Ứng dụng của lý thuyết nhóm trong một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Mã số: Phương pháp Toán sơ cấp 60.46.40 Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lời cảm ơn KiÕn thøc chn bÞ vỊ lÝ thuyÕt nhãm 1.1 Nhãm, nhãm xylic vµ nhãm 1.2 Định lí Lagrange, đồng cÊu nhãm 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp 1.4 Công thức lớp Định lí Burnside 10 Mét sè øng dơng vµo sè häc 15 2.1 Mét sè ứng dụng đơn giản 15 2.2 Một số ứng dụng Định lí Lagrange Ưng dụng Công thức lớp Định lí Burnside 19 2.3 Ưng dụng vào tổ hợp 3.1 20 26 3.2 Nhóm đối xøng Ưng dụng vào tổ hợp 27 3.3 Mét sè vÝ dô minh häa 31 Tµi liƯu tham kh¶o 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 26 Lời cảm ơn Sau nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ với đề tài nghiên cứu Ưng dụng lý thuyết nhóm số toán sơ cấp đ đợc hoàn thành Những kết qủa ban đầu mà thu đợc nhờ hớng dẫn tận tình nghiêm khắc cô giáo PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành đề tài thời gian qua Đội ngũ cán thuộc phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin đ hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp cao học Khóa I với thái độ nhiệt tình, thân thiện Điều m i ấn tợng tốt đẹp lòng nhà Trờng Tôi tự hào trình học tập đ đợc Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí nhà toán học hàng đầu Việt nam lĩnh vực Phơng pháp toán sơ cấp giảng dạy cho nh GS Hà Huy Khoái, GS Nguyễn Minh Hà, GS Phan Huy Khải Và lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, ngời thân đ động viên, cổ vũ suốt qúa trình nghiên cøu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Lí thuyết nhóm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Đại số đại Lí thuyết có ứng dụng sâu sắc nhiều hớng khác toán học, vật lí Đặc biệt, số kĩ thuật lí thuyết nhóm đ đợc sử dụng để mang lại kết đẹp toán sơ cấp Chẳng hạn, tính giải đợc đa thức đ đợc giải trọn vẹn E Galois thông qua viƯc sư dơng c¸c kiÕn thøc cđa lÝ thut nhóm phối hợp cách tài tình với lí thuyết trờng đa thức Trong luận văn này, khai th¸c mét sè øng dơng cđa lÝ thut nhãm vào toán sơ cấp lĩnh vực: Số học Tổ hợp Công cụ chủ yếu lí thuyết nhóm đợc vận dụng Định lý Lagrange “CÊp vµ chØ sè cđa mét nhãm cđa mét nhóm hữu hạn ớc cấp toàn nhóm Định lý Burnside Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữu f (g), f (g) hạn X số quỹ đạo tác động (G : e) gG số phần tử X cố định qua tác động g Luận văn đợc trình bày chơng Chơng kiÕn thøc chn bÞ vỊ lý thut nhãm nh»m phơc vụ cho chơng sau, bao gồm khái niệm tính chất nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng tác động nhóm lên tập hợp Các kiến thức thuật ngữ Chơng I đợc tham khảo chủ yếu sách lý thut nhãm cđa J Rotman [Rot] vµ J F Humphreys [Hum] Chơng số ứng dụng vào số học Một số kết Tiết 2.1 2.2 tổng hợp lại theo chủ ®Ị nh÷ng øng dơng ® biÕt cđa lÝ thut nhãm sè häc (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn nhng có tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi hiểu biết (xem 2.1.1, 2.1.2) Tiết 2.3, đợc trình bày theo báo công bố năm 2005 T Evans B Holt [EH], chứng minh lại công thức số học cổ điển phơng pháp sử dụng công thức lớp Định