Luận văn thạc sĩ về một bài toán cân bằng tách và ứng dụng trong thị trường điện

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ TH± VUI VE M®T BÀI TỐN CÂN BANG TÁCH VÀ ÚNG DUNG TRONG TH± TRƯèNG ĐIfiN LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Nm 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ TH± VUI VE M®T BÀI TOÁN CÂN BANG TÁCH VÀ ÚNG DUNG TRONG TH± TRƯèNG ĐIfiN Chun ngành: Tốn Éng dnng Mã so: 60460112 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS TSKH Lê Dũng Mưu Mnc lnc Lài cam ơn ii Danh mnc ký hi¾u Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Hilbert 1.2 T¾p loi hàm loi không gian Hilbert 1.3 Tốn tu chieu khơng gian Hilbert 14 Chương Bài toán cân bang tách Éng dnng 17 2.1 Bài toán cân bang 17 2.1.1 Bài tốn toi ưu hóa 21 2.1.2 Bat thúc bien phân 21 2.1.3 Bài toán điem bat đ®ng Kakutani .23 2.1.4 Cân bang Nash trị chơi khơng hop tác 24 2.1.5 Bài toán điem yên ngna 25 2.1.6 Sn ton tai nghi¾m cna toán cân bang 26 2.2 Bài toán cân bang tách 29 2.3 Úng dung vào toán san xuat đi¾n 41 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham khao 46 i Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia H Nđi dúi sn húng dan tắn tỡnh v nghiờm khac cna GS TSKH Lê Dũng Mưu Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay Tác gia xin chân thành cam ơn Khoa Tốn - Cơ - Tin hQc, Phịng Sau đai HQ c, Trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, ĐHQGHN, quý thay cô tham gia giang day khóa cao HQc 2016 - 2018 có cơng lao giang day tơi suot thịi gian HQc t¾p tai Trưịng Nh¾n d%p này, tơi xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ong nghiắp ó luụn bờn tụi c v, đng viờn, giúp đõ tơi suot q trình HQ c t¾p v thnc hiắn luắn tot nghiắp H Nđi, ngy 30 tháng 11 năm 2018 HQc viên Đő Th% Vui Danh mnc ký hi¾u domf Mien huu dung cna song hàm f EP (f, C) Bài toán cân bang liên ket f C liminf Giói han c¾n dưói limsup Giói han c¾n max Giá tr% lón nhat Giá tr% nho nhat NC(x) Nón pháp tuyen cna C tai x ∈ C ∂f (x) Dưói vi phân cna f tai x Pr C (x) Hình chieu cna x lên C proxf (x)Toán tu gan ke cna f SEO Bài toán cân bang tách SFP Bài toán chap nh¾n tách Sol(f, C) T¾p nghi¾m cna tốn cân bang Lài nói đau Cho H khơng gian Hilbert thnc vói tích vơ hưóng , chuan ǁ.