Một số phương pháp giải hệ phương trình

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± KIM NGOC M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI Hfi PHƯƠNG TRÌNH LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I, NĂM 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± KIM NGOC M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI Hfi PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưèi hưéng dan khoa HQC: TS PHAM VĂN QUOC Mnc lnc LèI CAM ƠN LèI NĨI ĐAU M®T SO DANG Hfi VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN 1.1 M®T SO DANG H› CƠ BAN 1.1.1 H› PHƯƠNG TRÌNH B¾C NHAT HAI AN 1.1.2 H› PHƯƠNG TRÌNH ĐOI XÚNG 1.1.3 H› PHƯƠNG TRÌNH ĐANG CAP 15 1.1.4 H› PHƯƠNG TRÌNH DANG HỐN V± VỊNG QUANH 19 1.2 PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN 24 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP C®NG ĐAI SO 24 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THE 27 M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI Hfi PHƯƠNG TRÌNH 2.1 PHƯƠNG PHÁP Đ¾T AN PHU 32 32 2.2 PHƯƠNG PHÁP BIEN ĐŐI VE PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 37 2.3 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HANG ĐANG THÚC 43 2.4 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH ĐƠN ĐI›U CUA HÀM SO 46 2.5 PHƯƠNG PHÁP DÙNG BAT ĐANG THÚC 51 2.6 PHƯƠNG PHÁP LƯeNG GIÁC HOÁ 54 2.7 PHƯƠNG PHÁP SU DUNG SO PHÚC 58 3 M®T VÀI ÚNG DUNG CUA Hfi PHƯƠNG TRÌNH 3.1 ÚNG DUNG TRONG XÉT TƯƠNG GIAO CUA HAI ĐO TH± 62 3.2 ÚNG DUNG TRONG GIAI PHƯƠNG TRÌNH 63 3.3 ÚNG DUNG TRONG TÌM GTLN, GTNN 66 3.4 ÚNG DUNG TRONG GIAI BÀI TOÁN KINH TE 68 KET LU¼N 71 TÀI LIfiU THAM KHAO 72 62 LèI CAM ƠN Hoàn thành đưoc ban lu¾n văn này, ngồi sn no lnc cna ban thân, tơi nh¾n đưoc sn chi bao, giúp đõ tù nhieu phía cna thay, giáo, gia đình ban bè Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Pham Văn Quoc, ngưịi thay t¾n tình hưóng dan chi bao tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi xin chân thành cam ơn thay, giáo khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên-Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi trnc tiep giang day giúp đõ tơi q trình HQc t¾p tai trưịng tồn the ban bè ngưịi thân đóng góp ý kien, giúp đõ, đ®ng viên tơi q trình HQc t¾p, nghiên cúu hồn thành lu¾n văn M¾c dù ban thân rat co gang nghiêm túc HQc t¾p nghiên cúu khoa HQc thịi gian có han, kien thúc ban thân cịn han che nên q trình thnc hi¾n khơng tránh khoi sơ suat Kính mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban Tơi xin trân tRQNG cam ơn! LèI Me ĐAU Chuyên đe h¾ phương trình m®t n®i dung quan