V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thì cường độ dòng điện là 1 A.. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp thì biểu thức cường độ d[r]
(1)ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN VẬT LÍ Phần thứ 2: Nội dung 2.1 Cơ sở lí thuyết y * Khái niệm số phức x̄ + Số phức có dạng: = a + bi Trong đó a là phần thực, b là phần ảo + Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức r= √ a + b tan ϕ= b a , b + Dạng lượng giác số phức ¿ a=r cos ϕ b=r sin ϕ ¿{ ¿ x̄ e iϕ r a = a + bi = r(cos + i.sin) Theo công thức Ơle cos + isin = x̄=a+ bi=r (cos ϕ+i sin ϕ)=reiϕ y * Biểu diễn hàm điều hoà dạng số phức Hàm điều hoà: x = Acos(t +) biểu diễn dạng véc tơ quay thời điểm t = 0: ⃗ A b x ⃗ A |⃗A|=A ϕ=( ⃗ A ,0 x ) ¿{ ¿ a=A cos ϕ b= A sin ϕ ¿{ ¿ ta thấy Vậy t = hàm điều hoà có thể biểu diễn số phức ⃗ t =0 x̄=a+ bi= A (cos ϕ+i sin ϕ)= A eiϕ x = Acos(t + ) a x (2) tan ϕ= b a A= √ a2+ b2 với a = Acos, b = Asin , , 2.2 Nội dung cụ thể 2.2.1 Ứng dụng số phức dao động điều hoà 2.2.1.1 Viết phương trình dao động điều hoà ¿ x= A cos (ωt +ϕ) v =− Aω sin(ωt +ϕ) ⃗ t=0 ¿ x =A cos ϕ v =− Aω sin ϕ Ta có pt dđđh: ⇒ ¿ a=x v b=− ω ¿{ ¿ ⃗ t =0 x̄=a+ bi , a=x Vậy x = Acos(t + ) v b=− ω ¿{ + Thao tác trên máy tính (VD: trên máy fx570es) - Shift/Mode/4 để chuyển hệ sang đo góc rad - Mode/2 để chuyển hệ sang CMPLX A ∠ϕ - Để hiển thị biên độ và pha ban đầu Shift/2/3 máy + Ví dụ 1: Treo lắc lò xo thẳng đứng nơi có gia tốc trọng trường g = 10 = 2 m/s2, vị trí cân lò xo dãn cm Ban đầu người ta kéo vật xuống cho lò xo dãn cm truyền cho vật vận tốc 40 cm/s hướng lên trên Chọn gốc toạ độ VTCB, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật Viết phương trình dao động ω= k g π2 = = =10 π Giải: - (rad/s) m Δl0 ,01 √ √ √ (3) b=− v0 =4 - Vì x0 = cm , v0 = - 40 cm/s nên a = , ω √ ∠ π - Ta ấn máy + 4i Shift/2/3 máy hiển thị ( x=4 √ cos 10 πt + π ) cm + Ví dụ 2: Một vật m gắn vào đầu lò xo nhẹ dao động với chu kì s Người ta kích thích dao động cách kéo vật m khỏi VTCB ngược chiều dương đoạn cm thả nhẹ Chọn gốc toạ độ VTCB, gốc thời gian là lúc thả vật Viết phương trình dao động ω= 2π =2 π Giải: - rad T - ta có x0 = - cm, v0 = →3 ∠ π ⇒ x=3 cos( πt+ π ) - Ấn máy -3 Shift/2/3 cm + Ví dụ 3: Cho lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, độ cứng K = 25 N/m Từ vị trí cân người ta truyền cho vật vận tốc 40 cm/s theo chiều dương Viết phương trình dao động vật chọn gốc toạ độ VTCB, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật ω= k 25 = =10 Giải: - rad/s m 25 √ √ b=− b =− - Ta có x0 = 0, v0 = 40 cm/s ω ∠− π π ⇒ x=4 cos(10 t − ) - Ấn máy: -4i Shift/2/3 Máy hiển thị cm 2 2.2.1.2 Tìm điều kiện kích thích ban đầu + Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t- ) cm Tìm điều kiện kích thích ban đầu (4) ∠− π