SKKN một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI : 1- Tên đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”. 2- Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán học phổ thông giải phương trình vô tỉ là phần gây cho học sinh (ngay cả học sinh khá và giỏi) nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên, đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi toán vì nó đòi hỏi phải động não, tìm tòi và sáng tạo.Để giúp học sinh có được một số kiến thức cơ bản về giải phương trình vô tỉ nên chúng tôi chọn đề tài này. 3- Phạm vi và thời gian thực hiện. - Đề tài này được thực hiện trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9 ở bậc THCS . - Thời gian thực hiện 1 năm. III- QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI . 1- Khảo sát thực tế. Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 9 cấp huyện. Sau khi học về phần giải phương trình vô tỉ chúng tôi nhận thấy một số hạn chế sau: - Học sinh không có kỹ năng phân biệt dạng loại . - Chưa có hệ thống phương pháp giải . - Nhiều khi còn mắc sai lầm khi giải phương trình . - Một bộ phận học sinh còn ngại khi giải phương trình . 2- Số liệu trước khi thực hiện . Có tới 65 – 70% học sinh nắm các dạng và giải phương trình gặp khó khăn về phương pháp. Nhiều bài không biết tìm lời giải . 3- Những biện pháp chủ yếu: 3.1- Giúp học sinh nắm vững các dạng cơ bản của phương trình vô tỉ . 3.2- Tìm ra cách giải thông qua các ví dụ . 3.3- Học sinh tự giải các bài tập nhỏ những kiến thức đã được trang bị. 3.4- Đánh giá kết quả của học sinh thông qua bài kiểm tra. 4- Những biện pháp cụ thể : 4.1- Những kiến thức cần thiết khi tìm tòi lời giải cho phương trình vô tỉ . 4.1.1- Phương trình vô tỉ là loại phương trình chứa ẩn ở trong dấu căn thức . Ví dụ: 312 −++ xx = 4 là phương trình vô tỉ . 4.1.2- Các phép biến đổi cơ bản cần biết. * a = b ⇔ a 2 = b 2 ( a, b ≥ 0) * AA = 2 * Các phép biến đổi đơn giản về căn thức bậc hai và mở rộng căn bậc n ( n N ∈ , n 2≥ ) . 4.1.3- Cách giải các phương trình, hệ phương trình cơ bản, các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. * Nắm vững cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai, và một số phương trình bậc cao cơ bản . * Cách giải một số hệ phương trình : Như hệ bậc nhất, hệ đối xứng, hệ đẳng cấp . * Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức như các tính chất cơ bản về bất đẳng thức. -BĐT Cô si cho hai số không âm -BĐT Bunhiacốpxki cho hai cặp số . * Các kiến thức về giải bất phương trình bậc cao, bất phương trình tích. Đây là những công cụ cần thiết và hữu ích giúp chúng ta có thể tìm tòi lời giải cho phương trình vô tỉ . 4.1.4- Một số chú ý. - Khi biến đổi phải chú ý đặt điều kiện để phép biến đổi đảm bảo là tương đương. Nhiều khi do việc giải điều kiện gặp nhiều khó khăn ta có biến đổi và sau đó phải thử lại nghiệm của phương trình. 4.2- Nguyên tắc chung để giải phương trình vô tỉ . 2 - Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn. - Những dạng phương trình đơn giản là phương trình có thể làm mất căn thức và phương trình đó có thể giải được một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải đó là : * k xf 2 )( = g(x) ⇔ g(x) 0≥ f(x) = [g(x)] 2k * ⇔= kk xgxf 22 )()( f(x) 0≥ ( hoặc g(x) o≥ f(x) = g(x) * 12 )( +k xf = g(x) ⇔ f(x) = [g(x)] 2k+1 ( Trong các phép biến đổi trên, k là số nguyên dương). 4.3- Cách giải một số dạng cơ bản và ví dụ . Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. Dựa vào phép biến đổi AA = 2 Ví dụ 1: Giải phương trình. 