SKKN giải một số phương trình và bất phương trình bằng phương pháp cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi mà em học sinh học qua chương trình toán THPT với kiến thức kỹ giải toán có được, toán em học sinh giải nhiều cách khác nhau, điều em sử dụng phương pháp cho hiệu mang tính tư cao, mặt khác biết xếp dạng vào tuyến tìm phương pháp hay để giải điều cần thiết Trong năm gần tỷ lệ học sinh thi đậu tốt nghiệp trường nâng cao trường THPT Long Phước đạt Chuẩn Quốc Gia, việc trì tỷ lệ đỗ tốt nghiệp THPT cao điều phải cần giữ vững điều mà nhà trường cần quan tâm việc em học sinh khối 12 tốt nghiệp THPT, phải nâng tỷ lệ học sinh giỏi tỷ lệ học sinh thi đỗ vào trường đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp …; điều đòi hỏi đội ngũ giáo viên phải không ngừng phấn đấu nâng cao trình độ chuyên môn, tích lũy kinh nghiệm tìm phương pháp hay, tối ưu để truyền đạt, hướng dẫn cho học sinh giúp cho em giải tốt kỳ thi Riêng với môn toán có vai trò quan trọng có mặt hầu hết kỳ thi tuyến toán có dạng : Tìm điều kiện cho số phương trình bất phương trình dạng toán thường xuất kỳ thi học sinh giỏi, đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp …, với phương pháp thông thường việc giải dạng toán tương đối khó, xong việc quy dạng hướng dẫn cho học sinh dùng phương pháp cực trị để giải mang lại hiệu cao nhiều, mà kinh nghiệm nhỏ giảng dạy ôn luyện thi cho học sinh, xin mạnh dạn trình bày chuyên đề “Giải số phương trình bất phương trình phương pháp cực trị ” phạm vi hạn hẹp với mong muốn góp thêm phần phương pháp, kỹ giải toán cho hoc sinh đứng trước kỳ thi quan trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước II THỰC TRẠNG Thuận Lợi: - Được quan tâm, động viên, khuyến khích ban giám hiệu nhà trường việc cố gắng nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường - Đặc biệt trường THPT Long Phước công nhận chuẩn quốc gia vấn đề nâng tỷ lệ học sinh thi đỗ đại học, cao đẳng,học sinh giỏi… cần thiết đội ngũ giáo viên quan tâm - Được ủng hộ học sinh đồng nghiệp áp dụng phương pháp nầy - Có thể mở rộng phương pháp để tìm điều kiện cho hệ phương trình bất phương trình Khó khăn: - Trình độ học sinh chưa đồng đều; tính sáng taọ, khả tư duy, nhạy bén em chưa cao; tính tự học hạn chế - Phần sáng kiến phù hợp với em học sinh lớp khá, giỏi Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước III NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: - Khi định lý đảo dấu tam thức bậc hai không đưa vào chương trình sách giáo khoa toán lớp 10, việc áp dụng phương pháp cực trị để giải toán tìm điều kiện cho phương trình bất phương trình phương pháp tốt giải toán đơn giản mà giải tương đối khó khó, phương trình bất phương trình chứa hàm mũ, lượng giác, logarit, bậc hai…v.v - Kiến thức cực trị học sinh học kỹ lưỡng chương trình toán 12, gần gũi nhớ nhiều với học sinh em chuẩn bị kỳ thi tốt nghiệp, vào đại học, cao đẳng…do sau học kiến thức cực trị cố gắng lồng ghép chuyên đề vào tiết học tăng tiết hay phụ đạo cho học sinh với mong muốn em giải toán nêu cách linh hoạt, sáng tạo Nội dung, biện pháp thực hiện: Khi gặp toán tìm điều kiện cho phương trình có dạng; f(x,m) = hay bất phương trình có dạng f(x,m)>0, f(x,m)≥0, f(x,m)m, f(x)≥m, f(x) max D f ( x) Bất phương trình: m>f(x) có nghiệm ∀x∈D ⇔ m> D f ( x) Bất phương trình: f(x)> m có nghiệm ∀x∈D ⇔ m > max D f ( x) Bất phương trình: f(x)< m vô nghiệm D ⇔ m ≤ D B Một số toán: Bài 1: Tìm m để phương trình x2 -2x = m (1) có nghiệm x∈ [ 0;1] Giải: Đặt hàm số f(x)= x2 -2x, hàm số liên tục [ 0;1] Từ bảng biến thiên hàm số f(x) [ 0;1] x f’(x) f(x) -∞ - - +∞ + -1 ta có: m ax f ( x ) f ( x )   = 0,  0;1 =-1  0;1     Vậy điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm [ 0;1] là: -1≤m≤0 Bài 2: Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước Tìm m để bất phương trình 4x- x2 ≥ m nghiệm ∀x∈ [ 0;5] Giải: Xét hàm số: f(x)=4x – x hàm số bậc hai biến x có: - b = có f(0)=0;f(4)=0;f(5)=-5 2a Bất phương trình nghiệm ∀x∈ [ 0;5] m≤-5 Bài 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4- 4x +m ≥ 0(3) nghiệm ∀x∈R Lời giải ngắn gọn: 4x Bất phương trình (3) ⇔ m≥ =g(x), phương pháp đạo hàm đặt g(x) = x +1 4x Xét bảng biết thiên g(x) x4 + x -∞ g’(x) + 