Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THANH HIỀN ÁP DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60460113 Cán hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời toàn thầy cô giáo khoa Toán-Cơ-Tin học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp phương pháp toán sơ cấp khóa 2014- 2016 nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Số phức dùng công cụ hữu hiệu để giải nhiều toán, đại số, hình học, lượng giác, tổ hợp Với trở lại số phức chương trình trung học phổ thông, nhiều vấn đề Toán sơ cấp trình bày rõ ràng đầy đủ Chương trình Toán học bậc trung học phổ thông hầu có phần số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức cuối đưa trở lại vào chương trình Giải tích 12 (với dung lượng khiêm tốn) Vì nhiều lý khác nhau, không học sinh( chí học sinh giỏi) sau học xong phần số phức hiểu cách đơn giản: sử dụng số phức ta giải phương trình bậc hai, tính vài tổng đặc biệt Trên thực tế, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olimpic khu vực, Olimpic quốc tế, có nhiều dạng toán có liên quan đến số phức Việc sử dụng nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng tỏ có nhiều thuận lợi Dùng số phức ta tìm lời giải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng không phần độc đáo) cho nhiều hệ phương trình với ẩn số thực Số phức cho ta cách giải loạt toán số học, tổ hợp lượng giác mà dùng phương pháp thông thường tình trở nên phức tạp Được hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, chọn đề tài "Áp dụng số phức giải số toán sơ cấp" với mong muốn tìm hiểu sâu số phức ứng dụng số phức việc khai thác phương pháp giải toán bậc THPT Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng tập đại số, tổ hợp, lượng giác giải phương pháp số phức đồng thời nắm số kỹ thuật liên quan Nhiệm vụ đề tài Đưa định nghĩa tính chất số phức Đặc biệt sử dụng số phức để giải số dạng toán đại số, lượng giác, tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu toán đại số, lượng giác, tổ hợp tập số phức ứng dụng liên quan - Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Học sinh lớp 12 trường THPT Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh THPT Đề tài góp phần thiết thực cho việc dạy chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đan mê sáng tạo việc dạy học toán Xây dựng giáo trình có tính hệ thống với thời lượng thu gọn, dùng để giảng dạy số phức ứng dụng số phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông Xây dựng hệ thống toán với mức độ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương - Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Tính chất số phức; Dạng đại số số phức; Giải phương trình bậc hai; Ý nghĩa hình học số phức modun; Ý nghĩa hình học phép toán đại số; Dạng lượng giác số phức; Bài tập - Chương 2: Sử dụng số phức giải số toán sơ cấp Số phức phép toán đại số; Sử dụng số phức để giải toán phương trình hệ phương trình đại số; Số phức toán đa thức; Số phức toán tổ hợp; Mục lục CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất số phức 1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng 1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.3 Dạng đại số số phức 1.3.1 Định nghĩa tính chất 1.3.2 Lũy thừa số i 1.3.3 Số phức liên hợp 1.3.4 Modun số phức 1.4 Giải phương trình bậc hai 1.5 1.6 1.7 1.8 8 9 10 10 12 12 13 14 Ý nghĩa hình học số phức modun 15 1.5.1 Ý nghĩa hình học số phức 15 1.5.2 Ý nghĩa hình học modun 16 Ý nghĩa hình học phép toán đại số 1.6.1 Phép cộng phép trừ 1.6.2 Tích số thực số phức Dạng lượng giác số phức 1.7.1 Tọa độ cực mặt phẳng 1.7.2 Tọa độ cực số phức 1.7.3 Căn bậc n đơn vị Bài tập 17 17 17 18 18 19 19 23 MỤC LỤC SỬ DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Số phức toán lượng giác 2.2 Sử dụng số phức để giải toán phương trình hệ phương trình đại số 2.3 Số phức toán đa thức 2.4 Số phức toán tổ hợp 2.4.1 Số phức toán tính tổng tổ hợp chứng minh đẳng thức tổ hợp 2.4.2 Số phức toán đếm KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 28 28 41 45 50 50 60 66 67 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất tập số thực R Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) |x, y ∈ R} Hai phần tử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 , z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 , với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 Phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp R2 với phép cộng phép nhân gọi tập hợp số phức, ký hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C \ {(0, 0)} 1.2 Tính chất số phức 1.2 Tính chất số phức 1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng Phép cộng số phức thỏa mãn tính chất sau Tính giao hoán z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị có số phức = (0, 0) ∈ C để z + = + z, với z = (x, y) ∈ C Phần tử đối Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có số phức −z = (−x, −y) ∈ C cho z + (−z) = (−z) + z = 1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hoán z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp (z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị Có số phức = (0, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z Số phức = (1, 0) gọi phần tử đơn vị với z ∈ C Phần tử nghịch đảo Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z = có số phức z −1 = x , y ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = số phức z −1 = x , y gọi phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = 1; z = z; z = z.z, z n = z.z.z z với số nguyên n > n n lần z −1 −n z = z với số nguyên n < Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số nguyên m, n ta có tính chất sau z n z m = z n+m ; zm n = z m−n ; z (z m )n = z mn ; 2.4 Số phức toán tổ hợp Từ (2.29) (2.30) ta có 25 27 29 D = C30 − 3C30 + 5C30 − 7C30 + + 25C30 − 27C30 + 29C30 = −15.215 30 28 26 = −15.215 + 30C30 − 28C30 + + 26C30 − 8C30 + 6C30 − 4C30 E = 2C30 Bài toán 2.4.3 Tính tổng 18 20 S = 2.3.C20 − 4.32 C20 + 6.33 C20 − + 18.39 C20 − 20.310 C20 Lời giải Xét khai triển 20 √ √ √ + 3x 3x C20 3x C20 = C20 + + + 19 20 √ √ 19 20 3x C20 3x C20 + + Đạo hàm hai vế ta có 19 √ √ √ √ 3 20 + 3x + 2.3xC20 + 3 x C20 + = 3C20 √ 19 18 19 20 x C20 + 20.310 x19 C20 + 19 Cho x = i ta có √ √ 20 + 3x √ 3C20 −3 √ 19 = 3 C20 + + 17 √ 17 17 C20 − 19 √ 19 19 C20 18 20 + 2.3C20 − 4.32 C20 + 6.33 C20 − + 18.39 C20 − 20.310 C20 i, (2.31) Mặt khác √ √ 20 + 3i 19 √ = 20 3.219 √ = 20 3.219 √ = 20 3.219 √ = 20 3.219 √ 19 + i π π 19 cos + i sin 3 19π 19π cos + i sin 3 √ + i 2 √ 19 = 10 3.2 + 30.219 i, 53 (2.32) 2.4 Số phức toán tổ hợp Từ (2.31) (2.32) ta có 18 20 S = 2.3.C20 − 4.32 C20 + 6.33 C20 − + 18.39 C20 − 20.310 C20 = 30.219 Bài toán 2.4.4 Tính tổng sau 12 14 M = C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + + 13C15 − 15C15 13 15 N = 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + + 14C15 − 16C15 Lời giải Xét khai triển 14 15 (1 + x)15 = C15 + xC15 + x2 C15 + + x14 C15 + x15 C15 , (2.33) Nhân hai vế (2.33) với x ta có 14 15 x (1 + x)15 = xC15 + x2 C15 + x3 C15 + + x15 C15 + x16 C15 , (2.34) Đạo hàm hai vế (2.34) ta có (1 + x)15 + 15x (1 + x)14 = C15 + 2xC15 + 3x2 C15 + 4x3 C15 + 14 15 + 15x14 C15 + 16x15 C15 Với x = i ta có 