lý Burnside lí thuyết nhóm Chơng cuối luận văn ứng dụng lý thuyết nhóm vào số toán tổ hợp Thực chất, có lí thuyết nhóm soi vào, toán tổ hợp đ bớt phức tạp hơn, cách giải không mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn Toán tổ hợp nữa, mà trở thành rõ ràng, hệ thèng vµ dƠ hiĨu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch−¬ng KiÕn thức chuẩn bị lí thuyết nhóm Mục đích chơng nhắc lại số kiến thức nhóm, định lí Lagrange, tác động nhóm lên tập hợp, công thức lớp Định lí Burnside Kiến thức cần thiết cho ứng dụng giải số toán sơ cấp đợc trình bày Chơng II Chơng III Các kiến thức thuật ngữ đợc tham khảo sách vỊ lÝ thut nhãm [Ash], [Rot] vµ [Hum] 1.1 Nhãm, nhóm xylic nhóm 1.1.1 Định nghĩa Nhóm tập G với phép toán thoả m n điều kiện (i) Phép toán có tính kết hỵp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G (ii) G có đơn vị: e G cho ex = xe = x, ∀x ∈ G (iii) Mäi phÇn tử G khả nghịch: Với x G, tån t¹i x−1 ∈ G cho xx−1 = x1 x = e Một nhóm G đợc gọi nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) phép toán giao hoán Nếu G có hữu hạn phần tử số phần tử G đợc gọi cấp G Nếu G có vô hạn phần tử ta nói G có cấp vô hạn ã Một số ví dơ vỊ nhãm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn - TËp Z số nguyên, tập Q số hữu tỷ, tËp R c¸c sè thùc, tËp C c¸c sè phøc với phép cộng thông thờng nhóm giao hoán cấp vô hạn - Tập S(X) song ánh từ tập X đến với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm đối xứng X Nếu X có n phần tử S(X) có cấp n! nhóm không giao hoán n - Với số tự nhiên m 1, tập Zm lớp thặng d theo môđun m với phép cộng lớp thặng d mét nhãm giao ho¸n cÊp m TËp Z∗m c¸c líp thặng d theo môđun m nguyên tố với m với phép nhân lớp thặng d nhóm giao hoán cấp (m), hàm Euler ã Một số tính chất sở: Cho G nhóm với đơn vị e Khi - Phần tử đơn vị G - Phần tử nghịch đảo phần tử G - Mọi phần tử G quy, tức thỏa m n luật giản ớc 1.1.2 Định nghĩa Tập H nhóm G đợc gọi nhóm G e H vµ a−1 ∈ H, ab ∈ H víi mäi a, b H 1.1.3 Định nghĩa Một nhóm G đợc gọi xyclic tồn a G cho phần tử G luỹ thừa a Trong trờng hợp G đợc gäi lµ nhãm xyclic sinh bëi a vµ viÕt G =< a > Chó ý r»ng nhãm cđa nhãm xyclic lµ xyclic Cho G lµ mét nhãm vµ a G Đặt < a >= {an | n Z} Khi < a > nhóm G, đợc gọi nhóm xyclic sinh a Cấp nhóm < a > đợc gọi cấp phần tử a Dễ thấy a có cấp vô hạn an = kÐo theo n = víi mäi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n Z Hơn nữa, a có cấp n n số nguyên dơng bé cho an = e 1.1.4 Định nghĩa Cho A lµ tËp cđa mét nhãm G Khi tồn nhóm G chứa A, chẳng hạn G Giao tất nhóm cđa G chøa A lµ nhãm nhá nhÊt cđa G chứa A Nhóm đợc gọi nhóm sinh bëi tËp A vµ kÝ hiƯu lµ < A > Râ rµng nhãm sinh bëi tËp rỗng {e} Nếu A = < A >= {a1 a2 an | n ∈ N, a1 , , an ∈ A ∪ A−1 }, ®ã A−1 = {x−1 | x A} 1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm 1.2.1 Định nghĩa Cho H nhóm nhóm G Ta định nghĩa quan hệ G nh− sau: a ∼ b nÕu vµ chØ nÕu ab−1 ∈ H víi mäi a, b ∈ G DƠ kiĨm tra đợc quan hệ tơng đơng tren G Với a G, gọi a lớp tơng đơng a Ta có a = {ha | h H} = Ha Mỗi lớp tơng đơng Ha đợc gọi lớp ghép trái H G Tập thơng G theo quan hệ tơng đơng đợc kí hiệu G/H Khi H có hữu hạn lớp ghép trái