Một số phương pháp giải phương trình hàm

ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRƯèNG ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I NGUYEN NGOC DIfiP M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mà SO: 60 46 40 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRƯèNG ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I NGUYEN NGOC DIfiP M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mà SO: 60 46 40 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưịi hưóng dan khoa HQc: TS Pham Văn Quoc Mnc lnc Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm so liên tuc 1.1.1 Đ%nh nghĩa ve hàm so liên tuc 1.1.2 Tính chat cna hàm so liên tuc .6 1.2 Hàm so chan, hàm so le 1.3 Hàm so tuan hoàn phan tuan hoàn .7 1.4 Tính đơn đi¾u cna hàm so 1.5 Tính chat ánh xa cna hàm so .8 Chương M®t so phương trình hàm ban 10 2.1 Phương trình hàm Cauchy .10 2.2 Phương trình hàm Jensen 17 2.3 V¾n dung phương trình hàm ban vào giai toán 20 Chương M®t so phương pháp giai phương trình hàm .39 3.1 Phương pháp the .39 3.2 Su dung tính liên tuc 56 3.3 Su dung tính đơn ánh, tồn ánh song ánh 62 3.4 Su dung tính đơn đi¾u 84 3.5 Su dung tính chat điem bat đ®ng 97 3.6 Đưa ve phương trình sai phân 103 3.7 Các t¾p tőng hop 108 3.8 Phương trình hàm t¾p so tn nhiên 117 Ket lu¼n 123 Tài li¼u tham khao 124 LèI NĨI ĐAU Phương trình hàm m®t nhung lĩnh vnc hay khó cna tốn sơ cap Trong kì thi Olympic Tốn HQc Quoc gia, Khu vnc Quoc te thưòng xuyên xuat hi¾n tốn phương trình hàm Các tốn thưịng khó, đơi rat khó Đe giai tốn trưóc tiên ta phai nam vung tính chat ban ve hàm so, m®t so phương trình hàm ban, phương pháp giai có sn v¾n dung thích hop Vói mong muon có the tiep c¾n đưoc vói tốn kì thi Olympic Tốn, lu¾n văn se theo hưóng Cu the, lu¾n văn chia làm ba chương: Chương Kien thÉc chuan b% Trình bày ve nhung kien thúc ban đưoc dùng chương sau như: Hàm so liên tuc, hàm so chan hàm so le, hàm so tuan hoàn hàm so phan tuan hồn, tính đơn đi¾u cna hàm so, tính chat ánh xa cna hàm so Chương M®t so phương trình hàm ban Trình bày ve m®t so phương trình hàm ban như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen nhung úng dung cna chúng viắc giai toỏn Chng Mđt so phng phỏp giai phương trình hàm Trình bày m®t so phương pháp giai phương trình hàm thơng dung e moi phương pháp bat đau bang phương pháp giai, sau tốn, cuoi tốn v¾n dung Đe hồn thành lu¾n văn, trưóc het tơi xin chân thành cam ơn sâu sac tói TS Pham Văn Quoc dành thịi gian hưóng dan, đánh giá, chi bao, t¾n tình giúp đõ trình xây dnng đe tài hồn thi¾n lu¾n văn Qua