Một số lớp bài toán về phương trình hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN TUẤN MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2011 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC Nguyen Văn Tuan M®T SO LéP BÀI TỐN VE PHƯƠNG TRÌNH HÀM LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cap Mã so : 60 - 46 - 40 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS Nguyen Thành Văn Hà N®i - 2011 Mnc lnc Lèi nói đau iii Chương Kien thÉc chuan b% 1.1.Hàm so liên tnc .1 1.1.1 Đ%nh nghĩa ve hàm so liên tnc .1 1.1.2 Tính chat cua hàm so liên tnc 1.2.Hàm so chan, hàm so le 1.3.Hàm so tuan hoàn phan tuan hoàn 1.4.Tính đơn đi¾u cua hàm so 1.5.Tính chat ánh xa cua hàm so Chương M®t so phương trình hàm ban 2.1.Phương trình hàm Cauchy 2.2.Phương trình hàm Jensen 11 2.3.V¾n dnng phương trình hàm ban vào giai toán 14 Chương M®t so phương pháp giai phương trình hàm 31 3.1 Phương pháp su dnng tính liên tnc cua hàm so 31 3.2 Phương pháp Qui nap toán HQC 43 i 3.3 Phương pháp su dnng tính đơn đi¾u cua hàm so .46 3.4 Phương pháp su dnng tính chat ánh xa cua hàm so 58 3.5 Phương pháp điem bat đ®ng 71 3.6 Phương pháp đưa ve dãy so 79 3.6.1 Cơ so lý thuyet phương trình sai phân 79 3.6.2 Mđt so bi toỏn vắn dnng 81 Ket lu¾n 86 Tài li¾u tham khao 87 ii Lèi nói đau Phương trình hàm m®t nhung lĩnh vnc hay khó cua tốn HQC sơ cap Trong kì thi Olympic Tốn HQC Quoc gia, Khu vnc Quoc te thưịng xun xuat hi¾n tốn phương trình hàm Các tốn thưịng khó, đơi rat khó Đe giai tốn đó, trưóc tiên ta can nam vung tính chat ban ve hàm so, m®t so phương trình hàm ban, phương pháp giai có sn v¾n dnng thích hop Vói mong muon có the tiep c¾n đưoc vói tốn phương trình hàm kì thi Olympic Tốn, lu¾n văn se theo hưóng Cn the, lu¾n văn chia làm ba chương: Chương Kien thúc chuan b% Trình bày ve đ%nh nghĩa tính chat ban cua hàm so Chương M®t so phương trình hàm ban Trình bày ve m®t so phương trình hàm ban, dang liên quan m®t so trưịng hop riêng le hay mo r®ng, sâu ve phương trình hàm Cauchy, v¾n dnng cua Trong chương se có nhieu tốn thi Olympic đe thay đưoc tam quan TRQNG cua phương trình hàm ban Chương M®t so phương pháp giai phương trình hàm Trình bày m®t so phương pháp giai phương trình hàm thơng dnng Ő mői phương pháp se bat đau bang phương pháp chung, m®t so lý thuyet huu ích liên quan, tốn v¾n dnng, cuoi phan t¾p vói goi ý kèm theo Trong có khơng tốn khó, tốn thi HQC sinh gioi giúp tìm hieu sâu hơn, nam vung tùng phương pháp Đe hồn thành lu¾n văn, trưóc het tơi xin đưoc gui lịi cam ơn sâu sac tói TS Nguyen Thành Văn dành thịi gian hưóng dan, đánh giá, chi bao, t¾n tình giúp đõ q trình xây dnng đe tài hồn thi¾n lu¾n văn Qua đây, tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay cơ, anh ch% HQC viên cao HQC tốn khóa 2009-2011, Ban giám hi¾u, Phịng sau đai HQC, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQC trưịng đai HQC Khoa HQC Tn nhiờn H Nđi ó tao ieu kiắn, giỳp đõ suot q trình hồn thành khóa HQC Tuy có nhieu co gang thịi gian kha han hep nên van đe trình bày lu¾n văn cịn chưa đưoc trình bày sâu sac khơng the tránh khoi nhung sai sót Mong nh¾n