ta gọi số cđa H G, kÝ hiƯu lµ (G : H), số lớp ghép trái H 1.2.2 Định lý (Định lí Lagrange) Trong nhóm hữu hạn, cấp vµ chØ sè cđa mét nhãm lµ −íc cđa cấp toàn nhóm ã Sau số hệ trực tiếp Định lí Lagrange S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn - Cho G lµ nhãm cÊp n vµ a G Khi cấp a ớc n Hơn nữa, an = e - Mỗi nhóm cấp nguyên tố nhóm xylic sinh phần tử tùy ý khác đơn vị - Mọi nhóm cấp giao hoán 1.2.3 Định nghĩa Cho G nhóm Một nhóm H G đợc gọi nhóm chuẩn tắc Ha = aH víi mäi a ∈ G Cho H lµ nhãm chuẩn tắc nhóm G Kí hiệu G/H tËp c¸c líp ghÐp tr¸i cđa H G Khi quy tắc nhân HaHb = Hab với Ha, Hb G/H phép toán G/H, với phép toán này, G/H làm thành nhóm Nhóm G/H xác định nh đợc gọi nhóm thơng G theo nhóm chuẩn tắc H 1.2.4 Định nghĩa Cho G H nhóm Anh xạ f : G H đợc gọi ®ång cÊu nhãm nÕu f (xy) = f (x)f (y) víi mäi x, y ∈ G Mét ®ång cÊu nhãm đợc gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Hai nhóm G H đợc gọi đẳng cấu với nhau, viết G = H, có đẳng cấu G H ã Một số tính chất: - Hợp thành hai đồng cấu nhóm ®ång cÊu nhãm - NÕu f : G −→ H đồng cấu nhóm f (x1 ) = (f (x))−1 vµ f (e) = e víi mäi x ∈ G - Nếu f : G H đồng cÊu nhãm, A lµ nhãm cđa G vµ B nhóm H f (A) nhóm cđa H vµ f −1 (B) lµ nhãm G Hơn nữa, B nhóm chuẩn tắc f 1(B) nhóm chuẩn tắc S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 27 Ta quy ớc ánh xạ đồng e xích có độ dài với tập gồm phần tử tuỳ ý 3.1.3 Mệnh đề Mỗi phép s Sn viết đợc thành tích xích độc lập 3.1.4 Chú ý Cho s ∈ Sn Gi¶ sư s = s1 st phân tích s thành tích xích độc lập Nếu ta yêu cầu phân tÝch nµy cã tÝnh chÊt a1 < a2 < < at , phần tư bÐ nhÊt tËp nỊn cđa si víi mäi i = 1, , t, th× râ ràng phân tích nh s không kể đến nhân tử xích có độ dài ã Một số ví dụ - Các phần tử nhóm đối xứng S3 đợc biĨu diƠn nh− sau S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} - Trong nhãm ®èi xøng S8 , ta cã 12345678 87231456 3.2 = (18643275); 12345678 25671348 = (125)(36)(47) ´ ¦ng dơng vào tổ hợp Trớc trình bày ứng dụng vào tổ hợp, nghiên cứu nhóm nhị diện đa giác Xét đa giác n cạnh, tâm O đỉnh 1, 2, , n thứ tự ngợc chiều kim đồng hồ Kí hiệu Sn nhóm phép cđa tËp ®Ønh {1, 2, , n} Nhóm nhị diện D2n nhóm Sn sinh hai phần tử R T, R phép quay tâm O ngợc chiều kim đồng 3600 hồ với góc quay , T phép đối xứng qua đờng thẳng nối tâm n O với đỉnh (chẳng hạn đỉnh 1) Nếu kí hiệu I ánh xạ đồng S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 28 th× nhãm nhị diện D2n gồm 2n phép đẳng cự ®a gi¸c, ®ã cã n phÐp quay I, R, R2 , , Rn−1 vµ n phÐp ®èi xøng T, RT, , Rn−1 T Nếu n lẻ phép đối xứng đợc xác định đờng thẳng nối tâm O với đỉnh (đi qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó) Nếu n chẵn n/2 phép đối xứng đợc xác định n/2 đờng thẳng, đờng nối hai đỉnh đối diện (đờng thẳng qua tâm O); n/2 phép đối xứng đợc xác định n/2 đờng thẳng, đờng nối hai trung điểm hai cạnh đối diện (đờng thẳng qua tâm O) 3.2.1 Ví dụ Để giảm bớt trừu tợng, ta làm việc với hình ngũ giác có đỉnh 1, 2, 3, 4, thứ tự ngợc chiều kim đồng hồ Nhóm nhị diện D10 sinh hai phần tử R, T R phép quay tâm O ngợc chiều kim đồng hồ với góc quay 720 , T phép đối xứng qua đờng thẳng nối tâm O với đỉnh Ta cã thĨ viÕt T = (2, 5)(3, 4) vµ R = (1, 2, 3, 4, 5), v× thÕ RT = (1, 2)(3, 5) phép đối xứng qua đờng thẳng nối tâm O với đỉnh 3.2.2 Ví dụ Xét lục giác với đỉnh 1, 2, 3, 4, 5, thứ tự ngợc chiều kim đồng hồ Nếu R phép quay 600 T phép đối xứng qua đờng thẳng nối hai đỉnh 1, nhóm nhị diện D12 gồm 12 phÇn tư sau: I, R = (1, 2, 3, 4, 5, 6), R2 = (1, 3, 5)(2, 4, 6), R3 = (1, 4)(2, 5)(3, 6), R4 = (1, 5, 3)(2, 6, 4), R5 = (1, 6, 5, 4, 3, 2), T = (2, 6)(3, 5), RT = (1, 2)(3, 6)(4, 5), R2T = (1, 3)(4, 6), R3T = (1, 4)(2, 3)(5, 6), R4 T = (1, 5)(2, 4), R5 T = (1, 6)(2, 5)(3, 4) 3.2.3 Chó ý Gi¶ sư rằng, với k mầu cho sẵn, tô màu đỉnh hình lục giác Ví dụ 3.2.2 (không yêu cầu phải dùng tất mầu) Thế có cách tô màu? Vì đỉnh có k cách chọn mầu, nên câu trả lời theo logic k cách tô Tuy nhiên, câu tr¶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 29 lời không mô tả xác thực tế Thật vậy, giả sử có hai mầu, mầu vàng (Y) mầu xanh da trời (B) Khi qua phép đẳng cự RT Ví dụ 3.2.2, cách tô mầu C1 = BBY Y Y B C2 = , BBBY Y Y biến thành cách tô màu (vì qua RT = (1, 2)(3, 6)(4, 5), đỉnh chuyển đến chỗ mà trớc đỉnh nên truyền mầu (Y) sang đỉnh 6, đỉnh chuyển đến chỗ mà trớc đỉnh nên truyền mầu (B) sang đỉnh 3, đỉnh 1, có màu (B); đỉnh 4, có mầu (Y) nên qua RT chúng giữ nguyên màu) Theo tính toán logic C1 C2 cách tô màu khác Tuy nhiên, thử hình dung có vòng cứng hình lục giác đều, đợc tạo mầu nh C1 đợc tạo mầu nh C2 Nếu hai vòng đặt bàn khó lập luận đợc chúng có màu khác nhau, vòng có màu giống đúc vòng ta lật úp quay Vì thế, thực tế, hai cách tô màu (trang trí) C1 C2 nên đợc xem nh Trớc thiết kế mô hình toán học phù hợp với thực tế, ta cần bổ đề sau 3.2.4 Bổ đề Cho X tập hợp Giả sử G nhóm nhóm phép S(X) X Khi G tác động tự nhiên lên X nh sau: g ã x = g(x) víi mäi x ∈ X, g ∈ G Chøng minh Cho g, h ∈ G, x ∈ X Ta cã 1X • x = 1X (x) = x g ã (h ã x) = g ã h(x) = g(h(x)) = (gh)(x) = (gh) • x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 30 Bây ta xét mô hình toán học Giả sử ta có k mầu cho sẵn để tô màu đỉnh lục giác nh VÝ dơ 3.2.2 Chó ý r»ng nhãm nhÞ diƯn D12 nhóm nhóm phép S(X), X tập đỉnh lục giác Vì D12 tác động tự nhiên lên tập đỉnh lục giác (xem Bổ đề 3.2.4), tác động lên tập cách tô mầu đỉnh Với g D12, tơng tù nh− c¸c lËp ln Chó ý 3.2.3, nÕu C cách tô màu đỉnh lục giác C = g ã C tác động g lên C nhiều trờng hợp ta coi cách tô màu C C nh Vì cách tô màu quỹ đạo {g ã C : g D12 } C nên đợc xem tơng đơng Trong trờng hợp này, số cách tô màu phân biệt (không tơng đơng) số quỹ đạo Định lí Burnside 1.4.5 giúp ta tính đợc số quỹ đạo tác động ta biết số cách tô màu cố định qua tác động hoán vị cho trớc Vì ta cần mệnh đề sau 3.2.5 Mệnh đề Gọi G nhóm nhóm phép S(X) với X tập đỉnh đa giác n cạnh Cho g G Giả sử g tích c vòng xích độc lập, tính xích có độ dài Nếu ta có k màu số cách tô màu đỉnh đa giác cố định qua tác động g lµ k c Chøng minh Cho C lµ cách tô màu đỉnh đa giác Giả sử C cố định qua tác động g (tức C = g ã C), với vßng xÝch (a1 , , ap ) cđa g, v× g(a1) = a2, g(a2) = a3, , g(an ) = a1 nên đỉnh a1, , ap phải có màu Ngợc lại, giả sử với vòng xích (a1 , , ap ) g, đỉnh a1 , , ap cã cïng mµu Khi rõ ràng C cố định qua