TRQNG, can thiet, có the xem m®t nhung dang tốn ban nhat cna chương trình đai so o b¾c trung HQc Các tốn ve giai h¾ phương trình xuat hi¾n o hau het kì thi Đai HQc, Cao kì thi HQc sinh gioi Đúng trưóc mđt hắ phng trỡnh HQc sinh can phai biet phõn tích, nh¾n dang cHQN lna phương pháp giai thích hop Moi tốn đeu có the có nhieu cách giai Tuy nhiên, vi¾c h¾ thong hố phương pháp giai se cho phép nhìn nh¾n tốn theo mđt hắ thong nhat quỏn Do ú tụi ó lna cHQN nghiên cúu đe tài “ M®t so phương pháp giai h¾ phương trình” Ban lu¾n văn đưoc chia làm chng: Chng Mđt so dang hẳ v phng pháp ban Chương nhac lai m®t so dang h¾ ban phương pháp giai như: H¾ phương trình b¾c nhat hai an, h¾ đoi xúng, cap, hốn v% vịng quanh phương pháp ban c®ng the Chương M®t so phương pháp giai hẳ phng trỡnh e chng ny, luắn nờu m®t so phương pháp giai có the nghĩ tói gắp mđt hắ phng trỡnh m khụng su dung đưoc dang ban o chương Chương Mđt vi ẫng dnng cua hẳ phng trỡnh Luắn trình bày úng dung thưịng g¾p cna h¾ phương trình là: Úng dung vi¾c xét tương giao giua hai đo th%; giai phương trình; tìm GTLN, GTNN tốn kinh te Hà n®i, tháng 12 năm 2013 Tác gia lu¾n văn NGUYEN TH± KIM NGOC Chương M®T SO DANG Hfi VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN 1.1 M®T SO DANG Hfi CƠ BAN 1.1.1 Hfi PHƯƠNG TRÌNH B¾C NHAT HAI AN *) Cơ sa phương pháp a) Đ%nh nghĩa: H¾ phương trình b¾c nhat hai an h¾ có dang    a1 x + b y = c   a x + b y = c2 b) Cách giai: Thơng thưịng su dung m®t ba cách sau: Cách 1: Phương pháp the Cách 2: Phương pháp cđng Cỏch 3: Phng phỏp dựng %nh thỳc Kớ hiắu: a1 b1 D= b 2 a b =a −a b , D c1 b1 = =c x b c b2    −c b , D 2 a1 c1 = c y a c2 =a −a c TH1: D ƒ= 0, h¾ có nghi¾m x= Dx DDy nhat  y= D TH2: D = Dx = Dy = 0, h¾ có vơ so nghi¾m dang {(x0; y0)|a1x0 + b1y0 = c1}   D =0  D ƒ= , h¾   x  Dy =ƒ *) Ví dn áp dnng  8X + Y = 17 vơ nghi¾m  Ví dn 1.1 Cho h¾ phương trình   − 3X + 7Y = Su dung m®t phương pháp de dàng tìm đưoc nghi¾m (2;1) Bang cách thay X, Y boi bieu thúc khác cna an ta se sáng tác vơ so h¾ mói Ví8du:1  X =  + = 17 TH3: Thay x x y ta đưoc ˙   h¾ 7x − 3y = xy  Y = ta đưoc h¾   √ √8x +  y − 3x2 3x =  y  x4 + 4x −2 + y − 4y =   X  Y = √ y−1 Ví dn 1.2 Giai h¾ phương trình  Giai   Đ¾t t = y2 h¾ tro y−1= x2 y + 2x2 + 6y = 23 Ta có t − 4y = − x − 4x2  thành − 8x + 0t + (x2 + 6)y = 23 − 2x2 D = x2 + 6; Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104; Dy = 23 − 2x2  Dt  −x6 − 10x4 − 30x2 + ⇒ t 104 D = D = x +6 y 2 Do t = y suy  y= D = 23 − 2x  v= 69 − √ 73 − ,x u = f (x)  Đ¾t  u = f (x) ta có h¾ Đ¾t ta có h¾ V¾y phương trình cho có hai nghi¾m x =  n  u 7+ + a = bv  