đưoc sn góp ý xây dnng cua thay cô ban Tôi xin chân thành cam ơn ! Hà n®i, ngày tháng 11 năm 2011 HQC viên Nguyen Văn Tuan Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, ta chi trình bày đ%nh nghĩa, tính chat ban liên quan đen hàm so phnc cho tốn đưoc trình bày chương sau Ta quan tâm đen hàm so f (x) vói t¾p xác đ%nh D( f ) ⊆ R t¾p giá tr% R( f ) ⊆ R 1.1 Hàm so liên tnc 1.1.1 Đ%nh nghĩa ve hàm so liên tnc Đ%nh nghĩa 1.1 Giá su hàm so f xác đ%nh khoáng (a, b) ⊂ R x0 ∈ (a, b) Ta nói ∞ f (x) hàm liên tnc tai x0 neu vái MQI dãy so {xn } n= , x∈n (a, b) cho lim xn = x0 →+∞ n ta đeu có lim f (xn) = f (x0) n→+∞ Đ%nh nghĩa tương đương vói đ%nh nghĩa sau: Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f (x), xác đ%nh (a; b), đưac GQI liên tnc tai x0 ∈ (a, b) neu lim x→x0 f (x) = f (x0) Đieu có nghĩa ∀ε > ton tai δ (ε), chi phn thu®c vào ε, cho ∀x : |x − x0| < δ | f (x) − f (x0)| < ε Hàm so không liên tnc tai x0 đưac GQI gián đoan tai điem x0 Đ%nh nghĩa 1.3 Giá su hàm so f xác đ%nh t¾p hap J, J l mđt khoỏng hoắc hap cua nhieu khoỏng hoắc R Ta nói hàm so f liên tnc J neu nú liờn tnc tai MQI iem thuđc hap ú Đ%nh nghĩa 1.4 Hàm so f xác đ%nh đoan [a, b] đưac GQI liên tnc đoan [a, b] neu liên tnc khống (a, b) lim x→a+ f (x) = f (a), lim f (x) = f (b) x→b− 1.1.2 Tính chat cua hàm so liên tnc Ő mnc trên, ta có cách đe xác đ%nh m®t hàm so liên tnc Tuy nhiên vi¾c su dnng đ%nh nghĩa khơng phai lúc đơn gian Do v¾y, ngưịi ta chúng minh đưoc tính chat rat huu ích, giúp ta xác đ%nh nhanh hàm so liên tnc, sau: 1.Các hàm so sơ cap ban như: hàm lũy thùa, hàm thúc, hàm lưong giác, hàm so mũ, hàm logarit, hàm so liên tnc mien xác đ%nh cua 2.Gia su f (x), g(x) hàm so liên tnc D ∈ R Khi ( f + g)(x) = f (x) + g(x), ( f ◦g)(x) = f [g(x)] hàm liên tnc D f (x ) Gia su g(x) =ƒ 0, ∀x ∈ R Khi hàm liên tnc Trong g(x trưịng hop ngưoc lai nú liờn tnc trờn xỏc %nh cua nú Mđt so tính chat quan TRQNG khác cua hàm so liên tnc: Đ%nh lý 1.1 (Đ%nh lý ve giá tr% trung gian cua hàm so liên tnc) Giá su hàm so f liên tnc đoan [a, b] Neu f (a) ƒ= f (b) vái MQI so thnc M nam giua f (a) f (b), ton tai nhat m®t điem c ∈ (a, b) cho f (c) = M M¾nh đe 1.1 Giá su f (x), g(x) hai hàm xác đ%nh liên tnc R Khi neu f (x) = g(x), ∀x ∈ Q ta có f (x) ≡ g(x) R ChÉng minh Vói mői x ∈ R, ta xét dãy so huu ti sn, n ∈ N thoa lim sn = x n mãn Do f (r) = g(r) r Q nên f (s ) = g(s ) n N →+∞ +∞ ,∀ ∈ , Lay giói han hai ve n → , n n , ∀ ∈ vói ý f (x), g(x) hàm liên tnc, ta có lim n→+∞ f (sn) = lim g(s⇒ )n n→+∞ f ( lim sn) = g( lim sn) ⇒ f (x) = g(x) n→+∞ n→+∞ V¾y vói x ∈ R bat kì ta có f (x) = g(x) Hay f (x) = g(x), ∀x ∈ R (ĐPCM) Nh¾n xét: Trong m¾nh đe ta có the thay gia thiet f (x) = g(x), ∀x ∈ Q bang gia thiet f (x) = g(x), ∀x ∈ A, A t¾p hop trù m¾t R bat kì Vói đ%nh nghĩa ve t¾p hop trù m¾t sau: Đ%nh nghĩa 1.5 T¾p A ∈ R đưac GQI t¾p trù m¾t R neu chi neu ∀x, y ∈ R, x < y đeu ton tai a ∈ A cho x < a < y Ví dn 1.1 Q t¾p trù m¾t R 2.Gia su ≤ p ∈ N T¾p A = { p n m | m ∈ Z, n ∈ N} trù m¾t R 1.2 Hàm so chan, hàm so le Đ%nh nghĩa 1.6 Xét hàm so f (x) vái t¾p xác đ%nh D( f ) ⊆ R t¾p giá tr% R( f ) ⊆ R Khi đó: (i) f (x) đưac GQI hàm so chan M, M ⊂ D( f ) neu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M (ii) f (−x) = f (x), ∀x ∈ M f (x) đưac GQI hàm so lé M, M ⊂ D( f ) neu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M 1.3 f (−x) = − f (x), ∀x ∈ M Hàm so tuan hoàn phan tuan hoàn Đ%nh nghĩa 1.7 Hàm so f (x) đưac GQI hàm tuan hồn (c®ng tính) chu kì a, a > M, M ∈ D( f ) neu vái MQI x ∈ M ta có x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M So thnc T > nhó nhat (neu có) thóa mãn f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ M đưac GQI chu kì só cua hàm so tuan hoàn f (x) Đ%nh nghĩa 1.8 Hàm so f (x) đưac GQI phán tuan hoàn (c®ng tính) chu kì b, b > M, M ∈ D( f ) neu vái MQI x ∈ M ta có x ± b ∈ M f (x + b) = − f (x), ∀x ∈ M Ví dn 1.2 (IMO 1968) Cho so thnc a Giá su hàm f : R → R thóa mãn f (x + a) = + f (x) − [ f (x)]2, ∀x ∈ R Chúng minh rang f (x) hàm tuan hồn Lay ví dn hàm f trưàng hap a = 1 Giai Gia su f hàm can tìm Ta thay rang 2≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R 1 Đ¾t f (x) − = g(x), ∀x ∈ R Khi ≤ g(x) ≤ , ∀x ∈ R ta có 2 g(x + a) = − [g(x)]2 , ∀x ∈ R Hay [g(x + a)]2 = − [g(x)]2 Suy [g(x + 2a)]2 = − [g(x + a)]2 = [g(x)]2 ⇒ g(x + 2a) = g(x), ∀x ∈ R Do f (x + 2a) = f (x),∀x R, hay f (x) hàm tuan hoàn ∈ π 1 Vói a = de dàng kiem chúng hàm f (x) = | sin x| + , ∀x ∈ R thoa mãn toán 2 toán Tiep theo, ta xem xét m®t vài tính chat cua hm f oi vỏi hap iem bat đng Sn cua hàm hap f n, tính chat giua t¾p Sn Nó có the giúp ích đoi vái phương pháp Ta bat đau vái đ%nh nghĩa sau: Đ%nh nghĩa 3.2 Vái hàm f bat kì, kí hi¾u f = f f n+1 = f ( f n) vái n ∈ N∗ Ta đ%nh nghĩa Sn l hap cỏc iem bat đng cua f n Ta de dàng thay rang neu x điem bat đ®ng cua f x điem bat đ®ng cua f n, túc S1 ⊆ Sn Neu x điem bat đ®ng cua fn f (x) điem bat đ®ng cua f n f n ( f (x)) = f n+1 (x) = f ( f n (x)) = f (x), nên t¾p f (Sn ) nh¾n giá tr% Sn Ngồi ra, f đơn ánh Sn neu f (a) = f (b) vói a, b ∈ Sn a = f n(a) = f n−1( f (a)) = f n−1( f (b)) = f n(b) = b Đieu dan đen: neu Sn t¾p huu han f song ánh Sn Vì tù g(x) = x suy g2(x)2 = g(g(x)) = g(x) = x nên điem bat đ®ng cua g điem bat đ®ng cua g Lay g = f , f 2, f 4, f 8, ta thu đưoc S1 ⊆ S2 ⊆ S4 ⊆ S8 ⊆ Đây tính chat huu ích giua t¾p Sn Bài tốn 3.5.6 (VietNam TST 1990) Tìm tat cá hàm so f : R → R thóa mãn f ( f (x)) = x2 − vái MQI x ∈ R LŐI GIÂI Gia su rang hàm f thoa mãn tốn ton tai Vi¾c xem xét đen t¾p S2 S4 giúp ta giai quyet tốn ny Tắp hop cỏc iem bat đng cua f t¾p hop nghi¾m cua phương trình x = x2 − 2, túc S2 = {−1, 2} T¾p iem bat đng cua f l nghiắm cua phng trình √x = x4 − 2x2 + 2, g√iai phương −1 ± −1 + −1 − trình ta suy S4 = {−1, 2, } Đ¾t c = d = 2 Vì f song ánh S2, S4 c, d ∈ S4 \ S2 nên ta suy f (c) = c ho¾c f (c) = d Neu f (c) = c f 2(c) = c suy c điem bat đ®ng cua f 2, đieu khơng Vì v¾y f (c) = d, tương tn f (d) = c Khi c = f (d) = f ( f (c)) = f 2(c), mâu thuan V¾y khơng ton tai hàm f thoa mãn tốn Ta có m®t cách mo r®ng tốn dưói đây, cách giai hồn tồn tương tn, ta có cách khác khơng dùng đen tính chat cua S2, S4 Bài tốn 3.5.7 Chúng minh rang khơng ton tai hàm f : R → R thóa mãn f ( f (x)) = x2 −q, q > LŐI GIÂI Đ¾t g(x) = x2 −q Hàm g(x) cú iem bat đng a, b l nghiắm cua phương trình g(x) = x2 −q = x hay x2 −x−q = Ta có g(g(x)) = x ⇐⇒ (x2 −q)2 −q = x 2 ⇐⇒ (x −x−q)(x − x − q + 1) = (1) GQI u, v nghi¾m cua nhân tu thú ve trái cua (1) Khi hàm g(g(x)) có điem bat đ®ng a, b, u, v Ta có g(u) = v, g(v) = u Th¾t v¾y: u, v là2 nghi¾m cua phương trình x2 −x−q + = nên su dnng h¾ thúc Viet g(x) = x −q ta se có g(u) = v, g(v) = u Gia su ton tai f thoa mãn toán, túc f ( f (x)) = g(x) Ta có v = g(u) = f ( f (u)) suy f (v) = g( f (u)) Tương tn, ta có f (u) = g( f (v)) The neu đ¾t f (u) = z ta có g(g(z)) = g(g( f (u))) = g( f (v)) = f (u) = z Ta đưoc z điem bat đ®ng cua g(g(x)) Bây giò, ta chúng minh z khác vói điem bat đ®ng a, b, u, v - Neu z = a khí v = g(u) = f (z) = f (a) ta có f (v) = f ( f (a)) = a suy f (u) = z = a = f (v), g(u) = f ( f (u)) = f ( f (v)) = g(v) ⇐⇒ v = u, đieu không the Như v¾y z ƒ= a Tương tn, z ƒ= b - Neu z = u ta có f (u) = u suy v = g(u) = f ( f (u)) = f (u) = u, mâu thuan Neu z = v f (v) = f (z) = f ( f (u)) = g(u) = v ta dan đen u = g(v) = f ( f (v)) = f (v) = v, mâu thuan Như v¾y, z điem bat đ®ng thú cua g(g(x)) Vơ lý, g(g(x)) đa thúc b¾c Mâu thuan chúng to gia su f ton tai sai V¾y khơng ton tai hàm f thoa mãn tốn Nhắn xột trờn, viắc mo rđng vúi g(x) = x2 q đieu ki¾n q > − đe đam bao phương trình g(g(x)) = x ⇐⇒ (x − x − q)(x − x − q + 1) = có nghi¾m thnc phân bi¾t Vì the neu ta lay g(x) hàm b¾c hai tùy ý mà van đam bao g(g(x)) = x có nghi¾m thnc phân bi¾t, chang han g(x) = x2 − x − 3, ta có the giai tương tn Nhưng neu thay g(x) mà không đam bao đieu tốn se khác, ban ĐQC có the suy nghĩ thêm Lay ví dn, vói g(x) = x2, tốn mói là: Tìm hàm f : R R→ thoa mãn f ( f (x)) = x2, có m®t nghi¾m de nh¾n thay f (x) = |x √ , v¾y chí khác vói tốn ban đau có nghi¾m Vi¾c thay f boi f n, n ∈ N| ∗ đong thòi thay đoi g(x) có the rat phúc tap 2 Bài tốn 3.5.8 (IMO 1996) Tìm tat cá hàm f : N → N thóa mãn f (m + f (n)) = f ( f (m)) + f (n), ∀m, n ∈ N (1) LŐI GIÂI Trong m = n = ta có f (0 + f (0)) = f ( f (0)) + f (0) Suy f (0) = 0, tù cho m = ta có f ( f (n)) = f (n), trưịng hop riêng f ( f (0)) = f (0) = Tù thúc ta có the viêt lai (i) sau f (m + f (n)) = f (m) + f (n) Theo trên, vói MQI n ∈ N f (n) điem bat đ®ng cua f GQI k điem bat đ®ng khác bé nhat cua hàm f Neu không ton tai k f (n) = vói MQI n ∈ N Khi ú, f (n) l mđt nghiắm cua tốn Xét trưịng hop ton tai k Bang quy nap ta de dàng chúng minh đưoc rang f (qk) = qk vói q ∈ N tùy ý Bây giị, ta lai xác đ%nh t¾p điem bat đ®ng cua f Gia su f có điem bat đ®ng n > k Ta viet n = kq + r, vói q, r ∈ N; ≤ r < k Khi đó, ta có n = f (n) = f (r + kq) = f (r + f (kq)) = f (r) + f (kq) = kq + f (r) Suy f (r) = r, đieu dan đen r = 0, k > r ≥ điem bat đ®ng nho nhat cua f Như the, MQI điem bat đ®ng cua f b®i cua k Tuy nhiên, vói MQI n ∈ N f (n) điem bat đ®ng cua f Do đó, f (n) b®i cua k vói MQI n Ta gia su so nguyên không âm c1, c2, , ck−1 thoa mãn f (r) = crk vói ≤ r < k, cHQN c0 = The hàm f tong qt thoa mãn tốn f (qk + r) = qk + crk, vói ≤ r < k De dàng kiem tra hàm thoa mãn đieu ki¾n tốn Th¾t