tác động g Vì số cách tô màu cố định qua tác động g số cách chọn màu cho xích g, kể xích cã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 31 độ dài 1, xích chọn màu Vì có k c cách tô màu cố định qua tác động g 3.2.6 Ví dụ Giả sử ta có k mầu để tô màu đỉnh lục giác Trong nhóm nhÞ diƯn D12, xÐt hai phÐp thÕ T = (2, 6)(3, 5) vµ R2 = (1, 3, 5)(2, 4, 6) (xem Ví dụ 3.2.2) Ta cần tính số cách tô màu cố định qua T số cách tô màu cố định qua R2 Vì T có vòng xích (2 vòng xích cấp vòng xích cấp 1), nên áp dụng Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu cố định qua tác động T k Vì R2 có vòng xích nên số cách tô màu cố định qua tác động R2 k 3.2.7 VÝ dơ Gi¶ sư ta cã k mầu để tô màu đỉnh lục giác Ta cần tính xem có cách tô màu phân biệt, hai cách tô màu đợc xem nh cách tác động cách qua phần tử nhãm nhÞ diƯn D12 Trong nhãm nhÞ diƯn D12 , có hoán vị gồm vòng xích (đó hoán vị đồng nhất); có hoán vị gồm vòng xích; có hoán vị gồm vòng xích; có hoán vị gồm vòng xích; hoán vị gồm vòng xích (xem Ví dụ 3.2.2) Với g D12 , áp dụng Mệnh đề 3.2.5, ta tính đợc số cách tô màu cố định qua tác động g Từ đó, áp dụng công thức Định lí 1.4.5, ta tính đợc số quỹ đạo phân biệt : (k + 3k4 + 4k + 2k + 2k) 12 Đây số cách tô mầu phân biệt 3.3 Mét sè vÝ dơ minh häa 3.3.1 VÝ dơ Gi¶ thiết cách tô màu đỉnh hình vuông tơng đơng cách tô mầu tác động hoán vị S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 32 nhóm D8 lên cách tô màu Khi ®ã víi k mµu cho tr−íc, cã (k + 2k + 3k + 2k) c¸ch tô màu phân biệt Chứng minh Xét hình vuông tâm O với đỉnh 1, 2, 3, thứ tự ngợc chiều kim đồng hồ Nếu kí hiệu I phép đồng nhất, R phép quay tâm O với góc quay 900 T phép đối xứng qua đờng thẳng nối hai đỉnh nhóm nhị diện D8 gồm phần tö sau: I; R = (1, 2, 3, 4); R2 = (1, 3)(2, 4); R3 = (1, 4, 3, 2); T = (2, 4); RT = (1, 2)(3, 4); R2 T = (1, 3); R3 T = (1, 4)(2, 3) Nh nhóm D8 gồm có: hoán vị vòng xích, I hoán vị vòng xích, T R2 T hoán vị vòng xích, R2 , RT R3 T hoán vị vòng xích, R R3 Từ áp dụng công thức Burnside Mệnh đề 3.2.5, ta có số cách tô màu phân biệt đỉnh hình vuông nói là: (k + 2k + 3k + 2k) Nhận xét rằng, thay việc tô màu đỉnh việc tô màu cạnh hình vuông Ví dụ 3.3.1, với giả thiết cách tô màu nh cách tác động cđa c¸ch qua mét phÐp thÕ nhãm D8 ta có kết tơng tự Thật vậy, gọi a1 , a2 , a3 , a4 lợt cạnh nối hai đỉnh 4, − 2, − vµ − Khi ®ã nhãm D8 gåm phÇn tư sau: I, R = (a1, a2 , a3, a4 ), R2 = (a1 , a3 )(a2 , a4), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 33 R3 = (a1 , a4 , a3 , a2), T = (a1 , a2)(a3 , a4 ), RT = (a1 , a3), R2T = (a1 , a4 )(a2 , a3), R3 T = (a2 , a4) Nh− vËy, D8 bao gåm hoán vị vòng xích, hoán vị vòng xích, hoán vị vòng xích, hoán vị vòng xích Do số cách tô màu phân biệt (k + 2k + 3k + 2k) 3.3.2 VÝ dô Ng−êi ta cần tô màu đỉnh hình hình vuông với màu trắng xanh Khi số cách tô màu đỉnh 16 Gọi X tập cách tô màu Trên X, xét quan hệ tơng đơng nh sau: C1 , C2 X : C1 ∼ C2 ⇔ ∃g ∈ D8 cho C2 = gC1 Khi ®ã sÏ cã líp tơng đơng H y xác định lớp tơng đơng ®ã Chøng minh Ta cã k = Theo VÝ dụ 3.3.1, số cách tô màu phân biệt (2 + 2.23 + 3.22 + 2.2) = Vì quan hệ tơng đơng có lớp tơng đơng, lớp tơng đơng quỹ đạo