n v + a = bu √ 69 • Dang tong quát: +) f n (x)+ a = b √ bf (x) − a √  n v= bf (x) − a n +) f n (x) + a √ n b − af (x) = b  v= √ n b − af (x)    un + av = b v n + au = b 3.3 ÚNG DUNG TRONG TÌM GTLN, GTNN Sau ta se xét m®t so ví du ve úng dung cna giai h¾ phương trình đoi xúng loai vi¾c tìm GTLN, GTNN Ví dn 3.8 Cho x, y hai so thnc dương thoa mãn x + y = 12 x y Tìm GTNN cna bieu thúc A = + y x Giai  Xét h¾ phương trình x + y = 12    x2 y + y x =A  x + y = 12 ⇔  x +  (x + y) 3xy(x + y) ⇔ =A  y = 12  = − A  xy   ta 12đưoc h¾ S = 123  xy ⇔  S = 12 S  12 Đ¾t =x+y P =    36 + A  − 4.1 P 12 − H¾ có nghi¾m chi 23 36 = A P = xy S ≥ 4P ⇔ 12 ≥ ⇔ ≤ ⇔ A ≥ 12 36 + A 36 + A x + y = 12 A = 12 ⇒ P = 36 ⇒  ⇔x=y=     xy = 36 V¾y GTNN cna A bang 12 x = y = Ví dn 3.8 Cho so thnc x ƒ= 0, y ƒ= thoa mãn (x + y)xy = x2 + y2 − xy Tìm GTLN cna bieu thúc A = + x3 y3 Giai  1   (x + y)xy = x2 x y x2 + y2 − x Xét h¾ phương trình ⇔ y 1 + y − xy  = A x3 + y3 1 ,b= x   S = a+ b Đ¾t a = Đ¾t  x3 + y3  , a, b  ƒ= Ta có 2h¾  a + b = a + b − ab y   a3 + b = A   S=  S = A S − 3P ⇔  P = ab h¾ tro thành  S(S =A  P = − 3P ) =A H¾ có nghi¾m − chi S S2 ≥ 4P ⇔−S2 ≥ S 4(S − 4S ≤ ⇔ ≤ S ≤ S) ⇒ S2 ≤ 16 ⇒ A ≤ 16 ⇔ S2 S=4  x=y= Dau bang xay  ⇔  ⇔a=b=2  P = V¾y GTLN cna A 16 ⇔ √ √ x=y= Ví dn 3.10 Cho hai so thnc x, y thoa mãn x − + x = y − − y Tìm GTLN, GTNN cna bieu thúc A = x + y Giai x−2 8+x=2 y−3−y Xét h¾ phương trình  √ √  √ x + y = A √ Đ¾t a + y, b = y − 3, a, b ≥ Suy x = a2 − 8, y = b2 + = H¾ tro thành   2  a − − 2a = 2b − b  a + b = ⇔   A a2 + b2 − 2(a + b) − = −3   a + b2 = A + 2 a − + b + = A  ⇔ ab = := H¾ có nghi¾m chi P 8A −  A − A  ≥0      S≥0  A≥0 A − 20  ⇔ 4A − 20  P≥ := S ⇔ ≥0 A − 4A − 20 ≥  S2 A2  A2 − 4A 20−  ≥ 4P A2 − 8A − 40 ≤  √ √ √ ⇔ ⇔ + 6≤A A ≤ − ∨ A ≥ + √A ≥  ≤ 4 + 14 ≥  √ − 14 ≤ A ≤     √ + 14 A=2+ √  √ S = a+ b= 6−1    b=  b= a=1+ √    x=2 6−1   y=3  √   y = 10 +  ⇔  √ ⇔   P = ab = 1+ ⇒ √ √ √14 y = 21 + A = + 14 a = b =  √ +  x= 10 + 14   a x = −8  V¾y   x= A = + ∨  x = −8  √   y = 10 + √ 6−1  √ =4+ y = √ maxA 2 y = 21 + 14 ⇔ √  14 x = 10 + 14 √   3.4 ÚNG DUNG TRONG GIAI BÀI TOÁN KINH TE Khi phân tích hoat đ®ng cna th% trưịng hàng hố, nhà kinh te HQc su dung hàm cung hàm cau đe bieu dien sn phu thu®c cna lưong cung lưong cau vào giá hàng hoá Đe xét mơ hình cân bang th% trưịng n hàng hố liên quan ta kí hi¾u bien so sau: Qsi lưong cung hàng hoá i Qdi lưong cau đoi vói hàng hố i pi giá hàng hố i √ Hàm hàng hoá yeu i: Qsito =khác ai0 + ai1 p1 thay + ai2đői, p2 +hàm +cung ain pnvà(i hàm = 1,cau 2, , n) Vóicung gia thiet khơng tuyen tính có dang: Hàm cau đoi vói hàng