43 +∞ - 27 g(x) -∞ -∞ g ( x ) = 27 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max R Do điều kiện cần đủ để bất phương trình nghiệm ∀x∈R m≥ max g ( x ) = 27 R Đáp số : m≥ 27 Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước Bài : Tìm tất giá trị m để ∀x ∈ [ 0;2] nghiệm bất phương trình log x −2 x + m + log ( x − x + m) ≤ Giải : Điều kiện : (x -2x+m)≥1 Bất phương trình ⇔ log x −2 x + m + log ( x − x + m) ≤ Đặt t = log ( x − x + m) ≤5 ;t≥0 Kết hợp với t≥0 ta có ≤ t ≤ Suy ≤ log4(x2-2x+m) ≤1   x − 2x + m ≥ ⇔  − 2x + m ≤ x  x2 − x ≥ − m ⇔   x − x ≤ − m Khi bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [ 0;2]   min( x − x ) ≥ − m   0;2  ⇔  ( x − x) ≤ − m max   0;2     1 − m ≤ −1 ⇔ ⇔2≤m≤4 4 − m ≥ Bài toán 5: Cho bất phương trình x3+3x2-1 ≤ a( x − x − 1)3 (1) Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm Lời giải ngắn gọn: Ta có: x − x − >0 Do (1) ⇔ (x3+3x2-1) ( x − x − 1)3 ≤a (2) Tập xác định (2) là:x≥1 Hai hàm số f(x)= (x3+3x2-1) g(x)= x − x − hai hàm số dương đồng biến x≥1 suy hàm số h(x) =(x3+3x2-1) ( x − x − 1)3 đồng biến x≥1 h( x) = h(1) = Suy x≥1 h( x ) = h(1) = Vậy (2) có nghiệm a≥ x≥1 Đáp số : a≥3 Bài 6: x Cho hàm số: f ( x ) = (m − 1)6 − x + 2m + Tìm m để bất phương trình (x-61-x).f(x) ≥ ∀x ∈ [ 0;1] Giải ngắn gọn: Với x=1 bất phương trình thỏa mãn không phụ thuộc vào m, nên cần tìm m để bất phương trình thỏa mãn x ∈ [ 0;1] Vì h(x) = ( x-61-x)= x – ( ) x hàm đồng biến [ 0;1] h(1) = Suy h(x) < ∀x ∈ [ 0;1] Do cần tìm m để g(x)≤0 ∀x ∈∀x ∈ [ 0;1] t2 − t − m≤ = g (t ) t + 2t Đặt t = 6∈ [ 0;6] ta có m ≤ t2 − t − = g (t ) t + 2t Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước g (t ) = Lập bảng biết thiên hàm số g(t) [ 0;6] ta có kết quả: min  0;6 Đáp số : m ≤   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm x3 − 3x + m − − x3 − 3x = (1) Giải : Đặt t = x3 − 3x 3x − ⇒ t, = [...]... Phước Nên động viên khuyến khích và động viên các em, gợi cho học sinh niềm say mê, sáng tạo trong học toán và hướng các em đến mục đích cao hơn là thành công trong những kỳ thi VI KẾT LUẬN - Việc sử dụng phương pháp cực trị để giải những bài toán tìm điều kiện của phương trình và bất phương trình không những cho các em lời giải rõ ràng và ngắn gọn mà ngoài ra còn phát triển và rèn luyện cho học sinh phẩm... cảm ơn và trân trọng kính chào ! Long Phước, ngày 21 tháng 5 năm 2012 Người viết Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trường THPT Long Phước Trần Thị Thanh Hương VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa đại số lớp 10,11,12- Nhà xuất bản giáo dục 2 Giải toán phương trình và bất phương trình- Nhà xuất bản quốc gia TPHCM 3 Các vấn đề hàm số, ứng dụng đạo hàm và luyện thi đại học – Nhà xuất bản trẻ 4 Dạy và học... tích và tổng hợp…; kỹ năng nhận dạng và giải toán được nâng cao - Tôi mong rằng chuyên đề này sẽ được bổ khuyết và áp dụng rộng rãi sau này, nhằm góp phần bổ sung thêm kiến thức, kỹ năng cho học sinh khi các em đứng trước những kỳ thi quan trọng Quá trình tích lũy kinh nghiệm và trình bày không tránh những sai sót, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp qúi báu của quí thầy cô, các bạn đồng nghiệp và. .. Các vấn đề hàm số, ứng dụng đạo hàm và luyện thi đại học – Nhà xuất bản trẻ 4 Dạy và học toán cấp III - Nhà xuất bản giáo dục 5 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Nhà xuất bản giao dục 6 Bất đẳng thức và bất phương trình đại số- Thầy Nguyễn Thế Hùng Nhà in Thanh Niên 7 Phát triển tư duy cho học sinh qua môn toán-tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPTtrường đại học sư phạm thành phố HCM Trang 12 SÁNG KIẾN KINH ... không đưa vào chương trình sách giáo khoa toán lớp 10, việc áp dụng phương pháp cực trị để giải toán tìm điều kiện cho phương trình bất phương trình phương pháp tốt giải toán đơn giản mà giải tương... Phước Bất phương trình: f(x)≥ m có nghiệm D ⇔ f ( x) m≤ max D f ( x) Bất phương trình: f(x)≥ m có nghiệm ∀x ∈D ⇔ m≤ D f ( x) Bất phương trình: f(x)≥ m vô nghiệm D ⇔ m> max D f ( x) Bất phương trình: ... x) Bất phương trình: f(x)> m có nghiệm ∀x∈D ⇔ m > max D f ( x) Bất phương trình: f(x)< m vô nghiệm D ⇔ m ≤ D B Một số toán: Bài 1: Tìm m để phương trình x2 -2x = m (1) có nghiệm x∈ [ 0;1] Giải: