Một vài bài toán về đa thức và phương trình hàm đa thức một biến

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Cao Th% Nga M®T VÀI BÀI TỐN VE ĐA THÚC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THÚC M®T BIEN LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Năm 2017 Cao Th% Nga M®T VÀI BÀI TỐN VE ĐA THÚC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THÚC M®T BIEN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS NGUYEN NHUY Hà N®i - Năm 2017 iii Mnc lnc Lài nói đau 1 M®t vài tốn ve đa thÉc 1.1 Đa thúc, nghi¾m cna đa thúc 1.1.1 Đa thúc m®t bien 1.1.2 Đa thúc bang 1.1.3 Phép c®ng trù đa thúc, nhân đa thúc 1.1.4 B¾c cna tőng, hi¾u tích đa thúc 1.1.5 Phép chia đa thúc có dư 1.1.6 Phép chia het Ưóc b®i 1.1.7 Thu¾t tốn Euclid 10 1.1.8 Nghi¾m cna đa thúc, đ%nh lí ban 12 1.1.9 Đ%nh lí Viète 19 1.1.10 Đong nhat thúc Newton 22 1.1.11 Các toán 23 1.2 Đa thúc vói h¾ so ngun, đa thúc bat kha quy 30 1.2.1 Đa thúc vói h¾ so nguyên 30 1.2.2 Đa thúc bat kha quy Z[x] 31 1.2.3 Moi quan h¾ bat kha quy Z[x] Q[x] 35 1.2.4 Các toán 37 iv Phương trình hàm đa thÉc 43 2.1 Phương trình dang P (f )P (g) = P (h) 43 2.2 Phương pháp nghi¾m đa thúc 57 2.3 Phương pháp khao sát h¾ so 69 2.4 Phương pháp su dung b¾c cna đa thúc 72 Ket lu¾n 79 Tài li¾u tham khao 80 LèI NÓI ĐAU Đa thúc m®t chun đe quan TRQNG chương trình tốn HQ c phő thơng Khơng nhung the, đa thúc m®t chn đe hay r®ng lón đe khai thác tìm hieu Các tốn ve đa thúc kien thúc kiem tra khơng the thieu kì thi phő thơng Đ¾c bi¾t kì thi Olimpic quoc te, chn đe đa thúc, phương trình hàm đa thúc đưoc xuat hi¾n thưịng xun vói nhung dang tốn het súc đa dang Do đó, đe đáp úng nhu cau ve giang day, HQc tắp, luắn "Mđt vi tốn ve đa thúc phương trình hàm đa thỳc mđt bien" nham tỡm hieu, thu thắp cỏc ti li¾u phân loai h¾ thong tốn ve đa thúc, phương trình hàm đa thúc m®t bien Bo cuc lu¾n văn gom lịi mo đau, hai chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương M®t vài tốn ve đa thÉc Chương oc dnh e trỡnh by mđt so khỏi niắm c ban ve đa thúc, đ%nh lí ban, tiêu chuan bat kha quy vói tốn tiêu bieu kì thi Olimpic quoc te Chương Phương trình hàm đa thÉc Trong chương chúng tơi trình bày dang tốn phương trình hàm thưịng g¾p ba phương pháp thưịng dùng giai phương trình hàm đa thúc vói tốn tiêu bieu kì thi Olimpic quoc te Đe hồn thành lu¾n văn, em nh¾n đưoc sn giúp đõ cna thay cơ, ban bè, đ¾c bi¾t sn chi bao hưóng dan t¾n tình cna PGS TS Nguyen Nhuy, thay cô Seminar b® mơn Tốn cna trưịng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Em