Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNLÊ THANH HIỀN ÁP DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 604601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THANH HIỀN

ÁP DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60460113

Cán bộ hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI, 2016

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp phương pháp toán sơcấp khóa 2014- 2016 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tậptại lớp.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức có thể được dùng như một công cụ hữu hiệu để giảiquyết nhiều bài toán, cả trong đại số, hình học, lượng giác, tổ hợp Với sự trở lại của số phức trong chương trình trung học phổ thông,nhiều vấn đề của Toán sơ cấp có thể được trình bày rõ ràng và đầy

đủ hơn

Chương trình Toán học ở bậc trung học phổ thông của hầuhết các nước đều có phần số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cảicách, nội dung số phức cuối cùng đã được đưa trở lại vào chươngtrình Giải tích 12 (với dung lượng còn khá khiêm tốn) Vì nhiều

lý do khác nhau, không ít học sinh( thậm chí là học sinh khá giỏi)sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách đơn giản:

sử dụng số phức ta có thể giải mọi phương trình bậc hai, tính đượcvài tổng đặc biệt

Trên thực tế, trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olimpickhu vực, Olimpic quốc tế, có khá nhiều dạng toán có liên quan đến

số phức Việc sử dụng trong nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng

tỏ ra có nhiều thuận lợi Dùng số phức ta cũng có thể tìm được lờigiải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng không kém phần độc đáo) cho nhiều

hệ phương trình với ẩn số thực Số phức còn cho ta cách giải quyếtmột loạt các bài toán trong số học, tổ hợp và lượng giác mà nếudùng phương pháp thông thường tình huống sẽ trở nên phức tạphơn

Được sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, tôi chọn

đề tài "Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp" với mongmuốn tìm hiểu sâu về số phức và ứng dụng của số phức trong việckhai thác các phương pháp giải toán bậc THPT

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa các dạng bài tập đại số, tổ hợp, lượng giác đượcgiải bằng phương pháp số phức đồng thời nắm được một số kỹ thuậtliên quan

3 Nhiệm vụ của đề tài

Đưa ra định nghĩa tính chất của số phức Đặc biệt sử dụng sốphức để giải một số dạng toán đại số, lượng giác, tổ hợp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các bài toán đại số, lượng giác, tổ hợp trên tập sốphức và các ứng dụng liên quan

- Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi

- Học sinh lớp 12 ở trường THPT

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng họcsinh THPT Đề tài góp phần thiết thực cho việc dạy các chuyên đềtoán trong trường THPT, đem lại niềm đan mê sáng tạo trong việcdạy và học toán

Xây dựng được một giáo trình có tính hệ thống với thời lượngthu gọn, có thể dùng để giảng dạy về số phức và ứng dụng của sốphức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông

Xây dựng được một hệ thống các bài toán với mức độ khó dễkhác nhau

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương

- Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

1 Tính chất của số phức;

2 Dạng đại số của số phức;

3 Giải phương trình bậc hai;

4 Ý nghĩa hình học của số phức và modun;

5 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số;

6 Dạng lượng giác của số phức;

7 Bài tập

- Chương 2: Sử dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp

Mục lục

1.1 Định nghĩa 8

1.2 Tính chất của số phức 9

1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng 9

1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân 9

1.3 Dạng đại số của số phức 10

1.3.1 Định nghĩa và tính chất 10

1.3.2 Lũy thừa của số i 12

1.3.3 Số phức liên hợp 12

1.3.4 Modun của số phức 13

1.4 Giải phương trình bậc hai 14

1.5 Ý nghĩa hình học của số phức và modun 15

1.5.1 Ý nghĩa hình học của số phức 15

1.5.2 Ý nghĩa hình học của modun 16

1.6 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số 17

1.6.1 Phép cộng và phép trừ 17

1.6.2 Tích của số thực và số phức 17

1.7 Dạng lượng giác của số phức 18

1.7.1 Tọa độ cực trong mặt phẳng 18

1.7.2 Tọa độ cực của số phức 19

1.7.3 Căn bậc n của đơn vị 19

1.8 Bài tập 23

chứng minh các đẳng thức tổ hợp 502.4.2 Số phức trong các bài toán đếm 60

Tài liệu tham khảo 67

Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi x1 = x2 và

y1 = y2 Các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 như sau

là tập hợp số phức, ký hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C được gọi làmột số phức Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C \ {(0, 0)}

Phần tử đối Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất số phức

−z = (−x, −y) ∈ C sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0

1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân

Phép nhân các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây

Tính giao hoán z1z2 = z2z1 với mọi z1, z2 ∈ C

Tính kết hợp (z1z2) z3 = z1(z2z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ C