44 2 +− xx = 3 x – 2 Giải : 44 2 +− xx = 3 x – 2 ⇔ 2 )2( −x = 3 x – 2 ⇔ 2−x = 3 x – 2 (*) Đến đây phương trình đã không còn căn thức và học sinh có thể tự tìm lời giải một cách dễ dàng. Giải phương trình (*) ta có nghiệm x 1 = 0 ; x 2 = 1 nhưng phải loại bỏ x =0 do điều kiện x 3 2 ≥ Do vậy phương trình có nghiệm x = 1. Ví dụ 2: Giải phương trình : 143 −−+ xx + 168 −−+ xx = 1 Giải: 3 Điều kiện x – 1 10 ≥⇔≥ x phương trình được biến đổi thành . 414)1( +−−− xx + 916)1( +−−− xx = 1 ⇔ 22 )31()21( −−+−− xx = 1 ⇔ 21 −−x + 31 −−x = 1 (*) Nếu 1−x ≥ 3 thì (*) trở thành 1−x - 2 + 1−x - 3 = 1 ⇔ 2 1−x = 6 ⇔ 1−x = 3 ⇔ x – 1 = 9 ⇔ x = 10 ( Thoả mãn điều kiện) Nếu 2 < 1−x <3 thì (*) trở thành 1−x - 2 + 3 - 1−x = 1 ⇔ 1 = 1 đúng với mọi x thoả mãn điều kiện đang xét: Cụ thể là . 4< x – 1 < 9 ⇔ 5< x < 10 * Nếu 1−x ≤ 2 thì (*) trở thành 2 - 1−x + 3 - 1−x = 1 ⇔ 2 1−x = 4 ⇔ 1−x = 2 ⇔ x – 1 = 4 ⇔ x = 5 ( thoả mãn điều kiện đang xét) Vậy nghiệm của phương trình là 5 ≤ x ≤ 10 . Lời bàn : Đến ví dụ 2 ta nhận thấy học sinh dễ mắc sai lầm hoặc thiếu trường hợp khi phá được dấu giá trị tuyệt đối; hoặc sẽ lúng túng khi xét trường hợp 2 < 1−x <3 mà thấy 1 = 1 rồi không biết kết luận gì; hoặc sẽ kết luận thừa ( thiếu) nghiệm. Do vậy khi giải giáo viên phải nhấn mạnh để học sinh không mắc sai lầm. 4 Ngay từ ví dụ 2 ta có thể làm cho bài toán phức tạp hơn nhưng cách giải vẫn không hề thay đổi, ta xét ví dụ 3. Ví dụ 3: Giải phương trình: 11212 −=−−+−+ xxxxx Giải:Biến đổi tương tự như ví dụ 2 ta được phương trình sau 2 )11( +−x + 2 )11( −−x = x – 1 ( điều kiện x 1≥ ) ⇔ 11 +−x + 11 −−x = x – 1 ⇔ 1−x + 1 + 11 −−x = x – 1 (1) Ta xét hai trường hợp : *Nếu x ≥ 2 thì 1−x ≥ 1 phương trình (1) trở thành 1−x + 1 + 1−x - 1 = x – 1 ⇔ 2 1−x = x – 1 ⇔ 2 = 1−x ⇔ x – 1 = 4 ⇔ x = 5 ( thoả mãn điều kiện) . *Nếu 1 ≤ x < 2 thì 1−x < 1 phương trình (1) trở thành . 1−x + 1+1 - 1−x = x – 1 ⇔ x = 3 (loại). Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =5 Ở ví dụ 3, nếu học sinh không có tính sáng tạo mà áp dụng cách làm đầy đủ như ví dụ 2 thì bài toán sẽ rườm ra thêm. Tóm lại: Đối với dạng 1 học sinh cần phải biến đổi để có thể sử dụng hằng đẳng thức : AA = 2 . Có thể coi dạng 1 có cách giải là đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . Một số bài tập mà có thể sử dụng cách giải tương tự dạng 1 : Giải các phương trình sau: Bài 1: xx 44 −+ + 169 =−+ xx Bài 2: 225225232 =−−−+−++ xxxx Bài 3: 1267242 =−−++−−+ xxxx 5 Bài 4: 732813232222 =−+++−+− xxxx Bài 5: 322 −−− xx - 341 −−+ xx = 2 x – 5 Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH NÂNG LÊN LUỸ THỪA. Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình : 3 + 32 −x = x (*) Giải : Điều kệin xác định của phương trình là 2 x – 3 0 ≥ Tách riêng căn thức ở một vế được 32 −x = x – 3    −=− ≥− ⇔ 2 )3(32 03 xx x ⇔    =+− ≥ 0128 3 2 xx x (1) Phương trình (1) có hai nghiệm là x 1 = 2 ( loại) và x 2 = 6 thoả mãn điều kiện x 3 ≥ và 2 x – 3 0 ≥ Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6 . Lời bàn: Sau khi tách riêng căn thức ở một vế phương trình có dạng )(xf = g(x) nên ta sử dụng phép biến đổi tương đương. )(xf = g(x) ⇔ [ ]    = ≥ 2 )()( 0)( xgxf xg Nếu không đặt điều kiên x – 3 0 ≥ , học sinh sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của phương trình (*), do vậy khi giải giáo viên phải nhấn mạnh việc đặt điều kiện giúp học sinh không lấy thừa nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình: 1−x + 4−x = 4+x Giải: Điều kiện để phương trình xác định là : x ’ – 1 ≥ 0 x – 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4. x + 4 ≥ 0 Với điều kiện x ≥ 4 hai vế của phương trình đều không âm. Ta bình phương hai về và thu gọn được . 