xin bày to lòng biet ơn chân thành thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, hưóng dan em hồn thành khóa HQ c Cao HQc 2015-2017 Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Em mong nh¾n đưoc nhung ý kien góp ý cna q thay ban ĐQ c Em xin chân thành cam ơn Hà N®i, tháng 11 năm 2017 HQc viên Cao Th% Nga Chương M®t vài tốn ve đa thÉc Trong chương này, chúng tơi se trình bày hai n®i dung chớnh Muc mđt, se giúi thiắu cỏc kien thỳc c ban ve đa thúc đ%nh nghĩa đơn thúc, đa thúc, phép chia het, chia có dư, đ%nh lí ban Tiep theo m®t so tốn hay ve đa thúc xuat hi¾n kì thi Olimpic Van đe đa thúc bat kha quy vành so nguyên se đưoc trình bày muc hai Tiêu chuan cna đa thúc bat kha quy se đưoc chúng minh kèm theo t¾p áp dung 1.1 Đa thÉc, nghi¾m cua đa thÉc 1.1.1 Đa thÉc m®t bien Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Đơn thÉc m®t bien) Bieu thúc có dang axk (trong a thu®c trưòng K; x bien; so mũ k so tn nhiên) đưoc GQI đơn thúc m®t bien vói h¾ so K Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đa thÉc m®t bien) Đa thúc m®t bien x trưịng so K bieu thúc có dang P (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 ∈ K; an ƒ= đưoc GQI h¾ so cna đa thúc an đưoc GQI h¾ so cao nhat; a0 đưoc GQi h¾ so tn Chú ý 1.1.3 T¾p hop tat ca đa thúc m®t bien trưịng so thnc kí hi¾u R[x] Neu h¾ so đưoc lay t¾p hop so huu ti ta có đa thúc vói h¾ so huu ti Q[x] Neu h¾ so đưoc lay t¾p hop so ngun ta có đa thúc vói h¾ so ngun Z[x] Neu h¾ so đưoc lay t¾p hop so phúc ta có đa thúc vói h¾ so phúc C[x] 1.1.2 Đa thÉc bang Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Đa thÉc bang nhau) m n Σ Σ k Hai đa thúc P (x) akx ; Q(x) bkxk bang chi k=0 = = k=0 m = n ak = bk vói MQI k = 0, 1, 2, , m Đ%nh lý 1.1.5 (Nguyên lí so sánh h¾ so) Cho hai đa thúc P (x) = anxn + + a1x + a0 Q(x) = bmxm + + b1x + b0 vái n ≥ m Neu ton tai n + so đơi m®t khác α1, α2, , αn+1 (αi αj, ∀i ƒ= j) cho P (αi) = Q(αi) vái i = 1, 2, , n + n = m a0 = b0, a1 = b1, , an = bn Chúng minh Cho hai đa thúc P (x) = anxn + + a1x + a0 Q(x) = bmxm + + b1x + b0 Theo n ≥ m Khi ta có n = m + k vói k ≥ Xét hi¾u P (x)−Q(x) = am+kxm+k+am+k−1xm+k−1+ .+xm(am−bm)+xm−1 (am−1 − bm−1)+ + a0 − b0 Theo ton tai n+1 so đơi m®t khác α1, α2, , αn+1 (αi ƒ= αj, ∀i cho P (αi) = Q(αi) Khi P (αi) − Q(αi) = Suy am+k = am+k−1 = = am+1 = ⇒ n = m an = bn a = b m m   am−1 = bm−1  an = b n   hay  − − am−2 = bm−2 an−2 = bn−2    a0 = b0    a0 = b   m = n, V¾y  a0 = b0 , a1 = b1 , , an = bn Q 1.1.3 Phép c®ng trÈ đa thÉc, nhân đa thÉc m n Σ Σ k Cho đa thúc