Phương pháp hàm sinh trong việc giải các bài toán tổ hợp

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN Tổ HỘP LUẬN VĂN THẠC sĩ TỐN HỌC Bình Định - 2020 PHAN THỊ HẠNH Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN Tổ HỘP Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn : PGS.TSKH HUỲNH VĂN NGÃI Mục lục Tài liệu tham khảo 78 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Phương pháp hàm sinh việc giải tốn tổ hợp cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi, nội dung không chép chưa công bố hình thức nào, kết khơng phải riêng tơi trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 05 tháng 08 năm 2020 Sinh viên thực Phan Thị Hạnh Lời cảm ơn Luận văn với đề tài “Phương pháp hàm sinh việc giải tốn tổ hợp” thực hồn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người tận tình dạy, giúp đỡ truyền đạt kiến thức suốt thời gian nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn quý Thầy, Cô giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp Khóa 21 tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè động viên giúp tơi hồn thành tốt luận văn Mặc dù luận văn thực với cố gắng thân điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhủng thiếu sót Tơi mong nhận nhủng góp ý q Thầy, Cơ để luận văn hoàn thiện Mở đầu Lý thuyết tổ hợp đóng vai trị quan trọng Tốn học Phổ thơng, kì thi học sinh giỏi Toán Olympic năm Việc giải toán tổ hợp cần có tư tốn học cao giải theo nhiều phương pháp khác Mỗi phương pháp có lợi nét đặc sắc riêng Một phương pháp hữu hiệu để giải tốn tổ hợp phương pháp hàm sinh Phương pháp hàm sinh vừa đại nhanh chóng, khơng ứng dụng nhiều tốn rời rạc Ngồi ra, hàm sinh áp dụng cho toán đếm, hàm sinh cho hệ số nhị thức suy từ định lý nhị thức, tìm cơng thức tường minh từ cơng thức truy hồi dãy số hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp Nhờ sử dụng phương pháp hàm sinh áp dụng chuỗi Maclaurin, toán giải cách nhanh chóng, đơn giản không phức tạp cách giải cổ điển Xuất phát từ nội dung trình bày mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ “Phương pháp hàm sinh việc giải tốn tổ hợp” Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu phương pháp hàm sinh lý thuyết tổ hợp Hơn nữa, hàm sinh công cụ hữu hiệu quan trọng Tổ hợp Đồng thời, nghiên cứu số ứng dụng phương pháp hàm sinh việc đưa lời giải cho số vấn đề tổ hợp Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị bao gồm số định nghĩa, định lý, mệnh đề, bổ đề, hệ quả, liên quan đến số tổ hợp nguyên lý tổ hợp đếm để bổ trợ cho nội dung trình bày chương chương Chương Hàm sinh tính chất Trong chương này, giới