Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± KIM NGAN M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI Hfi PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HOC PHO THƠNG Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS PHAM VĂN QUOC HÀ N®I - 2015 Mnc lnc Lài cam ơn Ma đau M®t so kien thÉc ban 1.1 H¾ phương trình ban 1.1.1 H¾ phương trình b¾c nhat hai an 1.1.2 H¾ phương trình đoi xúng 1.1.3 H¾ phương trình cap 1.1.4 H¾ phương trình dang hốn v% vịng quanh 1.2 Phương pháp ban 1.2.1 Phương pháp c®ng đai so 1.2.2 Phương pháp the 4 4 9 10 M®t so phương pháp giai h¾ phương trình 2.1 Phương pháp đ¾t an phu 2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tu 2.3 Phương pháp su dung hang thúc 2.4 Phương pháp su dung tính đơn đi¾u cna hàm so 2.5 Phương pháp khác 2.5.1 Phương pháp đánh giá 2.5.2 Phương pháp lưong giác hóa 2.5.3 Phương pháp su dung so phúc 13 13 20 28 34 43 43 47 49 M®t so phương pháp xây dEng h¾ phương trình 54 3.1 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đ¾t an phu 54 3.2 Xây dnng h¾ phương trình tù thúc 58 3.3 Su dung tính đơn đi¾u cna hàm so đe xây dnng h¾ phương 64 trình 3.4 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đánh giá 67 3.5 Su dung so phúc đe xây dnng h¾ phương trình 71 Ket lu¾n 77 Tài li¾u tham khao 78 Lài cam ơn Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói TS Pham Văn Quoc - ngưịi thay truyen cho tơi niem say mê nghiên cúu Tốn HQc Thay t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác gia suot q trình HQ c t¾p hồn thi¾n lu¾n văn Tác gia xin chân thành cam ơn Ban giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc, Khoa Toán - Cơ - Tin HQc, thay giáo tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi hồn thành ban lu¾n văn M¾c dù có nhieu co gang, thịi gian v trỡnh đ cũn han che nờn luắn khú tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cam ơn! Ma đau H¾ phương trình m®t n®i dung cő đien quan TRQNG cna Tốn HQc Ngay tù đau, sn địi phát trien cna h¾ phương trình đ¾t dau an quan TRQNG Tốn HQc Chúng có súc hút manh me đoi vói nhung ngưịi u Tốn, ln thơi thúc ngưịi làm Tốn phai tìm tịi, sáng tao Bài tốn ve h¾ phương trình thưịng xun xuat hi¾n kỳ thi HQc sinh gioi, Olympic kỳ thi tuyen sinh Đai HQc, Cao H¾ phương trình đưoc đánh giá toán phân loai HQc sinh gioi, địi hoi ky thu¾t xu lý nhanh xác nhat Là m®t giáo viên Trung HQc phő thơng, tơi muon nghiên cúu sâu ve h¾ phương trình nham nâng cao chun mơn, phuc vu cho q trình giang day boi dưõng HQc sinh gioi cna Vói nhung lý trên, tơi lna cHQN nghiên cỳu e ti "Mđt so phng phỏp giai hắ phng trình chương trình tốn Trung HQc phő thơng" làm lu¾n văn thac sĩ cna Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương M®t so kien thúc ban Chng Mđt so phng phỏp giai hắ phng trỡnh Chng Mđt so phng phỏp xõy dnng hắ phương trình Hà N®i, ngày 01 tháng năm 2015 Tác gia lu¾n văn Vũ Th% Kim Ngan Chương Mđt so kien thẫc c ban 1.1 1.1.1 Hắ phng trình ban H¾ phương trình b¾c nhat hai an H¾ phương trình b¾c nhat hai an h¾ có dang a 1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Phương pháp giai: Đe giai h¾ phương trình này, ta thưịng su dung phương pháp sau: - Phương pháp the, - Phương pháp c®ng đai so, - Phương pháp dùng đ%nh thúc Ký hi¾u: D = ; Dx = ; Dy = a1 c2 a b2 a2 Trưàng hap : D ƒ= c1 b2 c2 a1 D  x D x= H¾ phương trình có nghi¾m nhat   y= D Dy Trưàng hap : D = Dx = Dy = H¾ phương trình có vơ so nghi¾m dang {(x0; y0) |a1x0 + b1y0 = c1} Trưàng hap : D = 0; Dx ƒ= ho¾c D = 0; Dy ƒ= ho¾c D = 0; Dx ƒ= 0; Dy ƒ= H¾ phương trình vơ nghi¾m 1.1.2 H¾ phương trình đoi xÉng Hẳ phng trỡnh oi xẫng loai I Hắ phng trỡnh đoi xúng loai I đoi vói hai bien x y h¾ phương trình mà neu ta thay x boi y, thay y boi x h¾ khơng thay đői Phương pháp giai: , đieu ki¾n S2 ≥ 4P .- Đ¾t x+y= S xy = P - Tìm S, P, - Khi đó, x, y nghi¾m cna phương trình u2 − Su + P = Ví dn 1.1 (Trích đe thi HQc vi¾n An ninh năm 2001) Giai h¾ phương trình x + y = (x, y ∈ R) 2 − 2xy x + y = x+y=S Giai Đ¾t , đieu ki¾n S2 ≥ 4P S = − 2P xy = Ta đưoc h¾ phương trình P ⇔ S − 2P = S = − 2P (1 − 2P )2 − 2P =1 ⇔ S =2 − 2P 4P − 6P = S = 1; P =   SΣ = − 2P ⇒ Σ ⇔ P=0  3 P= x +y=1 Vói S = 1; P = ⇒ xy = S = −2; P = Khi (x, y) nghi¾m cna phương Σ⇒ trình: u2 Σ−u = ⇔ u= x = 0; y = x = 1; y = u=1 Vói S = −2; P = ta loai trưòng hop khơng thoa mãn đieu ki¾n S2 ≥ 4P V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m (x; y) = (0; 1) ; (1; 0) H¼ phương trình đoi xÉng loai II H¾ phương trình đoi xúng loai II đoi vói x y h¾ phương trình mà neu ta thay x boi y, thay y boi x phương trình bien thành phương trình ngưoc lai Phương pháp giai: - Trù theo ve hai phng trỡnh cna hắ, ta oc mđt phương trình tích dang: (x − y) f (x; y) = - Sau lan lưot thay x = y; f (x, y) = 0, vào m®t hai phng trỡnh cna hắ, ta oc mđt phng trỡnh ó biet cách giai giai tiep tìm nghi¾m cna h¾ Ví dn 1.2 (Trích đe thi đai HQc khoi B năm 2003) Giai h¾ phương trình (x, y ∈ R)  3y = y + x2 x +2   3x = y2 Giai Đieu ki¾n: x > 0; y > H¾ phương trình tương đương vói 3x2y = y2 + 3y2x = x2 + 3xy (x y) = (y x) (y + − 2x = x2−+ x) 3y ⇔ (x − y) (x + y + 3xy) = x2 + x=  y x2 = y x + y + 3xy = ⇔ ⇔ Σ  3y 2 x = x + x=y x=y ⇔ ⇔x=y= 2 3y x = x + 3x3 − x2 − x = + y2 + 3xy =0 Vói 3y x = x + Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > nên trưòng hop vơ nghi¾m V¾y h¾ phương trình có nghi¾m nhat (x; y) = (1; 1) Vói 1.1.3 H¾ phương trình cap H¾ phương trình = a f (x, y) g (x, y) =b đưoc