Giải một lớp bài toán hình học nhờ số phức

Header Page of 52 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Văn Chiến GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN HÌNH HỌC NHỜ SỐ PHỨC Chun ngành: Toán Sơ Cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khối Thái Ngun, năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Mục lục Mở đầu Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.2 Dạng đại số số phức 1.3 Ý nghĩa hình học số phức modun 1.3.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.3.2 Ý nghĩa hình học modun 1.3.3 Ý nghĩa hình học phép toán đại số 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Tọa độ cực mặt phẳng 1.4.2 Tọa độ cực số phức 1.4.3 Các phép toán số phức tọa độ cực 1.4.4 Ý nghĩa hình học phép nhân 1.4.5 Các bậc n đơn vị Số phức hình học 2.1 Một vài khái niệm tính chất 2.1.1 Khoảng cách hai điểm 2.1.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng 2.1.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số 2.1.4 Góc định hướng 2.1.5 Góc hai đường thẳng 2.1.6 Phép quay điểm 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 6 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 19 19 19 19 22 22 23 23 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 2.2 Điều kiện thẳng hàng, vng góc trịn Tam giác đồng dạng Tam giác Tích thực hai số phức thuộc đường 25 27 31 36 Hình học giải tích số phức 3.1 Phương trình đường thẳng 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm 3.3 Phương trình đường thẳng xác định điểm phương 3.4 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng 3.5 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng 3.6 Đường tròn 3.7 Phương tích điểm đường trịn 3.8 Góc hai đường trịn 40 40 41 42 43 44 44 46 46 2.3 2.4 2.5 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Mở đầu 1.Lí chọn đề tài Với tốn hình học sơ cấp việc tìm nhiều phương pháp giải đem lại cho người học nhiều hứng thú ham thích học mơn tốn Đặc biệt giáo viên, em học sinh trực tiếp giảng dạy học tập cấp học phổ thông Bản thân giáo viên giảng dạy trường THPT, nên đề tài có ý nghĩa thực tiễn Vì tơi lựa chọn đề tài Có nhiều cách tiếp cận nghiên cứu đa giác phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Tuy vậy, đề tài tác giả xin trình bày số ứng dụng số phức việc nghiên cứu giải số tốn hình học sơ cấp Cũng nội dung đề tài gồm kiến thức số phức, số kiến thức hình học số ứng dụng số phức việc nghiên cứu số toán hình học sơ cấp Mục đích nghiên cứu Hệ thống tổng quát toán đa giác phương pháp số phức ứng dụng khác trường phổ thông Đồng thời nắm số kĩ thuật tính tốn biến đổi hình học liên quan đến số phức Nhiệm vụ đề tài Đưa định nghĩa phép toán số phức cách tổng qt có ví dụ minh họa kèm theo, đề tài sâu mở rộng mảng kiến thức số phức áp dụng hình học, đặc biệt tốn đa giác Bên cạnh đó, qua việc nghiên cứu đề tài trang bị cho thân thêm số nguồn tư liệu trình giảng dạy nghiên cứu 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn hình học dùng số phức vào giải tốn hình học sơ cấp, xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS – TSKH Hà Huy Khoái, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo việc dạy học toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức hình học Chương III: Hình học giải tích số phức Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khối, người tận tình giúp đỡ, động viên ân cần bảo cho em hoàn thành luận văn Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy giáo, giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học tốn K4C trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt nhất, nhiệt tình giảng dạy định hướng cho em trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu đề tài viết luận văn, song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy, đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn em hồn chỉnh có ý nghĩa thiết thực Trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Chương Định nghĩa số phức 1.1 1.1.1 Sự biểu diễn đại số số phức Định nghĩa số phức Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất sở tập hợp số thực R Ta xét tập hợp R2 = R.R = {(x, y) | x, y ∈ R } Hai phần tử (x1 , y1 ) v (x2 , y2 ), x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 Và z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 Với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét: 1)Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) 2)Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa: Tập hợp R2 với phép toán cộng nhân,được gọi tập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C\ {(0, 0)} 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức (a) Tính giao hốn: z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C (b) Tính kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C (c) Phần tử đơn vị: Có số phức 0=(0,0) để z + = + z = z với z = (x, y) ∈ C (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có số phức –z = (-x,-y) cho z + (−z) = (−z) + z = 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hốn: z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị: Có số phức = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z Số phức = (1, 0) gọi phần tử đơn vị với z ∈ C Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z = có số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = số phức z −1 = (x, , y , ) gọi phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = ; z = z ; z = z.z , z n = z.z z với số nguyên n > n lâ n n −1 −n z = (z ) với số nguyên n < Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số ngun m,n ta có tính chất sau 1)z m z n = z m+n ; zm 2) n = z m−n ; z 3) (z m )n = z mn ; 4)(z1 z2 )n = z1n z2n ; z1 n z1n = n 5) z2 z2 Khi z = ta định nghĩa 0n = với số nguyên n > Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên tính chất phép cộng phép nhân,thấy tập hợp C số phức với phép toán lập thành trường 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 1.2 Dạng đại số số phức Mỗi số phức biểu diễn cặp số thứ tự, nên thực biến đổi đại số thường khơng thuận lợi Đó lí để tìm dạng khác viết Ta đưa vào dạng biểu diễn đại số Xét tập hợp R × {0} với phép toán cộng nhân định nghĩa R2 Hàm số f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) song ánh (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Người đọc không sai lầm ý phép tốn đại số R × {0} đồng với phép tốn R; đồng cặp số (x, 0) với số x, với x ∈ R Ta sử dụng song ánh kí hiệu (x, 0) = x Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) Từ ta có mệnh đề Mệnh đề 1.2.1 Mỗi số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi Với x, y số thực i2 = −1 Hệ thức i2 = −1 suy từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 Biểu thức x + yi gọi biểu diễn đại số số phức z = (x, y) Vì ta viết C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 Từ ta kí hiệu z = (x, y) z = x + yi Số thực x = Re(z) gọi phần thực số phức z , y = Im(z) gọi phần ảo z Số phức có dạng yi , y ∈ R gọi số ảo Số phức có dạng yi , y ∈ R∗ gọi số ảo, số phức i gọi đơn vị ảo Từ hệ thức ta dế dàng có kết sau a) z1 = z2 Re(z1 ) = Re(z2 ) Im(z1 ) = Im(z2 ) b) z ∈ R Im(z) = 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 c) z ∈ C\R Im(z) = Sử dụng dạng đại số, phép toán số phức thực sau: Phép cộng z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C Dễ thấy tổng hai số phức số phức có phần thực tổng phần thực, có phần ảo tổng phần thực ảo Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) Phép trừ z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C Ta có Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ) Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ) Phép nhân z1 z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ) Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ) Mối số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C tích số thực với số phức Ta có tính chất sau 1) λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z 3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z Lũy thừa số i 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 52 Các công thức cho số phức với lũy thừa số nguyên bảo toàn dạng đại số z = x + yi Xét z = i, ta thu được: i0 = ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2 i = −i i4 = i3 i = 1; i5 = i4 i = i ; i6 = i5 i = −1; i7 = i6 i = −i Ta tổng qt cơng thức số mũ nguyên dương n i4n = ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i Vì in ∈ {−1 , , −i , i} với số nguyên n nguyên âm ta có: i n = i −1 −n = i Nếu n số −n = (−i)−n Số phức liên hợp Mỗi số phức z = x + yi có số phức z = x − yi, số phức gọi số phức liên hợp số phức liên hợp số phức z Mệnh đề 1.2.2 1) Hệ thức z = z z ∈ R; 2) Mỗi số phức z ta ln có đẳng thức z = z; 3) Mỗi số phức z ta ln có z.z số thực không âm; 4) z1 + z2 = z1 + z2 (số phức liên hợp tổng tổng số phức liên hợp); 5) z1 z2 = z1 z2 (số phức liên hợp tích tích số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức z khác đẳng thức sau z −1 = z −1 ; z1 z1 7) = , z2 = (liên hợp thương thương liên z2 z2 hợp); 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 38 of 52 37 a.b = ab + ab = a.b Vì a.b số thực,nó thể thể tên gọi Những tính chất ta dễ dàng kiểm tra Mệnh đề 2.5.2 Mọi số phức a, b, c, z ta có hệ thức sau 1) a.a = |a|2 ; 2) a.b = b.a (tích thực có tính chất giao hốn); 3) a (b + c) = a.b + a.c (tích thực phân phối phép cộng); 4) (αa) b = α (a.b) = a (αb) , ∀α ∈ R; 5) a.b = OA⊥OB ,với A có tọa độ a, B có tọa độ b; 6) (az) (bz) = |z|2 (a.b) Mệnh đề 2.5.3 Giả sử A(a), B(b), C(c), D(d) bốn điểm phân biệt Khi khẳng định tương đương 1) AB⊥CD ; 2) (b − a) (c − d) = ; b−a b−a 3) ∈ iR∗ (hoặc Re = ) d−c d−c Mệnh đề 2.5.4 Cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp gốc tọa độ mặt phẳng phức Nếu a, b, c tọa độ A, B, C trực tâm H có tọa độ h = a + b + c Bài toán 14 Cho tứ giác lồi ABCD Dựng hình vng AMBN CPDQ hướng.Chứng minh M P − N Q2 = 4SABC D Lời giải: Coi tứ giác ABCD định hướng âm Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD Gọi w tọa độ điểm W mặt phẳng phức Để ý rẳng −−→ −−→ M P − N Q2 = M P + N Q −−→ −−→ MP − NQ Gọi a, b, c, d, m, n, p, q, x, y, z, t tọa độ điểm A, B, C, D, M, 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 39 of 52 38 N, P, Q, X, Y, Z, T Ta có (p − m)2 − (q − n)2 = (z − x) (n − m + p − q) = (z − x) (i (a − b + d − c)) = −4i (z − x) (t − y) Vậy (p − m)2 − (q − n)2 = 4SABC D (Do SABC D = 2SXY ZT ) Bài toán 15 Gọi G trọng tâm tứ giác ABCD Chứng minh GA⊥ GD ⇔ AD = M N, M, N theo thứ tự trung điểm AD, BC Lời giải: Gọi w tọa độ điểm W mặt phẳng phức Do G (g) a+b+c+d trọng tâm tứ giác ABCD nên g = Ta có GA⊥ GD ⇔ (a − g) (d − g) = a+b+c+d a+b+c+d d− ⇔ a− 4 ⇔ (3a − b − c − d) (3d − b − c − a) = =0 ⇔ (a − b − c + d + (a − d)) (a − b − c + d − (a − d)) = ⇔ (a + d − b − c) (a + d − b − c) = (a − d) (a − d) a+d b+c ⇔ − = |a − d|2 ⇔ M N = AD 2 Bài toán 16 Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB + CD2 = AD2 + BC Khi AC⊥BD Lời giải: Sử dụng tính chất tích thực số phức ta có AB + CD2 = AD2 + BC ; (b − a) (b − a) + (d − c) (d − c) = (c − b) (c − b) + (a − d) (a − d) ⇔ a.b + c.d = b.c + d.a ⇔ (c − a) (d − b) = Tương đương với AC⊥BD điều phải chứng minh 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 40 of 52 39 Bài toán 17 Cho M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A luc giác Chứng minh RN = M Q2 + P S M Q⊥P S Lời giải: Gọi a, b, c, d, e, f tọa độ đỉnh lục giác Các điểm M, N, P, Q, R, S có tọa độ a+b b+c c+d m= , n= , p= , 2 d+e e+f f +a q= , r= , s= 2 Sử dụng tính chất tích thực số phức ta có (e + f − b − c) (+f − b − c) = (d + e − a − b) (d + e − a − b) + (f + a − c − d) (f + a − c − d) hay (d + e − a − b) (f + a − c − d) = Vì M Q⊥P S , đpcm 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 41 of 52 40 Chương Hình học giải tích số phức 3.1 Phương trình đường thẳng Mệnh đề 3.1.1 Phương trình đường thẳng mặt phẳng phức α.z + αz + β = với α ∈ C ∗ , β ∈ R v z = x + yi ∈ C Chứng minh: Phương trình đường thẳng hệ tọa độ Đề Ax + By + C = Với A, B, C ∈ R v A2 + B = Vì z=x+yi nên z+z z−z x= y = , 2i z+z z−z − Bi +C =0 2 A + Bi A − Bi +z + C = ⇔ z 2 A A − Bi ∈ C v β = C ∈ R ta có α.z + αz + β = đpcm Nếu α = α B = ta có đường thẳng đứng Nếu α = α ta định nghĩa hệ số góc đường thẳng sau Đặt α = m=− A α+α α+α = = i α−α B α−α i Mệnh đề 3.1.2 Cho hai đường thẳng d1 v d2 có phương trình α1 z + α1 z + β1 = α2 z + α2 z + β2 = 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 42 of 52 41 Chứng minh đường thẳng d1 v d2 α1 α2 = ; α1 α2 α1 α2 + = 0; 2) Vng góc α1 α2 α1 α2 3) Cắt = α1 α2 Chứng minh: Ta có d1 v d2 song song m1 = m2 α1 + α1 α2 + α2 α1 α2 i= i α2 α1 = α1 α2 ta có = α1 − α1 α2 − α2 α1 α2 Ta có d1 v d2 vng góc m1 m2 = −1 α1 α2 α2 α1 + α1 α2 = ⇔ + = α1 α2 Đường thẳng d1 v d2 cắt m1 = m2 α1 α2 = α2 α1 = α1 α2 hay α1 α2 α Tỉ số md = − gọi hệ số góc phức đường thẳng α α.z + αz + β = 1) Song song 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm Mệnh đề 3.2.1 Phương trình đường thẳng xác định hai z1 z1 z điểm P1 (z1 ) , P2 (z2 ) z2 = z z Chứng minh: Phương trình đường thẳng hệ tọa độ Đề Các xác định hai điểm P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y2 ) x y2 x2 y2 = x y Sử dụng số phức ta có 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 43 of 52 42 z1 + z1 z1 − z1 2i z2 + z2 z2 − z2 =0 2i z−z z+z 2i z1 z1 1 = ⇒ z2 z2 = z z 1 z1 + z1 z1 − z1 z2 + z2 z2 − z2 4i z + z z − z Chú ý: 1) Ba điểm M1 (z1 ) , M2 (z2 ) , M3 (z3 ) thẳng hàng ⇔ z1 z1 z2 z2 = z3 z3 2) Hệ số góc phức đường thẳng xác định hai điểm có tọa z2 − z1 độ z1 v z2 m = z2 − z1 Thật z1 z1 z2 z2 = ⇔ z1 z2 + z2 z + zz1 − zz2 − z1 z − z2 z1 = z z ⇔ z (z2 − z1 ) − z (z2 − z1 ) + z1 z2 − z2 z1 = z2 − z1 Sử dụng định nghĩa hệ số góc phức ta có m = z2 − z1 3.3 Phương trình đường thẳng xác định điểm phương Mệnh đề 3.3.1 Cho đường thẳng d :αz + αz + β = điểm P0 (z0 ) Phương trình đường thẳng qua P0 (z0 ) song song với d α z − z0 = − (z − z0 ) α Chứng minh: Sử dụng hệ tọa độ đề các, đường thẳng song song với d α+α qua P0 (z0 ) có phương trình y − y0 = i (x − x0 ) α−α 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 44 of 52 43 Sử dụng số phức phương trình có dạng z − z z0 − z0 α + α z + z z0 + z0 − =i − 2i 2i α−α 2 ⇔ (α − α) (z − z0 − z + z0 ) = (α + α) (z + z − z0 − z0 ) ⇔ α (z − z0 ) = −α (z − z0 ) α ⇔ z − z0 = − (z − z0 ) α Mệnh đề 3.3.2 Cho đường thẳng d: αz + αz + β = điểm P0 (z0 ) Phương trình đường thẳng qua P0 (z0 ) vng góc với d α z − z0 = (z − z0 ) α Chứng minh: Sử dụng hệ tọa độ Đề Các, đường thẳng qua P0 (z0 ) 1α +α vng góc với d có phương trình y − y0 = − (x − x0 ) iα−α Khi ta có α + α z + z z0 + z0 z − z z0 − z0 − =− − 2i 2i iα−α 2 ⇔ (α + α) (z − z0 − z + z0 ) = − (α − α) (z − z0 + z − z0 ) ⇔ α (z − z0 ) = α (z − z0 ) α ⇔ z − z0 = (z − z0 ) α 3.4 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng Mệnh đề 3.4.1 Cho điểm P0 (z0 ), đường thẳng d: αz + αz + β = Tọa αz0 − αz0 − β độ hình chiếu điểm P0 (z0 ) lên đường thẳng d là: z = 2α Chứng minh: Tọa độ z nghiệm hệ α.z + α.z + β = α (z − z0 ) = α (z − z0 ) 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 45 of 52 44 −αz − β 2α Thế vào phương trình hai thu αz − αz0 = −α.z − β − α.z0 Vì αz0 − αz0 − β z= đpcm 2α Phương trình đầu cho ta z = 3.5 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng Mệnh đề 3.5.1 Khoảng cách từ điểm P0 (z0 ) tới đường thẳng d: αz + αz + β = , α ∈ C∗ D= |αz0 + αz0 + β| √ α.α Chứng minh: Sử dụng lại kết ta có αz0 − αz0 − β −αz0 − αz0 − β − z0 = 2α 2α |αz0 + αz0 + β| |αz0 + αz0 + β| √ = = |α| α.α D= 3.6 Đường trịn Mệnh đề 3.6.1 Phương trình đường tròn mặt phẳng z.z + α.z + α.z + β = Với α ∈ C v β ∈ R Chứng minh: Phương trình đường tròn mặt phẳng tọa độ Đề Các m2 + n2 2 x + y + mx + ny + p = với m, n, p ∈ R, p < z+z z−z z+z z−z Đặt x = , y= ta có |z|2 + m +n + p = 2i 2i m − ni m + ni Hay z.z + z +z + p = 2 m − ni Đặt α = ∈ C, β = p ∈ R thay vào phương trình ta có điều 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 52 45 phải chứng minh √ m2 n2 Chú ý bán kính đường tròn r = + − p = αα − β 4 Khi phương trình viết thành (z + α) (z + α) = r2 m n Đặt γ = −α = − − i, phương trình đường trịn tâm γ bán kính r 2 (z − γ) (z − γ) = r2 Bài toán 18 Cho z1 , z2 , z3 tọa độ đỉnh tam giác ABC Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1 z1 z2 z3 |z1 |2 |z2 |2 |z3 |2 zO = (1) 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Lời giải: Phương trình đường thẳng qua P (z0 ) vng góc với đường thẳng A1 A2 viết dạng z (z1 − z2 ) + z (z1 − z2 ) = z0 (z1 − z2 ) + z0 (z1 − z2 ) Áp dụng công thức cho trung điểm đoạn thẳng [A2 A3 ] , [A3 A1 ] cho đường thẳng A2 A3 , A3 A1 ta có phương trình z (z2 − z3 ) + z (z2 − z3 ) = |z2 |2 − |z3 |2 z (z3 − z1 ) + z (z3 − z1 ) = |z3 |2 − |z1 |2 Bằng cách khử z từ hai phương trình ta z [(z2 − z3 ) + (z3 − z1 ) (z2 − z3 )] = (z1 − z3 ) |z2 |2 − |z3 |2 + (z2 − z3 ) |z3 |2 − |z1 |2 Vì 1 1 1 z z z z z1 z2 z3 = 2 z1 z2 z3 |z1 | |z2 | |z3 | Và khẳng định chứng minh Chú ý: Ta viết công thức dạng zO = z1 z1 (z2 − z3 ) + z2 z2 (z3 − z1 ) + z3 z3 (z1 − z2 ) (2) 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 52 46 3.7 Phương tích điểm đường trịn Mệnh đề 3.7.1 Cho