hố i: Qdi = bi0 + bi1 p1 + bi2 p2 + + bin pn (i = 1, 2, , n) Mơ hình cân bang th% trưịng n hàng hố có dang sau:  Q a b+ a+ pb + a p + + a p Qdi==Q i0 i1p1 + bi2p2 + + = Q si i0 i1 i2 b p si di  ininn n    Tù h¾ phương trình ta suy h¾ phương trình xác đ%nh giá cân bang:  aa + + aa pp + aa pp + + a p = b + b p + b p + + b p 20 21 + 22 + + a2npn = b20 + b21p1 + b22p2 + +  10 11  1n n 10 11 12 b p 2n n  1n n i = 1, 12     an0 + an1 p1 + an2 p2 + + ann pn = bn0 + bn1 p1 + bn2 p2 + + bnn pn Đ¾t cik = aik − bik vói mQi i = 1, 2, n k = 1, 2, , n ta đưoc h¾ phương trình:  c11p1 + c12p2 + + c1npn = −c10    c21p1 + c22p2 + + c2npn = −c20    cn1p1 + cn2p2 + + cnnpn = −cn0 Giai h¾ phương trình tuyen tính ta xác đ%nh đưoc giá cân bang cna tat ca n hàng hố, sau thay vào hàm cung (ho¾c hàm cau) ta xác đ%nh đưoc lưong cân bang Ví dn 3.11 Gia su th% trưịng gom m¾t hàng: hàng hố hàng hố 2, vói hàm cung hàm cau sau: Hàng hoá 1: Qs1 = −2 + 3p1 ; Qd1 = 10 − 2p1 + p2 Hàng hoá 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 − p2 H¾ phương trình xác đ%nh giá cân bang là:   − + 3p1 = 10 − 2p1 + p2 ⇔   5p1 − p2 = 12  − + 2p2 = 15 + p1 − p2  − p1 + 3p2 = 16 Giai h¾ phương trình ta tìm đưoc giá cân bang cna moi m¾t hàng: Hàng hố 1: p¯ = ; Hàng hoá 2: p¯ = 46 7 Thay giá cân bang vào bieu thúc hàm cung ta xác đ%nh đưoc lưong cung cân bang : 85 64 = ¯ ; Hàng hoá 2: = −1 + 2p¯2 = Hàng hoá 1: = −2 + Q Q¯ 3p¯1 Ví dn 3.12 Gia su th% trưịng gom m¾t hàng: hàng hố hàng hố hàng hố 3, vói hàm cung hàm cau sau: Hàng hoá 1: Qs1 = −10 + 2p1 ; Qd1 = 100 − 5p1 + 3p2 − p3 Hàng hoá 2: Qs2 = −20 + 5p2 ; Qd2 = 120 + 2p1 − 8p2 − 2p3 Hàng hoá 3: Qs3 = 13p3 ; Qd3 = 300 − 10p1 − 5p2 − p3 Hãy xác đ%nh giá cân bang lưong cân bang cna moi m¾t hàng? Giai H¾ phương trình xác đ%nh giá cân bang là:   − 10 + 2p1 = 100 − 5p1 + 3p2 − p3   7p1 − 3p2 + p3 = 110 2p1 − − 2p3 ⇔   − 20 + 5p2 = 120 + 2p1 − 8p   10p +  13p3 = 300 − 10p1 − 5p2 − p3  5p2 + 14p3 = 300 Giai h¾ phương trình ta tìm đưoc giá cân bang cna moi m¾t hàng sau: Hàng hoá 1: = 49 ; Hàng hoá 2: 32 25 13p − 2p53 = 140 p¯ p¯ = ; Hàng hoá 3: p¯ = 23 23 23 Thay giá cân bang vào bieu thúc hàm cung ta xác đ%nh đưoc lưong cung cân bang : 760 Hàng hoá 1: = ; Q¯ 1¯Hàng hoá 23 2: Q = −10 + 1140 = 23 2p¯1 = −20 + 5p¯2 Hàng hoá 3: Q¯ = 13p¯3 =325 23 KET LU¾N Sau thịi gian HQc t¾p tai Khoa Tốn - Cơ – Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai hQc Quoc gia Hà N®i, đưoc thay trnc tiep giang day hưóng dan, đ¾c bi¾t TS Pham Văn Quoc, tơi hồn thành lu¾n văn vói e ti Mđt so phng phỏp giai hắ phng trỡnh Luắn ó at oc mđt so ket qua sau: Luắn ó