đây, tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay cơ, anh ch% HQc viên cao HQc khóa 2009-2011, Ban giám hi¾u, Phịng sau đai HQc, Khoa TốnCơ- Tin HQc trưịng đ%a HQc Khoa HQc Tn nhiên Hà N®i tao đieu ki¾n, giúp đõ suot q trình hồn thành khóa HQc Tuy có nhieu co gang thịi gian có han kha cịn han che nên van đe trình bày lu¾n văn cịn chưa đưoc trình bày sâu sac khơng the tránh khoi nhung sai sót Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý xây dnng cna thay ban Tơi xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 01 tháng 10 năm 2014 HQC viên Nguyen NGQC Di¼p Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, chi trình bày đ%nh nghĩa, tính chat ban liên quan đen hàm so phuc vu cho tốn đưoc trình bày chương sau Ta quan tâm tói hàm so f (x) vói t¾p xác đ%nh D(f ) ⊆ R t¾p giá tr% R(f ) ⊆ R 1.1 Hàm so liên tnc 1.1.1 Đ%nh nghĩa ve hàm so liên tnc Đ%nh Gia su so ftai (x) trongdãy (a,{x b) }⊂ ∞ R x0 ∈ (a, b).nghĩa Ta nói1.1.1 rang hàm so hàm liên tuc x0xác neuđ%nh vói MQI n n=1 , xn ∈ (a, b) cho lim xn = x0 ta đeu có lim n→∞ n→∞ f (xn) = f (x0) Đ%nh nghĩa tương đương vói đ%nh nghĩa sau: Đ%nh nghĩa 1.1.2 Hàm so f (x), xác đ%nh (a, b), đưoc GQI liên tuc tai x0 ∈ (a, b) neu lim f (x) = f (x0 ) Đieu có nghĩa là: vói MQI so ε > 0, ton x→x0 tai so δ = δ(ε) > cho vói MQI x ∈ (a, b) thoa mãn < |x − x0 | < δ |f (x) − f (x0 )| < Hàm so không liên tuc tai x0 đưoc GQI gián đoan tai x0 Đ%nh nghĩa 1.1.3 Gia su hàm so f xỏc %nh trờn mđt J , J cú the l mđt khoang hoắc hop cna cỏc khoang thuđc R Ta nói hàm so f liên tuc J neu liên tuc tai MQI điem thu®c J Đ%nh Hàm f (x) xác đ%nh(a, trênb)đoan [a,tuc b] đưoc GQI liên tuc trênnghĩa [a, b]1.1.4 neu liênsotuc khoang liên phai tai a, liên tuc trái tai b 1.1.2 Tính chat cua hàm so liên tnc e muc trên, ta có cách xác đ%nh mđt hm so liờn tuc Tuy nhiờn viắc su dung đ%nh nghĩa khơng phai lúc đơn gian Do v¾y, ngưịi ta chúng minh đưoc tính chat rat huu ích, giúp ta xác đ%nh nhanh hàm liên tuc, sau: Các hàm sơ cap ban như: hàm lũy thùa, hàm thúc, hàm lưong giác, hàm logarít liên tuc mien xác đ%nh cna chúng Gia su f (x) g(x) hàm liên tuc D ⊆ R Khi (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f ◦ g)(x) = f (g(x)) hàm liên tuc D ƒ Gia su g(x) = vói MQI x R, (x) f g(x) hàm liên tuc Trong trưòng hop ngưoc lai, liên tuc t¾p xác đ%nh cna M®t so tính chat khác cna hàm so liên tuc: Đ%nh lý 1.1.5 (Đ%nh lý ve giá tr% trung gian) Gia su f (x) liên tnc đoan [a, b] Neu f (a) ƒ= f (b) vái MQI so thnc M nam giua f (a) f (b) đeu ton tai c ∈ (a, b) cho f (c) = M M¼nh đe neu 1.1.6 Gia=su f (x) g(x) hai hàm xác đ%nh liên tnc