ǁ tương úng Cho C t¾p loi, đóng, khác rong cna H Σ song hàm f : C × C → R cho f (x, x) = vói MQi x ∈ C Trong lu¾n văn này, xét toán cân bang EP (f, C) sau Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗, y) ≥ ∀y ∈ C Bài toán cân bang EP (f, C) đưoc GQI bat thúc Ky Fan đe ghi nh¾n sn đóng góp cna ông lĩnh vnc Bat thúc đưoc su dung lan đau tiên boi Nikaido Isoda (1955) cho trị chơi bat hop tác Sau cơng bo cna Blum Oettli (1994)(xem phan tài li¾u trích dan [6]), toán cân bang EP (f, C) thu hút đưoc nhieu ý cna nhà nghiên cúu m®t so lưong lón viet đưoc cơng bo Điem thú v% cna tốn cân bang EP (f, C) o cho, mắc dự cú mđt cụng thúc rat đơn gian bao hàm lóp tốn quan TRQNG tốn toi ưu hóa, bat thúc bien phân, toán điem yên ngna, tốn cân bang Nash lý thuyet trị chơi khơng hop tác, tốn điem bat đ®ng, Chính v¾y tốn cân bang có nhieu úng dung thnc tien, chang han v¾t lý, ngành ky thu¾t, lý thuyet trị chơi, v¾n tai, kinh te, h¾ thong mang đi¾n, M®t so phương pháp giai đưoc đe xuat cho tốn cân bang, phương pháp chieu thưịng đưoc su dung Tuy nhiên, đoi vói tốn cân bang n iắu, phng phỏp mđt phộp chieu cú the khụng h®i tu Đe khac phuc nhưoc điem này, phương pháp đao hàm tăng cưòng (hai phép chieu) đưoc đe xuat đau tiên boi Korpelevich (1976) cho toán điem yên ngna đưoc mo r®ng cho tốn cân bang gia đơn đi¾u Gan phương pháp chieu dưói vi phân khơng xác đưoc phát trien cho tốn song hàm cân bang tien đơn đi¾u khơng gian Euclid huu han chieu Phương pháp chi dùng m®t phép chieu tai moi vịng l¾p, van đam bao tớnh hđi tu Núi ngan GQN, tai moi vũng lắp k, xk+1 đưoc đ%nh nghĩa phép chieu xap xi cna xk − αk gk lên C gk xap xi đưịng chéo dưói đao hàm cna hàm loi f (xk , ) tai xk Vói cách cHQN cừ búc k phự hop, dóy lắp hđi tu tói nghi¾m cna tốn cân bang EP (f, C) Bài tốn chap nh¾n tách khơng gian Hilbert huu han chieu đưoc giói thi¾u đau tiên boi Censor Elving (1994) cho mơ hình tốn ngưoc, đưoc xuat phát tù vi¾c tái tao khơi phuc lai hình anh y te (Byrne 2002) Gan đây, ngưịi ta phát hi¾n rang tốn có the đưoc su dung đe đieu chinh cưịng đ® búc xa Ve m¾t tốn HQc, tốn chap nh¾n tách khơng gian Hilbert thnc có the phát bieu sau: cho H1 H2 hai không gian Hilbert thnc C ⊆ H1 , Q ⊆ H2 t¾p loi, đóng, khác rong, A : H1 → H2 tốn tu tuyen tính b% ch¾n Bài tốn chap nh¾n tách đưoc đ%nh nghĩa sau Tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q ∀y ∈ C Bài toán chap nh¾n tách đưoc ký hi¾u SFP Gan đây, tốn C Q t¾p nghi¾m cna bat thúc bien phân iem bat đng oc nghiờn cỳu v mđt so thu¾t tốn su dung phép chieu ket hop vói ánh xa gan ke, đien