P (x) = akx , Q(x) = bkxk k= k= Khi phép c®ng trù hai đa thúc P (x) Q(x) đưoc thnc hi¾n theo tùng h¾ so cna xk; túc P (x) + Q(x) = max(m, n) (ak + bk)xk k=0 o đây, neu n ≤ m bk = vói k = n + 1, , m Khi P (x)Q(x) m®t n+m Σ đa thúc b¾c m + n có h¾ so đưoc xác đ%nh boi ck = aibk−i i=0 Σ j) 1.1.4 B¾c cua tong, hi¾u tích đa thÉc Tính chat 1.1.6 Cho đa thúc P (x); Q(x) đa thúc b¾c m; n tương úng Khi deg(P ± Q) ≤ max(m; n) neu deg(P ) ƒ= deg(Q) dau bang xay Trong trưịng hop m = n deg(P ± Q) có the nh¾n bat cú giá tr% nho ho¾c bang m, deg(P Q) = m + n, deg P (Q(x)) = m n 1.1.5 Phép chia đa thÉc có dư Đ%nh lý 1.1.7 Vái hai đa thúc P (x) Q(x) bat kì, deg(Q) ≥ 1, ton tai nhat đa thúc S(x) R(x) thúa ong thi cỏc ieu kiắn ã P (x) = Q(x).S(x) + R(x), • ≤ deg(R(x)) < deg(Q(x)) Chúng minh Trưóc tiên, ta chúng minh tính ton tai Ta chúng minh bang quy nap theo m = deg(P ) Neu deg(P ) < deg(Q) ta có the cHQN S(x) = R(x) = P (x) thoa mãn đong thịi hai đieu ki¾n cna đ%nh lí Gia su m ≥ n đ%nh lí đưoc chúng minh vói đa thúc có b¾c nho m Ta chúng minh đ%nh lí vói đa thúc b¾c m Gia su Σm P (x) = k= ak.xk, Q(x) = Σn H(x) = P (x) − am bn k= bk.xk Xét đa thúc xm−nQ(x) am ⇔   2x d  + 2x d   2x d  2x2 d Suy ng chia het cho Suy x(x + 1) + khô Q(x) = (x2 + x + 1) R(x), ∀x ∈ R, M¾t khác x2 + (7) nguyên R(x) đa thúc vói h¾ so thnc cna li s+ 1) bien x ê u Suy ra: Q(x − 1) = (x2 − x + 1) R(x − 1), ∀x n y ∈ R (8) ti ⇒ Tù đó, + e r (x2 + x + 1) (x2 − x + 1) R(x − 1) = (x2 − p a x + 1) (x2 + x + 1) R(x), ⇒ d n ∀x ∈ R ê (x2 − x + 1) (x2 + x + 1) ƒ= 0, ∀x ∈ R n ta đưoc R(x − 1) = R(x), ∀x ∈ R x( Suy đa thúc R(x) đa thúc hang Tù (7) (4) ta đưoc x P (x) = c(x − 1)x(x + 1)(x + 2) (x2 + x + d 1) , ∀x ∈ R, c hang so thnc ƒ = tùy ý Thu lai (x3 + 3x2 + 3x + 2) P (x − 1) = (x + 2) (x2 + x + 1) c(x − 2)(x − 1)x(x + 1) (x2 − x + 1) V (x3 − 3x2 + 3x − 2) P (x) ¾ = (x − 2) (x2 − x + 1) c(x − 1)x(x + 1)(x + 2) (x2 + x + 1) y d = T ù đ ó Suy (x3 + 3x2 + 3x + 2) P (x − 1) = (x3 − 3x2 + 3x − 2) P (x) V¾y P (x) = c(x − 1)x(x + 1)(x + 2) (x2 + x + 1) Q 2.3 Phương pháp khao sát h¾ so Trưóc het, se chúng minh m®t bő đe đưoc su dung phương pháp Bo đe 2.3.1 Neu P 2(x) m®t đa thúc theo bien x2 đa thúc P (x) ho¾c P (x) x đa thúc theo bien x2 Chúng minh Đ¾t P (x) = anxn +an−1xn−1 + +a0 , an ƒ= H¾ so cna x2n−1 2anan−1 Suy ta có an−1 = Tiep tuc ta có h¾ so cna x2n−3 2anan−3 Vì v¾y an−3 = Tiep tuc q trình v¾y ta có an−2k−1 = vói k = 0, 1, 2, Suy P (x) = anxn + an−2xn−2 + Như v¾y đa thúc P (x) đa thúc b¾c chan (đccm) Bài tốn 2.3.2 Xác đ%nh tat ca đa thúc