Giải: Để nhập ấn 4/Shift/(-)/-/= Máy hiển thị -4 bây so sánh x0 − v0 i ω x0 = -4, v0 = -Ta có kết luận ban đầu kéo vật tới vị trí có li độ -4 cm thả nhẹ π x=4 cos(10 t + ) + Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình cm Tìm điều kiện kích thích ban đầu 4∠ π π x0− v Giải: Để nhập ấn 4/Shift/(-)//= Máy hiển thị 4i bây so i ω sánh x0 = 0, v0 = -4. = - 40 cm/s Vậy ta có kết luận ban đầu vị trí cân người ta truyền cho vật vận tốc 40 cm/s theo chiều âm π x=4 √ cos (πt − ) + Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình cm Tìm điều kiện kích thích ban đầu √ ∠− π 4 √2 π x0 − v Giải: Để nhập ấn /Shift/(-)/-/= Máy hiển thị 4i ω 4i bây so sánh x0 = 4, v0 = 4. = 4 cm/s Vậy ta có kết luận ban người ta kéo vật tới li độ cm truyền cho vật vận tốc 4 cm/s theo chiều dương 2.2.1.3 Tổng hợp dao động điều hoà π x 1=cos( πt+ π )(cm), x 2= √ cos (2 πt − )(cm) Ví dụ 1: Một vật thực hai dao động điều hoà cùng phương cùng tân số với phương trình Viết phương trình dao động tổng hợp (5) ¿− ¿/− π 1∠ π + √ ∠− π ¿ √ 3/shift/¿ Giải: Để nhập ta ấn máy 1/shift/(-)/ /+/ 2∠ − π Ta ấn = máy hiển thị ấn shift/2/3 máy hiên thị −1 − √ i x=2 cos(2 πt − 2π ) Vậy phương trình dao động tổng hợp là: (cm) π x 1=4 cos( πt − ) π x 2=6 cos (πt + ) x 3=2 cos(πt) Ví dụ 2: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với phương trình: cm, cm, , cm Viết phương trình dao động tổng hợp π π x=4 ∠ − +6 ∠ +2 ∠ 0=2+2 i 2 √2 ∠ π Giải: ta ấn shift/2/3 máy hiển thị π x=2 √2 cos ( πt+ ) Vậy phương trình dao động tổng hợp: cm Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp bốn dao động cùng phương sau: π π x 1=10 cos(20 πt − )(cm ), x 2=6 √3 cos (20 πt − )(cm) π 5π x 3=4 √ cos(20 πt + )(cm) , x =8 cos (20 πt + )(cm) x 1=10∠− π π π 5π +6 √ 3∠ − +4 √3 ∠ +8 ∠ =3 √ 3+(5 − √3)i Giải: 6 , 49 ∠−0,8 x=7 , 49 cos (20 πt − 8)(cm) Ấn Shift/2/3 máy hiển thị Vậy phương trình dao động tổng hợp là: π x 1=a cos (πt + )(cm) π x=2 a cos(πt + )(cm) Ví dụ 4: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với phương trình và x2 Biết (6) phương trình dao động tổng hợp Xác định dao động thành phần x2 2∠ π π −1 ∠ = √3 x 2=a √ cos( πt) Giải: x2 = x – x1 = Vậy π x 1=3 cos(2 πt − )(cm), x 2=3 √ cos( πt)(cm) Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động trên hai đường thẳng song song gần (coi trùng và trùng với trục Ox) có phương trình là Xác định khoảng cách lớn hai chất điểm quá trình dao động M M 2=| Δx|=| x2 − x 1| π π Δx=3 √ ∠0 −3 ∠ − =6 ∠ π M M 2= cos (2 πt + ) Giải: | | mà (cm) khoảng cách lớn cm 2.2.2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU - Cơ sở lí thuyết: Với dòng điện xoay chiều xét giá trị tức thời thì điểm nào đó dòng điện chạy theo chiều đó có thể áp dụng các công thức dòng điện chiều cho giá trị tức thời + Vd: đoạn mạch