Kraikaew Saejung (2014)(xem phan tài li¾u trích dan [6]), Lopezetal (2012), Moudafi (2011)(xem phan tài li¾u trích dan [6]), Moudafi Thakur (2014) Tang et al (2014)(xem phan tài li¾u trích dan [6]) Lu¾n án Tien sĩ cna Tran Vi¾t Anh [1], Đ¾ng Xuân Sơn [5] nhieu tác gia khác Trong lu¾n văn này, ta xét trưịng hop mo r®ng phương pháp cna Santos Scheimberg (2011) cho tốn chap nh¾n tách vói C t¾p nghi¾m cna tốn cân bang tien đơn đi¾u H1 Q t¾p nghi¾m cna tốn loi H2 Ve m¾t tốn HQ c, tốn đưoc phát bieu sau Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗, y) ≥ ∀y ∈ C g(Ax∗) ≤ g(u) ∀u ∈ H2, g hàm loi nua liên tuc dưói H2 Thu¾t tốn đưoc đe xuat boi nhóm tác gia Lê Dũng Mưu, Lê Hai Yen Nguyen Th% Thanh Huyen, sn ket hop cna phép chieu phương pháp cna Santos Scheimberg (2011) cho tốn cân bang vói sơ đo l¾p Mann - Kranoselskii cho tốn tu gan ke đưoc xác đ%nh boi tốn toi ưu hóa, thu¾t tốn đam bao h®i tu manh Đe minh HQA cho tốn, ta xét m®t mơ hình can bang vói chi phí mơi trưịng toi thieu phát sinh san xuat iắn Luắn gom hai chng Chng mđt chỳng ta nhac lai m®t so kien thúc ban ve khơng gian Hilbert, t¾p loi, hàm loi tốn tu chieu không gian Hilbert Chương hai, phan đau tìm hieu ve tốn cân bang vói lóp tốn cna nó, sn ton tai nghi¾m cna tốn cân bang Tiep theo, tìm hieu ve bi toỏn chap nhắn tỏch vúi mđt trũng hop suy rđng l bi toỏn cõn bang tỏch Thuắt tốn cho tốn cân bang tách ví du san xuat đi¾n tài li¾u [6] đưoc trình bày chi tiet Hà N®i, ngày 30 tháng 11 năm 2018 HQc viên Đő Th% Vui Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, nhac lai m®t so khái ni¾m ket qua đưoc su dung chương tiep theo cna lu¾n văn Phan đau chương trình bày ve m®t so kien thúc ban ve khơng gian Hilbert, hàm loi dưói vi phân cna hàm loi Muc tiep theo liên quan tói tốn tu chieu khơng gian Hilbert tính chat cna Phan cuoi chương nói ve m®t so bő đe, ket qua đưoc su dung chúng minh ket qua cna chương tiep 1.1 Không gian Hilbert Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Xem [3]) Cho H không gian trưàng K Tích vơ hưáng xác đ%nh H đưac đ%nh nghĩa sau , : H × H → K Σ Σ (x, y) ›→ x, y , thóa mãn đieu ki¾n sau Σ Σ a) x, y = y, x ∀x, y ∈ H; Σ Σ Σ b) x + y, z = x, z + y, z ∀x, y, z ∈ H; Σ Σ c) λx, y = λ x, y ∀x, y ∈ H, λ ∈ K; Σ Σ d) x, x ≥ ∀x, y ∈ H x, x = ⇐⇒ x = Σ So x, ΣΣ y đưac GQI tích vơ hưáng cua hai vectơ x y C¾p H, , đưac GQI khơng gian tien Hilbert (hay cịn GQI khơng gian Unita) Tù