12 14 (1 + i)15 + 15i (1 + i)14 = C15 − 3C15 + 5C15 − + 13C15 − 15C15 13 15 + 2C15 − 4C15 + + 14C15 − 16C15 i, (2.35) Mặt khác (1 + i)15 + 15i (1 + i)14 √ 14 √ 15 π π 15 π π 14 cos + i sin + 15i cos + i sin = 4 4 √ 15 15π 15π 14π 14π = cos + i sin + 15.27 i cos + i sin 4 4 √ √ √ 15 2 = − − i + 15.27 = 7.28 − 27 i, (2.36) 2 Từ (2.35) (2.36) ta có 14 12 − 15C15 = 7.28 M = C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + + 13C15 13 15 N = 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + + 14C15 − 16C15 = −27 54 2.4 Số phức toán tổ hợp Bài toán 2.4.5 Tính tổng 3k 15 18 S = C20 + C20 + C20 + + C20 + + C20 + C20 Lời giải Xét khai triển 19 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x2 C20 + + x19 C20 + x20 C20 Cho x = ta có 18 19 20 220 = C20 + C20 + C20 + + C20 + C20 + C20 , (2.37) Cho x = ta có 18 19 20 (1 + )20 = C20 + C20 + C20 + + C20 + C20 + C20 , Cho x = 1+ (2.38) ta có 20 18 19 20 = C20 + C20 + C20 + + C20 + C20 + C20 , (2.39) Cộng theo vế (2.37), (2.38), (2.39) ta 20 220 + (1 + )20 + + = 3S Mặt khác 20 (1 + )20 = − = 40 = 20 1+ = (− )20 = 20 = 220 − 20 Do 3S = − ⇒ S = Bài toán 2.4.6 Tính tổng 3k+1 19 16 + + C20 + + C20 + C30 + C20 T = C20 + C20 Lời giải Xét khai triển 19 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x2 C20 + + x19 C20 + x20 C20 , (2.40) Nhân hai vế (2.40) với x2 ta có 18 19 20 x2 (1 + x)20 = x2 C20 + x3 C20 + x4 C20 + + x20 C20 + x21 C20 + x22 C20 Cho x = ta có 18 19 20 220 = C20 + C20 + C20 + + C20 + C20 + C20 , (2.41) Cho x = ta có (1 + )20 = 2 18 19 20 C20 + C20 + C20 + + C20 + C20 + C20 , 55 (2.42) 2.4 Số phức toán tổ hợp Cho x = 1+ tao có 20 18 19 20 = C20 + C20 + C20 + + C20 + C20 + C20 , (2.43) Cộng vế theo vế (2.41), (2.42), (2.43) ta có 220 + (1 + )20 + 1+ Mặt khác (1 + )20 = 42 = 1; 1+ 20 20 = 3T = 21 = 220 + Do 3T = + ⇒ T = 20 Bài toán 2.4.7 Tính tổng 3k 15 18 + 3C20 + 6C20 + + 3kC20 + + 15C20 + 18C20 P = C20 Lời giải Xét khai triển 19 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x2 C20 + + x19 C20 + x20 C20 , (2.44) Đạo hàm hai vế (2.44) ta có 20 (1 + x)19 = C20 + 2xC20 + 3x2 C20 + 17 18 18 19 20 + 18x C20 + 19x C20 + 20x19 C20 , (2.45) Nhân hai vế (2.45) với x ta có 19 20 + 20x20 C20 + + 19x19 C20 20x (1 + x)19 = xC20 + 2x2 C20 + 3x3 C20 Cho x = ta 18 19 20 20.219 = C20 + 2C20 + 3C20 + + 18C20 + 19C20 + 20C20 , (2.46) Cho x = ta có 20 (1 + )19 = C20 + 2 C20 + 3C20 + 18 19 20 + 18C20 + 19 C20 + 20 C20 , Cho x = (2.47) ta có 20 1+ 19 = C20 + C20 + 3C20 + 18 19 20 + 18C20 + 19 C20 + 20 C20 , 56 (2.48) 2.4 Số phức toán tổ hợp Cộng vế theo vế (2.46), (2.47), (2.48) ta có 20 219 (1 = )19 + 1+ Mặt khác (1 + )19 = 2 19 1+ = 19 − 2 19 − = 3P − C20 39 (− )19 = − = −1 21 = −1 10.220 − 13 Do 3P = + 20 − = 10.2 − 39 Suy P = Công thức Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, đưa tổng lượng giác thành cấp số nhân công thức nhị thức Niuton 19 Bài toán 2.4.8 20 Tính tổng n Cnk cos kx S= k=0 Chứng minh đẳng thức m−1 2m−1 2m cos x= k=0 n m k C2m cos (2m − 2k) x + C2m Cnk sin kx, ta có Lời giải Xét T = k=0 n Cnk (cos kx + i sin kx) S + iT = k=0 n Cnk eikx = + eix = n k=0 x = (1 + cos x + i sin x)n = cos x nx nx = 2n cosn + i sin cos 2 n cos x x + i sin 2 So sánh phần thực phần ảo ta n Cnk cos kx = 2n cosn S= k=0 57 x nx cos 2 n 2.4 Số phức toán tổ hợp −ix ix Ta có e = cos x + i sin x, e eix + e−ix = cos x − i sin x ⇒ cos x = Do 2m 22m cos2m x = (2 cos x)2m = eix + e−ix 2m 2m k C2m = e ix k e −ix 2m−k k=0 k=0 m−1 2m k 2(k−m)ix C2m e = k 2(k−m)ix C2m e + k=m+1 m−1 k=0 m−1 k −2(m−k)ix C2m e + = 2m−t 2(m−t)ix m C2m e + C2m t=0 m−1 k=0 m−1 