Phần tử đơn vị Có duy nhất một số phức 1 = (0, 0) ∈ C thỏa mãn

z.1 = 1.z = z

Số phức 1 = (1, 0) gọi là phần tử đơn vị với mọi z ∈ C

Phần tử nghịch đảo Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z 6= 0 có duy nhất sốphức z−1 = x0, y0
∈ C sao cho z.z−1 = z−1.z = 1 số phức z−1 = x0, y0
gọi là phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C

Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C∗ được định nghĩa nhưsau z0 = 1; z1 = z; z2 = z.z, và zn = z.z.z z

| {z }

n lần z

với mọi số nguyên n > 0

và zn = z−1
−n với mọi số nguyên n < 0

Mọi số phức z1, z2, z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m, n ta có các tính chấtsau

z2n khi z = 0 ta định nghĩa 0

n = 0 với mọi số nguyên

n > 0

Tính phân phối z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 với mọi z1, z2, z3 ∈ C∗

Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân, thấy rằng tậphợp C các số phức cùng với phép toán trên lập thành một trường

1.3 Dạng đại số của số phức

1.3.1 Định nghĩa và tính chất

Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thựchiện các biển đổi đại số thường không được thuận lợi Đó là lí do để tìmdạng khác khi viết Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới Xét tậphợp R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2.Hàm số

f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0)

là một song ánh Hơn nữa,

(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) , (x, 0) (y, 0) = (xy, 0) Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên

R × {0} đồng nhất với các phép toán trên R Vì thế chúng ta có thểđồng nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R Ta sử dụng song ánhtrên và ký hiệu (x, 0) = x

< (z1 + z2) = < (z1) + < (z2) ;

= (z1 + z2) = = (z1) + = (z2) Phép trừ

1.3.2 Lũy thừa của số i

Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toànvới dạng đại số z = x + yi Xét z = i, ta thu được

1.3 Dạng đại số của số phức

5 z1z2 = z1.z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phứcliên hợp);

6 Mỗi số phức z khác 0 đẳng thức sau luôn đúng z−1 = z−1;

Số |z| = px2 + y2 được gọi là modun của số phức z = x + yi

1.4 Giải phương trình bậc hai

8 |z1

z2| = |z1|

|z2|, z2 6= 0 (modun của một thương bằng thương các modun);

9 |z1| − |z2| 6 |z1 − z2| 6 |z1| + |z2|

1.4 Giải phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta có thể giải phương trình bậc hai với hệ số thực

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0,trong trường hợp biệt thức ∆ = b2 − 4ac nhận giá trị âm Bằng cáchbiến đổi dễ dàng đưa phương trình về dạng tương đương sau

a

"



x + b2a

2

+ −44a

#

= 0

1.5 Ý nghĩa hình học của số phức và modun

Đẳng thức trên tương đương với



z + b2a

2

4a2,hoặc (2az + b)2 = 4

Với ∆ = b2 − 4ac cũng được gọi là biệt thức của phương trình bậchai

Đặt y = 2az + b phương trình trên được rút gọn về dạng

Với r = |∆|, và sgnv là dấu của số thực v

Nghiệm ban đầu của phương trình là:

1.5 Ý nghĩa hình học của số phức và modun

phức z = x + yi là một điểm M (x, y) trong không gian R × R Xét P làtập các điểm trong không gian Q với hệ trục tọa độ xOy và song ánh

φ : C → P , φ (z) = M (x, y)

Điểm M (x; y) được gọi là dạng hình học của số phức z = x + yi Sốphức z = x + yi được gọi là tọa độ phức của điểm M (x; y) Chúng ta

ký hiệu M (z) để chỉ tọa độ phức của điểm M là số phức z

Dạng hình học của số phức liên hợp z của số phức z = x + yi là điểm

M0 (x; −y) đối xứng với điểm M (x; y) qua trục Ox

Dạng hình học của số đối −z của số phức z = x+yi là điểm M”(−x; −y)đối xứng với điểm M (x; y) qua gốc tọa độ

Song ánh φ từ tập R lên trục Ox ta gọi là trục thực, lên trục Oy ta gọi

là trục ảo

Không gian Q cùng với các điểm được đồng nhất với số phức gọi làkhông gian phức

Ta cũng có thể đồng nhất các số phức z = x + yi với véc tơ −→v = −−→OM ,với M (x, y) là dạng hình học của số phức z

Gọi V0 là tập hợp các véc tơ có điểm gốc là gốc tọa độ O Ta có thể địnhnghĩa song ánh φ0 : C → V0, φ0(z) = −−→

1.5.2 Ý nghĩa hình học của modun

Xét số phức z = x+yi biểu diễn hình học trong mặt phẳng là M (x, y).Khoảng cách Ơclit OM cho bởi công thức