đ%nh nghĩa, ta thay rang tích vơ hưóng , dang song tuyen tính xác đ%nh dương H Khi đó, HΣ đưoc GQi không gian tien Hilbert thnc Đ%nh lý 1.1.1 (Xem [3]) Cho H không gian tien Hilbert Vái MQI x, y ∈ H, ta ln có bat thúc sau Σ Σ Σ y ≤ x, x y, y x, Nh¾n xét 1.1.1 (Xem [3]) Bat thúc o Đ%nh lý 1.1.1 đưoc gQI bat thúc Schwarz, bat thúc Schwarz đau ” = ” xay chi x, y phu thu®c tuyen tính Đ%nh lý 1.1.2 (Xem [3]) Cho H không gian tien Hilbert Khi đó, ǁxǁ = x, x H Σ 12 ∈ H ,x xác đ%nh m®t chuan M®t khơng gian tien Hilbert, xem khơng gian đ%nh chuan, có the đay đn ho¾c khơng đay đn Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Xem [3]) M®t khơng gian tien Hilbert đay đu vái chuan cam sinh tù tích vơ hưáng đưac GQI khơng gian Hilbert Ví dn 1.1.1 Ta xét m®t so ví du ve khơng gian Hilbert a) Rn khơng gian Hilbert thnc vói tích vơ hưóng x, y = n xiyi, Σ Σ i= x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn b) Xét không gian l = ,x = (xn)n ∈K: ∞ Σ n= | xn |2 < +∞, Σ Ta biet l khơng gian Banach vói chuan ǁxǁ = ∞ |xn |2 De dàng Σ Σ n= kiem tra rang x, y = ∞ xi yi xác đ%nh m®t tích vơ hưóng l2 n=1 ∞ Σ |xn|2 V¾y l2 m®t khơng gian cam sinh chuan ǁxǁ n= = Hilbert Khang đ%nh Vói moi z ∈ S bat kỳ, gia su rang {xkj } dãy cna {xk } cho lim sup f (xk , z) = lim sup f (xkj , z) (2.18) j→+∞ k→+∞ x∗ điem tu yeu cna {xkj } Khi đó, x∗ ∈ Sol(f, C) Khơng mat tính tőng qt, ta có the gia su rang {xkj } h®i tu yeu tói x∗ j → +∞ Do f (., z) nua liên tuc trên, su dung Khang đ%nh 2, ta có k f (x∗ , z) lim ≥ sup f (x j , z) = j→+∞ Do z ∈ S f gia đơn đi¾u, ta có f (x∗, z) ≤ Như v¾y, f (x∗ , z) = M®t lan nua theo tính gia đơn đi¾u ta nh¾n đưoc f (z, x∗) ≤ Vì the f (x∗, z) = f (z, x∗) = Khi đó, su dung tính tien đơn đi¾u (A3), ta có the ket lu¾n rang x∗ nghi¾m cna toán EP (f, C) Khang đ%nh MQI điem tu yeu x cna dãy {xk } thoa mãn x ∈ C Ax ∈ argming Lay x điem tu yeu cna {xk } {xkj } dãy cna {xk } h®i tu yeu tói Σ + x Khi đó, x ∈ C M¾t khác, ta biet rang ∞ β < +∞ Do − x ǁ ≤ βk k k ǁy k k= lim ǁyk − x ǁ = k→+ ∞ Vì vắy {y kj } hđi tu yeu túi x Tự Bő đe 2.2.3, neu Oh(yk) ƒ= h2(yk) (1 − ak)ρk(4 − ρk) ≤ ǁx ǁOh(yk)ǁ2 neu Oh(yk) = k −z ǁ −ǁ x k+ −z ǁ + Ak ≤ ǁxk − zǁ2 − ǁxk+1 − zǁ2 + Ak Đ¾t N1 := {k : Oh(yk) ƒ= 0} lay tőng ta có the viet sau (1 ρk) k Σ∈ f h2 (y k ) − 2ǁOh( N ak)ρ − z− ǁ k (4 k )ǁ ǁ x − y k ≤ ǁx k+1 − zǁ + Ak < +∞ Ket hop vói gia su ξ ≤ ρk ≤ − ρ < a < ak < b < 1, ta có the