RLC nối tiếp thì - i = iR = iL = iC - u = uR + uC + uL - Z̄ y UL U ULC = R + (ZL – ZC)i (i đây là phần ảo vì ZL,ZC nằm trên trục ảo, còn R nằm trên trục số thực) + Vd: đoạn mạch song song (chúng ta không xét đây) 2.2.2.1 Bài toán cộng điện áp đoạn mạch xoay chiều: UC UR x (7) π uAM =100 √ cos(100 πt − )(V ) π uMB=100 √ cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Cho đoạn mạch AM chứa R,C mắc nối tiếp với đoạn mạch MB chứa cuộn dây không cảm Biết biểu thức , Viết biểu thức hai đầu đoạn mạch π π 100 √2 ∠− +100 √ 2∠ Giải: Vì AM nối tiếp MB u = uAM + uMB = u=200 ∠− π 12 u=200 cos (100 πt − π u=100 √ cos(100 πt+ )(V ) π ) Vậy biểu thức hai đầu đoạn mạch: (V) 12 u R=100 cos (100 πt)(V ) Ví dụ 2: Đặt vào hai đầu đoạn mạch xoay chiều chứa điện trở và cuộn cảm điện áp , đó điện áp hai đầu điện trở có biểu thức Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm u L=u − uR =100 √2 ∠ π π −100 ∠0=100 ∠ π u L=100 cos (100 πt + )(V ) Giải: Vậy biểu thức hai đầu cuộn cảm là: π u=100 √ cos(100 πt − )(V ) u R=100 cos 100 πt Ví dụ 3: Đặt vào hai đầu đoạn mạch chứa hai phần tử R,C điện áp có biểu thức , biết biểu thức hai đầu điện trở Viết biểu thức điện áp hai đầu tụ điện uC =u − uR =100 √2 ∠− π π −100 ∠ 0=100∠ − π uC =100 cos (100 πt − ) Giải: Vậy biểu thức hai đầu tụ điện là: 2.2.2.2 Tìm biểu thức u,i mạch điện xoay chiều L= ( H ) π −4 C= 10 (F ) π π u=220 √ cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Mạch điện xoay (8) chiều gồm điện trở R = 50 , cuộn dây cảm có hệ số tự cảm , tụ điện có điện dung Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp Viết biểu thức cường độ dòng điện hai đâu đoạn mạch Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm Viết biểu thức điện áp RC Z L= Lω= 100 π=100 (Ω) π ZC = = ωC =50( Ω) Giải: - , −4 10 100 π π π u u i= = = =4,4 Z̄ R +(Z L − Z C )i 50+( 100− 50)i 220 √ ∠ - Vậy biểu thức cường độ dòng điện: i = 4,4cos(100t) u L= Z̄ L i=(100i) i=(100i) 4=440 i 440 ∠ π π u L=440 cos(100 πt+ ) shift/2/3 máy tính hiển thị Vậy biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm (V) uRC= Z̄ RC i=(50− 50i) 4=220 −220 i 220 √ ∠− π π uRC=220 √ cos(100 πt − )(V ) ấn Shift2/3 máy hiển thị Vậy biểu thức là: L= (H ) 4π u=150 √ cos(120 πt)(V ) Ví dụ 2: Khi đặt hiệu điện không đổi 30 V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở mắc nối tiếp với cuộn dây cảm có độ tự cảm thì cường độ dòng điện là (A) Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp thì biểu thức cường độ dòng điện mạch xác định nào? R= U =30(Ω) I Z L= L ω= u 150 √ 2∠0 π i= = =5 ∠− Z̄ 30+30 i 120 π =30(Ω) Giải: , 4π π i=5 cos (120 πt − )( A) Vậy bt: π i=2 √2 cos (100 πt + )( A ) Ví dụ 3: Một đoạn mạch gồm cuộn dây cảm có (9) cảm kháng 10 () mắc nối tiếp với tụ điện có dung kháng là 50 (), biết biểu thức cường độ dòng điện mạch là Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch π u=i Z̄=(2 √ ∠ ).