Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ THANH HIEN ÁP DUNG SO PHÚC TRONG GIAI MđT SO BI TON S CAP LUắN VN THAC SĨ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cap Mã so: 60460113 Cán b® hưáng dan: PGS TS Nguyen Minh Tuan HÀ N®I, 2016 LèI CAM ƠN Lịi đau tiên cna khóa lu¾n em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan PGS TS Nguyen Minh Tuan Thay giao đe tài t¾n tình hưóng dan em q trình hồn thành khóa lu¾n Nhân d%p em xin gui lòi cám ơn cna tịi tồn b® thay giáo khoa Toán-Cơ-Tin HQc giang day giúp đõ chúng em suot q trình HQc t¾p tai khoa Đong thịi, tơi xin cam ơn ban lóp phương pháp tốn sơ cap khóa 2014- 2016 nhi¾t tình giúp đõ tơi q trình HQc t¾p tai lóp Me ĐAU Lý chQN đe tài So phúc có the đưoc dùng m®t cơng cu huu hi¾u đe giai quyet nhieu tốn, ca đai so, hình HQc, lưong giác, tő hop Vói sn tro lai cna so phúc chương trình trung HQc phő thơng, nhieu van đe cna Tốn sơ cap có the đưoc trình bày rõ ràng đay đn Chương trình Tốn HQc o b¾c trung HQc phő thơng cna hau het nưóc đeu có phan so phúc e nưóc ta, sau nhieu lan cai cách, n®i dung so phúc cuoi đưoc đưa tro lai vào chương trình Giai tích 12 (vói dung lưong cịn khiêm ton) Vì nhieu lý khác nhau, khơng HQc sinh( th¾m chí HQ c sinh gioi) sau HQc xong phan so phúc chi hieu m®t cách đơn gian: su dung so phúc ta có the giai MQI phương trình b¾c hai, tính đưoc vài tőng đ¾c bi¾t Trên thnc te, kỳ thi HQc sinh gioi quoc gia, Olimpic khu vnc, Olimpic quoc te, có nhieu dang tốn có liên quan đen so phúc Vi¾c su dung nghiên cúu, khao sát hình HQc phang to có nhieu thu¾n loi Dùng so phúc ta có the tìm đưoc lịi giai huu hiắu, tn nhiờn (nhng khụng kộm phan đc ỏo) cho nhieu h¾ phương trình vói an so thnc So phúc cịn cho ta cách giai quyet m®t loat toán so HQc, tő hop lưong giác mà neu dùng phương pháp thơng thưịng tình huong se tro nên phúc tap Đưoc sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Minh Tuan, cHQN đe tài "Áp dung so phúc giai m®t so tốn sơ cap" vói mong muon tìm hieu sâu ve so phúc úng dung cna so phúc vi¾c khai thác phương pháp giai tốn b¾c THPT Mnc đích nghiên cÉu H¾ thong hóa dang t¾p đai so, tő hop, lưong giác đưoc giai bang phương pháp so phúc đong thịi nam đưoc m®t so ky thu¾t liên quan Nhi¾m cua đe tài Đưa đ%nh nghĩa tính chat cna so phúc Đ¾c bi¾t su dung so phúc đe giai m®t so dang tốn đai so, lưong giác, tő hop Đoi tưang pham vi nghiên cÉu - Nghiên cúu tốn đai so, lưong giác, tő hop t¾p so phúc úng dung liên quan - Nghiên cúu tài li¾u boi dưõng HQc sinh gioi - HQc sinh lóp 12 o trưịng THPT Ý nghĩa khoa HQC thEc tien cua đe tài Tao đưoc m®t đe tài phù hop cho vi¾c giang day, boi dưõng HQ c sinh THPT Đe tài góp phan thiet thnc cho vi¾c day chun đe tốn trưịng THPT, đem lai niem đan mê sáng tao vi¾c day HQc tốn Xây dnng đưoc m®t giáo trình có tính h¾ thong vói thịi lưong thu GQN, có the dùng đe giang day ve so phúc úng dung cna so phúc cho HQc sinh chun tốn b¾c trung HQc ph thụng Xõy dnng oc mđt hắ thong cỏc tốn vói múc đ® khó de khác Cau trúc cua lu¾n văn Lu¾n văn gom chương - Chương 1: Các kien thúc chuan b% 1.Tính chat cna so phúc; 2.Dang đai so cna so phúc; 3.Giai phương trình b¾c hai; 4.