SKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tích

SKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tíchSKKN Giải Một số phương trình đưa về phương trình tích

Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Như ta biết toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính lo gic chất lương dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với tri thức khoa học đại giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi sách giáo khoa chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học nói riêng trường THCS tích cưc hóa hoạt động học tập, hoạt động tư độc lâp sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học nhằm nâng cao lực phát hiên giải vấn đề, rèn luyện hình thành kỷ vân dụng kiến thức cách khoa học sáng tạo vào thực tiển Trong chương trình đại số dạng tốn giải phương trình tích ' học kỹ , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần này, trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tòi, nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Khi học chuyên đề học sinh thích thú có ví dụ đa dạng, có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số tốn khó Mục tiêu nhiệm vụ đề tài Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “phương trình tích” nhằm hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán , biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu nên thân chọn đề tài: “ Giải Một số phương trình đưa phương trình tích” Đối tượng nghiên cứu: Sách giáo khoa đại số lớp 8, sách giáo viên, sách tham khảo nâng cao Sách tập toán tập hai Một số tập tích lũy, sưu tầm Học sinh lớp trường THCS Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề Tính đề tài: Nói dạng phương trình tích, dạng tốn đó, phân tích đa thức thành nhân tủ chẳng hạn Khi ta xây dựng thành chun đề chủ đề dạng ta tìm tòi nhiều phương pháp giải sâu khai thác tốn Vậy dạy tốn q thầy dạy toán nên dạy theo chuyên đề, chủ đề, từ dễ, dân dân khó lên tạo động học tập dễ hiễu thứng thú học tập viết lên chuyên đề với số phương pháp giải có nâng cao vừa sức cho học sinh trung binh Rất mong q thầy tin hiểu chia sẻ góp ý chuyên đề học sinh áp dụng tốt II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận: Trong hoạt động giáo dục đồi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn ( cụ thể môn đại số lớp ) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tòi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức em học sinh Cơ sở thưc tiễn: Tồn nhiều năm học sinh thi vào trường THPT kết mơn tốn thấp thứ hang xếp trường THCS Nguyễn Thiếp chưa cao, kỷ làm học sinh yếu, kỷ quan sát nhân xét biến bổi thưc hành giải toán phân lớn kiến thức lớp chưa động học tập từ đầu, chầy lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa tự học tự rèn ý thức học tập yếu Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích Đa số em sủ dụng sách tập có đáp án để tham khảo nên gặp tập em thường lung túng, chưa tìm hướng giả thích hợp khơng biết ấp dụng phương pháp vào giải tập Giáo viên chưa thự đổi phương pháp dạu học đổi chưa triệt để dạy sử dụng đồ dung dạy học phương tiện dạy học theo lối củ xưa Phụ huynh học sinh chưa thực quan tâm mức đến việc học tập em minh theo dỏi kiểm tra đôn đốc nhắc nhở học tập nhà a) Thuận lợi: - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ - Tài liệu tham khảo đa dạng; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng ,nhiệt tình - Đa số em ham học; thích nghiên cứu - Đa số em nhận thức đắn ý thức học tập cần phải hăng say học tập tự giác tim toi - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống; em nắm dạng tập phương pháp giải tập - Đã gợi say mê học tập em học sinh - Ban giám hiệu nhà trường đạo thường xuyên coi việc phát triển lực chuyên môn then chốt; nhà trường phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn Tạo điều kiện thuận lợi để thầy giáo có điều kiện học hỏi đúc rút nhiều kinh nghiệm cho thân - Đa số giáo viên nhiệt tình cơng tác giảng dạy - Cơ sở vật chất đầy đủ; đồ dung học tập khà tốt b) Hạn chế: - Lực học em không