thiệu ba dạng hàm sinh hàm sinh chuỗi lũy thừa hình thức, hàm sinh dạng mũ hàm sinh dạng đa thức, tính chất hàm sinh tích hợp ba loại hàm sinh Chương Tìm hiểu hệ thống ứng dụng hàm sinh giải số dạng toán tổ hợp Chương gồm số tập, ví dụ sử dụng phương pháp hàm sinh để giải dạng tốn sau ứng dụng hàm sinh tìm công thức tường minh dãy số truy hồi ứng dụng hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp ứng dụng hàm sinh toán số học tổ hợp ứng dụng hàm sinh để đếm toán tổ hợp Chương Một sô kiên thức chuân bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết chuẩn bị cho chương sau luận văn Toàn kiến thức chương tham khảo trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [7] 1.1 Các nguyên lý tổ hợp đếm 1.1.1Nguyên lý cộng Định nghĩa 1.1.1 (Nguyên lý cộng) Giả sử có n cơng việc T 1, T2, , Tn, T1 cố a1 cách thực hiện, T2 cố a2 cách thực hiện, , Tn có an cách thực Giả sử khơng có hai cơng việc làm đồng thời Khi đó, số cách để làm k công việc + a + • • • + an Nguyên lý cộng phát biểu theo ngôn ngủ tập hợp sau: Cho S tập hợp Giả sử {A1, A 2, , An} phân hoạch S, tức S = u A i Ai n Aj = 0, Vi = j, < i,j < n Khi đó, i=i |S = |A1| + |A2| + • • • + |Anh |S| gọi số phần tử tập S ĐỊnh lý 1.1.1 Cho tập S với |S| = n số tất tập S gồm tập rỗng 2n Ví dụ 1.1.1 [PEA Math Materials, by Richard Parris] Trước đây, Rick mở tủ đồ tập gym mình, phải nhớ tổ hợp sau Hai số số dãy ba số hạng 17 24, quên số thứ ba thứ tự số Có 40 khả xảy với số thứ ba Hỏi mười giây lần thử, tối đa thử hết khả để mở cửa tủ? Lời giải Xét tập hợp xảy tổ hợp Khi đó, A1 = {(x, 17,24)|1 < x < 40} , A2 = {(x, 24,17)|1 < x < 40} , A3 = {(17, x, 24) |1 < x < 40} , A4 = {(24, x, 17)|1 < x < 40} , A5 = {(17, 24,x)|1 < x < 40} , A6 = {(24,17,x)|1 < x < 40} Dễ thấy, tập có 40 phần tử Áp dụng nguyên lý cộng, ta có 40.6 = 240 tổ hợp để thử tối đa cần 40 phút để thử hết Tuy nhiên, việc quan trọng dễ bị bỏ qua áp dụng nguyên lý cộng tập A i phân hoạch, tức AiAj = với i = j, < i, j < Trong vấn đề này, tổ hợp (17,17, 24) thuộc hai tập A A3 Tương tự, 10 hợp (17, 24,17), (24,17,17), (17, 24, 24), (24,17, 24), (24, 24,17) thuộc hai tập tập đếm hai lần Do đó, ta có 240 — = 234 tổ hợp để thử câu trả lời 39 phút 1.1.2 Nguyên lý nhân Định nghĩa 1.1.2 (Nguyên lý nhân) Giả sử để hồn thành cơng việc H cần thực n công việc nhỏ H1, H2, , Hn, 11'oiig Ht có a1 cách thực hiện, H2 có a2 cách thực sau hồn thành cơng việc H1? , Hn cóan cách thực sau hồn thành cơng việc Hn Khi đó, tổng số cách thực cơng việc H • a2 • • • an Nguyên lý nhân phát biểu theo ngôn ngữ tập hợp sau: S = Si X S2 X • • • X Sn = {(si, S2, , Sn) |Si G Si, < i < n} , |S | = |S1|.|S2| |Sn| Ví dụ 1.1.2 [AIME 1988] Tính xác suất để ước số dương chọn ngẫu nhiên 10 99 bội 1088 Lời giải Xét thừa số nguyên tố 10 99 299 • 599 Các ước dương 10 99 có dạng 2a • 5b, a b số nguyên dương với < a, b < 99 Vì có 100 cách chọn với a b nên 1099 có 100 • 100 ước số ngun dương Trong số này, bội số 10 88 = 288 • 588 phải thỏa mãn điều kiện 88 < a, b < 99 Do đó, có 12 cách chọn cho a b, tức có 12 • 12 số 100 • 100 ước 1099 Vậy xác suất cần tính 12 • 12 100 • 100 625' bội 1088 Ví dụ 1.1.3 Xác định số cặp số nguyên dương (a,b) theo thứ tự cho BCNN (a,b) = 23.57.1113 Lời giải Cả a b thừa số 3.57.1113 Vì vậy, a = 2x.5y.11z b = 2s.5t.11u, với số số ngun khơng âm x, y, z, s, t, u Vì 23.57.1113 bội chung nhỏ chúng nên max (x, s) = 3, max (y, t) = max(z,u) = 13 Do (x,s) (0, 3), (1, 3), (2,3), (3, 3), (3, 2), (3,1) (3,0) Vậy ta có c^h chọn (x, s) Tương tự, ta có 15 27 cách chọn (y,t) (z,u) Áp dụng nguyên lý nhân, ta có 7.15.27 = 2835 cặp số nguyên dương (a,b) theo thứ tự với BCNN (a,b) = 23.57.1113 Ta sử dụng phép nhân nhiều lời giải trước Ví dụ: Xác định số cặp số (y,t) n0 dx\ dx (1 — x)2J Ta có x(1 + x) _ -,2 , o2 I o2 I (1 — x)3 — x + x + x + ••• Nhân hai vế đẳng thức cuối với 2, ta có G(x) — 2x(1 +x) — 2.12 x + 2.22x2 + 2.32 x3 + • • • (1 — x)3 Vậy hệ số xn G(c) an — 2n2 Ta cần tính tổng hệ số a0 + a1 + a2 + • • • + an Ta có Gx) — 2x(x + 1) — 2x(1 - x)-4 + 2x2(1 — x)-4 — x (1 — x)4 Hệ số xn khai triển 2x(1 — x)-4 hệ số xn-1 khai triển 2(1 — x)-4 Hệ số xn khai triển 2x2(1 — x)-4 hệ số xn-2 khai triển 2(1 — x)-4 Do đó, tổngS—2cn—-1i)+4-1+2Cn——2)+4—1— 2C -+2Cn+i2 — 2Cn+2+2Cn+i- Ví dụ 3.3.9 [PTNK 2009] Tìm số tất số có n chữ số lập từ chữ số 3,4,5,6 cilia hết cho Lời giải Một số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Mỗi chữ số 3,4,5,6 Xét hàm sinh G(x) = (x + x + x + x) = ao + aix + a2X + • • • + a6"X Gọi số tất số có n chữ số lập từ chữ số 3,4,5,6 chia hết cho S" Khi đó, S" tổng hệ số số mũ chia hết cho Gọi £ = elà bậc ba nguyên thủy phuơng trình x3 = 1, ta có ố2+e+1 = Khi đó, G(1) + G(È)G(É2 ) = 3ao + (1 + £ + s2)ai + (1 + £ + S2)a2 + 3a3 + • • • = 3(ao + a3 + a6 + • • •) = 3S" Vậy S" = i(G(1) + G(e)G(?)) = 1[(1 + + + 1)" + c2 + + f + 1)" + (£ + + f2 + 1)"] = 3(4" + 2) 3.3.2 Một số tập tự giải Các tập duới tuơng tự ví dụ có lời giải nên dành cho nguời đọc tự giải Tìm hàm sinh cho số nghiệm x1 + x2 + x3 + x4 = 14 biết < x1 < 3, < X2 < 5,0 < X3 < 5,4 < X4 < Tìm hàm sinh cho số nghiệm x + x2 + x3 + x4 = k,bìết < x1 < TO, < X2 < TO, < X3 < 5,1 < X4 < Tìm hàm sinh cho số nghiệm ngun khơng âm 3x + 2y + 7z = n Hướng