v¾y, cho m = ak + r, n = bk + s vói ≤ r, s < k f ( f (m)) = f (m) = ak + crk, f (n) = bk + csk, f (m + f (n)) = f (ak + crk + bk + csk) = ak + bk + crk + c sk f ( f (m)) + f (n) = ak + bk + crk + csk, kéo theo (1) đưoc thoa mãn Tóm lai, hàm xác đ%nh trờn l nghiắm tong quỏt cua bi toỏn MđT SO BÀI T¾P V¾N DUNG: Bài t¾p 3.5.1 Tìm tat cá hàm f : R → R thóa mãn f (x + f (y)) = 2x + f (y) + x f (y), ∀x, y ∈ R Bài t¾p 3.5.2 (Tournoi des villes 1996) Tìm tat cá f : R → R thóa mãn f ( f (x)) = x2 − 1996 vái MQI x ∈ R Bài t¾p 3.5.3 Chúng minh rang khơng ton tai hàm f : R → R thóa mãn đieu ki¾n (i) f (−x + y) = x + f (y) + y2 f (y) ∀x, y ∈ R f (x) (ii) giám thnc sn (−∞, 0) tăng thnc sn (0, +∞) x Bài t¾p 3.5.4 Chúng minh rang không ton tai hàm f : R → R thóa mãn đieu ki¾n (i) 2x + y = f (x + f (y) + y2 f (y)) ∀x, y ∈ R f (x) (ii) giám thnc sn (−∞, 0) tăng thnc sn (0, +∞) x Bài t¾p 3.5.5 Tìm tat cá hàm so f : R → R thóa mãn f ( f (x)) = x2 −x− 3, ∀x ∈ R Bài t¾p 3.5.6 (Italy TST 2005) Cho hàm so f : {1, 2, , 1600} → {1, 2, , 1600} thóa mãn f (1) = f 2005 = x, ∀x ∈ {1, 2, , 1600} a)Chúng minh rang f có m®t điem bat đ®ng khác b)Tìm tat cá n > 1600 cho vái MQI hàm f : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} thóa mãn đieu ki¾n có nhat hai điem bat đng Gei ý Ta cú cỏc nhắn xột sau: - NX 1: hàm f đơn ánh - NX 2: Neu f n1 (x0) = x0, f n2 (x0) = x0 f d(x0) = x0 vói d = (n1, n2) - NX 3: Neu n nho nhat thoa mãn f n(x0) = x0 n|2005 t¾p A = {x0, f (x0), , f n−1 (x0)} có tính chat f n (x) = x, ∀x ∈ A Khi ta GQI t¾p A có tính chat Tn Gia su f (x) ƒ= x, ∀x > Khi {2, 3, , 1600} có the phân hoach thành p t¾p có tính chat T5 q t¾p có tính chat T401, r t¾p có tính chat T2005, vói p, q, r ∈ N Suy 5p + 401q + 2005r = 1599, phương trình vơ nghi¾m dan đen gia su sai Và ta có ĐPCM 3.6 Phương pháp đưa ve dãy so 3.6.1 Cơ se lý thuyet phương trình sai phân Trong phan này, ta xét nhieu đen phương trình sai phân (PTSP) tuyen tính thuan nhat Ban ĐQC quan tâm có the tn tìm hieu thêm ve phương trình sai phân khơng thuan nhat, se khơng q khó đe ban ĐQC có the làm đieu Chúng ta bat đau vói đ%nh nghĩa cách xác đ%nh nghi¾m cua phương trình sai phân trưòng hop đơn gian Xét dãy so thnc xn, n ∈ N Ta có đ%nh nghĩa sau: Đ%nh nghĩa 3.3 PTSP tuyen tính cua dãy xn m®t bieu thúc tuyen tính giua giá tr% cua dãy xn tai điem khác nhau: a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = fn , ∀n ∈ N, (1) ∗ k ∈ N ; ; i = 0, 1, , k vái a0 , ak ƒ= hang so thnc, fn hàm so cua n; giá tr% xn can tìm đưac GQI an Phương trình (1) đưac GQI PTSP b¾c k Đe tính đưac giá tr% xn ta phái cho trưác k giá tr% liên tiep cua xn Đ%nh nghĩa 3.4 Neu fn ≡ 0, ∀n ∈ N (1) trá thành a0xn+k + a1xn+k−1 + + akxn = 0, ∀n ∈ N, (2) phương trình đưac GQI PTSP tuyen tính thuan nhat b¾c k Đ%nh nghĩa 3.5 Xét dãy xn, n ∈ N vái PTSP (2) Khi phương trình a λ k + a1λ k−1 + + ak−1λ + ak = (3) đưac GQI phương trình đ¾c trưng cua PTSP tuyen tính thuan nhat (2) Bây giị, ta trình bày (khơng chúng minh) cách xác đ%nh nghi¾m tong quát, theo công thúc truy hoi, cua PTSP tuyen tính thuan nhat m®t so trưịng hop đơn gian, đưoc the hi¾n qua