tác động nhóm D8 lên tập đỉnh hình vuông Để tìm lớp tơng đơng ®ã, ta chó ý r»ng X gåm 16 phÇn tư, phần tử gồm toạ độ tơng ứng với đỉnh 1, 2, 3, mà toạ độ (mỗi đỉnh) t (trắng) x (xanh) Chẳng hạn, phần tử (txxt) X cách tô màu trắng đỉnh đỉnh 4, màu xanh đỉnh đỉnh Lớp tơng đơng cđa (tttt) lµ C1 = {g(tttt)} | g ∈ D8} = {(tttt)} Tơng tự, lớp tơng đơng (xxxx) C2 = {g(xxxx)} | g ∈ D8} = {(xxxx)} Líp tơng đơng (txxx) C3 = {g(txxx) | g ∈ D8} = {(txxx), (xtxx), (xxtx), (xxxt)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 34 Lớp tơng đơng (ttxx) C4 = {g(ttxx)} | g ∈ D8 } = {(ttxx), (xttx), (xxtt), (txxt)} Lớp tơng đơng (tttx) C5 = {g(tttx)} | g ∈ D8} = {(tttx), (xttt), (txtt), (ttxt)} Líp t−¬ng đơng (txtx) C6 = {g(txtx)} | g D8 } = {(txtx), (xtxt)} 3.3.3 VÝ dơ Gi¶ sư gậy đợc đặt trục hoành từ x = đến x = với hạt đợc đính gậy Các hạt đợc đính điểm cuối (tức đợc đính điểm (1, 0) (1, 0)) trung điểm (0, 0) gậy Ngời ta muốn tô hạt n màu, hai cách tô màu đợc coi nh cách tô mầu tác động lên cách tô màu qua phép hoán vị nhóm {I, }, I phép đồng nhÊt vµ δ lµ phÐp quay quanh trơc tung mét góc 1800 Khi số cách tô màu phân biƯt lµ (n + n3 ) Chøng minh Ta giả sử vị trí đính hạt 1, 2, XÐt nhãm {I, δ} Chó ý r»ng I hoán vị vòng xích = 3 = (1, 3) hoán vị gồm vòng xích Từ áp dụng công thức Burnside Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu phân biệt cho hạt với n màu (n + n3 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 35 Chú ý với giả thiết nh Ví dụ 3.3.3 giả thiết thêm n màu có mầu đen Khi số cách tô màu phân biệt cho hạt gậy có màu đen (n + n2) Thật vậy, cách tô màu cách chọn mầu cho hạt đầu Gọi vị trí ®ã lµ 1, Khi ®ã nhãm {I, δ}, phép đồng I có vòng xích (1) (3), có vòng xích (1, 3) Vì theo Định lí Burnside Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu phân biệt (n + n2 ) 3.3.4 VÝ dơ Víi mµu đỏ xanh ta cần tô màu đỉnh lục giác Giả thiết cách tô màu tơng đơng cách tô mầu tác động lên cách tô màu qua hoán vị nhóm nhị diên D12 Khi có cách tô màu phân biệt cho đỉnh lục giác có màu đỏ đỉnh lại có màu xanh Chứng minh Với màu đỏ xanh, theo logic có 26 cách tô màu cho đỉnh lục giác Trong số này, ta tìm số cách tô mầu màu có đỉnh màu đỏ đỉnh màu xanh Số cách tô số cách chọn đỉnh từ đỉnh lục giác, đỉnh đợc chọn đ tô màu đỏ đỉnh lại buộc phải tô màu xanh Nh vạy, có 20 cách tô cho có đỉnh màu đỏ đỉnh màu xanh (chính số tổ hợp chập phần tử) Gọi L tập 20 cách tô Ta phải tìm xem L có cách tô màu phân biệt (ở đây, cách tô màu L đợc xem nh cách tác động cách mét phÐp thÕ cđa D12 ) Nh− vËy, ®Ĩ tÝnh số cách tô màu phân biệt L, với g ∈ D12, ta cÇn tÝnh sè phÇn tư cđa L cố định qua g S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 36 Nhắc lại nhóm nhị diên D12 gồm 12 phÇn tư nh− sau I; R = (1, 2, 3, 4, 5, 6); R2 = (1, 3, 5)(2, 4, 6); R3 = (1, 4)(2, 5)(3, 6); R4 = (1, 5, 3)(2, 6, 4); R5 = (1, 6, 5, 4, 3, 2); T = (2, 6)(3, 5); RT = (1, 2)(3, 6)(4, 5); R2T = (1, 3)(4, 6); R3 T = (1, 4)(2, 3)(5, 6); R4 T = (1, 5)(2, 4); R5T = (1, 6)(2, 5)(3, 4), ®ã I phép đồng nhất, R phép quay 600 T phép đối xứng qua đờng thẳng nối ®Ønh 1,4 Cho g ∈ D12 KÝ hiƯu f (g) số phần tử L cố định qua tác động g Giả sử