P (x) thóa mãn 16P (x2) = P 2(2x) Lài giai  x2 ) = P (2x) P 2(x) = 16P  Theo 16P (x ⇒ 4  · Theo bő đe 2.3.1 ta có P (x) = Q(x2) ho¾c P (x) = xQ(x2) Trưòng hop P (x) = Q(x2)   P (2x) =  Q(4x4 ) P (x ) = Q(x ) hay 16Q(x2) = Q2(4x) Suy ⇒ 16Q(x4) = 4Q2(4x2) Trưòng hop P (x) = xQ(x2) Q ⇒ 16Q(x4) = 4Q2(4x2) Suy , P 2(2x) = n = x 162x2n 162 n hay 4Q(x2) =  Tù ket qua cna hai trưòng hop ta lai tiep tuc áp dung bő P đe 2.3.1 Đ¾t  =P Q(x) = R(x ) ho¾c  2 (2x) = Q(x) = xR(x ).(x Tiep tucxlàm 2 4x Q ( ta đưoc P (x) = xiR(x4) , i = 0, 1, 2, 4x2 )  P (x2 ) = x2 Q(x4 ) Tőng quát hóa P (x) = xiS(x2k ), i ∈ 0, 1, 2, , 2k − Suy deg xi S(x2k )Σ  = 2k > deg P ⇒ S =P const Ta đ¾t P (x) = cxi ⇒ (x2 ) = cx2i  P 2(2x) = 2i 2i  c x Theo 16P (x2) = P 2(2x) ⇒ c24i − 16c = ⇒ c = · i4  n x  vói n ∈ N V¾ y P (x) = 16   Th  n u lai 16  x 16 n P 4 (x2   n =  )= 4n · Suy 16P (x2) = P 2(2x) Q Bài tốn 2.3.3 Tìm tat ca đa thúc P (x) thóa mãn )2  1 P  1  )P   · P (3) x  (x Lài giai Áp dung bő đe 2.3.1 ta đ¾t P (x) = Q(x2) ho¾c P (x) = xQ(x2) Trưòng hop 1.P (x) = Q(x2) P (x2 ) = Q(x2 )            x ⇒( ) + xQ Q2 = Q =  x2  Q(  x x ) Q  P     2 x   Q (x) + Q  1  1 )Q   · y x Trưòng hop P (x) = xQ(x2) + Tương 2Q x tn ta có  xQ2   = Q(x x     x  = Q(x    )Q  x  · Nh¾n Bài tốn 2.3.4 Tìm tat ca đa thúc P (x) thóa mãn thay ve P (x2 + 1) = P (x) + vái MQI x trái bieu thúc có b¾c le, ve phai cna bieu thúc có b¾c chan Suy vơ lí V¾y P (x) = Q(x2) Trong Q(x) nghi¾m cna phương trình (3) Tiep tuc áp dung bő đe 2.3.1, ta có Q(x) = R(x2) ⇒ Q(x2) = R(x4) Tiep tuc v¾y ta có P (x) = S(x2k ), k ∈ N∗ Vì deg S(x2k ) = 2k > deg P ⇒ S = const Đ¾t P (x) = c Thay vào phương trình (3) ta đưoc c2 + c2 = c2 ⇒ c = V¾y P (x) = Q Lài giai Ta có P (x2 + 1) = P 2(x) + ⇒ P 2(x) = P (x2 + 1) − Áp dung bő đe 2.3.1 ta có P (x) = Q(x2 + 1) ho¾c P (x) = xQ2(x2 + 1) Trưịng hop P (x) = Q(x2 + 1) ⇒ Q [(x2 + 1)2 + 1] = Q2(x2 + 1) + Trưòng hop P (x) = xQ2(x2 + 1) ⇒ (x2 + 1)Q ((x2 + 1)2 + 1) = x2Q2(x2 + 1) + Đ¾t x2 + = y Tù trưịng hop 2, ta có: yQ(y2 + 1) = (y − 1)Q2(y) + Vói y = ⇒ Q(2) = (1) Vói a ƒ= 0; Q(a) = Suy aQ2(a2 + 1) = (a − 1) + ⇒ Q(a2 + 1) = (2) Tù (1) (2) suy Q = Tù trưòng hop (2) suy P (x) = Q(x2 + 1).Trong Q(x) nghi¾m cna tốn ban đau ⇒ P (x) = T (T ( (T (x) ) vói T (x) = x2 + Hay P (x) = (x2 + 1) 2k + vói k ∈ N∗ Thu lai 4k 2k P (x2 + 1) = (x2 + 1) + 2k + = (x2 + 1) + (x2 + 1) + 4k 2k Σ 2, P 2(x) + = (x2 + 1) + (x2 + 1) + + Q Suy P (x2 + 1) = P 2(x) + 2.4 Phương pháp sE dnng b¾c cua đa thÉc e phương pháp này, se su dung vi¾c tìm b¾c cna đa thúc đe xác