ket lu¾n rang h2(yk) < +∞ (2.19) kΣ∈N ǁOh(yk)ǁ2 k Hơn nua, Oh liên tuc Lipschitz vói MQI hang so ǁAǁ2 , ta có ǁOh(y k )ǁ2 b% ch¾n Boi v¾y h(y k ) → vói MQI k ∈ N1 k → +∞ Chú ý rang h(y k ) = vói MQI k ∈/ N1 Tương đương lim h(yk) = (2.20) k→+ ∞ Boi tính nua liên tuc yeu cna h, ta có ≤ h(x) ≤ lim inf h(y kj ) = lim inf h(y k ) = j→+∞ (2.21) k→+∞ Đieu kéo theo Ax điem co đ%nh cna toán tu gan ke cna g Do đó, Ax ∈ argming Khang đ%nh lim xk = lim yk = lim P (xk) = x∗, x∗ k→+∞ k→+ ∞ k→+ ∞ điem tu yeu cna dãy thoa mãn 2.18 Tù Khang đ%nh Khang đ%nh 4, ta có the suy x∗ ∈ S Boi Khang đ%nh 1, ta có the gia su rang lim ǁxk − x∗ǁ = c < +∞ k→+ ∞ Do Bő đe 1.3.3, ta có ǁzk − x∗ǁ ≤ ǁyk − x∗ǁ ≤ ǁxk − x∗ǁ + ǁyk − xkǁ ≤ ǁxk − x∗ǁ + βk, đieu kéo theo lim sup ǁzk − x∗ǁ ≤ lim sup(ǁxk − x∗ǁ + βk) = c k→+∞ k→+∞ M¾t khác k→+ ∞ lim ǁak(xk − x∗) + (1 − ak)(zk − x∗)ǁ = k→+ ∞ lim ǁxk+1 − x∗ǁ = c Su dung Bő đe 1.3.4 vói vk := xk − x∗ wk := zk − x∗, ta có k lim sup xk = ǁ z− k→+∞ ǁ (2.22) Ket hop 2.22 vói x∗ điem tu cna dãy {xk}, ta thay rang x∗ điem tu yeu cna dãy {zk} Gia su {zkj } h®i tu yeu tói x∗ Chú ý rang ǁxkj +1 − PS (xkj +1 )ǁ2 ≤ ǁxkj − PS (xkj )ǁ2 ≤ akj ǁxkj − PS (xkj )ǁ2 + (1 − jak )ǁz kj − PS (xkj )ǁ2 M¾t khác ǁz kj − PS (xkj )ǁ2 = ǁz kj − xkj ǁ2 ǁxkj +1 − PS (xkj )ǁ2 − z kj − PS (xkj ), PS (xkj ) − Σ xkj Do ǁxkj +1 − PS (xkj +1 )ǁ2 ≤ (2a − 1)ǁxkj − PS (xkj )ǁ2 + (1 j− ak )ǁz kj − xkj ǁ2 j k Σ − 2(1 − ak j) z kj − PS (xkj ), PS (xkj ) − xkj kj kj kj kj j k − 1)ǁx − PS (x )ǁ Σ∗ + (1 − ak )ǁz ≤ (2a j − 2(1 − a )z − x ), P (x ) − xk −x ǁ j kj kj Σ 2(1 − ajk ) x∗ − PS (xkj ), PS (xkj ) − xkj − Do x∗ ∈ S nên kj Σ x∗ − PS (xkj ), PS (xkj ) − xkj ≥ Dãy {xkj } b% ch¾n nên dãy {xkj −PS (xkj } b% ch¾n Su dung lim ǁz kj − xkj =0 lim j→+∞ akj ǁ = , ta có the ket lu¾n rang j→+ ∞ lim ǁxkj +1 − PS (xkj +1 )ǁ2 = j→+ ∞ (2.23) Bây giò, ta chúng minh {PS (xkj } dãy Cauchy Th¾t v¾y, vói MQI m > j, ta có ǁPS (xkm − PS (xkj )ǁ2 = 2ǁxkm − PS (xkm )ǁ2 + 2ǁxkm − PS (xkj ǁ2 km km+1 ) + (xkj +1 ))ǁ2 − 4ǁx − (PS (x PS ≤ 2ǁxkm − PS (xkm )ǁ2 + 2ǁxkm − PS (xkj )ǁ2 k k − 4ǁxm − PS(xm )ǁ = 2ǁxkm − PS (xkj ǁ2 − 2ǁxkm − PS (xkm )ǁ2 (2.24) Do đó, áp dung Bő đe 1.3.1 vói z = PS (xkj ), ta nh¾n đưoc ǁxkm − PS (xkj )ǁ2 ≤ 2ǁxkm − − PS (xkm )ǁ2 + Amk −1 m−1 ≤ 2ǁxkj − PS (xkj )ǁ2 kΣ A i + (2.25) i=kj Tù 2.24 2.25, ta thu đưoc km−1 Σ ǁPS (xkm − PS (xkj )ǁ2 ≤ 2ǁxkj − PS (xkj ǁ2 + Ai − 2ǁxkm − PS (xkm )ǁ2 i=kj Tù 