦✐ ➤Ø♥❤ √ A, B, C t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ sè ♣❤ø❝ 3 z1 = 1, z2 = − + i , z3 = − − i ●✐➯ sö M t➢➡♥❣ ø♥❣ sè ♣❤ø❝ z 2 2 ❑❤✐ ➤ã ❝ã √ √ −→ −→ −→ AM = z − 1, BM = z + − i , CM = z + + i 2 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✷ ❑ý ❤✐Ö✉ M AB = A1 , M BC = B1 , M CA = C1 ✈➭ ❝➳❝ ❣ã❝ ❝ß♥ ❧➵✐ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ A2 , B2 , C2 ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ A1 + B1 + C1 + A2 + B2 + C2 = π ◆Õ✉ A2 + B2 + C2 > A1 + B1 + C1 t❤× ❧✃② ➤è✐ ①ø♥❣ M q✉❛ trơ❝ AH t❤➭♥❤ M , tr♦♥❣ ➤ã H ❧➭ tr✉♥❣ ➤✐Ó♠ BC ▲ó❝ ♥➭② f (M ) = M AB+ M BC + M CA = π A2 + B2 + C2 ❉♦ ✈❐② ❝ã t❤Ó ❝♦✐ f (M ) < π ❉Ơ ❞➭♥❣ ❝❤Ø r❛ ➤➢ỵ❝ ♥❣❛②✿ √ √ 1 3 − i z + + i z + z−1 2√ 2√ = Arg z √− √ Arg −i 3 3i − +i −1 +i +1 2 2 π ◆❤➢ ✈❐② f (M ) = Arg(z − 1) − ❇❛ ➤♦➵♥ OA, OB, OC ❝❤✐❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ò✉ r❛ ❧➭♠ ✸ ♠✐Ò♥✳ ❑❤✐ ➤ã M t❤✉é❝ ♠ét ♠✐Ò♥✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ M t❤✉é❝ ♠✐Ò♥ π 2π π ❉✃✉ ❂ ①➮② r❛ ❦❤✐ M ≡ B, OAB ◆❤➢ ✈❐② f (M ) π+ − = 3π π ❝❤➻♥❣ ❤➵♥✳ ❑❤✐ ➤ã M AB = 0, M BC = , M CA = ❚ã♠ ❧➵✐✱ t❛ ❝ã 3 2π f (M )ln = ✸✳✷ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝✳ ▼ô❝ ♥➭② ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ✈➭ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝➡ ❜➯♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ ❚Ý❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ ❧Ư❝❤✳ ✶✳ ❚Ý❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ −−→ → −→ − OM = − u ❝ã t♦➵ ➤é z ✱ OP = → v ❝ã t♦➵ ộ w tì t ị ĩ tí ✈➠ ❤➢í♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ✈Ð❝t➡ ❧➭ ♠ét sè ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ OM OP = (zw + zw) =< z, w >✳ ❛✮ ◆Õ✉ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✸ ❜✮ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t✿ < z, w >= zz = |z|2 , < z, w >=< w, z > ✭➤è✐ ①ø♥❣✮, < z1 + z2 , w >=< z1 , w > + < z2 , w > ✭R t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤è✐ ✈í✐ z ✮✱ < kz, w >= k < z, w > ✈í✐ k ∈ R < z, w1 + w2 >=< z, w1 > + < z, w2 > < z, kw >= k < z, w > ✈í✐ k ∈ R ❈ß♥ ✈í✐ ✭R t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤è✐ ✈í✐ w ✮ λ ∈ C t❤× < λz, w >=< z, λw >✳ ✷✳ ❚Ý❝❤ ❧Ư❝❤ ❛✮ ❚Ý❝❤ ❧Ư❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ ✈Ð❝t➡ ❧➭ sè t❤ù❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ −−→ −→ OM , OP = [z, w] = (zw − zw)✳ ❜✮ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t✿ ✯ [w, z] = −[z, w] ✭ ❝ß♥ ♥ã✐ ✧♣❤➯♥ ➤è✐ ①ø♥❣✧✮✱ ✯ R ✲ s♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭➤è✐ ✈í✐ z, w ✮✱ → − ✯ ❱í✐ λ ∈ C t❤× [λz, w] = [z, λ w] ✳ ❚Ý❝❤ ❧Ư❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ ✈Ð❝t➡ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤×♥❤ ❤ä❝ ♣❤➻♥❣ ❞♦ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤×♥❤ ❤ä❝ ❞Ơ t❤✃② s❛✉ ➤➞② ✯ ◆Õ✉ z ✈➭ w ❦❤➳❝ t❤× [z, w] = |z||w| sin(ψ − ϕ) ✭tr♦♥❣ ➤ã ϕ, ψ t❤❡♦ t❤ø −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ tù ❧➭ ❛r❣✉♠❡♥t ❝ñ❛ z, w ✮ tø❝ [OM , OP ] = |OM ||OP | sin(OM , OP )✳ ✯ ◆Õ✉ z ❤♦➷❝ w ❜➺♥❣ t❤× [z, w] = 0✳ ❚õ ➤ã ✿ −−→ −→ ✲ ❇❛ ➤✐Ó♠ O, M, P t❤➺♥❣ ❤➭♥❣ tø❝ ❤❛✐ ✈Ð❝t➡ OM , OP ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ❦❤✐ ✈➭ −−→ −→ ❝❤Ø ❦❤✐ [OM , OP ] = [z, w] = 0❀ −−→ −→ ✲ ❇❛ ➤✐Ó♠ O, M, P ❦❤➠♥❣ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ t❤× [OM , OP ] = [z, w] ❜➺♥❣ ❤❛✐ ❧➬♥ ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ➤➵✐ sè t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ OM P ✿ ♥ã ❧➭ sè t❤ù❝ ♠➭ ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ❧➭ ❤❛✐ ❧➬♥ ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ t❛♠ ❣✐➳❝ OM P ✱ ♥ã ❞➢➡♥❣ ❦❤✐ OM P ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ t❤✉❐♥ ✭♥❣➢ỵ❝ ❝❤✐Ị✉ q✉❛② ❦✐♠ ➤å♥❣ ❤å ❦❤✐ ➤✐ ❞ä❝ ❝❤✉ ✈✐ O → M → P → O ✮ ó OM P ị ợ ú ý ✸✳✷✳✶✳ ▼è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ ❧Ö❝❤ ✿ < iz, w >= [z, w], [iz, w] = − < z, w >✳ −→ A, B, C t❤❡♦ t❤ø tù ❝ã tä❛ ➤é α, β, γ t❤× [α, β]OC + −→ −−→ → − [β, γ]OA + [γ, α]OB = ✳ ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳✷✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❈❤♦ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ❍✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên [α, β]γ + [β, γ]α + [γ, α]β = 0✳ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✹ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ ✶✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ − M0 ❝ã tä❛ ➤é z0 ✈í✐ ♠ét ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø ♣❤➢➡♥❣ → u u ❝ã tä❛ ➤é u ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ [z − z0 , u] = ❤❛② z − z0 = (z − z0 )✳ u u ❜✮ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z = λz + δ ✱ ✈í✐ |λ| = 1, λδ + δ = 0✳ ❱✐Õt λ = , u = u u t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ trë t❤➭♥❤ z = z + δ ✱ ✈í✐ < u, δ >= 0, u = ợ ọ u trì ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❝ñ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✿ u ❧➭ tä❛ ➤é ❝ñ❛ ♠ét ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø δ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➺♥❣✱ ❧➭ tä❛ ➤é ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ ❣è❝ O ①✉è♥❣ ❛✮ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ➤✐Ĩ♠ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ ❝✮ ❱í✐ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ∆, ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ z = λz + δ, |λ| = 1, λδ + δ = 0, z = λ z + δ , |λ | = 1, λ δ + δ = t❤× ✿ ✯ ∆ trï♥❣ ∆ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ λ = λ , δ = δ ✱ ✯ ∆ s♦♥❣ s♦♥❣ ∆ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ λ = λ , δ = δ ✭✈➭ ❧ó❝ ♥➭② ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❝❤ó♥❣ ❧➭ |δ − δ|✮✱ ✯ ∆ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ ∆ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ λ + λ = 0✳ ✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❚õ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❞Ơ s✉② r❛ r➺♥❣✿ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❝ã t❤Ĩ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ αz + βz + γ = 0, |α| = |β| = 0, αγ = βγ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥❤➢ t❤Õ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣❀ ➤✐Ĩ♠ ❝ã tä❛ ➤é z0 =− γ ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝ñ❛ ❣è❝ O ①✉è♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ 2α ❚r♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ z = λz + δ(|λ| = 1, λδ + δ = 0)✱ u ✈✐Õt λ = − , u = t❤× ➤Õ♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❞➵♥❣ ✿ uz − uz + γ = u 0, |u| = 0, γ ❧➭ sè t❤✉➬♥ ➯♦ ✭u ❧➭ tä❛ ➤é ♠ét ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ ❈❤ó ý ✸✳✷✳✸✳ t❤➻♥❣✮✳ ❈❤ó ý ✸✳✷✳✹✳ ✈✐Õt z = λz + δ(|λ| = 1, λδ + δ = 0)✱ tr×♥❤ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❞➵♥❣ ✿ vz − vz + ❚r♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ v λ = − ,v = v t❤× ➤Õ♥ ♣❤➢➡♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✺ γ = 0, |v| = 0, γ ❧➭ sè t❤ù❝ ✭v ❧➭ tä❛ ➤é ♠ét ✈Ð❝t➡ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✮✭♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tờ ợ ọ trì tự ❤ỵ♣ ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✮✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✺✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ t số ỗ ể M q M ó tä❛ ➤é ∆ ✈➭ tä❛ ➤é w z✱ ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❤♦➝❝ t❤❛♠ ❤➲② tÝ♥❤ tä❛ ➤é z ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ M M ①✉è♥❣ ➤è✐ ①ø♥❣ ∆✳ u ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z − z0 = (z − z0 )❀ ❦Ý ❤✐Ö✉ M0 (z0 ) ∈ ∆ t❤× u −−−→ −−−→ z − z0 ❧➭ tä❛ ➤é ❝ñ❛ ✈Ð❝t➡ M0 M , z − z0 ❧➭ tä❛ ➤é ❝đ❛ ✈Ð❝t➡M0 M ❝ß♥ u ❧➭ → − tä❛ ➤é ♠ét ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø ♣❤➢➡♥❣ u ❝đ❛ ∆✳ ❇ë✐ ✈❐② ❞Ơ t❤✃② M ➤è✐ ①ø♥❣ ✈í✐ M u q✉❛ ∆ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ z − z0 = (z − z0 ) ✈× ❧ó❝ ➤ã u −−−→ −−−→ u M0 M = M0 M (do = 1) u −−−→ −−−→ z − z0 z − z0 − − → u , M0 M = − → u , M0 M (do =( )) u u ❚õ ➤➞②✱ ♥Õ✉ ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z = λz+δ, |λ| = 1, λδ+δ = t❤× z = λz +δ ✱ ♥Õ✉ ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ αz + βz + γ = 0, |α| = |β| = 0, αγ = βγ t❤× αz + βz + γ = ❜✮ ●ä✐ P ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝ñ❛ M ①✉è♥❣ ∆✱ P ❝ã tä❛ ➤é w ✱ t❤× ❞♦ −→ −−→ −−→ OP = (OM + OM )✱ s✉② r❛ ✭tõ ❝➞✉ ❛✮ ✿ ✯ ◆Õ✉ ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z = λz + δ, |λ| = 1, λδ + δ = t❤× w = (z + λz + δ)✱ ✯ ◆Õ✉ ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ αz + βz + γ = 0, |α| = |β| = 0, αγ = βγ t❤× w= (αz − βz − γ)✳ 2α ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❛✮ ✸✳ ●✐❛♦ ❝ñ❛ ❤❛✐✱ ❝ñ❛ ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❍❛✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ [z−z0 , u0 ] = 