Ý nghĩa hình HQ c cna so phúc modun; 5.Ý nghĩa hình HQ c cna phép toán đai so; 6.Dang lưong giác cna so phúc; 7.Bài t¾p - Chương 2: Su dung so phúc giai m®t so tốn sơ cap 1.So phúc phép toán đai so; 2.Su dung so phúc đe giai tốn phương trình h¾ phương trình đai so; 3.So phúc tốn ve đa thúc; 4.So phúc toán tő hop; Mnc lnc CÁC KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Đ%nh nghĩa 1.2 Tính chat cna so phúc 1.2.1 Các tính chat liên quan đen phép c®ng 1.2.2 Các tính chat liên quan đen phép nhân 1.3 Dang đai so cna so phúc .10 1.3.1 Đ%nh nghĩa tính chat 10 1.3.2 Lũy thùa cna so i 12 1.3.3 So phúc liên hop 12 1.3.4 Modun cna so phúc 13 1.4 Giai phương trình b¾c hai .14 1.5 Ý nghĩa hình HQc cna so phúc modun 15 1.5.1 Ý nghĩa hình hQc cna so phúc 15 1.5.2 Ý nghĩa hình hQc cna modun .16 1.6 Ý nghĩa hình HQc cna phép toán đai so 17 1.6.1 Phép c®ng phép trù .17 1.6.2 Tích cna so thnc so phúc .17 1.7 Dang lưong giác cna so phúc 18 1.7.1 TQA đ® cnc mắt phang .18 1.7.2 TQA đ cnc cna so phúc .19 1.7.3 Căn b¾c n cna đơn v% .19 1.8 Bài t¾p 23 MUC LUC SU DUNG SO PHÚC TRONG GIAI M®T SO BÀI TỐN SƠ CAP 28 2.1 So phúc toán lưong giác 28 2.2 Su dung so phúc đe giai tốn phương trình h¾ phương trình đai so 41 2.3 So phúc toán ve đa thúc 45 2.4 So phúc toán tő hop .50 2.4.1 So phúc tốn tính tőng tő hop chúng minh thúc tő hop 50 2.4.2 So phúc toán đem 60 KET LU¾N 66 Tài li¾u tham khao 67 Chương CÁC KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Đ%nh nghĩa Gia thiet ta biet đ%nh nghĩa tính chat ban cna t¾p so thnc R Ta xét hop R2 = R ì R = {(x, y) |x, y ∈ R} Hai phan tu (x1, y1) (x2, y2) bang chi x1 = x2 y1 = y2 Các phép tốn c®ng nhân đưoc đ%nh nghĩa R2 sau z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∈ R2, z1.z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) ∈ R2, z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2, y2) ∈ R2 Phan tu z1 + z2 GQI tőng cna z1 , z2 Phan tu z1 z2 ∈ R GQI tích cna z1 , z2 Nh¾n xét vói MQI 1.Neu z1 = (x1, 0) ∈ R2 z2 = (x2, 0) ∈ R2 z1z2 = (x1x2, 0) 2.Neu z1 = (0, y1) ∈ R2 z2 = (0, y2) ∈ R2 z1z2 = (−y1y2, 0) Đ%nh nghĩa 1.1.1 Tắp hop R2 cựng vúi phộp cđng v phộp nhân GQI t¾p hop so phúc, ký hi¾u C Moi phan tu z = (x, y) ∈ C đưoc GQI l mđt so phỳc Kớ hiắu C e chi t¾p hop C \ {(0, 0)} √ đeu n®i tiep đưịng trịn có tâm goc TQA đ®, bán kính n r Ta chúng minh đieu ki¾n sau Kí hi¾u M0 , M1 , , Mn−1 điem có TQA đ® phúc Z0, Z1 , , Zn−1 Vì OMk = |Zk | = √n r vói k ∈ {0, 1, , n − 1} nên điem Mk nam đưòng trịn C (O, √n r) Bên canh đó, so đo cung Mk Mk+1 bang k+ argZ t∗ + (k + 1) π − (t∗ + 2kπ) 2π , = = n n 2π 2π vói k ∈ {0, 1, , n − 2} so đo cung Mn−1M0 = 2π − (n − 1) n n Vì tat ca cung M1M2, , Mn−1M0 đeu bang nên đa giác M0M1 Mn−1 đa giác đeu Căn b¾c n cua đơn v% Các nghi¾m phương trình Z n − = đưoc GQI b¾c n cna đơn v% Vì = cos + i sin nên tù công thúc