2.23 km lim kj Σ− Ai = 0, ta có the ket lu¾n rang {PS (x } dãy Cauchy j→+∞ i=k j Do đó, {PS (xkj )} h®i tu manh tói x∗ S Do lim ǁxkm +1 + PS (xkj +1 ǁ = 0, j→+∞ ∈ kj ∗ nên dãy {x } h®i tu manh tói x Cuoi cùng, su dung Khang đ%nh 1, ta có the ket lu¾n rang lim xk = lim yk = lim P (xk) = x∗ k→+ ∞ k→+ ∞ k→+ ∞ Nh¾n xét 2.2.3 Trong trưịng hop, tốn khơng ton tai nghi¾m dãy phép l¾p đưoc xác đ%nh boi Thu¾t tốn có the khơng b% ch¾n Ta thay, H1 = H2 = R2, A toán tu đơn v%, ≥ }, u Q = {x = (u, v) ∈ R2 : u ≥ 1, v = 0}, f (x, y) = iK(y) − iK(x) g(x) = iQ(x), K = {x = (u, v) ∈ R2 : u ≥ 1, v đó, iM viet tat cna hàm chi cna t¾p M Rõ ràng, trưịng hop tốn SEO đưoc rút gQN thành tìm điem S := K ∩ Q = ∅ Ta chQn, vói MQI k ∈ N, sk = 0, βk = 1 , δk = 1, ρk = 2, ak = k Do f (x, y) = iK (y) − iK (x), ta có (0, 0) ∈ ∂2 f (u, u) vói x = (u, u) ∈ K.Vì v¾y, tai moi vịng l¾p k, ta ln có gk (0, 0) = xk = y k vói MQI k Do k S := K ∩ Q = ∅ nên hk(y ) Chú ý rang proxλg (x) = PQ(x) vói λ > bat kỳ Bang phép tính tốn ban, su dung yk = xk, ta chúng minh đưoc rang zk = PK(yk − µk(I − proxλg )(yk)) = PK(PQ(xk)) Lay xk := (uk, vk) Ta thay rang uk = +∞ Th¾t v¾y, đ%nh nghĩa lim k→+∞ cna Q K, hình chieu cna xk = (uk, vk) lên Q (uk, 0), hình chieu cna (uk, 0) lên K nam biên cna K Gia su rang (ak , ) hình chieu cna ak k (u , 0) lên K Khi ak nghi¾m toi ưu cna tốn ϕ (a), a≥1 k ϕk(a) = Σ(uk − a)2 + Σ loi manh [1, +∞) Do uk ≥ nên a ϕJ uk + Σ < k 16[uk ]3 Vì k v¾y ak ≥ u + (2.26) 16[uk]3 k Do zk = k (x + zk), tù 2.26 ta , ) xk+1 := (uk+1, vk+1) (u , 0) = PK (ak = có ak uk = +∞ uk+1≥ uk + k 32[u ] Do uk ≥ vói MQI k nên ta có the ket lu¾n rang lim k→+∞ 2.3 Úng dnng vào tốn san xuat đi¾n Trong phan này, xét mơ hình cân bang toi ưu, có the đưoc coi trưịng hop mo r®ng cna mơ hình đ®c quyen Nash - Cournot h¾ thong mang đi¾n Trong mơ hình cân bang này, ta gia su rang có n cơng ty Cơng ty thú i có Ii đơn v% (mi y) san xuat iắn Ký hiắu x l vect vúi cỏc TQA đ xj lưong sinh boi đơn v% j Chúng ta gia su rang giá đi¾n pi (s) hàm affin tăng vói s = Σ N xj, N tőng nhà máy san xuat đi¾n, j= pi(s) = α − βis Khi đó, loi nhu¾n cna cơng ty thú i đưoc tính theo công thúc Σ Σ fi (x) = pi (s)( xj ) − cj (xj ), j∈I j∈I i i cj (xj ) chi phí đe san xuat xj cna đơn v% j Gia su Ki t¾p chien lưoc cna cơng ty thú i, túc đieu ki¾n sau đưoc thoa mãn vói MQI i Σ xj ∈ Ki j∈Ii Khi đó, t¾p chien lưoc cna mơ hình K := K1 × K2 × · · · × Kn