đ%nh lý dưói Đ%nh lý 3.1 Neu (3) có k nghi¾m thnc phân bi¾t khác λ1, λ2, , λk nghi¾m tőng quát xn cua (2) có dang k xn = c i λin , ∑ i=1 ci; i = 1, 2, , k hang so thnc tùy ý Đ%nh lý 3.2 Neu phương trình đ¾c trưng (3) cú nghiắm thnc j , bđi s, thỡ ngoi nghi¾m λn, ta bő xung thêm nghi¾m nλn, n2λn, , ns−1λn Khi đó, nghi¾m tőng qt cua j j (2) j j x = s−1 ci n i λ n + k c λ n n ∑ j j ∑ 1i , i=0 j i≥1 cij , ci hang so thnc tùy ý; tőng ∑ thú hai chi có (k −s) nghi¾m λi Đ%nh lý 3.3 Neu phương trình (3) có nghi¾m phúc (đơn) λ j = a + bi = r(cos ϕ + sin ϕ), √ b r = |λ j | = a2 + b2, ϕ = argumen λ j , có nghĩa tan ϕ = , (3) có a nghi¾m phúc liên hap λj Khi nghi¾m tőng qt cua (2) có dang xn = k ∑ c i λ n + rn(c1cos(nϕ) + c2 sin(nϕ)), i j j jƒ=i=1 ci, c1, c2 hang so tùy ý j i Trong đ%nh lý trên, nghi¾m cịn lai đeu nghi¾m thnc đơn Các trưịng hop khác; đoi vói PTSP tuyen tính khơng thuan nhat, cách xây dnng nghi¾m riêng nghi¾m tong qt trưịng hop này, ban ĐQC có the tn tìm hieu thêm Ta áp dnng lý thuyet phương trình sai phân đoi vói hàm so t¾p xác đ%nh cua hàm N ho¾c Z Mđt trũng hop thũng gắp khỏc ta lm vi¾c vói bieu thúc dang ∑ f i(x) Khi đó, vói mői x co đ%nh, ta có the xác đ%nh dãy so sau i∈N x0 = x, x1 = f (x), x2 = f 2(x), , xk = f k(x) = f ( f k−1)(x), 3.6.2 M®t so tốn v¾n dnng Bài tốn 3.6.1 (Dãy Fibonacci) Tìm hàm f : N → R thóa mãn f (0) = 0, f (1) = f (n) = f (n− 1) + f (n− 2), ∀2 ≤ n ∈ N LŐI GIÂI Đ¾t xn = f (n), ∀n ∈ N Khi ta có x0 = 0, x1 = xn = xn−1 + xn−2, ∀2 ≤ n ∈ N Phương trình đ¾c trưng vói dãy xn λ − λ − = 0, phương trình có nghi¾m ± √5 phân bi¾t λ = Do cơng thúc tong qt cua dãy so 1+ n 1− n x=c( √ ) + c( √ ) , ∀n ∈ N n 2 Do x = 0, x = nên ta có c + c = c + 1 1 √ −1 1− 5+ c √ = Tù ta có 2 c1 = √ , c = √ 5 1+ √ n √ 11− n Bài toán 3.6.2 Cho f : N∗ → R thóa mãn đieu ki¾n f (1) = 1, f (2) = f (n + 2) = f (n + 1) − f (n), ∀n ∈ N∗ √ Chúng minh rang | f (n)| ≤ 7, ∀n ∈ N∗ LŐI GIÂI Phương trình đ¾c trưng λ 2− λ + = có nghi¾m λ = 1± i √ Ta có √ √ π 3/2 √ r = |λ| = 1/4 + 3/4 = 1; tan ϕ = = 3⇒ ϕ= Do λ = cos(π/3) ± i sin(π/3) 1/2 f (n) = c1 cos (nπ/3) + c2 sin (nπ/3), ∀n ∈ N∗ √ Ket hop f (1) = 1, f (2) = ta suy c1 = c2 = 3/2 Tù nπ nπ f (n) = cos + sin , ∀n ∈ N∗ 3 Tù suy | f (n)| ≤ 12 + ( √ )2 = √ , ∀n ∈ N∗ (ĐPCM) 2 Bài tốn 3.6.3 Tìm hàm f : N → N thóa mãn f (2 f (n) + f (m)) = 2n + 3m, ∀m, n ∈ N LŐI GIÂI (*) De thay f đơn ánh Vói MQI m, n, p, q ∈ N mà 2n + 3m = 2p + 3q ta có f (2 f (n) + f (m)) = 2n + 3m = 2p + 3q = f (2 f (p) + f (q)), f đơn ánh nên f (n) + f (m) = f (p) + f (q), ∀ 2n + 3m = 2p + 3q Tù 2n + 3m = 2p + 3q suy 2(n − p) = 3(q − m), nên m®t cách cHQN đơn gian nhat n − p = 3, q − m = Khi ta có f (p + 3) + f (m) = f (p) + f (m + 2), ∀m, p ∈ N Tiep tnc, ta cHQN p = m f (m + 3) − f (m + 2) + f (m) = 0, ∀m ∈ N, (1) Phương trình đ¾c trưng cua (1) 2x3 − 3x2 + = 0, có nghi¾m x1 = b®i 2, x2 = −1/2 Suy công thúc tong quát cua f (m) f (m) = c1 + c2m + c3(− )m, vói ci, i = 1, 2, 3, hang so tn nhiên, f (m) ∈ N nên c3 = Do2đó, f (m) = c1 + c2m, ∀m ∈ N Thay lai vào (*) ta se suy c1 = 0, c2 = V¾y f (m) = m, ∀m N Nhắn xột: Cú the mo rđng bi toỏn bang cách