đồng Một số em học sinh tiếp thu chậm khơng đáp ứng yêu cầu chương trình - Điều kiện kinh tế gia đình học sinh nghèo nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh - Thời lượng thực giảng dạy hạn chế Một số em học sinh tiếp thu chậm - Thời gian thực tế lớp nên việc lồng ghép dạng tốn có liên quan khó khăn có tốn học sinh bỡ ngỡ chưa biết cách Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích giải - Chất lượng học sinh không đồng nên việc tiếp thu kiến thức hạn chế c) Các nguyên nhân; yếu tố tác động: - Xuất phát từ thực trạng nói nguyên nhân chủ yếu nhằm giúp cho em học sinh có ý thức học tập đắn; tạo ham mê học tập giúp em có điều kiện lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt - Xuát phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề thân - Sự đạo sát cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy d) Giải pháp, biện pháp: - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh, giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng ““ Giải Một số phương trình đưa phương trình tích” Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó sau - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng nào? Phân tích vế trái thành tích (thừa số) biến đổi vế trái thành tích đa thức; đơn thức khác ẩn vế phải Nội dung phương pháp thực Một tích thừa số khơng Trong tích có thừa số tích bằng? Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( 5x – ) ( x + ) = ( I ) Phương pháp giải Tính chất nêu phép nhân viết Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích ab = ⇔ a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : ( 5x – ) ( x + ) = ⇔ 5x – = Hoặc x+2=0 Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = ⇔ x = ⇔ x = 0, 2/ x + = ⇔ x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 0,6 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = { 0, 6; −2} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …….A(x n ) = (II) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = (1) A( x ) = (2) …………………… A ( xn ) = (n) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ) Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình ( II ) SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN VÍ DỤ 1: Giải phương trình sau : (x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) Nhận xét : Hai tích khơng có nhân tử chung thi ta phải khai triển thu gọn để tìm cách đưa dạng tích, để giải phương trình ta cần thực hai bước Bước : Đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách chuyển tất hạng tử từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử ; vế phải Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích 0; áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) ⇔ (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0 ⇔ x + x + x + − 22 + x = ⇔ x + x = ⇔ x (2 x + 5) = Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x = x = x =  ⇔ ⇔ x ( 2x + ) = ⇔  x = − 2 x + =  x = −5  5  Vậy phương trình có tập nghiệm : S = 0; −  2  VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x − = x ( 3x − 5) 5 Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x − = x ( 3x − 5) ⇔ x − = x − x = 5 5 ⇔ 3  3 x − − x + x = ⇔  x − x ÷− ( − x ) = 5  5 ⇔ 3  x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ ( − x )  x − 1÷ = 5  1 − x = x −1   ⇔ 3 ⇔  x − =  x =  5 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = 1;   3 VÍ DỤ : Giải phương trình : x − x + − = Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức ( ) Giải : Ta có : x − x + − = ⇔ x − x + − = Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích ⇔ ( x − 1) − 32 = ⇔ ( x − − 3) ( x − + 3) = ⇔ ( x − 4) ( x + 2) = x − = ⇔ x + = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −2; 4} VÍ DỤ 4: Giải phương trình : ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = 2 Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B ⇒ phương trình có dạng ( A + B ) = Giải : ta có ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = 2 ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1+ x + 2) = ⇔ 