Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THANH HIỀN ÁP DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60460113 Cán hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời tồn thầy giáo khoa Toán-Cơ-Tin học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp phương pháp tốn sơ cấp khóa 2014- 2016 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Số phức dùng cơng cụ hữu hiệu để giải nhiều toán, đại số, hình học, lượng giác, tổ hợp Với trở lại số phức chương trình trung học phổ thơng, nhiều vấn đề Tốn sơ cấp trình bày rõ ràng đầy đủ Chương trình Tốn học bậc trung học phổ thơng hầu có phần số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức cuối đưa trở lại vào chương trình Giải tích 12 (với dung lượng cịn khiêm tốn) Vì nhiều lý khác nhau, khơng học sinh( chí học sinh giỏi) sau học xong phần số phức hiểu cách đơn giản: sử dụng số phức ta giải phương trình bậc hai, tính vài tổng đặc biệt Trên thực tế, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olimpic khu vực, Olimpic quốc tế, có nhiều dạng tốn có liên quan đến số phức Việc sử dụng nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng tỏ có nhiều thuận lợi Dùng số phức ta tìm lời giải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng không phần độc đáo) cho nhiều hệ phương trình với ẩn số thực Số phức cho ta cách giải loạt toán số học, tổ hợp lượng giác mà dùng phương pháp thơng thường tình trở nên phức tạp Được hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, chọn đề tài "Áp dụng số phức giải số toán sơ cấp" với mong muốn tìm hiểu sâu số phức ứng dụng số phức việc khai thác phương pháp giải tốn bậc THPT Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng tập đại số, tổ hợp, lượng giác giải phương pháp số phức đồng thời nắm số kỹ thuật liên quan Nhiệm vụ đề tài Đưa định nghĩa tính chất số phức Đặc biệt sử dụng số phức để giải số dạng toán đại số, lượng giác, tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu toán đại số, lượng giác, tổ hợp tập số phức ứng dụng liên quan - Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Học sinh lớp 12 trường THPT Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh THPT Đề tài góp phần thiết thực cho việc dạy chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đan mê sáng tạo việc dạy học tốn Xây dựng giáo trình có tính hệ thống với thời lượng thu gọn, dùng để giảng dạy số phức ứng dụng số phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thơng Xây dựng hệ thống tốn với mức độ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương - Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Tính chất số phức; Dạng đại số số phức; Giải phương trình bậc hai; Ý nghĩa hình học số phức modun; Ý nghĩa hình học phép toán đại số; Dạng lượng giác số phức; Bài tập - Chương 2: Sử dụng số phức giải số toán sơ cấp Số phức phép toán đại số; Sử dụng số phức để giải tốn phương trình hệ phương trình đại số; Số phức toán đa thức; Số phức toán tổ hợp; Mục lục CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất số phức 1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng 1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.3 Dạng đại số số phức 1.3.1 Định nghĩa tính chất 1.3.2 Lũy thừa số i 1.3.3 Số phức liên hợp 1.3.4 