0; [z−z1 , u1 ] = 0✱ ♠➭ [u0 , u1 ] = ✭ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣✮ t❤× ❝➽t ♥❤❛✉ t➵✐ ➤ó♥❣ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝ã tä❛ ➤é ✭❞♦ ❦❤ư z ❣✐÷❛ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤ã✮✿ ([z1 , u1 ]u0 − [z0 , u0 ]u1 )✳ [u0 , u1 ] ∆0 , ∆1 , ∆2 ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ [z − z0 , u0 ] = 0; [z − z1 , u1 ] = 0; [z − z2 , u2 ] = 0✳ ❇✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈Ị ✈Þ trÝ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝đ❛ ❜❛ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✻✳ ❈❤♦ ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✻ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã✳ ❑❤✐ ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❝➽t ♥❤❛✉ t➵♦ t❤➭♥❤ t❛♠ ❣✐➳❝✱ ❤➲② tÝ♥❤ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ t❛♠ ❣✐➳❝ ➤ã✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❛✮ ◆Õ✉ ❜❛ sè [u0 , u1 ], [u1 , u2 ], [u2 , u0 ] ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❜➺♥❣ t❤× ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã ❝ã ♠ét ✈➭ ❝❤Ø ♠ét ➤✐Ó♠ ❝❤✉♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ [u0 , u1 ][z2 , u2 ] + [u1 , u2 ][z0 , u0 ] + [u2 , u0 ][z1 , u1 ] = ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ [u0 , u1 ] = t❤× ∆0 , ∆1 ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝❤✉♥❣ ❝ã tä❛ ➤é ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr➟♥❀ tä❛ ➤é ➤ã t❤á❛ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ∆2 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❝ã ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤❛♥❣ ①Ðt✳ ❜✮ ◆Õ✉ [u0 , u1 ] = [u1 , u2 ] = [u2 , u0 ] = t❤× ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❝❤✉♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❝ã ❝❤Ø sè i = 0, 1, ♠➭ [z0 , ui ] = [z1 , ui ] = [z2 , ui ] ✈➭ ❦❤✐ ➤ã ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ trï♥❣ ♥❤❛✉✳ ❝✮ ❑❤✐ ❜❛ sè [u0 , u1 ], [u1 , u2 ], [u2 , u0 ] ➤Ị✉ ❦❤➳❝ t❤× ∆0 ❝➽t ∆1 t➵✐ P01 ✱ ∆1 ❝➽t ∆2 t➵✐ P12 ✱ ∆2 ❝➽t ∆0 t➵✐ P20 ❀ ❦❤✐ ➤ã ([u0 , u1 ][z2 , u2 ] + [u1 , u2 ][z0 , u0 ] + [u2 , u0 ][z1 , u1 ])2 ❧➭ ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ➤➵✐ sè ❝đ❛ [u0 , u1 ][u1 , u2 ][u2 , u0 ] t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ P01 P12 P20 ♥Õ✉ tư sè ❝đ❛ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ➤ã ❦❤➳❝ 0❀ tư sè ➤ã ❜➺♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ P01 ≡ P12 ≡ P20 ✳ ✹✳ ❚Ø sè ➤➡♥ ❝đ❛ ❜é ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ tØ sè ➤➡♥ ❝đ❛ ❜é ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ♠❛♥❣ ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤×♥❤ ❤ä❝ q✉❛♥ trä♥❣✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ ❝đ❛ ❜❛ ➤✐Ĩ♠✳ ❱í✐ ❜é ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt M0 , M1 , M2 tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝✱ ❝ã tä❛ ➤é t❤❡♦ t❤ø tù z0 , z1 , z2 ✳ ❚❛ ❣ä✐ sè ♣❤ø❝✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ [M0 , M1 , M2 ] = z2 − z0 [z0 , z1 , z2 ] = ❧➭ tØ sè ➤➡♥ ❝ñ❛ ❜é ❜❛ ➤✐Ĩ♠ M0 , M1 , M2 ✭❤❛② ❝đ❛ ❜é z2 − z1 ❜❛ sè ♣❤ø❝ z0 , z1 , z2 ✮✳ M2 M0 ✈➭ arg w ❧➭ sè ➤♦ [M0 , M1 , M2 ] ❧➭ sè ♣❤ø❝ w ♠➭ w = M2 M1 −−−→ −−−→ ❣ã❝ ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ (M2 M1 , M2 M0 )❀ ➤✐Ò✉ ➤ã ♥ã✐ r➺♥❣✱ tØ sè ➤➡♥ ❝đ❛ ❜é ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ❈❤ó ý ✸✳✷✳✼✳ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt ❧➭ ♠ét ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❤×♥❤ ❤ä❝✱ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ trơ❝ tä❛ ➤é Oxy ✳ z2 − z0 z2 − z0 ∈ R ⇔ arg = kπ, k ∈ Z z1 − z0 z1 − z0 −−−→ −−−→ ⇔ ❣ã❝(M2 M1 , M2 M0 ) ❝ã sè ➤♦ kπ, k ∈ Z ❘â r➭♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✼ −−−→ −−−→ ⇔ M2 M1 , M2 M0 ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣✳ ❱❐② ❞Ô t❤✃② r➺♥❣ [M0 , M1 , M2 ] = k ∈ −−−→ −−−→ R ⇔ ❜❛ ➤✐Ó♠ M0 , M1 , M2 ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ✈➭ M0 M2 = k M1 M2 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ M2 t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ M0 M1 ✈➭ ❝❤✐❛ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ M0 M1 t❤❡♦ tØ sè k ✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ❝ò♥❣ s✉② r❛ trù❝ t✐Õ♣ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ r➺♥❣ ❦❤✐ ❝❤♦ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ♣❤➞♥ M0 , M1 t❤× ✈✐Ư❝ ➤➷t t➢➡♥❣ ứ ỗ ể M M0 , M1 ủ t❤➻♥❣ ∆ ➤✐ q✉❛ M0 , M1 ✈í✐ tØ sè ➤➡♥ [M0 , M1 , M ] ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤ ❜✐Öt ➤➢ê♥❣ ∆\ {M0 , M1 } → R\ {0, 1} M → [M0 , M1 , M ] ❙❛✉ ➤➞② t❛ ①Ðt ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✽✳ ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ▼❡♥❡❧❛✉s✮ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐➳❝ ABC ✈➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ A ,B ,C BC, CA, AB t❤❡♦ tØ sè k, l, m ✭tø❝ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ −−→ −−→ BC ♠➭ A B = k A C, ✮✳ ❑❤✐ ♥➭♦ A , B , C t❤➻♥❣ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❝❤✐❛ ❝➳❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ A t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ A , B , C ❦❤➠♥❣ A B C ✈➭ t❛♠ ❣✐➳❝ ABC ✳ ❤➭♥❣ ❄ ❑❤✐ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣✱ tÝ♥❤ tØ sè ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ❝đ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ A, B, C ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❝ã tä❛ ➤é α, β, γ ❝ß♥ −−→ −−→ A , B , C ❝ã tä❛ ➤é α , β , γ t❤× [B, C, A ] = k, A B = k A C(k = 1) ❝ã β − kγ ĩ = ị ò q (, , γ), (α , β , γ ), (k, l, m) ➤Ĩ 1−k tÝ♥❤ β , γ t❛ tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝ − klm [α , β ] + [β , γ ] + [γ , α ] = ([α, β] + [β, γ] + [γ, α])✳ (1 − k)(1 − l)(1 − m) ❱❐② A , B , C t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ ⇔ klm = 1✳ dt(ABC) − klm ❑❤✐ A , B , C ❦❤➠♥❣ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣✱ t❤× = ✳ dt(A B C ) (1 − k)(1 − l)(1 − m) ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❈♦✐ ABC ✈➭ ➤✐Ó♠ O ✭❦❤➳❝ A, B, C ✮✳ ❈➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ q✉❛ O ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ t❤❡♦ t❤ø tù ✈í✐ OA, OB, OC ✱ ❝➽t t❤❡♦ t❤ø tù BC, CA, AB t➵✐ A , B , C ✭ ❦❤➳❝ ❝➳❝ ➤Ø♥❤ ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ABC ✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ A , B , C ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳✾✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐➳❝ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ O ❧➭ ❣è❝ tä❛ ➤é✱ ❝♦✐ A, B, C ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❝ã tä❛ ➤é α, β, γ ❝♦✐ A , B , C ❝ã tä❛ ➤é α , β , γ ✱ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠A , B , C ❧➬♥ ❧➢ỵt ❝❤✐❛ ❝➳❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ BC, CA, AB t❤❡♦ tØ sè k, l, m ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❳Ðt ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ✈í✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✽ −−→ −→ β − kγ ♠➭ OA ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ OA ♥➟♥ < β − kγ, >= 1k ị ò q s r ➤➢ỵ❝ < α, β >< β, γ >< γ, α > (1 − klm) = ⇔ klm = 1✳ ❚õ ✈Ý ❞ơ tr➟♥ t❛ ❝ã ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ t❤× α = ABC ✈➭ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ A , B , C tr➟♥ BC, CA, AB ❀ A ❝❤✐❛ BC t❤❡♦ tØ sè k ✱ B ❝❤✐❛ CA t❤❡♦ tØ sè l✱ C ❝❤✐❛ AB t❤❡♦ tØ sè m ✳ ●✐➯ sö ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ AA , BB ❝➽t ♥❤❛✉ t➵✐ P ✱ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ BB , CC ❝➽t ♥❤❛✉ t➵✐ Q✱ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ CC , AA ❝➽t ♥❤❛✉ t➵✐ R✳ ❑❤✐ ♥➭♦ P, Q, R trï♥❣ ♥❤❛✉ ✭tø❝ AA , BB , CC ➤å♥❣ q✉✐ ✮❄ ❑❤✐ ❝❤ó♥❣ ❦❤➠♥❣ trï♥❣ ♥❤❛✉✱ tÝ♥❤ tØ sè ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ t❛♠ ❣✐➳❝ P QR ✈➭ ABC ✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✶✵✳ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ❈Ð✈❛✮ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐➳❝ A, B, C ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❝ã tä❛ ➤é α, β, γ ❝ß♥ β − kγ A , B , C ❝❝ã tä❛ ➤é α , β , γ t❤× α = ✱✳✳✳ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ AA ➤✐ q✉❛ 1−k → − ➤✐Ó♠ A ❝ã tä❛ ➤é α✱ ❝ã ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø ♣❤➢➡♥❣ u0 ✈í✐ tä❛ ➤é u0 = (k − 1)α + k ị ò q tí ợ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ t➢➡♥❣ tù ❝❤♦ BB , CC ✈➭ ❝ã✿ [u2 , u1 ] = (1 − l + lm)([α, β] + [β, γ] + [γ, α])✱ tõ ➤ã [z0 , u0 ][u1 , u2 ] = (1 − l + lm)([α, β] + k[γ, α])([α, β] + [β, γ] + [γ, α]) ✈➭ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ [z0 , u0 ][u1 , u2 ] + [z1 , u1 ][u2 , u0 ] + [z2 , u2 ][u0 , u1 ] = (1 + klm)([α, β] + [β, γ] + [γ, α])2 ✳ ❱❐② ✯ P, Q, R trï♥❣ ♥❤❛✉ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ klm = −1 ✯ ❑❤✐ P, Q, R ❦❤➠♥❣ trï♥❣ ♥❤❛✉ t❤× ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❈♦✐ dtP QR (1 + klm)2 = ✳ dtABC (1 − k + kl)(1 − l + lm)(1 − m + mk) ABC ✈➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ∆✳ ●ä✐ A , B , C ❧➭ t❤❡♦ t❤ø tù ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ A, B, C ①✉è♥❣ ∆✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ A ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ BC ✱ q✉❛ B ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ CA✱q✉❛ C ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ AB ❧➭ ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤å♥❣ q✉✐ t➵✐ ♠ét ➤✐Ó♠ ✭➤✐Ó♠ ♥➭② ❣ä✐ ❧➭ ❝ù❝ trù❝ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ∆ ➤è✐ ✈í✐ t❛♠ ❣✐➳❝ ABC ✮✳ ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳✶✶✳ ❚r♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐➳❝ A, B, C ❝ã tä❛ ➤é ❧➭ z0 , z1 , z2 ✈➭ ∆ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t αz + βz + γ = 0(|α| = |β| = 0, αγ = βγ) tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝✳ ●ä✐ A , B , C ❝ã tä❛ ➤é ❧➭ z0 , z1 , z2 t❤× zj = (αzj − βz j − γ)✳ ❉Ô t❤✃② 2α u0 = i(z2 − z1 ), u1 = i(z0 − z2 ), u2 = i(z1 − z0 ) t❤❡♦ t❤ø tù ❧➭ tä❛ ➤é ❝đ❛ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❈♦✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✾ ❝➳❝ ✈Ð❝t➡ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ BC, CA, AB ✈➭ [u0 , u1 ] = [u1 , u2 ] = [u2 , u0 ] = [z0 , z1 ] + [z1 , z2 ] + [z2 , z0 ] = 0✱ ♥➟♥ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ ➤Ò ❜➭✐ ➤å♥❣ q✉✐ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ [z0 , u0 ] + [z1 , u1 ] + [z2 , u2 ] = 0✳ ❚❛ ❝ã z0 β [z0 , u0 ] = [ − − γ, i(z2 − z1 )]❀ ❤♦➳♥ ✈Þ ✈ß♥❣ q✉❛♥❤ ❝➳❝ ❝❤Ø sè 0, 1, rå✐ 2α ❝é♥❣ ❧➵✐ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ R✳ P A0 A1 A2 ❈❤♦ t❛♠ ❣✐➳❝ ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳✶✷✳ ♥é✐ t✐Õ♣ ➤➢ê♥❣ trß♥ t➞♠ O ❜➳♥ ❦Ý♥❤ P0 , P1 , P2 t❤❡♦ t❤ø tù ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝ñ❛ P ①✉è♥❣ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ A1 A2 , A2 A0 , A0 A1 ✳ ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ tï② ý t❤✉é❝ ♠➷t ♣❤➻♥❣❀ ❣ä✐ ✭✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❜❛ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ➤✐Ó♠ P P P0 , P1 , P2 ❧➭ ❤×♥❤ ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❦❤✐ t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭② ➤✐ q✉❛ tr✉♥❣ ❝ñ❛ ➤♦➵♥ HP ✱ tr♦♥❣ ➤ã H ❧➭ trù❝ t➞♠ ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ✭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã ❣ä✐ ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ P A0 A1 A2 ➤è✐ ✈í✐ t❛♠ ❣✐➳❝ A0 A1 A2 ✮ ✭✐✐✮ ❑❤✐ ❜❛ ➤✐Ó♠ P0 P1 P P0 , P1 , P2 ❦❤➠♥❣ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣✱ tÝ♥❤ tØ sè ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ t❛♠ ❣✐➳❝ ✈í✐ ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ t❛♠ ❣✐➳❝ A0 A1 A2 ✭✐✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ A0 A1 A2 A0 A1 A2 ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ∆✳ ➤➢ê♥❣ trß♥ ♥❣♦➵✐ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ∆✱ OP ✳ P t❤✉é❝ P ➤è✐ ✈í✐ ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ➤Ĩ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ ✭✈✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❝ã ➤ó♥❣ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ P0 , P1 , P2 t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ➤➲ ❝❤♦ ➤Ĩ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ 0, 1, Pj ➤è✐ ✈í✐ A0 A1 A2 ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ OPj , j = ✈➭ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ➤ã ❧➭ ❜❛ ➤Ø♥❤ ❝đ❛ ♠ét t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ị✉✳ ❈ị♥❣ ❝ã ➤ó♥❣ Q0 , Q1 , Q2 t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ➤➲ ❝❤♦ ➤Ĩ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ Qj ➤è✐ ✈í✐ A0 A1 A2 ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ OQj , j = 0, 1, ✈➭ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ➤ã ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❧➭ ❜❛ ➤Ø♥❤ ❝đ❛ ♠ét t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ị✉✳ ✭✈✮ ●✐➯ sư R = ✈➭ Aj ❝ã tä❛ ➤é αj , j = 0, 1, tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❣è❝ O❀ ❣ä✐ ∆1 ❧➭ ➤➢ê♥❣ ❦Ý♥❤ ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ ➤➡♥ ✈Þ E(1)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝ã tä❛ ➤é δ3 = α0 α1 α2 ❧➭ ➤✐Ó♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝đ❛ E q✉❛ ∆1 ✱ ❝ß♥ ➤✐Ĩ♠ ❝ã tä❛ ➤é δ2 = α0 α1 + α1 α2 + α2 α0 ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ➤è✐ ①ø♥❣ q✉❛ ∆1 ❝đ❛ trù❝ t➞♠ H ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ A0 A1 A2 ✳ R = ✈➭ Aj ❝ã tä❛ ➤é αj , j = 0, 1, tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ❣è❝ O ✱ |αj | = 1✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❈ã t❤Ó ❝♦✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✵ ✭✐✮ 1 P ❝ã tä❛ ➤é w t❤× P0 ❝ã tä❛ ➤é w0 = − wα1 α2 + (w + α1 + α2 )❀ 2 t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✈❐②✱ P1 ❝ã tä❛ ➤é w1 ✱ P2 ❝ã tä❛ ➤é w2 ❝ã ➤➢ỵ❝ ❞♦ ❤♦➳♥ ị ò q ỉ số 0, 1, tr ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ✈õ❛ ✈✐Õt ❝đ❛ w0 ✳ ❚õ α1 − α0 α2 − α0 ➤ã✱ w1 − w0 = (wα2 − 1), w2 − w0 = (wα1 − 1)✱ ✈❐② 2 [w1 − w0 , w2 − w0 ] = (1 − |w|2 )([α0 , α1 ] + [α1 , α2 ] + [α2 , α0 ]) = (1 − |w|2 )dt(A0 A1 A2 )✳ ❱❐② P0 , P1 , P2 ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ |w| = 1✱ tø❝ ❧➭ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ P t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ➤➲ ❝❤♦✳ ❉Ơ t❤✃② trù❝ t➞♠ H ❝đ❛ A0 A1 A2 ❝ã tä❛ ➤é α0 + α1 + α2 ✈× ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ −−→ −−−→ ❦❤✐ ➤ã A0 H ❝ã tä❛ ➤é α1 + α2 râ r➭♥❣ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ A1 A2 ❝ã tä❛ ➤é α2 − α1 ❞♦ < α1 + α2 , α2 − α1 >= 0✱ ♥➟♥ tä❛ ➤é tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ P ❝đ❛ HP −−→ 1 ❧➭ (α0 + α1 + α2 + w)✳ ❚õ ➤ã P0 P ❝ã tä❛ ➤é (wα1 α2 + α0 )✱ ✈❐② ❦❤✐ 2 −−→ −−→ α1 − α0 |w| = 1✱ [P0 P1 , P0 P ] = [ (wα2 −1), (wα1 α2 +α0 )] = 0❀ t➢➡♥❣ 2 −−→ −−→ tù [P0 P2 , P0 P ] = 0✱ tø❝ ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ P0 , P1 , P2 , P ❝ï♥❣ t❤é❝ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ P ➤è✐ ✈í✐ A0 A1 A2 ✭❦❤✐ P t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ♥❣♦➵✐ t✐Õ♣ A0 A1 A2 ✮✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ♥➭② 1 ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ q✉❛ P ❝ã tä❛ ➤é (α0 +α1 +α2 +w) = (δ1 +w) ✭tr♦♥❣ → −2 ➤ã δ1 = α0 + α1 + α2 ✮ ✈➭ ❝ã ♠ét ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø ♣❤➢➡♥❣ u ❝ã tä❛ ➤é u ♠➭ u w1 − w0 w2 − w0 = α0 α1 α2 w = δ3 u ✈× ❞Ơ t❤ư r➺♥❣ = = α0 α1 α2 w u w1 − w0 w2 − w0 ❦❤✐ w0 = w1 ✈➭ w0 = w2 ✳ ✭✐✐✮ ❑❤✐ P0 , P1 , P2 ❦❤➠♥❣ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣✱ ➤➻♥❣ t❤ø❝ [w1 − w0 , w2 − w0 ] = dt(P0 P1 P2 ) (1 − |w|2 )dt(A0 A1 A2 ) ❝❤ø♥❣ tá = (1 − |w|2 )✳ dt(A0 A1 A2 ) ✭✐✐✐✮ ❚❤❡♦ ✭✐✮✱ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ P (w) ➤è✐ ✈í✐ A0 A1 A2 ❝ã ♠ét ✈Ð❝t➡ ❝❤Ø u → − ♣❤➢➡♥❣ u ❝ã tä❛ ➤é u ♠➭ = δ3 u ♥➟♥ ❦❤✐ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➢ê♥❣ u t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ✭tø❝ ❦❤✐ ❝❤♦ u✱ s❛✐ ❦❤➳❝ ♥❤➞♥ ✈í✐ ❤➺♥❣ sè ❦❤➳❝ 0✮ t❤× ❝ã u ♠ét ✈➭ ❝❤Ø ♠ét w ♠➭ w = ✭tø❝ ❧➭ ❝ã ♠ét ✈➭ ❝❤Ø ♠ét ➤✐Ó♠ P ✮✳ δ3 u ✭✈✐✮ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên P (w) ❝ã ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ OP ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✶ w tø❝ w = δ3 ❤❛② w ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ ❜❛ ❝ñ❛ δ3 ✳ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ w w ❝đ❛ P (w) ❝ã ♣❤➢➡♥❣ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ OP ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ δ3 w = − tø❝ w w3 = −δ3 ❤❛② w ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ ❜❛ ❝ñ❛ −δ3 ✳ δ3 w = ✭✈✮ ➜➢ê♥❣ ❦Ý♥❤ ∆1 ❝ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ ➤➡♥ ✈Þ E(1) ➤è✐ ✈í✐ A0 A1 A2 ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z = δ3 z ♥➟♥ ➤✐Ĩ♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝đ❛ E q✉❛ ∆1 ❝ã tä❛ ➤é δ3 ✱ ❝ß♥ ➤✐Ĩ♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝đ❛ H(α0 + α1 + α2 = δ1 ) q✉❛ ∆1 ❝ã tä❛ ➤é δ3 (δ ) = δ2 ✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✶✸✳ ✭❱Ị ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❊✉❧❡r✱ ➤➢ê♥❣ trß♥ ❊✉❧❡r✱ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣✲ s♦♥ ➤è✐ ✈í✐ tø ❣✐➳❝ ♥é✐ t✐Õ♣✮ ❚❛ ➤➲ ❜✐Õt ✿ ❜❛ ➤✐Ó♠ ❧➭ t➞♠ G✱ t✐Õ♣✱ trä♥❣ t➞♠ trù❝ t➞♠ H ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ A0 A1 A2 O ➤➢ê♥❣ trß♥ ♥❣♦➵✐ ♥➺♠ tr➟♥ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❊✉❧❡r ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ➤ã ✭❦❤✐ t❛♠ ❣✐➳❝ ➤Ị✉ t❤× ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ➤ã trï♥❣ ♥❤❛✉✱ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ r ị trò q A0 A1 , A1 A2 , A2 A0 ✱ ➤✐ q✉❛ ❜❛ ❝❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❝❛♦✱ ➤✐ q✉❛ ❝➳❝ tr✉♥❣ ➤✐Ó♠ ❝➳❝ ➤♦➵♥ A0 H, A1 H, A2 H ✮ ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ A0 A1 A2 ♥❤❐♥ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ OH ❧➭♠ t➞♠✱ ❝ã ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ❜➺♥❣ ♥ư❛ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ➤➢ê♥❣ trß♥ ♥❣♦➵✐ t✐Õ♣ A0 A1 A2 ❣ä✐ ❧➭ ➤➢ê♥❣ trß♥ ❊✉❧❡r ❝đ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ A0 A1 A2 ✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❧➭ tø ❣✐➳❝✿ ❈❤♦ tø ❣✐➳❝ A0 A1 A2 A3 ♥é✐ t✐Õ♣ ➤➢ê♥❣ trß♥ O ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R✳ ✾ ➤✐Ó♠ ✭➤✐ q✉❛ ❜❛ tr✉♥❣ ➤✐Ó♠ ❜❛ ❝➵♥❤ ✭✐✮ ●ä✐ G ❧➭ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❤Ư ❜è♥ ➤✐Ĩ♠ ➤ã ✭tø❝ −−→ → − Aj G = ✮✱ ❣ä✐ H ①➳❝ j=0 −−→ −−→ OAj = OH ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❧➭ trù❝ t➞♠ ❝đ❛ tø ❣✐➳❝ A0 A1 A2 A3 ✳ ❈❤ø♥❣ j=0 ♠✐♥❤ r➺♥❣ O, G, H ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❊✉❧❡r ❝ñ❛ tø ❣✐➳❝ ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ −−→ −→ OH = 4OG ✭❝ị♥❣ ❝ã ❦❤✐ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ ➤ã trï♥❣ ♥❤❛✉✮✳ ✭✐✐✮ ●ä✐ H0 , H1 , H2 , H3 t❤❡♦ t❤ø tù ❧➭ trù❝ t➞♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝ A1 A2 A3 , A2 A3 A0 , A3 A0 A1 , A0 A1 A2 ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜è♥ ➤➢ê♥❣ trß♥ t➞♠ Hj (j = 0, 1, 2, 3) ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R ❝ï♥❣ ➤✐ q✉❛ trù❝ t➞♠ H ❝ñ❛ tø ❣✐➳❝ ➤➲ ❝❤♦✳ ✭✐✐✐✮ ●ä✐ E0 , E1 , E2 , E3 t❤❡♦ t❤ø tù ❧➭ t➞♠ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ❊✉❧❡r ❝đ❛ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝ A1 A2 A3 , A2 A3 A0 , A3 A0 A1 , A0 A1 A2 ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜è♥ ➤➢ê♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✷ E ❝ñ❛ OH ✈➭ E0 , E1 , E2 , E3 ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ t➞♠ E ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R/2 ✲ ❣ä✐ ❧➭ ➤➢ê♥❣ trß♥ ❊✉❧❡r ❝đ❛ tø trß♥ ❊✉❧❡r ➤ã ❝ï♥❣ ➤✐ q✉❛ tr✉♥❣ ➤✐Ó♠ ❣✐➳❝ ➤➲ ❝❤♦✳ ✭✐✈✮ ❳Ðt ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ tr✉♥❣ ➤✐Ó♠ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ➤Ø♥❤ ❝đ❛ tø ❣✐➳❝✱ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤Ø♥❤ ❝ß♥ ❧➵✐❀ ❝ã s➳✉ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥❤➢ t❤Õ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ s➳✉ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã ➤✐ q✉❛ ✭✈✮ ❳Ðt ❜è♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝ñ❛ A1 A2 A3 ✱ ❝đ❛ A1 ➤è✐ ✈í✐ A2 A3 A0 ✱ ❝đ❛ A2 ➤è✐ ✈í✐ A3 A0 A1 ✱ ❝đ❛ A3 ➤è✐ ✈í✐ A0 A1 A2 ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❜è♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã ➤✐ q✉❛ E ✳ ✭✈✐✮ P A0 E✳ ➤è✐ ✈í✐ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tï② ý t❤✉é❝ ➤➢ê♥❣ trß♥ ➤➲ ❝❤♦✱ ①Ðt ❜è♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣✲ s♦♥ ❝đ❛ P A1 A2 A3 , A2 A3 A0 , A3 A0 A1 , A0 A1 A2 ✳ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ P ①✉è♥❣ ❜è♥ ➤➢ê♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❜è♥ ❤×♥❤ t❤➻♥❣ ➤ã ❧➭ ❜è♥ ➤✐Ĩ♠ ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ P ➤è✐ ✈í✐ tø ❣✐➳❝ ❈ã t❤Ĩ ①❡♠ A0 A1 A2 A3 ✳ R = 1✱ O ❧➭ ➤✐Ó♠ ❣è❝✱ Aj ❝ã tä❛ ➤é αj (j = 0, 1, 2, 3) tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝✳ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ OG = (OA0 + OA1 + OA2 + OA3 ) ✳ −−→ ✭✐✐✮ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ H0 ❝ã tä❛ ➤é α1 + α2 + α3 ♥➟♥ H0 H ❝ã tä❛ ➤é α1 ✱ ❞♦ ➤ã −−→ −−→ |H0 H| = 1❀ t➢➡♥❣ tù |Hj H| = 1, j = 1, 2, 3✳ ✭✐✮ ❈❤Ø ❝➬♥ ➤Ó ý r➺♥❣ −−→ α1 + α2 + α3 α0 + α1 + α2 + α3 E0 ❝ã tä❛ ➤é ✱ E ❝ã tä❛ ➤é ♥➟♥ E0 E 2 −−→ −−→ α0 1 ✱ tõ ➤ã |E0 E| = ✱ t➢➡♥❣ tù |Ej E| = , j = 1, 2, ❝ã tä❛ ➤é 2 −−−→ α0 + α1 ✭✐✈✮ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ M01 ❝đ❛ A0 A1 ❝ã tä❛ ➤é ♥➟♥ M01 E ❝ã −−−→ −−−→ α2 + α3 tä❛ ➤é ✱ ♥❤➢♥❣ < α2 + α3 , α3 − α2 >= ♥➟♥ M01 E.A2 A3 = 0✳ ✭✐✐✐✮ ✭✈✮ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ A0 ➤è✐ ✈í✐ A1 A2 A3 ❝ß♥ ➤✐ q✉❛ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ A0 H0 ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ã tä❛ ➤é (α0 + α1 + α2 + α3 ) tø❝ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ E ✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✸ ✭✈✐✮ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ P (w) ➤è✐ ✈í✐ t❛♠ ❣✐➳❝ A1 A2 A3 ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z − w1 = α1 α2 α3 w(z − w1 ) tr♦♥❣ ➤ã w1 = (−α2 α3 w + α2 + α3 + w) ♥➟♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ P ①✉è♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤ã ❝ã tä❛ w − w1 w + w ➤é v0 = α1 α2 α3 w + 2 = (α1 α2 α3 w2 − (α1 α2 + α2 α3 + α3 α1 )w + α1 + α2 + α3 + 3w)✱ ✈➭ t➢➡♥❣ tù ❝❤♦ vj ✭tä❛ ➤é ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ P ①✉è♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ P ➤è✐ ✈í✐ t❛♠ ❣✐➳❝ ❝ã ➤➢ỵ❝ tõ A0 A1 A2 A3 ❞♦ ❜á ➤✐ ➤Ø♥❤ Aj , j = 1, 2, 3✮✳ ❚õ ➤ã ❞Ơ tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝ α0 − α1 v0 − v1 = (−α2 α3 w2 + α2 w + α3 w − 1) ✈➭ ❣✐➯ sö v0 − v1 = v0 − v1 v0 − vj = −α0 α1 α2 α3 w2 ✭tõ ➤ã ❂ , j = 2, 3✮✳ t❤× v0 − v1 v0 − vj ❱❐② v0 , v1 , v2 , v3 t❤á❛ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ z − v0 = −α0 α1 α2 α3 w2 (z − v0 ) ❧➭ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❙✐♠♣s♦♥ ❝đ❛ P (w) ➤è✐ ✈í✐ tø ❣✐➳❝ A0 A1 A2 A3 ✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ◗✉❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ ✸ ♥é✐ ❞✉♥❣ í s rì ữ ế tứ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ♣❤ø❝✱ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ë ➤➞② ❧➭ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝❤♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ➜➵✐ sè✳ ✲ ➜➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ✈❐♥ ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè✱ ❙è ❤ä❝ ✈➭ ▲➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✳ ✲ ➜➲ tr×♥❤ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ▼❡♥❡❧❛✉s✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❈Ð✈❛✱ ❙✐♠♣s♦♥✱✳✳✳✳ ◗✉❛ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤✃② r➺♥❣✿ ✲ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ♠ô❝ t✐➟✉ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➷t r❛✳ ✲ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ➤➢ỵ❝ ♠ét sè ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❙è ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ s➡ ❝✃♣ ➤Ĩ ♥❤÷♥❣ ❛✐ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ❝ã t❤Ó t❤❛♠ ❦❤➯♦✳ ❉♦ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ trì ộ ò ế ỉ ❞õ♥❣ ❧➵✐ ë ♠ø❝ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ♣❤ø❝ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ s➡ ❝✃♣✳ ❚r♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ tí✐✱ ♥Õ✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ ♣❤Ð♣✱ t➳❝ ❣✐➯ sÏ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ❦ü ❤➡♥ ➤Ó ❝ã t❤Ó ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝ã tÝ♥❤ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤ù❝ t✐Ơ♥ ❤➡♥ ♣❤ơ❝ ✈ơ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ s❛✐ sãt✳ ❚➳❝ rt ợ ữ ý ế ó ó ❝đ❛ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤Ĩ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tèt ❤➡♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✳ ✻✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❉ò♥❣ ✲ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ t♦➳♥ ❙è ♣❤ø❝ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✲ ◆❳❇ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ●✐❛✱ ✷✵✶✵✳ ❬✷❪✳ ➜♦➭♥ ◗✉ú♥❤ ✲ ❙è ♣❤ø❝ ✈í✐ ❤×♥❤ ❤ä❝ ♣❤➻♥❣ ✲ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ô❝✱✶✾✾✼✳ ❬✸❪✳ ❍♦➭♥❣ ❳✉➞♥ ❙Ý♥❤ ✲ ➜➵✐ sè ➤➵✐ ❝➢➡♥❣ ✲ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ơ❝✱ ✷✵✵✶✳ ❬✹❪✳ ❚✉②Ĩ♥ t❐♣ ✺ ♥➝♠ ❚❍❚❚✭✶✾✾✶✲✶✾✾✺✮ ✲ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ô❝✱ ✶✾✾✻✳ ❬✺❪✳ ➜➵✐ sè ✈➭ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ✶✷ ✲ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ô❝✱ ✷✵✵✼✳ ✻✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ét ữ t ó tr C ề t ì ọ t ó tể ỗ số ứ ột ✈Ð❝t➡ ➤Ĩ ✈✐Ư❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♠ét sè ②Õ✉ tè sÏ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤✐✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ sè ♣❤ø❝ tr ố ọ số ì ọ ợ ➤➲ tá r❛ ❝ã r✃t ♥❤✐Ị✉ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ✈➭... nα ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✻✳ ❬▼♦✐✈r❡❪ ❞➢➡♥❣ n n ❝ã z = r ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ t❤❡♦ n ◆Õ✉ t❤× ỗ số ễ ứ tứ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼... 2d−1 q s❛✉ ➤➞②✿ (x − βij ) g(x) = i