2x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = −   Vậy phương trình có tập nghiệm : S = −   2 VÍ DỤ : Giải phương trình : ( )( ) − x 2x + = Đây phương trình tích có chứa thức bậc hai, Để tránh cho học sinh hiểu tốn mơt cách phức tạp phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thông thường Vì 2; 3; coi hệ số thơng thường Giải : Ta có ( )( ) − x 2x +1 = Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích  x =  − x =  ⇔ ⇔ x = 2 x + =  −1 2   −1   Vậy phương trình có tập nghiệm : S =  ;  2     II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ : Giải phương trình : x + x + x = Đối với phương trình học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau 2 Cách : Ta có : x + x + x = ⇔ x ( x + 3x + = ) ⇔ x ( x + x + x + ) = ( tách 3x = x + 2x ) ⇔ x ( x + x ) + ( x + )  = ( nhóm hạng tử ) ⇔ x  x ( x + 1) + ( x + 1)  = ( đặt nhân tử chung ) ⇔ x ( x + 1) ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x = x =   ⇔  x + = ⇔  x = −1  x + =  x = −2   Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 0; −1; −2} CÁCH 2: Giải : Ta có x3 + x + x = ⇔ x + x + x + x = ( tách x = x + x ) ( ) ( ) ⇔ x + x + x + x = ⇔ x ( x + 1) + x ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + x ) = ⇔ ( x + 1) x ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x +1 = x = −1   ⇔ x = ⇔ x = Vậy phương trìnhcó tập nghiệm là: S = { 0; −1; −2} x + = x = −2   VÍ DỤ 2: Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích Giải phương trình : x − 19 x − 30 = phương trình chưa xuất nhân tử chung; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x3 − 19 x − 30 = ⇔ x − x − 10 x − 30 = ( ) ( ) ⇔ x − x − ( 10 x + 30 ) = ⇔ x x − − 10 ( x + 3) = ( ) ⇔ x x − 32 − 10 ( x + ) = ⇔ x ( x − 3) ( x + 3) − 10 ( x + 3) = ( ) ⇔ ( x + 3)  x ( x − ) − 10  = ⇔ ( x + 3) x − 3x − 10 = ⇔ ( x + 3) ( x − x + x − 10 ) = ⇔ ( x + 3) ( x − x) + ( x − 10 )  = ⇔ ( x + 3)  x ( x − ) + ( x − )  = ⇔ ( x + ) ( x − ) ( x + ) = x + = x = −3   ⇔ x − = ⇔ x = x + = x = −2   Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { −3; −2;5} VÍ DỤ : Giải phương trình : x + x − = Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + x − x − = ( ) ⇔ 3x + x − ( x + ) = ⇔ 3x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( x − 1) = x = −2 x + =  ⇔ ⇔ x= 3 x −1 =     1 3 Vậy phương trình có tập nghiệm : S= −2;  Năm học 2016 – 2017 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích VÍ DỤ : Giải phương trình: x + 14 x + x = Đối vớ phương trình bước ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản hơn, sau dùng phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích ( ) 2 Giải : Ta có : x + 14 x + x = ⇔ x x + x + = ⇔ x ( x + x + x + 3) = ⇔ x ( x + x ) + ( x + )  = ⇔ x  x ( x + 3) + ( x + 3)  = ⇔ x ( x + 3) ( x + 1) =  x = 2 x =   ⇔  x + = ⇔  x = −3 2 x + =   x = −    1 2 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = 0; −3; −  VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x + x + 20 = Đói với phương trình vế trái chưa xuất nhân tử chung Do ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách Tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x + x + 20 = ⇔ x + x + x + 20 = ( ) ⇔ x + x + ( x + 20 ) = ⇔ x ( x + ) + ( x + ) = x + =  x = −4 ⇔ ( x + 4) ( x + 5) = ⇔  ⇔ x + =  x = −5 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { −4; −5} VÍ DỤ 6: Giải phương trình : x2 + x − = Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng Tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + 3x − x − = ⇔ ( x + x ) − ( x + ) = ⇔ x ( x + 3) − ( x + 3) = Năm học 2016 – 2017 10 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích x + =  x = −3 ⇔ ( x + 3) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { −3; 2} VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x − x + = Đối với phương trình có nhiều cách giải khác nhau, sau Một số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x x − 3x + = ⇔ x − x − x + = Ta có : ⇔ ( x − x ) − ( x − ) = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) =  x −1 = x = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + Ta có : x − 3x + = ⇔ x − 3x − + = ( ) ⇔ x − − ( 3x − ) = ⇔ ( x + ) ( x − ) − ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + ) − 3 = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x − =  x = Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = { 1; 2} −3 x = 2.x Cách : Biến đổi Ta có : ; 2= − x − 3x + = ⇔ x − x + − = 4 2  9 3  1  ⇔  x − x + ÷− = ⇔  x − x +  ÷  −  ÷ = 4        2  3 1    3 1  ⇔  x − ÷ −  ÷ = ⇔  x − ÷+   x − ÷+  = 2 4     2   Năm học 2016 – 2017 11 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích  1  ⇔  x − + ÷ x − − ÷ = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = 2  2   x −1 = x = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = { 1; 2} III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x − 13 x + 36 = Đây phương trình bậc ẩn x, để giải dạng phương trình ta cần đặt biến phụ sau tìm giá tri biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm Ở ta đặt x = t với t ≥ ta có cách giải sau : Giải :Ta có : x − 13x + 36 = ⇔ t − 13t + 36 = ( ) ⇔ t − 4t − 9t + 36 = ⇔ t − 4t − ( 9t − 36 ) = ⇔ t ( t − 4) − ( t − 4) = ⇔ ( t − 4) ( t = ) = t = t − = ⇔ ⇔1 thỏa mãn t − = t2 =   x = ±2 x = ⇔ Vì ta đặt x = t ⇒  x =  x = ±3  Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { ±2; ±3} VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x + x + = Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ : Đặt x2 = t, t ≥ nên ta có cách giải sau: Giải :Ta có : x + x + = ⇔ 2t + 5t + = ( ) ⇔ 2t + 4t + t + = ⇔ 2t + 4t + ( t + ) = (tách 5t = 4t + t ) ⇔ 2t ( t + ) + ( t + ) = ⇔ ( t + ) ( 2t + 1) = (nhóm đặt NTC ) Năm học 2016 – 2017 12 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích t = −2( ktm) t + =  ⇔ ⇔ 2t + = t = − ( ktm) Vậy phương trình cho vơ nghiệm: tập hợp nghiệm phương trình là: S = φ VÍ DỤ 3: Giải phương trình : x + x + = ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = t để đưa dạng tích Giải : Ta có : x + x + = ⇔ 9t + 6t + = ⇔ ( 3t ) + 2.3t + 12 = ⇔ ( 3t + 1) = 2 ⇔ 3t + = ⇔ t = − (ktm) Vậy phương trình vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = φ VÍ DỤ 4: Giải phương trình : x + x − = Đặt x2 = t t ≥ Ta có cách giải sau : x − x − = ⇔ 2t − 7t − = ⇔ 2t − 8t + t − = ⇔ ( 2t − 8t ) + ( t − ) = ⇔ 2t ( t − ) + ( t − ) = ⇔ ( t − ) ( 2t + 1) = t = t − =  ⇔ ⇔ 2t + = t = − (ktm) Vì đặt x = t ⇒ x = ⇒ x = ±2 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { ±2} VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x − 20 x + 18 = Đặt x = t nên ta có cách giải sau x − 20 x + 18 = ⇔ 2t − 20t + 18 = ⇔ ( t − 10t + ) = ⇔ ( t − 9t − t + ) = ⇔ ( t − 9t ) − ( t − )  = ⇔ t ( t − ) − ( t − )  = Năm học 2016 – 2017 13 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích t − = t = ⇔ ( t − ) ( t − 1) = ⇔  ⇔ t − = t = Vì đặt x = t ⇒ x = ⇒ x = ±3 Và : x = ⇒ x = ±1 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { ±1; ±3} IV/ DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau số ví dụ dạng phương trình VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình : x+2 − = x − x x ( x − 2) (I) x ≠ x ≠ ⇔ x − ≠ x ≠ Điều kiện xác định phương trình :  Giải : Ta có (I) ⇒ ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = x+2 − = ⇔ x − x x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) ( x + 2) x − ( x − 2) = ⇔ x2 + 2x − x + = x = x = ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 1) = ⇔  ⇔ x +1 =  x = −1 Vì điều kiện xác định phương trình : x ≠ x ≠ Nên với x = loại Do phương trình có tập nghiệm : S = VÍ DỤ 2: Giải phương trình : ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 { −1} ( II ) ĐKXĐ: x ≠ ±2 Giải : Ta có : (II) ⇔ ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 Năm học 2016 – 2017 14 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) ⇔ ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ⇒ ( x − 2) Quy đồng mẫu hai vế − ( x + ) = ( x − 11) ( Nhân hai vế với ( x + ) ( x − ) khử mẫu ) Khai triển chuyển vế thu gọn ta ⇔ x − x + 20 = ⇔ x − x − x + 20 = ( tách -9x = - 4x – 5x ) ⇔ ( x − x ) − ( x − 20 ) = ⇔ x ( x − ) − ( x − ) = x − = x = ⇔ ( x − ) ( x − 5) = ⇔  ⇔ x − =  x = Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy phương trình có tập nghiệm : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : 2x −1 = −x x−2 x−2 { 4;5} ( III) ĐKXĐ : x≠2 Giải : Ta có : (III) ⇔ ⇒ 2x −1 − x ( x − 2) 2x −1 = −x⇔ = x−2 x−2 x−2 x−2 = x − − x + x ( nhân hai vế với x – khử mẫu ) ⇔ x2 − x + = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x−2=0⇔ x = (Loại x = khơng thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : x + 1 = x2 + x x φ ( IV ) ĐKXĐ : x ≠ x3 + x x + ( IV ) ⇔ = ⇔ x3 + x = x4 + x x ⇒ x3 − x − + x = ⇔ ( x3 − x ) − ( − x ) Năm học 2016 – 2017 15 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích ( ) ⇔ x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ (1 − x) x − = ( ) ⇔ ( x − 1) ( x − 1) x + x + = ⇔ ( x − 1) Vì (x 2 (x ) + x +1 = 1  1 + x + 1) = x + x + + =  x + 2.x + ÷+ 4  4 1  =x+ ÷ + >0 2  nên ( x − 1) (x ) + x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Thỏa mãn điều kiện tốn Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 1} V/ MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ 1: Giải phương trình : 2− x 1− x x −1 = − 2001 2002 2003 Đây phương trình áp dụng cách giải thong thường gặp nhiều khó khăn Do để giải phương trình ta sử dụng phương pháp sau Để biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản Ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau: 2− x 1− x x 2− x  1− x   −x  −1 = − ⇔ +1 =  + 1÷+  + 1÷ 2001 2002 2003 2001  2002   2003  ⇔ 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x = + ⇔ − − =0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1   ⇔ ( 2003 − x )  − − ÷ = ⇔ 2003 − x = ⇔ x = 2003  2001 2003 2003  Vì : 1 − − ≠0 2001 2002 2003 Năm học 2016 – 2017 16 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 2003} VÍ DỤ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta  x +1   x +   x +   x +   x +   x +   94 + 1÷+  93 + 1÷+  92 + 1÷ =  91 + 1÷+  90 + 1÷+  89 + 1÷             ⇔ x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 ⇔ x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + − − − =0 94 93 92 91 90 89 1 1   ⇔ ( x + 95 )  + + − − − ÷ =  94 93 92 91 90 89  ⇔ x + 95 = ⇔ x = −95 Vì : 1 1 1 + + − − − ≠0 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S = { −95} VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49 Đối với phương trình ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái tách Thành hạng tử, hạng tử đơn vị nên ta có cách giải sau 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49  59 − x   57 − x   55 − x   53 − x   51 − x  ⇔ + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ =  41   43   45   47   49  ⇔ 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x + + + + =0 41 43 45 47 49 1 1   ⇔ ( 100 − x )  + + + + ÷=  41 43 45 47 49  ⇔ 100 − x = ⇔ x = 100 Năm học 2016 – 2017 17 Sáng kiến kinh nghiệm Vì : Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích 1 1 + + + + ≠0 41 43 45 47 49 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 100} VÍ DỤ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54 Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình tách thành nhóm sau : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  ⇔ + ÷+  + 1÷+  + 1÷ =  + ÷+  + 1÷+  + 1÷  59   58   57   56   55   54  ⇔ x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + = + + 59 58 57 56 55 54 ⇔ x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + − − − =0 59 58 57 56 55 54 1 1   ⇔ ( x + 60 )  + + − − − ÷ =  59 58 57 56 55 54  ⇔ x + 60 = ⇔ x = −60 Vì : 1 1 1 + + − − − ≠0 59 58 57 56 55 54 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { −60} VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị tách phần ta có cách giải sau: Năm học 2016 – 2017 18 Sáng kiến kinh nghiệm Giải: Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25  x −   x − 15   x −   x − 1990   x − 1980   x − 1970  ⇔ − 1÷+  − ÷+  − 1÷ =  − 1÷+  − ÷+  − 1÷  1990   1980   1970     15   25  ⇔ x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 ⇔ x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + + − − − =0 1990 1980 1970 15 25 1 1   ⇔ ( x − 1995 )  + + − − − ÷=  1990 1980 1970 15 25  ⇔ x − 1995 = ⇔ x = 1995 Vì : 1 1 1 + + − − − ≠0 1990 1980 1970 15 25 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 1995} 2.4 Điều kiện thực giải pháp; biện pháp: Được góp ý bổ sung; xếp thời gian tổ chun mơn tổ chức ngoại khóa Thực q trình giảng dạy thơng qua tiết học lớp; tiết giải tập buổi học thêm, biện pháp tổ chức thực tập trung phân theo nhóm đối tượng học sinh Mối quan hệ giải pháp biện pháp Với phương pháp biến đổi giải phương trình tích đơn giản; phương pháp tách hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp quy đồng mẫu khử mẫu; phương pháp cộng vào hai vế ; nhóm quy đồng đưa hạng tử có tử giống để đặt nhân tử chung có mục đích chung đưa phương trình dạng phương trình tích Trên số kinh nghiệm việc dạy học mơn tốn giải phương trình Được ứng dụng số phương pháp biến đổi khác q trình giải để đưa dạng phương trình tích Qua việc thực kết đạt học sinh tiếp thu tốt nhiều so với chưa thực phương pháp Năm học 2016 – 2017 19 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích Kết thu qua khảo nghiệm; giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: Kết trước sau thực kinh nghiệm dạy phương trình tích khảo sát sau sau Khi chưa thực dạy phương pháp giải phương trình tích Khảo sát 20 em kết đạt sau: GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 8C 0% 5% 10 50% 35% 10% 8D 0% 10% 45% 40% 5% Kết sau thực giảng dạy phương pháp giải phương trình tích Lớp LỚP 8C 8D Giỏi SL KHÁ TB YẾU TL SL TL SL TL SL TL 20% 25% 45% 10% 25% 20% 40% 15% III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KÉM SL TL 0% 0% Kết luận: Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư duy; nhận thức nhanh hơn; nhìn nhận vấn đề sâu rộng hơn; chắn hơn, học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp Trong trình thực thân chưa thể đưa hết phương pháp khơng thể tránh khỏi khiếm khuyết, thiếu sót Tính lơgic tính chặt chẽ hệ thống phương trình nên thân tơi mong đóng góp ý kiến q báu từ q thầy giáo nói chung q thầy giáo tổ mơn tốn nói riêng Nhất đồng chí ban giám hiệu để thân đúc rút nhiều kinh nghiệm q trình dạy học tơi xin chân thành cảm ơn ! Kiến nghị: Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham gia học tập nhiều dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm Về tỏ chức Đoàn đội phải tổ chức thi toan tuổi thơ, câu lạc toác học, thi giải toán cuối tuần em tiếp cân nhiều dạng toán Năm học 2016 – 2017 20 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích Nhà trường cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để quý thầy cô thực chuyên đề tốt có tính chất thiết thực đem lại hiểu cho học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO TT TÊN SÁCH TÁC GIẢ Sách giáo khoa đại số tập Phan Đức Chính II Tôn Thân Sách hướng dẫn giáo viên Nguyễn Huy Đoan Năm học 2016 – 2017 NHÀ XUẤT BẢN Nhà xuất giáo dục Nhà xuất giáo dục 21 Sáng kiến kinh nghiệm Giải Một số phương trinh đưa phương trình tích đại số tập II Lê văn Hồng Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Đại học quốc gia hà nội Sách tập đại số tập II Ôn tập đại số Lê Đình Phi Các toán hay đại số Nguyễn Ngọc Đạm Các toán chọn lọc Nguyễn Quang Hanh (Bồi dưỡng học sinh ; Ngô long hậu giỏi ) Nguyễn đức Tấn Phan Hoàng Ngân 405 Bài tập đại số Nguyễn Anh Hồng Nguyễn Đức Hòa Năm học 2016 – 2017 Nhà xuất đại học sư phạm hà nội Nhà xuất đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 22 ... giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng quát sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …….A(x n ) = (II) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II... tốn Vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 1} V/ MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau... giảng dạy d) Giải pháp, biện pháp: - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh, giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng ““ Giải Một số phương trình đưa phương trình tích Đồng