giải Hàm sinh 3x + 2y + 7z = n (1 + x3 + x6 + -+ x3m)(1 + x2 + x4 + -+ x2m )(1 + x7 + x14 + + x7m) Cho p số nguyên tố Tìm số tập T tập {1,2, ,p} cho tổng phần tử T chia hết cho p Hướng giải Xét hàm sinh G(x) = (1 + x)(1 + x 2)(1 + x3) • • • (1 + xp) Giả sử khai triển G(x) V anxn Ta cần tính tổng hệ số có số mũ chia hết cho p, tức cần tính aQ + ap + • • • Cho A1, A2, • • • , B1,B2, • • • tập cho A1 = 0, B1 = {0}, An+1 = {x + 1|x G Bn} Bn+1 = An u Bn/An n Bn, với số nguyên dương n Tìm tất n cho Bn = {0} 3.4 ứng dụng hàm sinh để đếm toán tổ hợp 3.4.1Một số tập có lời giải Ví dụ 3.4.1 Cho n số nguyên dương với n > Với n học sinh có chiều cao khác Hỏi có cách để n học sinh xếp hàng liên tiếp cho chiều cao học sinh (không thiết phải đứng cạnh nhau), từ trái sang phải, không theo thứ tự trung bình, cao, thấp? Lời giải Gọi an số cách xếp hàng thỏa mãn điều kiện tốn cho dãy {a«}n>0 = (ao, a1, a2, ), với ao = 1,a1 = a2 = Ta chứng minh a n = aoan-1 + a1an-2 + • • • + an-1aQ • Gọi G(x) hàm sinh dãy {a n}n>Q Chú ý vế phải đồng thức ỵ2k Q akan-k, nghĩa hệ số xn-1 (G(x))2 Nói cách khác, với n > 1, hệ số x n-1 (G(x))2 với hệ số số hạng xn G(x) Do đó, chuỗi x(G(x))2 khớp với chuỗi G(x) ngoại trừ số khơng đổi Ta có x(G(x))2 = G(x) — Giải phương trình dạng bậc hai theo G(x), ta ±ựĩ—47 2x G(x) = Tiếp theo ta khai triển ỵ/1 — 4x chuỗi lũy thừa Cho f (x) = ỵ/1 — 4x Khi đó, f/( ) x = —2(1 — 4x) -, f //(x) = —22(1 — 4x) T3, f (3)(x) = —23.3(1 — 4x) , f (4)(x) = —24.3.5(1 — 4x) ■, f(n)(x) = , , — (2n —1) —2n 3.5 • • • (2n — 3)(1 — 4x) (2n — 2)! —(2n—1) 2.4 (2n — 2) 2(2n — 2)> , —(2n—1) — 3,f (n)(x) đạo hàm thứ n f (x) Do đó, chuỗi Maclaurin với /1 — 4x 'V f n(0) xn = _ 'V 2(2n — 2)! xn 2-/ n! (n — 1)!.n! n=0 n=1 Suy kết “2 = —E n Cn Vn=1 1 “ ± / I — 4x =1 ±1 nC2n—2 n=1 Vì khơng âm nên /-1/ \ = G( ) 4x Z1 ^Zn=1 n Ccn-1 xn n 2n-2 27 =’ 2x “1 “ T E1 cn-1 xn-1 nC2n-2=X W n=1 cn xn nn=0 +1 C2nx , Vậy n n=1+1 „ I 1s~m C2n Ví dụ 3.4.2 Gọi an số cách để trả n USD cách sử dụng hóa đơn 10 USD, hóa đơn a USD hóa đơn USD Tìm hàm sinh chuỗi lũy thừa hình thức A(x) = ^2n>0 anXn Lời giải Gọi f (n) số cách trả n USD hóa đơn 10 USD Khi đó, f (n) = n chia hết cho 10 f (n) = n khơng chia hết cho 10 Do đó, F(x) = fnXn = + x10 + x20 + n> x10’ Tuơng tự, gọi g(n) số cách trả n USD hóa đơn USD Khi g(n) = n chia hết cho g(n) = n không chia hết cho Do đó, ^3 gnxn = + x5 + x10 + • • • n> G(x) 1— x5 Cuối cùng, gọi h(n) số cách trả n USD hóa đơn USD, rõ ràng h(n) = 1, Vn > Khi đó, H (x) = ^2 hnxn = + x + x2 + • • • n>0 Do đó, F(x) = (1 - x10)(1- x5)(1 - x) = (1 + x10 + x20 + • • • )(1 + x5 + x10 + • • • )(1 + x + x2 + • • • ) Tìm hệ số x53 vế phải Để có đuợc số hạng có số mũ 53 ta chọn số hạng ba tổng cho tổng số mũ chúng 53 Điều có nghĩa là, số mũ chia hết cho 10, số chia cho số mũ cuối 30 + 20 + Tuy nhiên, điều cung cấp cách để trả 53 USD hóa đơn hóa đơn 10 USD (để trả 30 USD), hóa đơn USD (để trả 20 USD) hóa đơn USD (để trả USD) Bằng cách này, ta thiết lập yêu cầu rõ ràng cách để trả n USD cách chọn số hạng từ ba dấu ngoặc đơn để tích chúng xn Vậy hệ số xn vế phải (chính số cách ta chọn từ ba số hạng nhu vậy) a n Vì vậy, ta chứng minh đuợc A(x) = F(x)G(x)H(x) = (1 - x10)(1 - x5)(1 - x) Ví dụ 3.4.3 (Số Catalan) Cây nhị phân có gốc loại sơ đồ đặc biệt được, quan tâm số lĩnh vực khoa học máy tính Một nhị phân có gốc thể hình 3.1 Gốc đỉnh Các đỉnh bên đỉnh nối với đỉnh cạnh được, gọi c.on c.ủa đỉnh Nó nhị phân tất đỉnh có 0,1 Hỏi có nhị phân có gốc khác có n đỉnh? Lời giải Ký hiệu nhị phân có gốc có n đỉnh khác C n, gọi số Catalan Để thuận tiện, ta quy ước nhị phân khơng có đỉnh Co = Khi đó, dễ dàng thấy C1 = C2 = 2, C3 = Chú ý nhị phân c.ó gốc c.ó đỉnh c.ó thể được, nhìn hai c.ây nhị phân (c.ó thể khơng c.ó đỉnh) nối với thành c.ây cách đưa đỉnh gốc tạo c.on c.ủa gốc thành hai gốc c.ủa hai c.ây nhị phân trước.; xcm hình 3.2 (Làm C.11O c.ây khơng c.ó đỉnh trở thành c.on c.ủa đỉnh mới, C.11Ỉ đơn giản khơng làm c.ả, tức bỏ qua c.on tương ứng.) Do đó, để tạo tất nhị phân có n đỉnh, ta bắt đầu với đỉnh gốc sau hai đưa nhị phân có gốc ứng với k l đỉnh, với k + l = n — 1, với cách chọn nhỏ Khi đó, n—1 Cn = C C i n-i-1 i=0 Hình 3.2: Cây tạo từ nhỏ Ví dụ C0 = C1 = C2 = Suy C3 = C0C2 + C1C1 + C2C0 = • + • + • = Ta biết ứng với 0,1 đỉnh, ta kết hợp chúng cách để tạo ứng với đỉnh, hình 3.3 Chú ý hai khơng có bên trái, có đỉnh rỗng tương tự hai cuối khơng có Áp dụng hàm sinh để tìm cơng thức tường minh C n Gọi f ^2i=0 Cixi Xét f2, hệ số số hạng xn khai triển f2 Xa=0 CiCn-i tương ứng với tất cách nhân số hạng f để số hạng xn Co • Cnxn + Cix • Cn-ixn-1 + C2X2 • Cn-2Xn-2 + ••• + CnXn.Co Do f2 = ^n=0 Cn+ixn• Suy xf2 + = f xf2 — f + = 0, với x Ta có f =1 ± ự1 — 4x 2x với x = Khi x tiến tới - 4x tiến tới vô -y/ - 4x 2x 2x tiến tới Vì f (0) = C0 = nên f ta cần tìm Áp dụng định lý 1.2.5, ta có 4x = (1 + (-4x))2 = V cn(-4x)n n=0 \' Khi đó, -y/ - 4x 2x = V -1C (-4)nxn-1 ' 2 n=1 n Khai triển hệ số nhị thức o e n=0 n -4)n+1xn 22 cn+1, ta Cn = - Cĩ+1(-4)n+1 = n-+y CỊ„ 3.4.2 Một số tập tự giải Có cách đổi tờ 500 nghìn đồng thành tờ nghìn, nghìn, nghìn 10 nghìn? Hướng giải Bài toán cho quy đếm số nghiệm nguyên dương phương trình x1 + 2x2 + 5x3 + 10x4 = 500 Số nghiệm