f (g) > Khi tồn z L cho cố định qua tác động g Theo chứng minh MƯnh ®Ị 3.2.5, nÕu (a1 , , at ) vòng xích g cách tô màu z, đỉnh a1, , at phải có màu Vì z có đỉnh màu đỏ đỉnh màu xanh nên g phép sau đây: I, R2 = (1, 3, 5)(2, 4, 6), R4 = (1, 5, 3)(2, 6, 4), T = (2, 6)(3, 5), R2 T = (1, 3)(4, 6), R4 T = (1, 5)(2, 4) Trong trờng hợp này, ta dễ thấy số vòng xích g phải chẵn Nh vậy, g D12 có số vòng xích lẻ phần tử L cố định qua tác động g, tức f (g) = Chú ý tất phần tử L cố định qua I Do f (I) = 20 Đối với phép R2, có cách tô màu L cố định qua R2 , cách thứ tô đỉnh 1,3,5 màu đỏ đỉnh 2,4,6 màu xanh Cách thứ hai tô đỉnh 1,3,5 màu xanh 2,4,6 màu đỏ Vì thÕ f (R2) = T−¬ng tù f (R4) = PhÐp thÕ T cã vßng xÝch Cã cách tô màu L cố định qua T , cách thứ tô đỉnh 1,2,6 màu đỏ đỉnh 4,3,5 màu xanh; cách thứ hai tô đỉnh 1,3,5 màu đỏ 4,2,6 màu xanh, cách thứ ba tô 1,2,6 màu xanh 4,3,5 màu đỏ, cách thứ t tô 1,3,5 màu xanh 4,2,6 màu đỏ Nh f (T ) = T−¬ng tù ta cã f (R2 T ) = f (R4T ) = Theo công thức Burnside Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 37 Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu phân biệt L (2.2 + 3.4 + 20) = 12 3.3.5 VÝ dô Gäi G lµ nhãm gåm 12 phÐp quay mét khèi tø diƯn bao gồm: hoán vị đồng I 08 phép quay ngợc chiều kim đồng hồ quanh trục nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện với góc quay1200 2400 , là: (1)(2, 3, 4), (1, 3, 4)(2), (1, 2, 4)(3), (1, 2, 3)(4), (1)(2, 4, 3), (1, 4, 3)(2), (1, 4, 2)(3), (1, 3, 2)(4) 03 phép quay quanh 03 trục nối trung điểm cạnh chéo với góc quay 1800 Giả thiết cách tô màu tơng đơng cách tác động lên cách qua hoán vị nhóm G Khi với k màu cho trớc để tô màu đỉnh khối tứ diện nói trên, có (n + 11n2 ) 12 cách tô màu phân biƯt Chøng minh Ta thÊy víi khèi tø diƯn ®Ịu với đỉnh 1,2,3,4 phép quay quanh trục nối trung điểm cạnh chéo víi gãc quay 180o sÏ lµ: (1, 4)(2, 3), (1, 3)(2, 4), (1, 2)(3, 4) Nh− vËy ta thÊy nhóm G gồm: 01 hoán vị vòng xích, hoán vị đồng I 11 hoán vị vòng xích, 11 hoán vị G khác I Từ áp dung công thức Burnside Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu phân biệt đỉnh khối tứ diện (n + 11n2 ) 12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 38 3.3.6 VÝ dô Giả sử ta có màu, có màu xanh để tô màu đỉnh khối tứ diện Gọi G nhóm phép gồm 12 phần tử xác định nh Ví dụ 3.3.5 Giả thiết cách tô màu đợc xem nh cách tô tác động cách qua mét phÐp thÕ G Khi ®ã cã cách tô màu phân biệt cho có đỉnh đợc tô màu xanh Chứng minh Theo tính toán logic, có 44 cách tô màu đỉnh khối ®a diƯn ®Ịu b»ng mµu cho tr−íc Trong sè đó, số cách tô màu mà có đỉnh màu xanh số cách chọn đỉnh đỉnh để tô màu xanh tô đỉnh lại màu lại Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Khi số cách tô màu có ®Ønh mµu xanh lµ 4! = 54 2!2! Gọi L tập 54 cách tô màu cho có đỉnh màu xanh Khi C42.32 = số cách tô màu phân biệt L số quỹ đạo tác động nhóm G lên tập L Để tính số quỹ đạo này, ta cần tìm số phần tử cố định qua tác động phần tử G Cho g G Kí hiệu f (g) số phần tử L cố định qua tác động g Giả sử f (g) > Khi tồn z L cho z cố định qua tác động g Theo chøng minh MƯnh ®Ị 3.2.5, nÕu (a1 , , at ) vòng xích g cách tô màu z, đỉnh a1 , , at