Modun số phức 1.4 Giải phương trình bậc hai 1.5 1.6 1.7 1.8 8 9 10 10 12 12 13 14 Ý nghĩa hình học số phức modun 15 1.5.1 Ý nghĩa hình học số phức 15 1.5.2 Ý nghĩa hình học modun 16 Ý nghĩa hình học phép tốn đại số 1.6.1 Phép cộng phép trừ 1.6.2 Tích số thực số phức Dạng lượng giác số phức 1.7.1 Tọa độ cực mặt phẳng 1.7.2 Tọa độ cực số phức 1.7.3 Căn bậc n đơn vị Bài tập 17 17 17 18 18 19 19 23 MỤC LỤC SỬ DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Số phức toán lượng giác 2.2 Sử dụng số phức để giải tốn phương trình hệ phương trình đại số 2.3 Số phức toán đa thức 2.4 Số phức toán tổ hợp 2.4.1 Số phức toán tính tổng tổ hợp chứng minh đẳng thức tổ hợp 2.4.2 Số phức toán đếm KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 28 28 41 45 50 50 60 66 67 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất tập số thực R Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) |x, y ∈ R} Hai phần tử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 , z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 , với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 Phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp R2 với phép cộng phép nhân gọi tập hợp số phức, ký hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C \ {(0, 0)} 1.2 Tính chất số phức 1.2 Tính chất số phức 1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng Phép cộng số phức thỏa mãn tính chất sau Tính giao hốn z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị có số phức = (0, 0) ∈ C để z + = + z, với z = (x, y) ∈ C Phần tử đối Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có số phức −z = (−x, −y) ∈ C cho z + (−z) = (−z) + z = 1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hốn z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp (z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị Có số phức = (0, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z Số phức = (1, 0) gọi phần tử đơn vị với z ∈ C Phần tử nghịch đảo Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z = có số phức z −1 = x , y ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = số phức z −1 = x , y gọi phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = 1; z = z; z = z.z, z n = z.z.z z với số nguyên n > n n lần z −1 −n z = z với số nguyên n < Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số ngun m, n ta có tính chất sau z n z m = z n+m ; zm n = z m−n ; z (z m )n = z mn ; 1.4 Giải phương trình bậc hai | z1 |z1 | |= , z2 = (modun thương thương modun); z2 |z2 | |z1 | − |z2 | 1.4 |z1 − z2 | |z1 | + |z2 | Giải phương trình bậc hai Bây giải phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 + bx + c = 0, a = 0, trường hợp biệt thức ∆ = b2 − 4ac nhận giá trị âm Bằng cách biến đổi dễ dàng đưa phương trình dạng tương đương sau a b x+ 2a + −∆ = 4a b x+ 2a | − ∆| 2a − i2 = x1 = −b − i | − ∆| −b + i | − ∆| , x2 = 2a 2a Các nghiệm số phức liên hợp ta phân tích thành thừa số sau ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) Bây xét phương trình bậc hai tổng quát với hệ số phức az + bz + c = 0, a = Sử dụng biến đổi đại số trường hợp phương trình bậc hai với hệ số thực ta a b z+ 2a + 14 − 4a = 1.5 Ý nghĩa hình học số phức modun Đẳng thức tương đương với b z+ 2a = 4a2 , (2az + b)2 = Với ∆ = b2 − 4ac gọi biệt thức phương trình bậc hai Đặt y = 2az + b phương trình rút gọn dạng y2 = = u + vi Với u, v số thực, phương trình có lời giải y1,2 = ± r+u + (sgnv) r−u i Với r = |∆|, sgnv dấu số thực v Nghiệm ban đầu phương trình là: z1,2 = (−b + y1,2 ) 2a Ta có mối liên hệ nghiệm hệ số b c z1 + z2 = − , z1 z2 = a a Khi phân tích thừa số az + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ) Như tính chất bảo toàn hệ số phương trình thuộc trường số phức C 1.5 1.5.1 Ý nghĩa hình học số phức modun Ý nghĩa hình học số phức Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + iy cặp số thực xắp thứ tự (x, y) ∈ R × R, hồn tồn tự nhiên xem số 15 1.5 Ý nghĩa hình học số phức modun phức z = x + yi điểm M (x, y) khơng gian R × R Xét P tập điểm không gian với hệ trục tọa độ xOy song ánh φ : C → P , φ (z) = M (x, y) Điểm M (x; y) gọi dạng hình học số phức z = x + yi Số phức z = x + yi gọi tọa độ phức điểm M (x; y) Chúng ta ký hiệu M (z) để tọa độ phức điểm M số phức z Dạng hình học số phức liên hợp z số phức z = x + yi điểm M (x; −y) đối xứng với điểm M (x; y) qua trục Ox Dạng hình học số đối −z số phức z = x+yi điểm M ” (−x; −y) đối xứng với điểm M (x; y) qua gốc tọa độ Song ánh φ từ tập R lên trục Ox ta gọi trục thực, lên trục Oy ta gọi trục ảo Không gian với điểm đồng với số phức gọi không gian phức −−→ − Ta đồng số phức z = x + yi với véc tơ → v = OM , với M (x, y) dạng hình học số phức z Gọi V0 tập hợp véc tơ có điểm gốc gốc tọa độ O Ta định −−→ → − → − → − → − nghĩa song ánh φ : C → V0 , φ (z) = OM = x i + y j , với i , j véc tơ đơn vị trục tọa độ Ox, Oy 1.5.2 Ý nghĩa hình học modun Xét số phức z = x+yi biểu diễn hình học mặt phẳng M (x, y) Khoảng cách Ơclit OM cho công thức OM = (xM − xO )2 + (yM − yO )2 − Vì OM = x2 + y = |z| = |→ v |, mô dun |z| số phức z = x + yi → − → − − độ dài đoạn thẳng OM độ lớn véc tơ → v =x i +y j Chú ý Mỗi số thực dương r, tập hợp số phức có modun r tương đương với đường trịn C (O; r) tâm O bán kính r mặt phẳng Các số phức z với |z| < r điểm nằm bên đường tròn C (O; r) Các số phức z với |z| > r điểm nằm bên ngồi đường trịn C (O; r) 16 1.6 Ý nghĩa hình học phép tốn đại số 1.6 1.6.1 Ý nghĩa hình học phép toán đại số Phép cộng phép trừ Xét hai số phức z1 = x1 + y1 i z2 = x2 + y2 i tương đương với hai → − → − → − → − − − véc tơ → v1 = x1 i + y1 j → v2 = x2 i + y2 j Tổng hai số phức z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i Tổng hai véc tơ → − → − → − − v1 + → v2 = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j − − Vì z1 + z2 tương đương với → v1 + → v2 Hoàn toàn tương tự với phép trừ Hiệu hai số phức z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i Hiêụ hai véc tơ → − → − → − − v1 − → v2 = (x1 − x2 ) i + (y1 − y2 ) j − − Vì z1 − z2 tương đương với → v1 − → v2 Chú ý Khoảng cách M1 (x1 , y1 ) M2 (x2 , y2 ) moodun − − số phức z1 − z2 độ dài véc tơ → v1 − → v2 Vậy: − − M1 M2 = |z1 − z2 | = |→ v1 − → v2 | = 1.6.2 (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Tích số thực số phức → − → − − Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ → v = x i + y j Nếu λ − → → − → − số thực tích λz =λx+λyi tương đương với véc tơ λv= λx i +λy j − → − − − Chú ý.: Nếu λ > véc tơ λv → v hướng |λ→ v |= λ|→ v | − → → − → − → − Nếu λ < véc tơ λv v ngược hướng |λ v |= −λ| v | → − − λ= λ→ v = 17 1.7 Dạng lượng giác số phức 1.7 1.7.1 Dạng lượng giác số phức Tọa độ cực mặt phẳng Xét mặt phẳng tọa độ với M (x; y) không trùng với gốc tọa độ Số thực r = x2 + y gọi bán kính cực điểm M Góc định hướng −−→ t∗ ∈ R véc tơ OM với chiều dương trục Ox gọi argumen điểm M Cặp số (r, t∗ ) gọi tọa độ cực điểm M Ta viết M (r, t∗ ) Chú ý hàm số h : R × R\ {(0, 0)} → (0, ∞) ×[0, 2π), h ((x, y)) = (r, t∗ ) , song ánh Gốc tọa độ O điểm cho r = 0, argumen t∗ gốc không định nghĩa Mỗi điểm M mặt phẳng, có giao điểm P tia OM với đường tròn đơn vị gốc O Điểm P giống argumen t∗ Sử dụng định nghĩa hàm sin x cos x ta có x = r cos t∗ , y = r sin t∗ Vì ta dễ dàng có tọa độ Đề Các điểm từ tọa độ cực Ngược lại, xét điểm M (x, y) Bán kính cực r = x2 + y Ta xác định argumen cực trường hợp sau y a, Nếu x = 0, từ tan t∗ = ta suy x y t∗ = arctan + kπ; x với   0 x > 0, y ≥ k = x < 0, y ∈ R   x > 0, y < b, Nếu x = y = π  y > ∗ t = 3π  y < 18 1.7 Dạng lượng giác số phức 1.7.2 Tọa độ cực số phức Mỗi số phức z = x + yi ta viết dạng cực z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) , với r ∈ [0, ∞) t∗ ∈ [0, 2π) tọa độ cực dạng hình học số phức z Argumen cực dạng hình học số phức z gọi argumen z, ký hiệu arg z Bán kính cực dạng hình học số phức z mô dun z Khi z = mô dun argumen z xác định cách Xét z = r (cos t∗ + t sin t∗ ) t = t∗ + 2kπ với k số nguyên z = r (cos (t − 2kπ) + i sin (t − 2kπ)) = r (cos t + isin t) Mỗi số phức z biểu diễn z = r (cos t + i sin t) với r ≥ t ∈ R Tập hợp Arg z = {t = t∗ + 2kπ, k ∈ Z} gọi argumen mở rộng số phức z Vì thế, hai số phức z1 , z2 = có dạng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) , z1 = r2 t1 − t2 = 2kπ, với k số nguyên Chú ý Các dạng sau nên nhớ π π + i sin ; 2 3π 3π −1 = cos π + i sin π; −i = cos + i sin 2 = cos + i sin 0; 1.7.3 i = cos Căn bậc n đơn vị Cho số nguyên dương n ≥ số phức z0 = 0, giống trường số thực, phương trình Z n − z0 = 0, sử dụng định nghĩa bậc n số z0 Vì giá trị Z thỏa mãn phương trình bậc n z0 19 1.7 Dạng lượng giác số phức Định lý 1.7.1 Cho z0 = r (cos t∗ + i sin t∗ ) số phức với r > t∗ ∈ [0, 2π) Số phức z0 có n bậc n phân biệt cho công thức Zk = √ n t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ r cos + i sin n n ; với k = 0, n − Chứng minh Sử dụng dạng cực số phức với argumen xác định Z = ρ (cos φ + i sin φ) Theo định nghĩa Z n = z0 hay ρn = (cos nφ + i sin nφ) = r (cos t∗ + i sin t∗ ) (1.1) Ta có ρn = r nφ = t∗ + 2kπ với k ∈ Z √ t∗ 2π n với k ∈ Z Do nghiệm phương Vì ρ = r φk = + k n n trình (1.1) Zk = √ n t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ r cos + i sin n n ; với k ∈ Z Nhận thấy ≤ φ0 < φ1 < φn−1 , số φk , k ∈ {0, 1, 2, , n − 1} argumen φ∗k = φk Ta có n giá trị phân biệt z0 : Z0 , Z1 , , Zn−1 Cho k số nguyên z ∈ {0, 1, 2, , n − 1}, r đồng dư với k theo modn Khi k = nq + r ∈ Z t∗ 2π t∗ 2π φk = + (nq + r) = + r + 2qπ = φr + 2qπ n n n n Nhận thấy Zk = Zr {Zk : k ∈ Z} = {Z0 , Z1 , , Zn−1 } Vậy có n giá trị phân biệt bậc n Biểu diễn hình học giá trị bậc n đỉnh n giác √ nội tiếp đường trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính n r Ta chứng minh điều kiện sau Kí hiệu M0 , M1 , , Mn−1 điểm có tọa độ phức Z0 , Z1 , , Zn−1 Vì √ OMk = |Zk | = n r với k ∈ {0, 1, , n − 1} nên điểm Mk nằm √ đường tròn C (O, n r) Bên cạnh đó, số đo cung Mk Mk+1 20 1.7 Dạng lượng giác số phức t∗ + (k + 1) π − (t∗ + 2kπ) 2π argZk+1 − argZk = = , n n 2π 2π = 2π − (n − 1) n n Vì tất cung M1 M2 , , Mn−1 M0 nên đa giác M0 M1 Mn−1 đa giác Căn bậc n đơn vị Các nghiệm phương trình Z n − = gọi bậc n đơn vị Vì = cos + i sin nên từ công thức bậc n số phức ta có bậc n đơn vị với k ∈ {0, 1, , n − 2} số đo cung Mn−1 M0 = cos k 2kπ 2kπ + i sin , k ∈ {0, 1, , n − 1} n n Cụ thể ta có = cos + i sin = 1; 2π 2π + i sin = ; = cos n n 4π 4π + i sin = 2; = cos n n (n − 1) π (n − 1) π + i sin = = cos n n n−1 n−1 Tập hợp 1, , , , n−1 ký hiệu Un Ta có tập hợp Un sinh , phần tử Un lũy thừa Giống trước, biểu diễn hình học bậc n số phức đỉnh đa giác n cạnh, nội tiếp đường trịn đơn vị mà có đỉnh Ta xét vài giá trị n i) với n = 2, phương trình Z − = có nghiệm −1 bậc hai đơn vị ii) với n = 3, phương trình Z − = có nghiệm cho công thức k = cos 2kπ 2kπ + i sin với k ∈ {0, 1, 2} 3 = 1, √ 2π 2π −1 = cos + i sin = +i ; 3 2 Vì 21 1.7 Dạng lượng giác số phức √ 4π −1 4π + i sin = −i = cos 3 2 Đây ba đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn C (O, 1) iii) với n = 4, phương trình Z − = có nghiệm cho cơng thức k = cos 2kπ 2kπ + i sin với k ∈ {0, 1, 2, 3} 4 Cụ thể sau = 1, = cos π π + i sin = i, 2 = cos = cos π + i sin π = −1, 3π 3π + i sin = −i 2 Ta có U4 = 1, i, i2 , i3 = {1, i, −1, −i} Biểu diễn hình học bậc bốn đỉnh hình vng nội tiếp đường trịn C (O, 1) có đỉnh Căn k ∈ Un gọi nguyên thủy số nguyên dương m < n ta có m k = Mệnh đề 1.7.1 Nếu n|p, nghiệm phương trình Z n −1 = nghiệm phương trình Z q − = 0; Nghiệm chung phương trình Z m − = Z n − = nghiệm phương trình Z d − = với d = U CLN (m, n), Um ∩ Un = Ud ; Các nghiệm nguyên thủy phương trình Z m − = k = cos 2kπ 2kπ + i sin ; với m m 22 k m U CLN (k, m) = 1.8 Bài tập Mệnh đề 1.7.2 Nếu ∈ Un nguyên thủy đơn nghiệm phương trình Z n − = r , r+1 , , r+n−1 với r số nguyên dương tùy ý Mệnh đề 1.7.3 Cho , , , n−1 bậc n đơn vị Với số ngun dương n ta ln có hệ thức n−1 k j = j=0 n, n|k; 0, n k Mệnh đề 1.7.4 Cho p số nguyên tố = cos 2π 2π + i sin Nếu p p a0 , a1 , , ap−1 số nguyên khác không, hệ thức a0 + a1 + + ap−1 p−1 = 0; a1 = a2 = = ap−1 1.8 Bài tập Bài tốn 1.8.1 Tìm phần thực phần ảo số phức sau (1 + i) + (2 + 3i) − + i5 (1 + i)2 + 3−i + 7i (3 + 2i)(1 − 3i) √ 1+i 1209i2016 + 1204i2017 √ 3+i cos 7π 7π + i sin 4 Bài tốn 1.8.2 Tính giá trị biểu thức i + 2i2 + 4i3 + + i(2i)14 1+i 1−i 2012 + 1−i 1+i 2020 23 1.8 Bài tập √ ( + i)15 (i − 1)7 √ √ √ 11 (1 − i 3) ( + + i − 2) Bài toán 1.8.3 Giải phương trình sau tập số phức z(z + i) − (z − 2i)2 = 2iz + − i i z − = z + iz + − 3i 25 = − 6i z + z z − 3(1 + 2i)z + (−3 + 8i)z + − 2i = z + 2z − z + 2z + = Bài toán 1.8.4 Cho số phức z1 = (1, 2), z2 = (−2, 5), z3 = (4, −1) tính tổng sau z1 + z2 + z3 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z1 z2 z3 z12 + z22 + z32 z12 + z22 z3 + z22 z1 z2 z3 + + z2 z3 z1 Bài tốn 1.8.5 Giải phương trình sau z + (−5, 7) = (4, 6) z.