Trên thnc te, moi cơng ty tìm cách toi đa hóa loi nhu¾n cna bang cách cHQN múc san xuat tương úng theo gia đ%nh rang vi¾c san xuat cna cơng ty khác đeu tham so đau vào Cách tiep c¾n cho mơ hình dna khái ni¾m cân bang Nash Ta nhó lai rang điem x∗ ∈ K = K1 × K2 × · · · × Kn điem cân bang cna mơ hình neu fi (x∗ ) ≥ fi (x∗ [xi ]) ∀xi ∈ Ki ∀i = 1, 2, , n, vectơ x∗[xi] viet tat cho vectơ đat đưoc tù x∗ bang cách thay the x∗i vói xi Bang cách đ¾t f (x, y) := ψ(x, y) − ψ(y, x) vói n Σ ψ(x, y) := − fi(x[yi]), (2.27) i=1 tốn tìm điem cân bang Nash cna mơ hình có the viet bieu thúc sau Tìm x∗ ∈ K : f (x∗, x) ≥ ∀x ∈ K (EP) Ta mo r®ng mơ hình cân bang bang cách gia đ%nh thêm rang đe san xuat đi¾n, đơn v% san xuat su dung m−loai v¾t li¾u Kí hi¾u al,j so lưong cna v¾t li¾u thú l (l = 1, m) e san xuat mđt n v% iắn boi n v% san xuat thú j (j = 1, N ) Đ¾t A ma tr¾n vói phan tu al,j Khi đó, phan tu thú l cna vectơ Ax so lưong v¾t li¾u thú l đe san xuat x Su dung v¾t li¾u đe san xuat có the gây nhiem mơi trưịng mà cơng ty phai tra chi phí mơi trưịng Gia su rang g(Ax) tőng chi phí mơi trưịng đe san xuat x Câu hoi đ¾t bây giị tìm x∗ cho điem cân bang Nash vói toi thieu hóa chi phí mơi trưịng Bài tốn có the bieu dien toán cân bang tách sau Tìm x∗ ∈ K : f (x∗, x) ≥ ∀x ∈ K, g(Ax∗) ≤ g(Ax) ∀x ∈ K (SEO) Như thưịng l¾, ta gia su rang vói moi j, chi phí san xuat cj chi phí mơi trưịng g hàm loi tăng Gia thiet loi o có nghĩa ca chi phí san xuat chi phí mơi trưịng đe san xuat m®t đơn v% đi¾n đeu tăng lên tăng so lưong đi¾n san xuat Vói gia thiet loi, khơng khó đe thay rang tốn EP vói f đưoc cho boi cơng thúc (2.27) có the bieu dien sau Σ Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ , x) := B x∗ −a, x−x∗ +ϕ(x)−ϕ(x∗ ) ≥ ∀x ∈ K, (2.28) a :=T (α, α, , α) ,     β1 0 0 β1 β1 β1     B := β2 ,B := β2 0β2 β2 , 1      0 0 βn βn βn  βn  n Σ ϕ(x) := x B1x + cj(xj) T j=1 Chú ý rang cj loi, kha vi vói moi j tốn (2.28) bat thúc bien phân Tìm x∗ ∈ K : B x∗ − a + Oϕ(x∗ ), x − x∗ Σ ≥ ∀x ∈ K (2.29) Tiep theo, ta xét m®t ví du cu the Gia su có hai cơng ty đi¾n lnc Cơng ty thú nhat có hai nhà máy san xuat đi¾n, lan lưot x1 x2 Cơng ty thỳ hai cú mđt nh mỏy san xuat iắn x3 Hàm chi phí lan lưot c1(x1) = 2x12, c2(x2) = x − x 2, 2 c3(x3) = x , x1 , x2 ∈ K1 = [0, 10], x3 ∈ K2 = [5, 15] ChQN α = 100 h¾ so giam giá βj = β = 0.1, j = 1, Khi đó, hàm giá đưoc xác đ%nh sau p(x1, x2, x3) = 100 − 0.1(x1 + x2 + x3) Do đó, loi nhu¾n cna hai cơng ty đưoc tính theo công thúc f1 (x1 , x2 , x3 ) = [100 − 0.1(x1 + x2 + x3 )](x1 + x2 ) − (2x2 + x2 − x2 ), f2 (x1 , x2 , x3 ) = [100 − 0.1(x1 + x2 + x33)]x3 − x Gia su a1j, j = 1, lưong than e san xuat mđt n v% iắn o nh mỏy thú j Đ¾t Σ A = a11 a12 a13 Σ Khi đó, tőng so lưong than can dùng đe san xuat x1 + x2 + x3 đơn v% đi¾n đưoc xác đ%nh boi bieu thúc Σ x1 Σa11 a12  x2  = a11x1 + a12x2 + a13x3 a13   Ax = x Đ¾t g(u) := τu , τ > chi phí mơi trưịng dùng m®t lưong than u đe san xuat đi¾n Do đó, tőng chi phí mơi trưịng đe san xuat x = x1 + x2 + x3 đưoc tính sau g(Ax) = τ (a11x1 + a12x2 + a13x3)2 Bài tốn đ¾t tìm x∗ ∈ K = K1 × K2 × K3 cho f (x∗, x) ≥ ∀x ∈ K, g(Ax∗) ≤ g(Ax) ∀x ∈ K Ket lu¾n Lu¾n văn đe c¾p đen nhung van đe sau: Nhac lai m®t so kien thúc ban ve khơng gian Hilbert, t¾p loi, hàm loi tốn tu chieu khơng gian Hilbert Tìm hieu ve tốn cân bang vói lóp tốn sn ton tai nghi¾m cna tốn cân bang Trình bày lai chi tiet ve thu¾t tốn úng dung th% trưịng đi¾n cna tốn cân bang tách Tài li¾u tham khao [1] Tran Vi¾t Anh, Phương pháp giai bat thúc bien phân t¾p nghi¾m cua tốn chap nh¾n tách suy rđng, Luắn ỏn Tien s Toỏn HQc, Trũng HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i (2018) [2] Đo Văn Lưu, Phan Huy Khai, Giai tớch loi, NXB Khoa HQc v Ky thuắt H Nđi (2000) [3] Nguyen Văn Hien, Lê Dung Mưu, Nguyen Huu Đien Nh¾p mơn giai tích úng dnng, NXB Khoa HQc Tn nhiên Cơng ngh¾ (2015) [4] Hồng Tuy, Lý thuyet toi ưu, Vi¾n Tốn HQc (2006) [5] Đ¾ng Xn Sơn, M®t so phương pháp giai tốn cân bang tỏch suy rđng, Luắn ỏn Tien s Toỏn HQc, Trũng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i (2018) [6] Yen, L.H., Muu, L.D., Huyen, N.T.T., An algorithm for a class of split feasibility problems: application to a model in electricity production, Mathematical Methods of Operations Research (2016) ... 2.1.3 Bài toán điem bat đ®ng Kakutani .23 2.1.4 Cân bang Nash trị chơi khơng hop tác 24 2.1.5 Bài toán điem yên ngna 25 2.1.6 Sn ton tai nghi¾m cna toán cân bang 26 2.2 Bài toán cân. .. không gian Hilbert 1.3 Toán tu chieu không gian Hilbert 14 Chương Bài toán cân bang tách Éng dnng 17 2.1 Bài toán cân bang 17 2.1.1 Bài tốn toi ưu hóa 21 2.1.2... x Pr C (x) Hình chieu cna x lên C proxf (x )Toán tu gan ke cna f SEO Bài toán cân bang tách SFP Bài toán chap nh¾n tách Sol(f, C) T¾p nghi¾m cna tốn cân bang Lài nói đau Cho H khơng gian Hilbert