bien đoi phương trình (*) thành f (a f (n)+ b f (m)) = an + bm, vói a, b ∈ N Tuy nhiên, có the nh¾n thay neu giai bang phương pháp qui ve dãy so se có khó khăn PTSP b¾c cao Cú mđt cỏch giai ắc sac tng tn vúi bi toán Canada 2008 Xin dành cho ban ĐQC quan tâm tìm hieu thêm Bài tốn 3.6.4 (IMO 1992, Shortlist) Cho a, b hai so thnc dương Xác đ%nh tat cá hàm f : [0, +∞) → [0, +∞) thóa mãn f ( f (x)) + a f (x) = b(a + b)x, ∀x ≥ LŐI GIÂI Thay x boi f (x), f 2(x) = f ( f (x)), , f n(x), ta suy f n+2(x) + a f n+1(x) = b(a + b) f n(x), ∀n ∈ N Vói mői x bat kì, co đ%nh đ¾t x0 = x, xn+1 = f (xn) = f n+1(x), n ∈ N ta thu đưoc dãy so thnc xn (phn thu®c vào x trên) xác đ%nh boi x0 = x, x1 = f (x) xn+2 + axn+1 = b(a + b)xn, ∀x ∈ N Phương trình đ¾c trưng λ + aλ − b(a + b) = có nghi¾m λ = b ho¾c λ = −a − b Do ta có công thúc tong quát cua dãy sau = a b Neu c n xn0=nên c1bn + limc2(−a−b) , ∀n ∈ N Do ton tai n |(−a−b)n| = +∞ N đu ∈ , |b|n n→+∞ > lón thoa mãn xn = c1bn + c2(−a − b)n < Nhưng f n(x) < 0, mâu thuan vói gia thiet f : [0, +∞) → [0, +∞) Do v¾y ta phai có c2 = Khi vói n = ta có x = x0 = c1; cịn vói n = ta có f (x) = x1 = c1b f (x) = bx, ∀x ≥ Thu lai, ta đen ket lu¾n nghi¾m cua tốn f (x) = bx, ∀x ≥ Bài toán 3.6.5 Cho trưác k ∈ N Tìm hàm f : N → N thóa mãn f ( f (x)) + f (x) = 2x + 3k, ∀x ∈ N LŐI GIÂI Vói mői x đ¾t a0 = x vói n ≥ đ¾t an+1 = f (an) Khi ta có an+2 + an+1 = 2an + 3k an+3 + an+2 = 2an+1 + 3k, ∀n ∈ N Suy an+3 − 3an+1 + 2an = 0, ∀n ∈ N Phương trình đ¾c trưng λ − 3λ + = cú nghiắm = bđi v λ2 = −2 Nên công thúc tong quát cua an an = c1 + c2n + c3(−2)n, ∀n ∈ N Neu c3 ƒ= ton tai n mà an < 0, mâu thuan Do c3 = an = c1 + c2n Thay vào phương trình xác đ%nh dãy an ta có c1 + c2(n + 2) + c1 + c2(n + 1) = 2(c1 + c2n) + 3k ⇒ c2 = k Do an = c1 + kn Bây giò ý a0 = x, a1 = f (x) ta suy c1 = x, f (x) = x + k Thu lai, ta thay f (x) = x + k, ∀x ∈ N nghi¾m cua tốn Nh¾n xét: Tương tn tốn này, ta có the giai đưoc tốn IMO 1987 sau: Chúng minh không ton tai f : N → N thoa mãn f ( f (n)) = n + 1987, ∀n ∈ N M®T SO BÀI T¾P TRONG MUC NÀY: Bài t¾p 3.6.1 Xác đ%nh hàm f : N → N trưàng hap sau (i) f (0) = 3, f (1) = f (n) = f (n− 1) − f (n− 2) (ii) f (n + 2) + f (n + 1) − f (n) = 0, ∀n ∗∈ N Chúng minh rang f (n) = f (0), ∀n ∈ N (iii) Chúng minh không ton tai f : N → N∗ thóa mãn f ( f (n)) = n + 1987, ∀n ∈ N∗ (iv) f (1) = 2, f (n + 1) > f (n), f ( f (n)) = f (n) + n, ∀n ∈ N∗ Bài t¾p 3.6.2 (Romania 1999) Xác đ%nh hàm đơn đi¾u f : R → R thóa mãn f ( f ( f (x))) − f ( f (x)) + f (x) = 4x + 3, ∀x ∈ R Đáp so f (x) = x + 1, ∀x ∈ R Bài t¾p 3.6.3 Chúng minh rang khơng ton tai hàm f : N∗ → N∗ thóa mãn f (m f (n)) = n + f (2011m), ∀m, n ∈ N∗ Gei ý De thay f đơn ánh Ta có f ( f (m) f (n)) = n+ f (2011 f (m)) = n+m+ f (20112) Tù vói MQI m + n = p + q ta có f (n) f (m) = f (p) f (q) Suy f (n) f (q) = f (n) f ( n − 1) f (2) ⇒ = = = f (p) f f (n− f (n− f (1) = k (const) (m) 1) 2) n−1 Dan đen f (n) = k f (1) Tù k = f (n) = f (1), khơng thoa mãn vói đieu ki¾n Bài t¾p 3.6.4 Cho f : N∗ → N∗ thóa mãn f ( f (n)) = f (n + 1)+ f (n), ∀n ∈ N∗ Chúng minh rang f (n) hàm đơn ánh Gei ý Gia su ton tai