R Khi f (x) g(x) váivà MQI x ∈ Q f (x) ≡ g(x) R Chúng minh Vói moi x ∈ R, ta xét dãy so huu ty sn, n ∈ N thoa mãn lim sn = x Do f (r) = g(r) vói MQI r ∈ Q nên f (sn ) = g(sn ) vói n→+∞ MQI n ∈ N Lay giói han hai ve n → +∞, ý f (x) g(x) hai hàm liên tuc, ta có ⇒ Σ n n lim f (sn) =lim g(sn) f lim sn = g lim n→+∞ n→+∞ →+∞ →+∞ s Σ ⇒ f (x) = g(x) n Vói x ∈ R bat kỳ ta có f (x) = g(x) Hay f (x) = g(x) vói MQI x ∈ R (a 1)2 −n > 0, ∀n ∈ N = V¾y (an) dãy tăng b% ch¾n boi21 ⇒ ton tai a = lim n→+∞ + a2 an (0 ≤ a ≤ 1) ⇒a = + ⇒ a = Tù (*) cho n → +∞, ta có f (x) ≥ x vói MQI x ∈ R Bài tốn 3.7.7 Cho f : R → R thoa mãn f (x) ≤ 2x2 f x Σ , ∀x ∈ R, (1) f (x) ≤ 1, ∀x ∈ (−1, 1) (2) Chúng minh rang x2 f (x) ≤ , ∀x ∈ R (*) Lài giai Thay x = vào (1) f (0) = thoa mãn (*) Xét x = 0, tù (1) ⇒ 2f (x) ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Đ¾t g(x) = vói MQI x ƒ= x2 x (1) ⇒ g2(x) ≤ g Σ , g(x) ≥ 0, ∀x ƒ= ⇒ g (x) ≤ g Σ , ∀x ƒ= x 2n x ⇒ g(x) ≤ 2.n g Σ, ∀x ƒ= Vói x bat kỳ có lim x = ⇒ ton tai N ∈ N: ∀n ≥ N, n→+∞ vói MQI n ≥ N , ta có x ∈ (−1, 1) Suy 2n ‚ 2f x Σ n 2n+1 x x 2 n g(x) ≤ , Σ Ta có lim n→+∞ 2n + 2n ≤ = 0, n→+∞ lim n+1 2n = 1, don→+∞ lim x vói MQI x ∈ R ⇒ f (x) ≤ 2n 2n = ⇒ g(x) ≤ x2chúng minh) vói MQI x ∈ R (đieu phai Bài tốn 3.7.8 Tìm f : R → R thoa mãn ((x đoi − y) )= f x2(x) 2xf (1) (y)ta+cóy2, ∀x, y ∈ R (1) Lài giai Do tínhfchat xúng cna y−trong f 2(x) − 2xf (y) + y2 = f 2(y) − 2yf (x) + x2 ⇒(f (x) + y)2 = (f (y) + x)2, ∀x, y ∈ R (2) Thay x = vào (2) ta có f 2(y) = (y + f (0))2, ∀y ∈ R (3) Thay x = y = vào (1) ⇒ f (0) = f 2(0) ⇒ f (0) = ho¾c f (0) = f (0) = Tù (3) ⇒ f (y) = y ho¾c f (y) = −y Gia su ton tai a, b ƒ= 0: f (a) = a f (b) = −b Thay x = a, y = b vào (1) ta có ⇒ f ((a − b)2) = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Σ ⇒− (a + b) = (a b) Σ 2ab = a2 + b2 = (vô lý) (a + b)2 = −(a − b)2 ⇒ V¾y f (x) = x vói MQI x ∈ R ho¾c f (x) = −x vói MQI x ∈ R Thu lai thay f (x) = x vói MQI x ∈ R (thoa mãn) f (0) = ⇒ f (y) = y + ho¾c f (y) = −(y + 1) ⇒ f (−1) = Gia su ton tai a ƒ= 0, a ƒ= −1: f (a) = −(a + 1) Thay x = a, y = −1 vào (2), 2 ⇒(f (a) − 1) = (f (−1) + a) (−a − − 1)2 = a2 ⇒ (a + 2)2 = a2 ⇒ a = −1 (vơ lý) V¾y f (x) = x + vói MQI x ∈ R (thoa mãn) Bài tốn 3.7.9 Tìm f : R → R thoa mãn: 1) f (x + 1) ≥ x + vói MQI x ∈ R, 2) f (x + y) ≥ f (x)f (y) vói MQI x, y ∈ R Lài giai Thay x = y vào (2) ta có f (2x) ≥ f (x) ≥ ⇒ f (x) ≥ vói MQI x ∈ R Ta suy f (x) ≥ f n x Σ (do x = n x + + n n x ) x ⇒f (x) ≥ + n Σn , ∀x ∈ R Co đ%nh x, ta có lim x = ⇒ ton tai N ∈ N: vói MQI n ≥ Nx, ⇒ n n→+∞ vói MQI n ≥ N n : x 1+ f (x) > Ta có Σ n n ≥ +1 > lim n→+∞ x + n Σn = ex Tù suy f (x) ≥ ex vói MQI x ∈ R Thay x = y = vào (2) ⇒ f (0) ≥ f 2(0), lai có f (0) ≥ e0 = ⇒ f (0) = Ta có = f (0) ≥ f (x)f (−x) ≥ ex · e−x = V¾y f (x) = ex vói MQI x ∈ R (thoa mãn) 3.8 Phương trình hàm t¾p so tE nhiên Bài tốn 3.8.1 Tìm f : N∗ → N thoa mãn 1) f (mn) = f (m) + f (n) vói MQI m, n ∈ N∗ , 2) f (30) = 0, 3) f (n) = neu n có t¾n bên phai bang Lài giai có 0==ff (5) (30) (2(3) · 3ta· có 5) f=(n) f (2) + neu f (3) +7 f (5) ⇒ f (2) = Ta f (3) == 0.fTù = n ≡ (mod ∗ 10) Ta có n ∈ N bat kỳ n có phân tích ngun to +∞ n = 2a1 3a2 5a3 Y k=4 k pak vói ∈ N, pi > = 2a1 · 3a2 · 5a3 · h vói(h, 2) = (h, 3) = (h, 5) = 1, (h ∈ N∗) Tù (1) ⇒ f (n) = f (h) Do (h, 2) = (h, 5) = ⇒ (h, 10) = Tù suy A = {th | t = 1, 10} h¾ tn đong dư (mod) Tù suy ∀n ∈ N∗ , ton tai tn : tn hn ≡ (mod 10) ⇒ = f 10 (tn h∗ n ) = f (tn ) + f (hn ) ⇒ f (hn ) = (do f ∈ N) ⇒ f (n) = vói MQI n ∈ N Bài toán 3.8.2 Chúng minh rang vói b ∈ N, ton tai nhat f : N∗ → N∗ thoa mãn f (m + f (n)) = n + f (m + b), ∀m, n ∈ N∗ (1) Lài giai Gia su ton tai n1, n2 ∈ N∗: f (n1) = f (n2) ⇒ n1 = n2 ⇒ f đơn ánh f (f (m) + f (n)) = n + f (m + b) = m + n + f (2b) V¾y vói m, n, p, q ∈ N∗ thoa mãn: m + n = p + q f (f (p) + f (q)) = f (f (m) + f (n)) ⇒ f (m) + f (n) = f (p) + f (q) Thay p = q = k, m = k + 1, n = k − (k ≥ 2) k + + k − = 2k f (k + 1) + f (k − 1) = 2f (k) vói MQI k ≥ Tù ⇒ f (k + 1) − f (k) = f (k) − f (k − 1) = = f (2) − f (1) = d∈Z ⇒ f (1), f (2), , f (n) lắp thnh cap so cđng cụng sai d ⇒ f (n) = (n − 1)d + a vói d ∈ Z, d ƒ= 0, a = f (1) (do f đơn ánh) Thay vào (1) ta có d ([m + (n − 1)d + a] − 1) + a = n + d(m + b − 1) + a ⇒  d2 =  ⇒ d(a − d) = d = ±1 a = b + d bd d = ⇒ f (1) = b + ⇒ f (n) = n + b (thoa mãn) vói MQI n ∈ N∗ d = −1 ⇒ f (n) = −n + b vói MQI n ∈ N∗ ⇒ f (n) < vói MQI n > b (vơ lý) Bàimãn: tốn1) 3.8.3 Chúng f (0) = 1,minh rang không ton tai f : R → R thoa 2) f (x + f (y)) = f (x + y) + vói MQI x ∈ R, 3) Ton tai x0 ∈ Q \ Z mà f (x0) ∈ Z Lài giai Thay y = vào (2) ⇒ f (x + 1) = f (x) + 1, ∀x ∈ R ⇒ f (n) p =n+1 vói MQI n ∈ Z, mà f (x + n) = f (x) + n, ∀x ∈ R, vói MQI n ∈ Z Đ¾t x0 = p p ∈ Z, q ∈ N, q ≥ 2, (p, q) = Ta có f Σ = n ∈ Z Ta tính f , q q q q p + f ΣΣ p p p + f ΣΣ = f + Σ+ 2p q q q q =f Σ + (theo (2)) p p p f q+ f q ΣΣ = f qq + nΣ f p =f p Σ + n = 2n q 2p ⇒f Σ = 2n − Σ Σ p p p 2p p f q =f + =f + f ΣΣ − q q q q q p =f 2p q + nΣ − =f 2p Σ + n − = 3n − p Làm tương tn ta có f q · q Σ = qqn − (q − 1) ⇒ f (p) = qn − q + ⇒ p + 1= p qn − q + ⇒ n p q+ q= +p = q Có x0 = ∈/ Z ⇒ n ∈/ Z (vơ lý) V¾y ta có đieu phai chúng minh Bài tốn 3.8.4 Chúng to rang không ton