(10 −50)i=40 √ − 40 √2 i 80 √ 2∠− π π u=80 √2 cos( 100 πt − )(V ) Giải: Ấn shift/2/3 máy thị Vậy bt là: 2.2.2.3 Bài toán hộp đen π u=100 √ cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Một hộp đen chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều thì cường độ dòng điện qua hộp đen là i = 2cos(100t)(A) Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị các đại lượng đó u Z̄ = = i 100 √ ∠ π ∠0 =50+50 i Z̄ =R +( Z L − Z C )i Giải: Mà nên hộp đen chứa R = 50 , chứa L với ZL=50 π u=100 √ cos(100 πt − )(V ) Ví dụ 2: Một hộp đen chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều thì cường độ dòng điện qua hộp đen là i = 2cos(100t)(A) Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị các đại lượng đó u Z= = i 100 √ ∠− ∠0 π =¿ Giải: 50 – 50i Vậy hộp đen chứa R = 50 , ZC = 50 π u=200 √ cos (100 πt + )(V ) i=2 √2 cos (100 πt − π Ví dụ 3: Một hộp đen chứa hai ) (10) ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều thì cường độ dòng điện qua hộp đen là (A) Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị các đại lượng đó π u Z̄ = = =86 , 6+150 i=50 √3+ 150i i π √ 2∠ − 200 √ ∠ 50 √ Giải: Vậy đoạn mạch chứa R = , và ZL = 150 C= 10− ( F) π L= (H ) π Ví dụ 4: Cho M A C N X B L đoạn mạch hình vẽ: ; Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều uAB = 200cos(100t) (V) thì biểu thức cường độ dòng điện mạch là i = 4cos100t (A) X là ba phần tử R0,L0,C0 mắc nối tiếp Xác định phần tử hộp X và giá trị nó ZC = = ωC 10− 100 π π =100(Ω) Z L= Lω= 100 π=200 (Ω) Giải: , π u 200 Z̄ = = =50 −50 i i π √ ∠+ ZNB = Z – ZAN =50 – 50i – (200-100)i = 50 – 150i Vậy X chứa R = 50 , ZC = 150 2.2.2.4 Bài toán tổng hợp C1 = 10−3 √3 ( F) 6π π π uAM =120 √ cos (100 πt − )(V ) , uMB=120 √ cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm điện trở R1 = 60 () mắc nối tiếp với tụ điện , đoạn mạch MB gồm hộp kín X chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Biết Xác định phần tử hộp X (11) và giá trị nó ZC = =20 √ 3(Ω) Giải: ωC π 120 √ 6∠ − uAM π i= = =3 √ ∠− Z̄ AM 60 −20 √ i π u Z̄ MB = MB = =20+ 20 √3 i i π √ 2∠− 120 √ ∠ Vậy R = 20 (), Z L=20 √3(Ω) π uAM =180 √ cos(100 πt+ )(V ); u MB=60 √ cos(100 πt)(V ) Ví dụ 2: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm R1=90 mắc nối tiếp với cuộn cảm ZL1 = 90 , đoạn mạch MB chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu AB điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi thì Tìm công suất tiêu thụ đoạn mạch 180 √ 2∠ i= uAM = Z̄ AM 90+ 90i π =2∠ π Giải: π u=u AM + uMB=180 √ 2∠ + 60 √2 ∠ 0=268 , 328 ∠ ,249 P = UIcos = 268,328cos(1,249-/4)=240 W Chú ý: với thao tác trên máy ta nhớ u vào A Khi lấy biên độ là abs(A), lấy góc là arg(A) (12)