phải có màu Vì z đỉnh màu xanh nên thiết g phải có vòng xích cấp (để đỉnh ứng với vòng xích đợc tô màu xanh) g có vòng xích cấp (để đỉnh ứng với vòng xích đợc tô màu xanh) Do g phép sau đây: I, (1, 4)(2, 3), (1, 3)(2, 4), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 39 (1, 2)(3, 4) Nh vậy, g không phép phần tử L cố định qua tác động cđa g, tøc lµ f (g) = Chó ý tất phần tử L cố định qua I Do f (I) = 54 Đối víi phÐp thÕ g = (1, 4)(2, 3), nÕu z cách tô màu cố định qua tác động g đỉnh 1,4 z phải có màu đỉnh 2,3 z màu Do có cách tô màu L cố định qua (1, 4)(2, 3) Trong cách đó, có cách tô hai đỉnh 1,4 màu xanh tô hai đỉnh 2,3 màu số màu lại, có cách tô hai đỉnh 2,3 màu xanh tô hai đỉnh 1,4 màu số màu lại Vì f (g) = Tơng tự, số cách tô màu L cố định qua tác động (1, 3)(2, 4) (1, 2)(3, 4) Theo công thức Burnside Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu phân biƯt L lµ (54 + 3.6) = 12 3.3.7 Ví dụ Cho p số nguyên tố Xét đa giác p cạnh với tâm O Gọi I phép đồng R phép quay tâm O ngợc chiều kim đồng hồ với góc quay 3600 /p KÝ hiÖu G = {I, R, R2, , Rp1 } nhóm phép quay đa giác Giả thiết hai cách tô màu tơng đơng cách tô tác động lên cách qua phép quay G Khi với n màu cho trớc, để tô màu đỉnh đa giác, số cách tô màu phân biệt (np + (p 1)n) p Chứng minh Trớc hết ta nhận thấy p nguyên tố nên p lẻ Nếu ta kí hiệu đỉnh đa giác p cạnh 1, 2, 3, , p − 1, p th× R = (1, 2, 3, , p − 1, p) Do ®ã R2 = (1, 3, , p, 2, 4, , p − 1) Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 40 Tơng tự, p lẻ nên R3, R4 , , Rp1 phép vòng xích Nh nhãm G cã phÐp thÕ p vßng xÝch, hoán vị đồng I p phép vòng xích, R, R2, , Rp1 Theo công thức Burnside Mệnh đề 3.2.5, số cách tô màu phân biệt đỉnh đa giác (np + (p − 1)n) p Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [ABR] P Anderson, A Benjamin, J Rouse, Combinatorial proofs of Fermat’s, Lucas’s and Wilson’s theorems, American Math Monthly, 112(3) (2005), 266-268 [Ash] R Ash, Abstract Algebra - The Basic Graduate Year, Dover, New York 2002 [EH] T Evans, B Holt, Deriving divisibility theorems with Burnside’s theorem, Electronic J Combinatorial number theory, (2005), 1-5 [Hum] J F Humphreys, A Course in group theory, Oxford University Press, Oxford 1996 [Lev] Lionel Levine, Fermat’s little theorem: a proof by function interation, Mathematics Magazine, 72(4) (1999), 308-309 [Rot] J Rotman, An introduction to the Theory of Groups, (Third Edition) Springer - Verlag, New York 1999 [Sur] D Surowski, Workbook in higher Algebra, Springer - Verlag, New York 1992 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... Nguyễn Tuyết Nga ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Mã số: Phương pháp Toán sơ cấp 60.46.40 Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung... tình với lí thuyết trờng đa thức Trong luận văn này, khai thác số ứng dụng lí thuyết nhóm vào toán sơ cấp lĩnh vực: Số học Tổ hợp Công cụ chủ yếu lí thuyết nhóm đợc vận dụng Định lý Lagrange... [EH], chứng minh lại công thức số học cổ điển phơng pháp sử dụng công thức lớp Định lý Burnside lí thuyết nhóm Chơng cuối luận văn ứng dụng lý thuyết nhóm vào số toán tỉ hỵp Thùc chÊt, cã lÝ thut