tai song ánh f : N∗ → N thoa mãn ∗ f (mn) = f (m) + f (n) + 3f (m)f (n), ∀m, n ∈ N(1) Lài giai Thay n = vào (1) ⇒ f (m) = f (m) + f (1) + 3f (m)f (1) ⇒ f (1)[1 + 3f (m)] = ⇒ f (1) = Do f song ánh nên suy vói MQI n > 1, f (n) ≥ Xét k = m · n hop so, m, n ≥ f (k) = f (m) + f (n) + 3f (m)f (n) ≥ Do f song ánh nên {1, 2, 3, 4} đưoc nh¾n boi so nguyên to ⇒ ∃p, q ∈ P: f (p) = 1, f (q) = Ta có f (q2) = 2f (q) + 3f 2(q) = 33, f (pr) = f (p) + f (r) + 3f (p)f (r) = 4f (r) + Do f toàn ánh nên ton tai nhat so r: f (r) = ⇒ f (q2) = f (pr) ⇒ q2 = pr (vơ lý) Bài tốn 3.8.5 Cho f xác đ%nh N∗ thoa mãn: 1) f (p) = vói MQI p ∈ P, 2) f (mn)∗= mf (n) + nf (m) vói MQI m, n ∈ N Tìm n đe f (n) = n Lài giai Ta có f (p2) = 2pf (p) = 2p, ∀p ∈ P, f (p3 ) = p2 f (p) + pf (p2 ) = 3p2 , ∀p ∈ P Quy nap ta có f (pk ) = kpk−1 vói MQI p ∈ P Vói n = pm1 · pm2 , ta có f (n) = pm1 f (pm2 ) + pm2 f (pm1 ) 2 m1 =p = · m2p m2 −1 p m2n m2 p n = p1 m1 · m1p p Σ · n p mi ·· · mk k , ta f (n) k có = Gia su có f (n) = n Khi đó, ta có k Σ i Σ m mp n = · n i · n vói n ∈ N∗ MQI pi k ⇒ i=1 k i =1 ≥ 1) i i=1 m ⇒p1 mi Σ i=1 · Σ m1 −1 i= = m1n Quy nap vói p + m2 +p p (mi − m1 ∈ Z i i=2 pi = p1 ⇒p1 · · · pk−1 mk · ∈Z p k ⇒mk pk m1 Tương tn m p vói MQI i V¾y k = ⇒ =1⇒m= p=p i i p1 (thoa mãn) Bài toán 3.8.6 Cho f : N∗ → N∗ thoa mãn (n)) = nf (m),m, n ∈ N∗ Chúng to rang neu pf ∈(mf P f (p) ∈ P V¾y n = pp (1) Lài giai Thay m = vào (1) ⇒ f (f (n)) = nf (1) vói MQI n ∈ N∗ ⇒ f đơn ánh N∗ (chưa suy đưoc toàn ánh) Thay n = vào (1) ⇒ f (mf (1)) = f (m) vói MQI m ∈ N∗ ⇒ mf (1) = m vói MQI m ∈ N∗ ⇒ f (1) = ⇒ f (f (n)) = n vói MQI n ∈ N∗ ⇒ f song ánh Thay n boi f (n) vào (1) ⇒ f (mn) = f (m)f (n) vói MQI m, n ∈ N∗ ⇒ f hàm nhân tính Hàm nhân tính N∗ có tính chat sau: α1 α2 n=p · · ·i pαi p ⇒f (n) = [f (p1 )]α1 · · · [f (pi )]αi Xét p ∈ P đ¾t f (p) = m · n, m, n ∈ N∗ (m, n ≥ 2), ⇒ f (m)f (f (p)) == f (m.n) == f 1, (n) p f (m) Σ⇒ f (n) = p, f (m) = p, f (n) = f 1, f f (p) (n) = so p nguyên ⇒ m =to1(đieu (do fphai đơn ánh) (vơ(m) lý) = V¾y chúng minh) Bài toán 3.8.7 Cho f : N∗ → N∗ thoa mãn ∗ n2 ∈ f (m), ∀m, n ∈làNso phương (1) Chúng minh rang neu fp (mf ∈ P (n)) f = (p) P ho¾c f (p) cna m®t so nguyên to Lài giai Thay m = vào (1) ta có f (f (n)) = n2 f (1), ∀n ∈ N∗ (2) Gia su ton tai f (n1 ) = f (n2 ), tù (2) ⇒ n2 f (1) = n2 f (1) ⇒ n1 = n2 (do ∗ n1, n2 ∈ N ) V¾y f đơn ánh Thay n = vào (1) ⇒∗ f (mf (1)) = f (m) vói MQI m ∈ N∗ ⇒2 mf (1) = m vói ∗ MQI m ∈ N ⇒ f (1) = Tù (2) ta có f (f (n)) = n vói MQI n ∈ N Thay m boi f (m) vào (1), ⇒ f (f (m)f (n)) = n2 f (f (m)) = m2 n2 = f (f (mn)), ∀m, n ∈ N∗ ⇒ f (mn) = f (m)f (n), ∀m, n ∈ N∗ GQI p ∈ P Neu f (p) hop so f (p) = a · b, a ≥ b ≥ Ta có p2 = f (f (p)) = f (ab) = f (a)f (b) Tù ta có  f (a) = 1, f (b) = p2  f (a) = p , f (b) =  f (a) = f (b) = p • f (a) = 1, f (b) = p2 ⇒ a = (do f đơn ánh) (vơ lý) • f (a) = p2, f (b) = ⇒ b = (vơ lý) • f (a) = f (b) = p ⇒ a = b ⇒ f (p) = a2 Ta chúng minh a ∈ P Đ¾t a = m · n vói p = f (a) = f (mn) = f (m)f (n), ta suy Σ f (m) = ⇒ a ∈ P f (n) = ⇒ a ∈ P V¾y ta có đieu phai chúng minh KET LU¼N Sau thịi gian hai năm HQc t¾p tai Khoa Tốn- Cơ- Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên Hà Nđi, oc sn giỳp tắn tỡnh cna cỏc thay Khoa, đ¾c bi¾t TS Pham Văn Quoc, tơi hồn thành lu¾n văn vói tên đe tài Mđt so phng phỏp giai phng trỡnh hm Luắn at oc mđt so ket qua sau: Luắn nêu đưoc m®t so kien thúc ban đai so giai tích có úng dung nhieu vi¾c giai quyet tốn phương trình hàm Luắn ó hắ thong v phõn loai mđt so dang tốn thưịng g¾p theo phương pháp giai cna tốn phương trình hàm vói nhieu tốn có lịi giai, nh¾n xét bình lu¾n Lu¾n văn nêu m®t so hưóng khai thác mo r®ng, tőng qt hưóng tư tìm lịi giai bien hóa m®t so dang tốn phương trình hàm Phân dang phương trình hàm se giúp cho sn đ%nh hưóng giai quyet chúng Vì v¾y tơi hi vQNG lu¾n văn có the làm tài li¾u tham khao cho q trình nghiên cúu, giang day HQc t¾p tốn o b¾c HQc phő thơng Tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đong nghi¾p đe đe tài tiep tuc đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cam ơn! TÀI LIfiU THAM KHAO [1] Nguyen Tài Chung (2014), Boi dưãng HQc sinh giói phương trình hàm, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Tran Nam Dng (2010), Ti liắu boi dóng tuyen Viắt Nam tham dn IMO [3] Nguyen Quý Dy (chn biên) (2001), Tuyen t¾p 200 thi vơ đ%ch tốn-T¾p 3, Nhà xuat ban giáo duc [4] Nguyen Văn M¾u (2001), Phương trình hàm, Nhà xuat ban Giáo duc [5] Nguyen TRQNG Tuan (2004), Bài tốn hàm so qua kì thi Olympic, Nhà xuat ban Giáo duc [6] Tap chí Tốn HQc tuői tre [7] Website: mathlinhks.ro, vnmath.com, diendantoanhoc.net, ... so phương trình hàm ban Trình bày ve m®t so phương trình hàm ban như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen nhung úng dung cna chỳng viắc giai toỏn Chng Mđt so phương pháp giai phương. .. hàm so 1.5 Tính chat ánh xa cna hàm so .8 Chương M®t so phương trình hàm ban 10 2.1 Phương trình hàm Cauchy .10 2.2 Phương trình hàm Jensen 17 2.3 V¾n dung phương. .. toỏn Chng Mđt so phương pháp giai phương trình hàm Trình bày m®t so phương pháp giai phương trình hàm thơng dung e moi phương pháp bat đau bang phương pháp giai, sau tốn, cuoi tốn v¾n dung Đe