đ%nh đưoc đa thúc can tìm Nhac lai Cho hai đa thúc P (x), Q(x) đa thúc b¾c m, n tương úng Khi deg(P.Q) = m + n, deg P (Q(x)) = mn Bài tốn 2.4.1 Tìm tat ca đa thúc P (x) thóa mãn x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = P 2(x) Lài giai Đ¾t deg P (x) = k vói k ∈ N Khi ta có (1) = 2k ⇔ k = Suy P (x) = ax2 + bx + c (a ƒ= 0) Vì h¾ so cao nhat cna ve trái bang nên a = Suy P (x) = x2 + bx + c Thay vào phương trình (1) ta đưoc x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = x4 + 2bx3 + (b2 + 2c)x2 + 2bcx + c2 Đong nhat h¾ so hai ve ta đưoc  2b =2  b2 + 2c = 3  ⇔  b=1  c=1 2bc =  c2 = Suy P (x) = x2 + x + Thu lai De dàng tính đưoc vói P (x) = x2 + x + P 2(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Q Bài tốn 2.4.2 Tìm tat ca đa thúc P (x) thóa mãn P (x)P (x + 1) = P (P (x)) (1) Lài giai Đ¾t deg P (x) = k vói k ∈ N Khi deg P (x) = deg P (x + 1) = k ⇒ deg [P (x)P (x + 1)] = 2k Lai có deg P (P (x)) = k2 Tù phương trình (1) suy 2k = k2 Suy k = ho¾c k = Xét trưịng hop k = Khi P (x) = const = c Thay vào phương trình (1) ta đưoc c2 = c Suy c = ho¾c c = V¾y P (x) ≡ ho¾c P (x) ≡ Xét trưịng hop k = Khi P (x) = ax2 + bx + c (a ƒ= 0) Thay vào phương trình (1) thu GQN hai ve ta đưoc a2x4 + 2abx2 − (2a2 − 2ac − b2)x2 − 2(ab − bc)x + a2 + 2ac + c2 − b2 = = a4x4 + 2a2bx3 + (ab2 + 2a2c + ab)x2 + (2abc + b)x + bc + ac2  a Đong nhat h¾ so ta đưoc  suy P (x) = (x − 1)2 = 1b = −2  c=1 Thu lai De dàng nh¾n thay P (x) = ho¾c P (x) = ln thoa mãn tốn Vói P (x) = (x − 1)2 ta có P (x)P (x + 1) = (x − 1)2x2 = (x2 − x) 2 P (P (x)) = P [(x − 1)2] = [(x − 1)2 − 1] = (x2 − 2x) Suy P (x)P (x − 1) = P (P (x)) (thoa mãn tốn) V¾y P (x) ≡ 0; P (x) ≡ P (x) = (x − 1)2 Bài tốn 2.4.3 Tìm tat ca đa thúc P (x) thóa mãn   P (x) = [P (x + 1) + P (x − 1)] ,   Q ∀x P (0) = Lài giai Đây m®t cách làm khác cna 2.1.12 Xét deg P (x) = Khi P (x) ≡ thoa mãn tốn Xét deg P (x) ≥ Theo đe ta có: P (x) − P (x − 1) = P (x + 1) − P (x) Đ¾t Q(x) = P (x + 1) − P (x) Suy Q(x − 1) = P (x) − P (x − 1) Tù suy Q(x − 1) = Q(x) ⇒ Q(x) = const = c M¾t khác deg Q(x) = deg(P (x)) − Mà deg Q(x) = ⇒ deg P (x) = Lai có P (0) = Do P (x) = ax, a ƒ= Thu lai De dàng nh¾n thay P (x) = ln thoa mãn tốn Vói P (x) = ax, a ƒ= Ta có [P (x + 1) + P (x − 1)] = (ax + a + ax − a) = ax = P (x) P (0) = V¾y P (x) ≡ P (x) = ax, a ƒ= Q Bài toán 2.4.4 (VMO 2006) Hãy xác đ%nh tat ca đa thúc P (x) vái h¾ so thnc thóa mãn h¾ thúc sau P (x2)+x [3P (x) + P (−x)] = (P (x))2+2x2, ∀x ∈ R (1) Lài giai De nh¾n thay deg P (x) > Xét deg P (x) = Đ¾t P (x) = ax + b(a