điểm P0 (z0 ) đường trịn có phương trình z.z + α.z + α.z + β = với α ∈ C v β ∈ R Phương tích điểm P0 với đường tròn ρ (z0 ) = z0 z0 + α.z0 + α.z0 + β Chứng minh: Lấy O (−α) tâm đường trịn Phương tích điểm P0 đường trịn có bán kính r định nghĩa ρ (z0 ) = OP02 − r2 Trong trường hợp ta có ρ (z0 ) = OP02 − r2 = |z0 + α|2 − r2 = z0 z0 + α.z0 + α.z0 + αα − αα + β = z0 z0 + α.z0 + α.z0 + β Khẳng định chứng minh Hai đường trịn có phương trình z.z + α1 z + α1 z + β1 = v z.z + α2 z + α2 z + β2 = Với α1 , α2 ∈ C, β1 , β2 ∈ R Trục đẳng phương chúng quỹ tích điểm có phương tích với đường tròn Nếu P(z) điểm thuộc quỹ tích z.z + α1 z + α1 z + β1 = z.z + α2 z + α2 z + β2 ⇔ (α1 − α2 ) z + (α1 − α2 ) z + β1 − β2 = Đây phương trình đường thẳng 3.8 Góc hai đường trịn Góc hai đường trịn có phương trình 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 52 47 z.z + α1 z + α1 z + β1 = v z.z + α2 z + α2 z + β2 = với α1 , α2 ∈ C , β1 , β2 ∈ R góc tiếp tuyến điểm chung đường tròn Mệnh đề 3.8.1 Góc hai đường trịn tính theo công thức sau β1 + β2 − (α1 α2 + α1 α2 ) 2r1 r2 cosθ = Chứng minh: Gọi T điểm chung O1 (−α1 ) , O2 (−α2 ) tọa độ tâm đường tròn Góc θ O1 TO2 π − O1 TO2 , r12 + r22 − O1 O22 cosθ = cosO1 TO2 = 2r1 r2 α1 α1 − β1 + α2 α2 − β2 − |α1 − α2 |2 = 2r1 r2 |α1 α1 − β1 + α2 α2 − β2 − α1 α1 − α2 α2 + α1 α2 + α1 α2 | = 2r1 r2 |β1 + β2 − (α1 α2 + α1 α2 )| = 2r1 r2 đpcm Chú ý hai đường trịn vng góc β1 +β2 = α1 α2 +α1 α2 Bài toán 19 Cho a,b,c số thực cho |b| 2a2 Chứng minh tập hợp điểm với tọa độ z thỏa mãn z − a2 = |2az + b| hai đường trịn vng góc với Lời giải: z − a2 = |2az + b| ⇔ z − a2 ⇔ z − a2 = |2az + b|2 z − a2 = (2az + b) (2az + b) Ta viết lại hệ thức sau 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 52 48 |z|4 − a2 z + z + a4 = 4a2 |z|2 + 2ab (z + z) + b2 ⇔ |z|4 − a2 (z + z)2 − 2|z|2 + a4 = 4a2 |z|2 + 2ab (z + z) + b2 ⇔ |z|4 − −2a2 |z|2 + a4 = a2 (z + z)2 + 2ab (z + z) + b2 ⇔ |z|2 − a2 = (a (z + z) + b)2 Từ ta có z.z − a2 = a (z + z) + b z.z − a2 = −a (z + z) − b Đẳng thức tương đương với (z − a) (z − a) = 2a2 + b (z + a) (z + a) = 2a2 − b Như |z − a|2 = 2a2 + b |z + a|2 = 2a2 − b (1) |b| 2a2 nên √ 2a2 + b 2a2 − b nên hệ thức (1) trở thành |z − a| = 2a2 + b √ |z + a| = 2a2 − b Do đó, điểm có tọa độ z thỏa mãn hệ thức z − a2 = |2az + b| nằm hai đường tròn tâm C1 v C2 , tọa độ tâm chúng a –a, bán √ √ kính R1 = 2a2 + b R2 = 2a2 − b 2 √ √ Hơn C1 C22 = 4a2 = 2a2 + b + 2a2 − b = R12 + R22 nên hai đường trịn trực giao với Bài tốn 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω Gọi A1 trung điểm cạnh BC A2 hình chiếu A1 tiếp tuyến ω A điểm B1 , B2 , C1 , C2 xác định cách tương tự Chứng minh đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy Hãy xác định vị trí điểm đồng quy Lời giải: Khơng tính tổng qt, coi ω đường tròn đơn vị Gọi w tọa độ điểm W mặt phẳng phức b+c Ta có a1 = đường thẳng A1 A2 đường thẳng qua A1 (a1 ), song b+c b+c song với OA, A1 A2 có phương trình az − az = a − a 2 Do aa = nên phương trình viết lại dạng z − a2 z = hay z − a2 z = b+c b+c − a2 2 a+b+c a+b+c − a2 2 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 50 of 52 49 a+b+c A1 A2 qua N Tương tự có B1 B2 , C1 C2 qua N đpcm Một số tập Bài1 Cho ABCD hình vng cố định.Xét tất hình vng PQRS cho P,Q nằm hai cạnh khác Q nằm đường chéo hình vng ABCD Tìm tất vị trí S Bài Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E,F,G,H theo thứ tự tâm hình vng với cạnh AB,BC,CD,DA dựng phía ngồi tứ giác Chứng minh a) Trung điểm đường chéo hai tứ giác ABCD,EFGH đỉnh hình vng b) EF GH vng góc Bài Trên đường trịn ω cho trước hai điểm A,B cố định điểm M di động ω Trên tia MA lấy điểm P cho MP=MB Tìm quỹ tích điểm P Bài Trên cạnh AB,BC,CA tam giác ABC ,dựng phía ngồi ba tam giác đồng dạng ABC1 , A1 BC, AB1 C Chứng minh hai tam giác ABC, A1 B1 C1 có trọng tâm Hỏi kết luận tốn cịn khơng tam giác ABC1 , A1 BC, AB1 C dựng vào phía tam giác ABC? Bài Các cạnh AB,BC,CA tam giác ABC chia thành ba đoạn điểm M,N,P,Q R ,S Về phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác MND,PQE,RSF Chứng minh DEF tam giác Bài Về phía ngồi tam giác ABC dựng hình vng ABEF ADGH có tâm O Q M trung điểm đoạn BD Chứng minh OMQ tam giác vuông cân M Bài Cho ABC ba đỉnh liên tiếp n giác đều, M điểm nằm đường tròn ngoại tiếp n-giác cho B M nằm khác phía AC Chứng minh π M B + M C = 2M B cos n Gọi N tâm đường tròn Euler tam giác, n = 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 51 of 52 50 Kết luận Luận văn trình bày số ứng dụng số phức việc giải tồn tốn hình học sơ cấp Các kết luận văn gồm có: • Trình bày định nghĩa số phức dạng biiểu diễn số phức, phép toán tập số phức (Mệnh đề 1.2.1) Biểu diễn đại số số phức, (Mệnh đề 1.2.2) Số phức liên hợp,(Mệnh đề 1.2.3) Modul, (Định lí 1.4.1) Căn bậc n đơn vị Từ (Mệnh đề 1.4.2) đến (Mệnh đề 1.4.5) Nghiệm phương trình Z n − = • Trình bày dạng biểu diễn hình học số phức ý nghĩa chúng Từ (Đinh lí 2.1.1) đến (Định lí 2.1.3) mệnh đề tương đương, mệnh đề điều kiện thẳng hàng, tọa độ trọng tâm • Trình bày kết số phức hình học giải tích (Mệnh đề 3.1.1) Phương trình đường thẳng, (Mệnh đề 3.1.2) Quan hệ hai đường thẳng,(Mệnh đề 3.2.1) Phương trình đường thẳng qua hai điểm,(Mệnh đề 3.3.1 Mệnh đề 3.3.2) Đường thẳng song song vng góc,(Mệnh đề 3.4.1) Tọa độ hình chiếu, (Mệnh đề 3.5.1) Khoảng cách, (Mệnh đề 3.6.1) Phương trình đường trịn, (Mệnh đề 3.7.1) Phương tích điểm với đường tròn, (Mệnh đề 3.8.1) Góc hai đường trịn Hướng nghiên cứu luận văn tiếp tục tìm hiểu khái niệm có liên quan chặt chẽ hình học số phức, ngồi nghiên cứu thêm ví dụ việc ứng dụng số phức giải đa giác, tốn tơ màu 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 52 51 Tài liệu tham khảo [1] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complexnumbes from A to Z , Birkhauser, 2006 [2] Đoàn Quỳnh , Số phức với Hình học phẳng, Nhà xuất giáo dục, 1998 [3] Nguyễn Huy Đoan, Giải tích 12, Nhà xuất giáo dục, 2008 [4] Bêchanu, Internatoonal Mathematical Olympiads 1959 2000 Proplem Solution Results, Acdemic Distri Center, Free, USA, 2001 [5] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lí thuyết hàm biến phức, Nhà xuất đại học quốc gia Hà nội, 2007 [6] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ năm 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trình bày số ứng dụng số phức việc nghiên cứu giải số tốn hình học sơ cấp Cũng nội dung đề tài gồm kiến thức số phức, số kiến thức hình học số ứng dụng số phức việc nghiên cứu số toán hình học sơ... đại số số phức 1.3 Ý nghĩa hình học số phức modun 1.3.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.3.2 Ý nghĩa hình học modun 1.3.3 Ý nghĩa hình học phép toán đại số ... có số phức z = x − yi, số phức gọi số phức liên hợp số phức liên hợp số phức z Mệnh đề 1.2.2 1) Hệ thức z = z z ∈ R; 2) Mỗi số phức z ta ln có đẳng thức z = z; 3) Mỗi số phức z ta ln có z.z số