OM =

q(xM − xO)2 + (yM − yO)2

Vì thế OM = px2 + y2 = |z| = |−→v |, mô dun |z| của số phức z = x + yi

là độ dài đoạn thẳng OM hoặc là độ lớn của véc tơ −→v = x−→i + y−→j Chú ý

1 Mỗi số thực dương r, tập hợp số phức có modun r tương đương vớiđường tròn C (O; r) tâm O bán kính r trong mặt phẳng

2 Các số phức z với |z| < r là các điểm nằm bên trong đường tròn

C (O; r) Các số phức z với |z| > r là các điểm nằm bên ngoài đườngtròn C (O; r)

1.6 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số

1.6 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số

số phức z1 − z2 hoặc độ dài của véc tơ −→v

1 − −→v2 Vậy:

M1M2 = |z1 − z2| = |−→v1 − −→v2| =

q(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.1.6.2 Tích của số thực và số phức

Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ −→v = x−→i + y−→j Nếu λ

là số thực thì tích λz =λx+λyi tương đương với véc tơ−→

λv= λx−→

i +λy→−

j Chú ý.: Nếu λ > 0 thì véc tơ −→

λv và −→v cùng hướng và |λ−→v |= λ|−→v |.Nếu λ < 0 thì véc tơ −→

λv và −→v ngược hướng và |λ−→v |= −λ|−→v |.

λ= 0 thì λ−→v = −→0

1.7 Dạng lượng giác của số phức

1.7 Dạng lượng giác của số phức

x = r cos t∗, y = r sin t∗

Vì thế ta dễ dàng có tọa độ Đề Các của một điểm từ tọa độ cực

Ngược lại, xét điểm M (x, y) Bán kính cực là r = px2 + y2 Ta xácđịnh argumen cực trong các trường hợp sau

2 khi y < 0.

1.7 Dạng lượng giác của số phức

1.7.2 Tọa độ cực của số phức

Mỗi số phức z = x + yi ta có thể viết dưới dạng cực

z = r (cos t∗ + i sin t∗) ,với r ∈ [0, ∞) và t∗ ∈ [0, 2π) đó là tọa độ cực dạng hình học của số phứcz

Argumen cực của dạng hình học của số phức z được gọi là argumen của

z, ký hiệu là arg z Bán kính cực của dạng hình học của số phức z bằng

mô dun của z Khi z 6= 0 mô dun và argumen của z được xác định mộtcách duy nhất

Xét z = r (cos t∗ + t sin t∗) và t = t∗ + 2kπ với k là số nguyên thì

z = r (cos (t − 2kπ) + i sin (t − 2kπ)) = r (cos t + isin t)

Mỗi số phức z có thể biểu diễn như z = r (cos t + i sin t) với r ≥ 0 và

t ∈ R Tập hợp Arg z = {t = t∗ + 2kπ, k ∈ Z} được gọi là argumen mởrộng của số phức z

Vì thế, hai số phức z1, z2 6= 0 có dạng

z1 = r1(cos t1 + i sin t1) và z2 = r2(cos t2 + i sin t2) ,

bằng nhau khi và chỉ khi z1 = r2 và t1 − t2 = 2kπ, với k là số nguyên.Chú ý Các dạng sau nên nhớ

1 = cos 0 + i sin 0; i = cosπ

Cho số nguyên dương n ≥ 2 và số phức z0 6= 0, giống như trên trường

số thực, phương trình

Zn− z0 = 0,được sử dụng định nghĩa căn bậc n của số z0 Vì vậy mỗi một giá trị Zthỏa mãn phương trình trên là một căn bậc n của z0

1.7 Dạng lượng giác của số phức

Định lý 1.7.1 Cho z0 = r (cos t∗ + i sin t∗) là số phức với r > 0 và

t∗ ∈ [0, 2π) Số phức z0 có n căn bậc n phân biệt cho bởi công thức

Zk = √n

r

cost

∗ + 2kπ

n + i sin

t∗ + 2kπn

Theo định nghĩa Zn = z0 hay

ρn = (cos nφ + i sin nφ) = r (cos t∗ + i sin t∗) (1.1)

∗ + 2kπ

n + i sin

t∗ + 2kπn



; với k ∈ Z

Nhận thấy rằng 0 ≤ φ0 < φ1 < φn−1, vì thế các số φk, k ∈{0, 1, 2, , n − 1} chính là các argumen và φ∗k = φk Ta có n giá trịcăn phân biệt của z0: Z0, Z1, , Zn−1 Cho k là số nguyên và z ∈{0, 1, 2, , n − 1}, thì r đồng dư với k theo modn Khi đó k = nq + r ∈ Zvà