nguyên dương phương trình hệ số x500 khai triển hàm sinh G(x) = (1 + x + x2 + • • • )(1 + x2 + x4 + • • • )(1 + x5 + x10 + • • • )(1 + x10 + x20 + • • •) _1_1 (1 - x)(1 - x2)(1 - x5)(1 - x10) (1 + x)(1 + x5)(1 - x)2(1 - x5)2 Phân tích G(x) (1 + x)(1 + x5)(1 — x)2(1 — x5)2 _A7B,CDE F + 5+ 1+ x 1+ x — x +(1 — x)2 + — x5 + (1 — x5)2 Đồng thức hệ số, ta cần tìm A, B, C, D, E, F Vậy số cách đổi tờ 500 nghìn đồng hệ số x500 khai triển G(x) Có cách chọn 25 USD từ 30 người 29 người đầu, người đưa nhiều USD, người thứ 30 đưa USD USD khơng có USD nào? Hướng giải Hàm sinh cho số cách chọn nhiều USD từ 29 người A(x) = (1 + x)29 Hàm sinh cho số cách chọn USD USD khơng có USD người thứ 30 B(x) = + x + x5 Hàm sinh cho cách chọn 25 USD G(x) = A(x)B (x) = (1 + x)29(1 + x + x5) Ta cần tìm hệ số x25 khai triển G(x) số cách chọn 25 USD từ 30 người Kết luận Đóng góp luận văn Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết số nội dung sau Định nghĩa, tính chất bản, tích hợp hàm sinh lũy thừa hình thức Định nghĩa, tích hợp hàm sinh dạng mũ Định nghĩa, tính chất bản, tích hàm sinh dạng đa thức ứng dụng hàm sinh tìm cơng thức tường minh dãy số truy hồi ứng dụng hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp ứng dụng hàm sinh toán số học tổ hợp ứng dụng hàm sinh để đếm toán tổ hợp Tài liệu tham khảo [1] Titu Andreescu and Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates Counting Strategies, Birkhăuser Basel in 2004 [2] Peter J Cameron, Combinatorics - The art of counting, University of St Adrews, 2014 [3] Miklos Bona, A Walk Through Combinatorics, An Introduction to Enumeration and Graph Theory - World Scientific Publishing Company, 2006 [4] David Guichard, An Introduction to Combinatorics and Graph Theory, 2016 [5] Miklos Bona, Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall, CRC, 2015 [6] Hoàng Minh Quân, Sử dụng hàm sinh giải toán tổ hợp, Mathsope.org [7] Bài toán đếm toán tồn tổ hợp, Báo TOPICA, cử nhân trực tuyến, uy tín quốc tế ... riêng Một phương pháp hữu hiệu để giải tốn tổ hợp phương pháp hàm sinh Phương pháp hàm sinh vừa đại nhanh chóng, khơng ứng dụng nhiều tốn rời rạc Ngồi ra, hàm sinh áp dụng cho toán đếm, hàm sinh cho... luận văn thạc sĩ ? ?Phương pháp hàm sinh việc giải tốn tổ hợp? ?? Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu phương pháp hàm sinh lý thuyết tổ hợp Hơn nữa, hàm sinh công cụ hữu hiệu quan trọng Tổ hợp Đồng thời,... mũ hàm sinh dạng đa thức, tính chất hàm sinh tích hợp ba loại hàm sinh Chương Tìm hiểu hệ thống ứng dụng hàm sinh giải số dạng toán tổ hợp Chương gồm số tập, ví dụ sử dụng phương pháp hàm sinh