GQI h¾ cap b¾c k neu f (x, y); g(x, y) bieu thúc cap b¾c k Chú ý : Bieu thúc f (x, y) đưoc GQI cap b¾c k neu f (mx, my) = mk f (x, y) Phương pháp giai: - Xét y = (ho¾c x = 0) thay vào h¾ phương trình tìm nghi¾m - Xét y ƒ= Đ¾t x = ty, ta có ⇒ f (ty, y) = ykf (t, 1) g (ty, y) = y kg (t, 1) ykf (t, 1) = a yk g (t, 1) = b a Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc: f (t, 1) = g (t, 1) b Giai phương trình tìm t roi thay ngưoc lai ta tìm đưoc nghi¾m (x, y) Ví dn 1.3 (Trích đe thi đe ngh% Olympic 30/4/2009) Giai h¾ phương trình x +3 8y −2 2x4 + 8y4 − 2x − y = 4xy = (x, y ∈ R) Giai - Xét y = Thay vào h¾ phương trình ta đưoc: x3 = ⇔ x = 2x4 − 2x = Suy (1; 0) l mđt nghiắm cna h¾ - Xét y ƒ= Đ¾t x = ty, ta có: t3y4 4+ 8y3 4− 4ty3 = 2t y + 8y − 2ty − y =0  3 y t + − 4t =  Σ ⇔  y3 Σ2t4 + = 2t + (Do y ƒ= 0) Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc: t3 + − 4t = 2t4 + 2t + t 8t + 12t =0 ⇔Σ t = − t=2 ⇔ t = Σ Vói t = ta có (x; y) = 0; Σ 25 Vói t = ta có (x; y) = 1; Σ Vói t = ta có (x; y) √ ; 25 = √ 23 V¾y h¾ phương trình có bon nghi¾m (x; y) = (1; 0) ; 0; ; 1; 2Σ Σ ;   √3 ; √3 Σ 25 25 Nhân hai ve cna phương trình (2) vói i roi c®ng vói phương trình (1) ta đưoc: Σ √ 2x3 − 6xy + 6x2 y − 2y i = + 3i √ Σ Σ 5 3 2 ⇔ x − 3xy + 3x y − y i = + i √2 2 3 i ⇔ x + 3x yi + 3xy i + y i = + 2 ⇔ (x + yi)3 = + √ iΣ 2 π Suy w = x+yi b¾c ba cna so phúc z = 52 + 2√ iΣ = cos3 + i sin3 Mà z có ba b¾c ba là: √3 π π + i sin Σ √3 7π 7π z = cos + i sin Σ 9 √3 13π 13π z = cos + i sin Σ 9 V¾y h¾ phương trình có ba nghi¾m √ √ √ π √ π 7π √ 7π 13π √ (x; y) = 5cos ; sin Σ ; 5cos ; sin Σ ; 5cos ; 35 13π sin Σ 9 9 9 Σ z1 = cos Nhắn thay rang, cỏch giai ny đc ỏo nhieu so vói cách su dung tính cap cna h¾, roi đưa ve phương trình đa thúc b¾c ba Vói moi bieu thúc lũy thùa cna m®t so phỳc, ta eu cú the xõy dnng oc mđt hắ phương trình tù có the giai tốn m®t cách nhanh GQN Chang han, ta xét thêm m®t ví du khác như: (x + yi)4 = Ta có: (x + yi)4 = √ √ + i 3+i √ ⇔ x4 + 4x3yi + 6x2y2i2 + 4xy3i3 + y4i4 = + i Σ Σ √ ⇔ x4 − 6x2 y + y + 4x3 y − 4xy i = + i (∗) So sánh hai ve cna(∗ ta có: 2 √ ) y +y = x − 6x 4x3y − 4xy3 = Tù ta có tốn sau Bài tốn 3.22 Giai h¾ phương trình x4 − 6x2y2 + y4 = (x, y ∈ R) √ 4x3y − 4xy3 = Hưáng dan : Làm tương tn toán ta đưoc: w = x + yi b¾c bon cna so phúc z= √ π π 3 + i = √ + iΣ = cos + i sin Σ 2 6 M¾t khác, z có bon b¾c bon là: Σ z = √4 cos π π 24 + i sin 24 √4 13π sin 13π + i 24 24 √4 Σ cos z3 = 25π + sin i cos z4 = 24 24 z2 = √4 Σ 37π + 25π i 24 24 37π sin Σ cos V¾y h¾ phương trình cho có bon nghi¾m (x; y) √ √ π √ π 13π √ 13π ; sin Σ ; 2cos ; sin Σ; 24 24 24 24 √ √ 25π √ 25π 37π √ 37π 24 2cos ; sin 24 Σ ; 2cos24 ; 24 sin Σ 2cos Hồn tồn tương tn ta có tốn sau Bài tốn 3.23 