m > n mà f (m) = f (n) Tù toán suy f (m + 1) = f (n + 1) Tù f (m + k) = f (n + k), ∀k ∈ N Và v¾y f (n) chi nh¾n huu han giá tr% nguyên dương M¾t khác f ( f (1)) = f (2)+ f (1) ≥ suy f ( f ( f (1))) = f ( f (1)+ 1)+ f ( f (1)) ≥ Bang quy nap ta có f k(1) ≥ k, ∀k ∈ N∗ Đieu dan đen mâu thuan Bài t¾p 3.6.5 (Balkan 2002) Tìm tat cá hàm so f : N → N thóa mãn f ( f (n)) + f (n) = 2n + 2001 ho¾c 2n + 2002, ∀n ∈ N Đáp so f (n) = n + 667 Bài t¾p 3.6.6 (VietNam 2003) Cho F t¾p hap tat cá hàm so f : R+ → R+ thóa mãn f (3x) ≥ f ( f (2x)) + x, ∀x > Tìm α ∈ R lán nhat cho vái MQI hàm f ∈ F ta đeu có f (x) ≥ α x, ∀x > Đáp so α = 1/2 Ket lu¾n Sau thịi gian hai năm HQC t¾p tai Khoa Tốn – Cơ – Tin, Trưịng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên Hà N®i, đưoc sn giúp đõ chi bao t¾n tình cua thay khoa, đ¾c bi¾t TS Nguyen Thành Văn, tơi hon thnh luắn vúi tờn e ti Mđt so lép tốn ve phương trình hàm” Lu¾n văn at oc mđt so ket qua sau : 1.Luắn nêu đưoc m®t so kien thúc ban trong đai so giai tích có úng dnng nhieu vi¾c giai quyet tốn phương trình hm 2.Luắn ó hắ thong v phõn loai mđt so dang tốn thưịng g¾p theo phương pháp giai cua tốn phương trình hàm vói nhieu tốn có lịi giai, nh¾n xét bình lu¾n 3.Lu¾n văn nêu m®t so hưóng khai thác mo r®ng, tong qt, hưóng tư tìm lịi giai bien hóa m®t so dang tốn phương trình hàm Phân dang phương trình hàm se giúp cho sn đ%nh hưóng giai quyet chúng Vì v¾y tơi hi vQNG ban lu¾n văn có the làm tài li¾u tham khao cho q trình nghiên cúu, giang day HQC t¾p tốn o b¾c thơng Tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cua thay ban đong nghi¾p đe đe tài tiep tnc đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Tran Nam Dũng, Tài li¾u boi dóng tuyen Viắt Nam tham dn IMO 2010 [2] PGS.TS Nguyen Quý Dy (chu biên), Tuyen t¾p 200 thi vơ đ%ch tốn - T¾p 3, Nhà xuat ban giáo dnc, 2001 [3] Nguyen Văn M¾u, Phương trình hàm, Nhà xuat ban Giáo dnc, 2001 [4]Lê Đình Th%nh, Lê Đình Đ%nh, Phương pháp sai phân, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i [5] Tap chí Tốn HQC Tuői tré [6] Christopher G.Small, Functional equations and how to solve them, Springer [7]Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic, Problems Suggested for The IMO 1959-2004, Springer 2004 A Colection of [8]Marko Radovanovic, Functional Equations, The Authors and The IMO Compendium Group 2007 [9]Mohamed Akkouchi, A Class of Functional Equations Characterizing Ponolymials of Dgree Two, 2001 [10]Pierre Bontein, Moubinool Omarjee , 2003 Cours - Equations Fonctionelles, Mardi [11] Website: mathlinks.ro , v nmath.com, d iendantoanhoc.net ... so phương trình hàm ban 2.1 .Phương trình hàm Cauchy 2.2 .Phương trình hàm Jensen 11 2.3.V¾n dnng phương trình. .. ve phương trình hàm Cauchy, v¾n dnng cua Trong chương se có nhieu toán thi Olympic đe thay đưoc tam quan TRQNG cua phương trình hàm ban Chương M®t so phương pháp giai phương trình hàm Trình bày... b% Trình bày ve đ%nh nghĩa tính chat ban cua hàm so Chương M®t so phương trình hàm ban Trình bày ve m®t so phương trình hàm ban, dang liên quan m®t so trưịng hop riêng le hay mo r®ng, sâu ve phương