ƒ= 0), the vào (1), ta đưoc (a2 − 3a + 2) x2 + 2b(a − 2b)x + b2 − b = (2) Đong nhat h¾ so hai ve cna (2) ta đưoc (a = 1, b = 0) , (a = 2, b = 0) , (a = 2, b = 1) Ta đưoc đa thúc P (x) = x, P (x) = 2x, P (x) = 2x + Xét deg P (x) = n(n > 1) Đ¾t P (x) = axn+S(x), a ƒ= (3) vói S(x) đa thúc, deg S = k < n The (3) vào (1), ta đưoc (a2 − a)x2n + (S(x))2 − S(x2) + 2axnS(x) = [3 + (−1)n] axn+1+[3S(x)+S(−x)]x−2x2 (4) Vì b¾c cna đa thúc nam o ve phai cna (4) bang n + n + < 2n nên tù (4) ta đưoc a2 − a = hay a = Do đó, tù (4) ta có 2xnS(x) + (S(x))2 − S(x2) ≡ [3+(−1)n]xn+1+[3S(x)+S(−x)]x−2x2 Vì b¾c cna đa thúc nam o ve trái cna (5) bang n + k b¾c cna đa thúc nam o ve trái cna (5) bang n + nên tù (5) suy k = Hơn nua, thay x=0 (5) vào (5) ta đưoc (S(0))2 − S(0) = Suy S(0) = ho¾c S(0) = Như v¾y S(x) = px ho¾c S(x) = px + Trưịng hop S(x) = px The vào (5) ta đưoc [3 + (−1)n − 2p] xn+1 − (p2 − 3p + 2) x2 ≡   + (−1)n − ⇔ 2p =  p − 3p + = ⇔ p = 1, n ≡ 1(mod 2) ho¾c p = 2; n ≡ 0(mod 2) Tù ta đưoc đa thúc P (x) = x2n+1 + x P (x) = x2n + 2x Trưòng hop S(x) = px + Thay vào (5) ta đưoc [3 + (−1)n − 2p] xn+1 − 2xn + (p2 + 3p − 2) x2 + 2x(2 − p) ≡ Đong nhat h¾ so ta đưoc 3 + (−1)n − 2p = p =    2xn = ⇒ (−1)n − =  p + 3p − =  p =   2xn = Suy vô lí Chúng to khơng ton tai đa thúc thoa mãn bieu thúc (1) trưịng hop Như v¾y, tat ca đa thúc thoa mãn đe là: P (x) = x; P (x) = x2n+1 + x P (x) = x2n + 2x, n ∈ N tùy ý Q Bài toán đưoc thu lai o 2.1.12 Bài tốn 2.4.5 Tìm tat ca đa thúc P (x) thóa mãn h¾ thúc P (3x) = P j (x)P jj (x)P jjj (x) Lài giai Ta xét hai trưịng hop Neu deg P ≤ P jjj (x) = ⇒ P (3x) = ⇒ P (x) = (1) Thu lai Neu deg P (x) = n ≥ deg P j (x) = n − 1, deg P jj (x) = n − 2, deg P jjj (x) = n − Vì b¾c hai ve cna phương trình (1) bang nên ta có n = (n − 1) + (n − 2) + (n − 3) ⇒ n = Đ¾t P (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ƒ= 0) Khi P j (x) = 3ax2 + 2bx + c, P jj (x) = 6ax + 2b, P jjj (x) = 6a, P (3x) = 27ax3 + 9bx2 + 3cx + d The vào phương trình (1) đong nhat h¾ so ta đưoc 27a = 108a2  9b = 2 108ba   a∈  1  2 1  2   ; − ⇔ 3c = 24b a +  36ca2  b=0  c=0 d=  12abc d=0 1 x3 ho¾c P (x) =− x3 2 Do đó: P (x) = Thu lai Vói P (x) = P (3x) = x3 ta có 27 x3 27 x3 P j (x)P jj (x)P jjj (x) x · 3x · 2 = = Suy thoa mãn phương trình (1) Vói P (x) = − P (3x) = 27 x3 2 x3 ta có P j (x)P jj (x)P jjj (x) = 27 x3 − x · (−3x) · (−3) = 2 − Suy thoa mãn phương trình (1) 1 V¾y P (x) = 0, P (x) x , P (x) = − x3 2 = Q Bài tốn 2.4.6 Tìm tat ca đa thúc P (x) vái h¾ so thnc thóa mãn + P (x) = [P (x + 1) + P (x − 1)] ∀x ∈ R Lài giai Trưóc het ta chúng to rang deg(P ) ≤ Th¾t v¾y, gia su ngưoc lai có P (x) vói deg(P ) > thoa mãn tốn Ta đ¾t P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0(an 0) Thay vào h¾ thúc cna đe ý tói h¾ so cna xn−2 (túc an−2) ta đưoc an−2 = (2ancn2 + 2an−2) suy an = Mâu thuan Khi deg(P ) = 0, ta thay P (x) = const vào h¾ thúc cna đe bài, ta thay ko thoa mãn Khi deg(P ) = 1, ta xét P (x) = ax + b, thay vào h¾ thúc cna đe bài, ta thay không thoa mãn Khi deg(P ) = 2, ta xét P (x) = ax2 + bx + c Thay vào h¾ thúc cna đe bài, suy a = Ngưoc lai, MQI đa thúc P (x) = ax2 + bx + c đeu thoa mãn đe Q KET LU¾N Lu¾n văn “ M®t vài tốn ve đa thúc phương trình hàm đa thúc m®t bien” giai quyet đưoc nhung van đe sau Lu¾n văn tőng hop kien thúc ban ve đa thúc đ%nh nghĩa đa thúc, phép chia het, phép chia có dư, đa thúc bat kha quy, chúng minh đ%nh lí ban, tiêu chuan bat kha quy Lu¾n văn t¾p trung phân tích phương pháp giai phương trình hàm đa thúc Cu the, lu¾n văn trình bày dang tốn phương trình hàm thưịng g¾p ba phương pháp thưịng dùng giai phương trình hàm đa thúc Lu¾n văn sưu tam, tőng hop đa dang tốn kì thi Olimpic quoc te Lu¾n văn giúp nâng cao hieu biet cna ban thân đoi vói tốn ve đa thúc, phương trình hàm đa thúc Lu¾n văn nguon tài li¾u tham khao cho giáo viên HQc sinh phő thơng M¾c dù co gang, nhiên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót, rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQ c Tài li¾u tham khao A Tieng Vi¾t [1] Lê Th% Kim Liên (2012), Đ%nh lí ban cua đai so, Lu¾n văn Thac sĩ Tốn HQc, ĐHKH ĐH Thái Nguyên, tr 32 − 33 [2] Nguyen Văn M¾u (2002), Đa thúc đai so phân thúc huu ts, NXB Giáo duc [3] Lê Hồnh Phị (2016), Chuyên khao đa thúc, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i B Tieng Anh [4] Dusan Djukic (2007), Polynomial Equations, www.imo.math.com [5] Miguel A.Lerma (2016), Putnam training Polynomials, http:// www.math.northwestern.edu [6] Paul Vaderlind (2005), The Polynomial, Stockholm University [7] http:// artofproblemsolving.com [8] www.cs.cornell.edu ...Cao Th% Nga M®T VÀI BÀI TỐN VE ĐA THÚC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THÚC M®T BIEN Chun ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC... nói đau 1 M®t vài toán ve đa thÉc 1.1 Đa thúc, nghi¾m cna đa thúc 1.1.1 Đa thúc m®t bien 1.1.2 Đa thúc bang 1.1.3 Phép c®ng trù đa thúc,... 1.2.2 Đa thúc bat kha quy Z[x] 31 1.2.3 Moi quan h¾ bat kha quy Z[x] Q[x] 35 1.2.4 Các toán 37 iv Phương trình hàm đa thÉc 43 2.1 Phương trình dang P (f )P (g) = P (h) 43 2.2 Phương