b¾c n cna so phúc ta có b¾c n cna đơn v% − argZk sk = k cos π Cu the ta có Σ n 2kπ , k ∈ {0, 1, , n − n1} + i si n s0 = cos + i sin = 1; s1 = cos 2π + 2π = s; i n si n n = s2; s = co s +i sin n n (n2 = sn−1 − 1)= π cos (sn−1 n− 1) π + i sin n n T¾p hop 1, s, s2, , sn−1 ký hi¾u Un Ta có t¾p hop Un đưoc sinh boi s, moi phan tu cna Un m®t lũy thùa cna s Giong 2ó trưóc, bieu kik , π dien hình ∈} { HQ c b¾c n cna v, m®t so phúc V đinh ì cna m®t đa == o giác đeu n t c s canh, n®i h+ − tiep eis in đưịng trịn đơn v% mà có m®t đinh Ta xét m®t vài giá + tr% cna n i) vói n = 2, phương i trình Z − = có √ nghi¾m −1 ; b¾c hai 13 cna đơn v 32 % ii) vói n = 3, phương trình Z3 − = có nghi¾m cho boi cơng thúc sk = cos k π + i si n 4π 4π s2 = cos + i sin 3 = −1 − i√ Đây ba đinh cna m®t tam giác đeu n®i tiep đưịng trịn C (O, 1) iii)vói n = 4, phương trình Z − = có nghi¾m cho boi cơng thúc 2kπ sk = cos k vói k ∈ {0, π +1, 2, 3} Cu the i s sau i n π π s0 = 1, s1 = cos + i sin = i, s2 = cos π + i sin π = −1, s3π 3π = + = −i c i o s Ta có s i n Σ U4 = 1, i, i2, i3 = {1, i, −1, −i} Bieu dien hình HQc cna b¾c bon đinh cna hình vng n®i tiep đưịng trịn C (O, 1) có m®t đinh Căn sk ∈ Un đưoc GQI nguyên thny neu MQI so nguyên dương m < n ta có smk ƒ= M¾nh đe 1.7.1 1.Neu n|p, MQI nghi¾m cua phương trình Z n −1 = nghi¾m cua phương trình Z q − = 0; Nghi¾m chung cua phương trình Z m − = Z n − = nghi¾m cua phương trình Z d − = vái d = UCLN (m, n), Um ∩ Un = Ud; Các nghi¾m ngun thuy cua phương trình Z m − = s2kπ k = cm o s 2kπ + ; vái k m ™ m i UCLN (k, m) = s i n ™ 1.8 Bài t¾p M¾nh đe 1.7.2 Neu s ∈ Un m®t nguyên thuy cua đơn v% tat ca nghi¾m cua phương trình Z n − = sr, sr+1, , sr+n−1 vái r so nguyên dương tùy ý M¾nh đe 1.7.3 Cho s0, s1, , sn−1 b¾c n cua đơn v% Vái mői so nguyên dương n ta ln có h¾ thúc n− Σ n, n|k; sk 0, n ‡ k j 2π 2π j= = M¾nh đe 1.7.4 Cho p so nguyên to s = cos a0, a1, , ap−1 so ngun khác khơng, h¾ thúc +i p sin p a0 + a1s + + ap−1sp−1 = 0; chs a1 = a2 = = ap−1 1.8 Bài t¾p Bài tốn 1.8.1 Tìm phan thnc phan ao cna moi so phúc sau (1 + i) + (2 + 3i) − + i5 3−i Σ (1 + i)2 + + 7i (3 + 2i)(1 − 3i) + i√3 1209i2016 + 1204i2017 Σ Σ co 7π 7π s + i sin √ 4 3+i Bài tốn 1.8.2 Tính giá tr% bieu thúc i + 2i2 + 4i3 + + i(2i)14 2012 1+i Σ + 1−i 39 Neu 1.8 Bài t¾p i 2020 − Σ1 + i 40 √ ( + i)15(i − 1)7 √ √ √ √ √ 11 (1 − i 3) ( + + i − 2) Bài toán 1.8.3 Giai phương trình sau t¾p so phúc z(z + i) − (z − 2i)2 = 2iz + − i z i − = 2 z +1 iz + − 3i 25 z + = − 6i z z3 − 3(1 + 2i)z2 + (−3 + 8i)z + − 2i = z4 + 2z3 − z2 + 2z + = Bài toán 1.8.4 Cho so phúc z1 = (1, 2), z2 = (−2, 5), z3 = (4, −1) tính tőng sau z1 + z2 + z3 z1z2 + z2z3 + z3z1 z1z2z3 z2 + z2 + z2 2 2 2 z +z z +z z1 z2 z3 + + z2 z3 z1 Bài toán 1.8.5 Giai phương trình sau z + (−5, 7) = (4, 6) z.