k −2(m−k)ix C2m e + = k 2(k−m)ix C2m e = k=0 m−1 2m−k 2(m−k)ix m C2m e + C2m k=0 k m C2m e−2(m−k)ix + e2(m−k)ix + C2m = k=0 m−1 k m C2m cos (2m − 2k) x + C2m =2 k=0 m−1 ⇒2 2m−1 2m cos x= k=0 m k C2m cos (2m − 2k) x + C2m Với cách làm tương tự trên, ta chứng minh đẳng thức n 2n 2n k C2n+1 cos (2n + − 2k) x sin x = k=0 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 2.4.9 Tính tổng sau √ 3 √ 27 27 √ 29 29 √ A1 = 3C30 − 3 C30 + − 27 C30 + 29 C30 4 28 30 A2 = 2.3.C30 − 4.32 C30 + 6.33 C30 − − 28.314 C30 + 30.315 C30 Bài toán 2.4.10 Tính tổng sau 22 24 B1 = C25 + 2C25 − 3.4C25 + 5.6C25 − 7.8C25 + + 21.22C25 − 23.24C25 23 25 B2 = C25 + 2.3C25 − 4.5C25 + 6.7C25 − + 22.23C25 − 24.25C25 58 2.4 Số phức toán tổ hợp Bài toán 2.4.11 Tính tổng sau 16 18 20 C1 = C20 − 3C20 + 5C20 − 7C20 + + 17C20 − 19C20 + 21C20 15 17 19 C2 = 2C20 − 4C20 + 6C20 − − 16C20 + 18C20 − 20C20 Bài toán 2.4.12 Tính tổng sau 99 97 95 + 992 C100 − 972 C100 − + 952 C100 + 52 C100 − 32 C100 D1 = 12 C100 2 96 98 100 D2 = C100 −4 C100 +6 C100 −8 C100 + +96 C100 −98 C100 +1002 C100 Bài toán 2.4.13 Tính tổng sau 37 40 E1 = C40 + 42 C40 + 72 C40 + + 372 C40 + 402 C40 35 38 E2 = 22 C40 + 52 C40 + 82 C40 + + 352 C40 + 382 C40 36 39 E3 = C40 + 32 C40 + 62 C40 + + 362 C40 + 392 C40 Bài toán 2.4.14 Tính tổng sau 33 36 39 F1 = C40 + 4C40 + 7C40 + 10C40 + + 34C40 + 37C40 + 40C40 34 37 40 F2 = 2C40 + 5C40 + 8C40 + + 35C40 + 38C40 + 41C40 35 38 F3 = 3C40 + 6C40 + 9C40 + + 36C40 + 39C40 Bài toán 2.4.15 Chứng minh đẳng thức sau √ n−1 π cos (n − 1) (−1)k (2k + 1) Cn2k+1 = n 0 n + ≡ 0(modm) Tìm số (x1 , x2 , x3 , , xp ) gồm p số nguyên dương cho tổng (x1 +x2 +x3 + +xp ) chia hết cho m x1 , x2 , x3 , , xp không lớn m 65 KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả đề cập đến hai nội dung Một là, trình bày kiến thức số phức Hai là, giới thiệu số ứng dụng số phức vài giải số toán sơ cấp Qua nghiên cứu nhận thấy rằng: Luận văn đạt mục tiêu ban đầu đặt Luận văn giới thiệu số ứng dụng số phức giải số toán sơ cấp để quan tâm đến tham khảo Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn dừng lại mức độ tìm hiểu giới thiệu số ứng dụng số phức toán sơ cấp Trong thời gian tới, có điều kiện, tác giả nghiên cứu tìm hiểu sâu để đưa số kết có tính ứng dụng thực tiễn phục vụ trình học tập nghiên cứu Trong trình thực luận văn chắn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn 66 Tài liệu tham khảo Lê Hải Châu, Thi vô địch toán Quốc tế, Nhà xuất trẻ, 2001 Nguyễn Văn Dũng, Phương pháp giải toán Số phức ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia, 2010 Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng, NXB Giáo dục, 2008 Đoàn Quỳnh, Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục, 1997 Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 2001 Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp, NXB ĐHQGHN, 2007 Nguyễn Cảnh Toàn, Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, 1979 Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2013 67 ... phép toán đại số; Dạng lượng giác số phức; Bài tập - Chương 2: Sử dụng số phức giải số toán sơ cấp Số phức phép toán đại số; Sử dụng số phức để giải toán phương trình hệ phương trình đại số; Số phức. .. SỬ DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Số phức toán lượng giác 2.2 Sử dụng số phức để giải toán phương trình hệ phương trình đại số 2.3 Số phức toán. .. SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Số phức toán lượng giác Việc sử dụng số phức linh hoạt sử dụng công thức Moivre có nhiều ứng dụng lượng giác Sau số tập áp dụng Bài toán 2.1.1 Cho