Biểu diễn hình học các giá trị của căn bậc n là các đỉnh của một n giácđều nội tiếp trong đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính là √n

r

Ta chứng minh điều kiện trên như sau

Kí hiệu M0, M1, , Mn−1 là các điểm có tọa độ phức Z0, Z1, , Zn−1 Vì

1.7 Dạng lượng giác của số phức

Vì tất cả các cung M1M2, , Mn−1M0 đều bằng nhau nên đa giác

M0M1 Mn−1 là đa giác đều

Căn bậc n của đơn vị

Các nghiệm phương trình Zn− 1 = 0 được gọi là các căn bậc n của đơn

vị Vì 1 = cos 0 + i sin 0 nên từ công thức căn bậc n của số phức ta cócăn bậc n của đơn vị

Tập hợp 1, , 2, , n−1 ký hiệu Un Ta có tập hợp Un được sinh bởi

, mỗi phần tử của Un là một lũy thừa của 

Giống như trước, biểu diễn hình học các căn bậc n của một số phức làcác đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đơn vị

mà có một đỉnh là 1 Ta xét một vài giá trị của n

i) với n = 2, phương trình Z2 − 1 = 0 có các nghiệm là 1 và −1 đây làcác căn bậc hai của đơn vị

ii) với n = 3, phương trình Z3− 1 = 0 có các nghiệm cho bởi công thức

2 ;

1.7 Dạng lượng giác của số phức

2 .Đây là ba đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn C (O, 1)

iii) với n = 4, phương trình Z4 − 1 = 0 có các nghiệm cho bởi côngthức

Mệnh đề 1.7.1 1 Nếu n|p, mọi nghiệm của phương trình Zn−1 = 0

là nghiệm của phương trình Zq − 1 = 0;

2 Nghiệm chung của phương trình Zm − 1 = 0 và Zn − 1 = 0 làcác nghiệm của phương trình Zd − 1 = 0 với d = U CLN (m, n),

1.8 Bài tập

Mệnh đề 1.7.2 Nếu  ∈ Un là một căn nguyên thủy của đơn vị thì tất

cả các nghiệm của phương trình Zn− 1 = 0 là r, r+1, , r+n−1 với r là

số nguyên dương tùy ý

Mệnh đề 1.7.3 Cho 0, 1, , n−1 là các căn bậc n của đơn vị Với mỗi

số nguyên dương n ta luôn có hệ thức

4 + i sin

7π4



Bài toán 1.8.2 Tính giá trị biểu thức

1.8 Bài tập

√

3 + i)15(i − 1)7(1 − i√

3)9(p2 +√

2 + ip2 −√

2)11.Bài toán 1.8.3 Giải các phương trình sau trên tập số phức

1.8 Bài tập

1 z2 + z + 25 = 0

2 z3 + 8 = 0

3 z4 + 4z2 + 1 = 0

Bài toán 1.8.7 Tìm các số thực x, y trong các trường hợp sau

1 (3 − i)x + (1 + 5i)y = 4 + 4i

4 i−5 + (−i)−7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94

Bài toán 1.8.9 Tìm tất cả các số phức z 6= 0 thỏa mãn z + 1

z ∈ R.Bài toán 1.8.10 Tìm các số thực x, y trong các trường hợp sau

1 (3 − i)x + (1 + 5i)y = 4 + 4i

1.8 Bài tập

4 i−5 + (−i)−7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94

Bài toán 1.8.12 Tìm tất cả các số phức z 6= 0 thỏa mãn z + 1

z ∈ R.Bài toán 1.8.13 Chứng minh rằng

2| + |z2

3|)

Bài toán 1.8.17 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

−1 + i√32

4 .

3 z3 = −12 − i

√ 3

2

4 z4 = 3 − 2i

Bài toán 1.8.20 Tìm dạng tọa độ cực của các số phức sau

1 z1 = cos α − i sin α, α ∈ [0, 2π)

2 z2 = sin α + i(1 + cos α), α ∈ [0, 2π)

3 z3 = cos α + sin α + i(sin α − cos α), α ∈ [0, 2π)

4 z4 = 1 − cos α + i sin α, α ∈ [0, 2π)

Bài toán 1.8.21 Cho z1z2z3, là các số phức Chứng minh rằng:

|z1 + z2| + |z2 + z3| + |z3 + z1| ≤ |z1| + |z2| + |z3| + |z1 + z2 + z3|.Bài toán 1.8.22 Tìm √3

2 + 2i

Tài liệu tham khảo

1 Lê Hải Châu, Thi vô địch toán Quốc tế, Nhà xuất bản trẻ, 2001.

2 Nguyễn Văn Dũng, Phương pháp giải toán Số phức và ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia, 2010.

3 Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc số phức và áp dụng, NXB Giáo dục, 2008.

4 Đoàn Quỳnh, Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục, 1997.

5 Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 2001.

6 Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp, NXB ĐHQGHN, 2007.

7 Nguyễn Cảnh Toàn, Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 1979.

8 Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2013.