Giai h¾ phương trình √ (2) (x, y ∈ R) x − 10x y + 5xy = (1) y5 + 5xy4 + 5x4y − 10x2y3 = Hưáng dan : Nhân hai ve cna phương trình (2) vói i roi c®ng vói phương trình (1) ta đưoc: Σ √ x5 − 10x3 y + 5xy + y + 5xy + 5x4 y − 10x2 y i = + 3i ⇔ √ Do đó, x + yi căn√b¾c năm cna so phúc z = + 3i (x + yi) Ta tìm năm b¾c năm cna z roi suy nghi¾m cna h¾ phương trình Xây dnng h¾ phương trình tù hai so phúc cho trưóc z = 7− z1 + z2 = √ Xét so phúc √ √ 5i z2 = i ⇒ z1.z2 = + Suy z1; z2 nghi¾m cna phương7 trình: √ z2 − 7z + + 5i = 5+ i ⇔z−7+ = √z 5i ⇔z+ + =7 z 5z 7z√5iz = ⇔z + zz zz + Gia su z = x + yi (x, y ∈ R), đó√ ta có: (x − yi) (xi + y)= 7 x + yi + + 2 √ x2 + y2 x + 5x − 5yi √ y 5xi + 5y ⇔x + + yi =7 + x2 + y2 x2 + y2 ⇔ x + 5x + 5y √ 5x − 5y Σ + y + √ √ x2 + y2 So sánh hai vecna (∗), có: y 5x + Σ i = (∗) x2 + y2  =7 x2 + y2 5x − 5y x+ = √  x2 + y2 y+ Tù ta có tốn sau Bài tốn 3.24 Giai h¾ phương trình  5x + 5y x+   (1) √ =7 (x, y ∈ R) x2 + y2 √ 5x − 5y  y+ = (2)  x2 + y2 Giai Đieu ki¾n: x2 + y2 ƒ= Nhân hai ve cna phương trình (2) vói i roi c®ng vói phương trình (1) ta đưoc: Σ Σ√ 5x + 5y 5x − 5y x + x2 + + x2 + √ i =7 √+ y√ 5x − 5yi 5xi + 5y ⇔ x + yi + x2 + y2 + x2 + y2 =7 √ (x − yi) (xi + y) + = (3) ⇔ x + yi + x2 + x + Xét so phúc z = x + yi,√khi phương trình (3) có the viet lai dưói dang 5z 5iz =7 z+ + zz √zz 5i ⇔z+ + =7 z z √ ⇔ zΣ2 − 7z + 5√+ 5i = z= i5 ⇔ 7− √z √ Σ √ Σ = i V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m (x; y) = 7; − ; 0; Như v¾y, tù hai so phúc bat k, ta cú the xõy dnng oc mđt hắ phng trình có nghi¾m theo ý muon Hồn tồn tương tn, ta xây dnng đưoc m®t z1 = trình tù hai so phúc √ h¾ phương −i √ z2 = 2 + 2i √ z1 + z2 = + i Ta có: z1.z2 = Suy ra, z1; z2 nghi¾m cna phương trình √ z2 − + i z + = √ Σ ⇔ z − Σ3 + i + = z √ =3 2+i z √ 6z ⇔z+ = + i Gia su z = u + vi, zz ta có the viet lai phương trình dưói dang √ (u − vi) u + vi + =3 2+i u2 + v2 √ 6u 6vi ⇔u+ + vi − =3 2+i u2 + u2 + √ 6u 6v ⇔ u + Σ + v − Σ i = + i (∗) u2 + u2 + ⇔z+ So sánh hai ve cna (∗) ta có: √ 6u u+   1+  u + u2 + v2   u = √ x u Σ√ x v2 1+ u + u2 + v2 Σ √ =3 √ =  x +y Đ¾t  v−  v − √ v = y ta đưoc 6v =1 ⇔ Σ = Σ− x = +y Ta có tốn sau Bài tốn 3.25 Giai h¾ phương trình x  √  + Σ= √ (1) (x, y ∈ R) x+y √ −  = (2) x+ y Σ Giai Đieu√ki¾n: ≥ x 0; y≥ 0; x + y = .u = x ƒ Đ¾t √ , ta có h¾ phương v= y √  u 1+ =3 Σ u2 + v2  v − u2 + Σ=1 trình  √ 6u  u+ = (3)  u2 + v2 ⇔  u2 + v− 6v = (4) Nhân hai ve cna phương trình (4) vói i roi c®ng vói phương trình (3) ta đưoc √ 6u 6v u+ + v− i=3 2+i u2 + (u u + √ − vi ) Σ ⇔ u + vi +( ) u2 + v2= + i Xét z = u + vi, ta có the viet lai phương trình (∗) dưói dang: √ =3 2+i √ Σ ⇔ z2 zz − + i z +6=0 √ Σ z1 = − i √ ⇔ z = 2 + Σ √ 2i u= √ 2; v = Suy u = 2; v = √ √ √ ⇒ √ √ x = 2 u= √x = Vói y=1 v=1 x=2 (TMĐK) y= ⇔ u= Vói √v = x =8 √ (TMĐK) 2 y=2 y =4 z+ 6z V¾y h¾ phương trình cho có hai nghi¾m (x; y) = (2; 1) ; (8; 4) Ket lu¾n Sau thịi gian HQc t¾p tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi, oc cỏc thay cụ tắn tỡnh giang day dưói sn hưóng dan cna TS Pham Văn Quoc, tơi hồn thành lu¾n văn vói đe ti "Mđt so phng phỏp giai hắ phng trỡnh chương trình tốn Trung HQc phő thơng" Lu¾n văn at oc mđt so ket qua sau: Luắn ó trỡnh by mđt cỏch hắ thong nhung kien thỳc ban ve h¾ phương trình, đong thịi đưa đưoc phương pháp giai thưịng su dung tốn Trung HQc phő thơng Lu¾n văn đưa oc mđt so cỏch sỏng tỏc hắ phng trỡnh tự so phúc, hay tù thúc, bat thúc, ho¾c tính chat cna hàm so Lu¾n văn sưu tam đưoc nhieu toán đe thi Đai HQc, thi HQc sinh gioi Quoc gia Olympic Vì v¾y, lu¾n văn có the dùng làm tài li¾u tham khao nham nâng cao kien thúc cho HQc sinh Trung HQc phő thơng M¾c dù q trình làm lu¾n văn, tác gia nghiêm túc có nhieu co gang, lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay ban bè đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Tài Chung (2015), Sáng tao giai phương trình, h¾ phương trình, bat phương trình, NXB Tőng hop TPHCM [2] Hà Văn Chương (2012), Tuyen CHQN giai h¾ phương trình, h¾ bat phương trình, phương trình, bat phương trình khơng mau mnc, NXB ĐHQGHN [3] Nguyen Văn L®c (2012), Tuyen CHQN thi vơ đ%ch Tốn đ%a phương, NXB ĐHQGHN [4] Nguyen Vũ Lương (Chn biên)- Pham Văn Hùng - Nguyen NGQc Thang (2006), H¾ phương trình phương trình chúa thúc, NXB ĐHQGHN [5] Nguyen Văn M¾u, Phương pháp giai phương trình bat phương trình, NXB GD [6] Đ¾ng Thành Nam (2014), Nhung đieu can biet luy¾n thi Đai HQc ky thu¾t giai nhanh h¾ phương trình, NXB ĐHQGHN [7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm so giai Toán, NXB ĐHQGHN [8] Mai Xuân Vinh (Chn biên) - Pham Kim Chung - Pham Chí Tuân - Đào Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư logic tìm tịi lài giai h¾ phương trình, NXB ĐHQGHN [9] Ban tő chúc kỳ thi, Tuyen t¾p đe thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD ... H¾ phương trình đoi xúng loai II đoi vói x y h¾ phương trình mà neu ta thay x boi y, thay y boi x phương trình bien thành phương trình ngưoc lai Phương pháp giai: - Trù theo ve hai phương trình. .. V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) = (4; 4) 1.2.2 Phương pháp the Đây m®t phương pháp đưoc úng dung rat nhieu nhung phương pháp giai h¾ phương trình sau Dau hi¾u nh¾n biet cna phương pháp tự... phương trình (1) ta đưoc: y2 + y + 26 = (Vơ nghi¾m) V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m (x; y) = (1; 2) ; (−2; 5) Chương M®t so phương pháp giai h¾ phương trình 2.1 Phương pháp đ¾t an phn Đây m®t phương