(2, 7) (3, −5) + z = (2, −9) z = (3, 6) (1, −3) Bài toán 1.8.6 Giai phương trình sau t¾p C z2 + z + 25 = z3 + = z4 + 4z2 + = Bài tốn 1.8.7 Tìm so thnc x, y trưòng hop sau (3 − i)x + (1 + 5i)y = + 4i x−3 + 3+i y − = i 3−i (4 − 3i)x2 + (1 + 2i) xy = 4y2 − x + (3xy − 2y2)i Bài toán 1.8.8 Tính i2000 + i1999 + i2009 + i82 + i47 i.i2.i3 i2016 + i + i2 + + in, n ƒ= 1, n ∈ N i−5 + (−i)−7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 Bài tốn 1.8.9 Tìm tat ca so phúc z ƒ= thoa mãn z + ∈ R z Bài tốn 1.8.10 Tìm so thnc x, y trưòng hop sau (3 − i)x + (1 + 5i)y = + 4i x−3 3+i + y − = i 3−i (4 − 3i)x2 + (1 + 2i) xy = 4y2 − Bài tốn 1.8.11 Tính i2000 + i1999 + i2009 + i82 + i47 x + (3xy − 2y2)i i.i2.i3 i2016 + i + i2 + + in, n ƒ= 1, n ∈ N i−5 + (−i)−7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 Bài tốn 1.8.12 Tìm tat ca so phúc z ƒ= thoa mãn z + ∈ R z Bài toán 1.8.13 Chúng minh rang √ √ E1 = (2 + i 5)7 + (2 − i 5)7 ∈ R 19 + 7i n 20 + 5i n + ∈ R E2 Σ 9−i Σ + 6i = Bài toán 1.8.14 Cho z ∈ C thoa mãn |z3 + | ™ Chúng minh rang z |z + z |™2 Bài tốn 1.8.15 Tìm so phúc z thoa mãn |z| = |z2 + z2| = 4z2 + 8|z|2 = z3 = z Bài toán 1.8.16 Chúng minh thúc sau |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z1 + z3|2 = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z1 + z2 + z3|2 |1 + z1z2| + |z1 − z2|2 = (1 + |z1|2)(12+ |z2|) |z1 + z2 + z3| + | − z1 + z2 + z3| + |z1 − z2 + z3| + |z1 + z2 − z3| = 2 4(|z12| + |z | + 3|z |) Bài tốn 1.8.17 Tìm tat ca so nguyên dương n cho √ √ −1 + i Σn −1 − i Σn = + 2 Bài toán 1.8.18 Cho x1, x2 nghi¾m cna phương trình x2 − x + =0 tính x2000 + x22000 x1999 + x21999 xn1 + xn2, n ∈ N Bài toán 1.8.19 Tìm dang TQA đ® cnc cna so phúc sau TQA đ® cnc cna so phúc sau √ z1 = + 6i √ z2 = − + i 4 z3 = − − i√3 2 z4 = − 2i Bài tốn 1.8.20 Tìm dang z1 = cos α − i sin α,α ∈ [0, 2π) z2 = sin α + i(1 + cos α), α ∈ [0, 2π) z3 = cos α + sin α + i(sin α − cos α), [0, 2π) z4 = − cos α + i sin α, α∈ α ∈ [0, 2π) Bài toán 1.8.21 Cho z1 z2 z3, so phúc Chúng minh rang: |z1 + z2| + |z2 + z3| + |z3 + z1| ≤ |z1| + |z2| + |z3| + |z1 + z2 + z3| √ Bài tốn 1.8.22 Tìm + 2i Tài li¾u tham khao 1.Lê Hai Châu, Thi vơ đ%ch tốn Quoc te, Nhà xuat ban tre, 2001 2.Nguyen Văn Dũng, Phương pháp giai toán So phúc úng dnng, NXB Đai HQc Quoc Gia, 2010 3.Nguyen Văn M¾u (chn biên), Chuyên đe CHQN LQc so phúc áp dnng, NXB Giáo duc, 2008 4.Đoàn Quỳnh, So phúc vái hình HQc phang, NXB Giáo duc, 1997 5.Hồng Xn Sính, Đai so đai cương, NXB Giáo duc, 2001 6.Nguyen Thny Thanh, Bài t¾p tốn cao cap, NXB ĐHQGHN, 2007 7.Nguyen Canh Tồn, Hình HQc cao cap, Nhà xuat ban Giáo duc, 1979 8.Giai tích 12, NXB Giáo duc, 2013 67 ... cna đơn v% .19 1.8 Bài t¾p 23 MUC LUC SU DUNG SO PHÚC TRONG GIAI M®T SO BÀI TOÁN SƠ CAP 28 2.1 So phúc toán lưong giác 28 2.2 Su dung so phúc đe giai toán phương trình h¾ phương... cna so phúc; 7 .Bài t¾p - Chương 2: Su dung so phúc giai m®t so toán sơ cap 1.So phúc phép toán đai so; 2.Su dung so phúc đe giai toán phương trình h¾ phương trình đai so; 3.So phúc toán ve đa thúc;... (−i)94 Bài tốn 1.8.12 Tìm tat ca so phúc z ƒ= thoa mãn z + ∈ R z Bài toán 1.8.13 Chúng minh rang √ √ E1 = (2 + i 5)7 + (2 − i 5)7 ∈ R 19 + 7i n 20 + 5i n + ∈ R E2 Σ 9−i Σ + 6i = Bài toán 1.8.14