trỡnh by mđt cỏch hắ thong phương pháp giai h¾ phương trình theo trình tn tư Đong thịi đưa nhung phân tích, bình lu¾n ve phương pháp, ý tưong giai h¾ phương trình Trình bày cách thiet l¾p phương trình, h¾ phương trình mói tù nhung h¾ phương trình ban hay tù hai so phúc cho trưóc Đưa mđt so ỳng dung quan TRQNG cna hắ phng trỡnh Bưóc đau tiep c¾n vói tốn cao cap Lu¾n văn đưa nhieu ví du minh hoa áp dung phương pháp đa dang kèm theo t¾p tương tn đưoc trích tù kì thi HQc sinh gioi Tốn Quoc gia, kì thi tuyen sinh Đai HQc Cao năm Vì v¾y ban lu¾n văn có the tài li¾u tham khao nham nâng cao v mo rđng kien thỳc cho HQc sinh bắc trung HQc phő thơng M¾c dù rat co gang thịi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham khao [1] Hà Văn Chương (2012), "Tuyen CHQN giai h¾ phương trình, h¾ bat phương trình, phương trình, bat phương trình khơng mau mnc", NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2] Phan Huy Khai (2012), "Phương trình bat phương trình", NXB Giỏo duc Viắt Nam [3] PGS.TS Nguyen Vn Lđc (chn biên) Th.S Phan Anh Tài-Nguyen Văn C®ngNguyen NGQc Giang (2012), "Các phương pháp khơng mau mnc giai tốn phương trình, h¾ phương trình, bat phương trình, h¾ bat phương trình kì thi đai HQc thi vơ đ %ch Tốn", NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [4] PGS.TS Nguyen Văn L®c (chn biên) (2012), "Tuyen CHQN thi vơ đ%ch Tốn đ%a phương" – Quoc gia – Quoc te, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [5] Nguyen Vũ Lương (Chn biên)- Pham Văn Hùng – Nguyen NGQc Thang (2006), "H ¾ phương trình phương trình chúa thúc", NXB Đai HQc Quoc Gia H Nđi [6] Nguyen Vn Mắu, "Phng phỏp giai phương trình bat phương trình", Nhà xuat ban Giáo duc [7] Nguyen Tat Thu (2013), "Cam nang luy¾n thi đai HQc đai so sơ cap", NXB Tőng hop Thành Ho Chí Minh [8] Ban tő chúc kì thi (2013), "Tuyen t¾p đe thi Olympic 30 tháng 4", lan thú XIX – 2013 Toán HQc, NXB Đai HQc sư pham ... 27 M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI Hfi PHƯƠNG TRÌNH 2.1 PHƯƠNG PHÁP Đ¾T AN PHU 32 32 2.2 PHƯƠNG PHÁP BIEN ĐŐI VE PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 37 2.3 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HANG ĐANG... 15 1.1.4 H› PHƯƠNG TRÌNH DANG HỐN V± VỊNG QUANH 19 1.2 PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN 24 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP C®NG ĐAI SO 24 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THE ... VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN 1.1 M®T SO DANG H› CƠ BAN 1.1.1 H› PHƯƠNG TRÌNH B¾C NHAT HAI AN 1.1.2 H› PHƯƠNG TRÌNH ĐOI XÚNG 1.1.3 H› PHƯƠNG TRÌNH