(2, 7) (3, −5) + z = (2, −9) z = (3, 6) (1, −3) Bài toán 1.8.6 Giải phương trình sau tập C 24 1.8 Bài tập z + z + 25 = z + = z + 4z + = Bài tốn 1.8.7 Tìm số thực x, y trường hợp sau (3 − i)x + (1 + 5i)y = + 4i x−3 y−3 + = i 3+i 3−i (4 − 3i)x2 + (1 + 2i) xy = 4y − x2 + (3xy − 2y )i Bài tốn 1.8.8 Tính i2000 + i1999 + i2009 + i82 + i47 i.i2 i3 i2016 + i + i2 + + in , n = 1, n ∈ N i−5 + (−i)−7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 Bài tốn 1.8.9 Tìm tất số phức z = thỏa mãn z + ∈ R z Bài tốn 1.8.10 Tìm số thực x, y trường hợp sau (3 − i)x + (1 + 5i)y = + 4i x−3 y−3 + = i 3+i 3−i (4 − 3i)x2 + (1 + 2i) xy = 4y − x2 + (3xy − 2y )i Bài tốn 1.8.11 Tính i2000 + i1999 + i2009 + i82 + i47 i.i2 i3 i2016 + i + i2 + + in , n = 1, n ∈ N 25 1.8 Bài tập i−5 + (−i)−7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 Bài toán 1.8.12 Tìm tất số phức z = thỏa mãn z + ∈ R z Bài toán 1.8.13 Chứng minh √ √ E1 = (2 + i 5)7 + (2 − i 5)7 ∈ R E2 = 19 + 7i 9−i n + 20 + 5i + 6i n ∈ R Bài toán 1.8.14 Cho z ∈ C thỏa mãn |z + |z + z1 | | z3 Chứng minh Bài tốn 1.8.15 Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z + z | = 4z + 8|z|2 = z = z Bài toán 1.8.16 Chứng minh đẳng thức sau |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z1 + z3 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z1 + z2 + z3 |2 |1 + z1 z2 | + |z1 − z2 |2 = (1 + |z1 |2 )(1 + |z22 |) |z1 + z2 + z3 | + | − z1 + z2 + z3 | + |z1 − z2 + z3 | + |z1 + z2 − z3 | = 4(|z12 | + |z22 | + |z32 |) Bài tốn 1.8.17 Tìm tất số nguyên dương n cho √ n √ n −1 + i −1 − i + = 2 Bài toán 1.8.18 Cho x1 , x2 nghiệm phương trình x2 − x + = tính x2000 + x2000 26 1.8 Bài tập x1999 + x1999 xn1 + xn2 , n ∈ N Bài tốn 1.8.19 Tìm dạng tọa độ cực số phức sau √ z1 = + 6i √ z2 = − + i 4 z3 = − 12 − i √ z4 = − 2i Bài tốn 1.8.20 Tìm dạng tọa độ cực số phức sau z1 = cos α − i sin α, α ∈ [0, 2π) z2 = sin α + i(1 + cos α), α ∈ [0, 2π) z3 = cos α + sin α + i(sin α − cos α), z4 = − cos α + i sin α, α ∈ [0, 2π) α ∈ [0, 2π) Bài toán 1.8.21 Cho z1 z2 z3 , số phức Chứng minh rằng: |z1 + z2 | + |z2 + z3 | + |z3 + z1 | ≤ |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z1 + z2 + z3 | √ Bài tốn 1.8.22 Tìm + 2i 27 Tài liệu tham khảo Lê Hải Châu, Thi vô địch toán Quốc tế, Nhà xuất trẻ, 2001 Nguyễn Văn Dũng, Phương pháp giải toán Số phức ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia, 2010 Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng, NXB Giáo dục, 2008 Đoàn Quỳnh, Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục, 1997 Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 2001 Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp, NXB ĐHQGHN, 2007 Nguyễn Cảnh Tồn, Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, 1979 Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2013 67 ... SỬ DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Số phức toán lượng giác 2.2 Sử dụng số phức để giải tốn phương trình hệ phương trình đại số 2.3 Số phức toán. .. Chương 2: Sử dụng số phức giải số toán sơ cấp Số phức phép toán đại số; Sử dụng số phức để giải tốn phương trình hệ phương trình đại số; Số phức toán đa thức; Số phức toán tổ hợp; Mục lục CÁC KIẾN... chất số phức; Dạng đại số số phức; Giải phương trình bậc hai; Ý nghĩa hình học số phức modun; Ý nghĩa hình học phép tốn đại số; Dạng lượng giác số phức; Bài tập - Chương 2: Sử dụng số phức giải số