2 )4)(1( −− xx = 9 – x 6    −=−− ≤≤ ⇔ 2 )9()4)(1(4 94 xxx x ⇔    =−− ≤≤ 06523 94 2 xx x ⇔ 4 9 ≤≤ x x 1 = 5 hoặc x 2 = 3 13− (loại) Vậy nghiệm của phương trình là x = 5 . Lời bàn : Học sinh khi giải bài tập này vẫn có thể làm thiếu điều kiện x 9 ≤ . Đây là điều kiện quan trọng để chỉ được phương trình tương đương. Để giúp học sinh nhận ra ta xét thêm vị dụ 3 sau đây: Ví dụ 3: Giải phương trình : 52 −+ x = x−13 Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là:    ≥− ≥− 013 05 x x ⇔ 5 ≤ x ≤ 13 Khi đó phương trình tương đương với    −=−+ ≤≤ xx x 1352 135 ⇔    −=− ≤≤ xx x 115 135 ⇔    −=− ≤≤ 2 )11(5 115 xx x Giải ra ta được :    == ≤≤ 9;14 115 21 xx x Vậy nghiệm của phương trình là x = 9. Ở dạng toán này đôi khi ta có thể giải phương trình vô tỉ bằng cách nâng lên luỹ thừa bậc n (với n )2; >∈ nN chẳng hạn ta xét ví dụ 4 sau: Ví dụ 4: Giải phương trình: 112 33 =++ xx (1) Giải:Lập phương hai vế áp dụng hằng đẳng thức (a+b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a+b) ta được. 2 x + 1 + x + 3 1)12.()12( 33 3 =+++ xxxx (2) Thay 3 12 +x + 3 x = 1 vào (2) ta có 7 3 x + 1 + 3 3 )12( +xx = 1 (3) ⇔ xxx −=+ 3 )12( (4) ⇔ 3 )12( xxx −=+ ⇔ 0)12( 2 =++ xxx ⇔ 0)1( 2 =+xx ⇔ 1;0 21 −== xx Thử lại : x 1 = 0 thoả mãn (1) x 2 =-1 không thoả mãn (1) loại Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 0 . Lời bàn : Trong ví dụ 4 học sinh thường lúng túng khi gặp phương trình chứa căn thức bậc cao, việc vận dụng các hằng đẳng thức giúp học sinh biến đổi tương đương về dạng phương trình cơ bản. Đặc biệt lưu ý ở ví dụ 4 này các phương trình (1) và ( 2) tương đương, nhưng các phương trình (2) và (3) không tương đương. Do đó sau khi tìm được nghiệm của (3) là 0 và -1 phải thử các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1). Đây cũng là một chú ý quan trọng giáo viên cần khắc sâu cho học sinh, tránh rơi vào tình trạng lấy thừa nghiệm . Các bài tập có thể giải tương tự . Giải các phương trình sau: Bài 1: xxx −=−− 242 2 Bài 2 : 193 2 +− xx = 2 − x Bài 3 : 73 +x - 1+x = 2 Bài 4 : 24 1 xx −− = x – 1 Bài 5 : 3 1+x + 3 7 x− = 2 Dạng 3 : PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG. Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình : 2110 2 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x - 6 Điều kiện của phương trình là : 8      ≥+ ≥+ ≥++ 07 03 02110 2 x x xx 3 −≥⇔ x Chuyển vế sau đó phân tích các đa thức ở trong căn thành nhân tử ta được. 067233)7)(3( =++−+−++ xxxx ⇔ 3+x ( 0)37(2)37 =−+−−+ xx ⇔ ( 0)23)(37 =−+−+ xx ⇔     =−+ =−+ 023 037 x x ⇔    =+ =+ 43 97 x x => x 1 = 1 ; x 2 =2 (thoả mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là x = 1; x =2 Ví dụ 2: Giải phương trình : 49211212 22 +−−−+ xxxx = 918 −x Giải: Sau khi phân tích các đa thức ở trong căn thành nhân tử ta được. 123)4)(12()11)(12( −=−−−+− xxxxx Điều kiện của phương trình là      ≥− ≥−− ≥+− 012 0)4()12( 0)11)(12( x xx xx Điều kiện chung sẽ là x 4≥ do 2 x – 1 0≥ Từ đây ta có : 12 −x ( 11+x - 4−x - 3 ) = 0 * 12 −x = 0 ⇔ x = 2 1 (loại) * 11+x = 3 + 4−x ⇔ x + 11 = 9 + x – 4 + 6 4−x ⇔ 6 = 6 4−x ⇔ 4−x = 1 ⇔ x – 4 = 1 ⇔ x = 5 ( thoả mãn) Vậy nghiệm của phương trình là x = 5. Chú ý trong bài này nếu học sinh giải phương trình 9 411 −−+ xx = 3 theo cách của dạng 2 sẽ làm cho bài toán dài hơn và phức tạp hơn. Khi giảng dạy Giáo viên nên làm so sánh cho học sinh rút ra kinh nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình : )1( −xx + )2( −xx = )3( +xx Giải: Điều kiện có nghĩa của phương trình là : x ( x – 1 ) ≥ 0 x = 0 x ( x – 2 ) ≥ 0 ⇔ hoặc x ≥ 2 x ( x + 3 ) 0 ≥ hoặc x ≤ - 3 Nếu x = 0 thì phương trình có nghiệm là x = 0 Nếu x ≥ 2 thì ta có: 0)3221( =+−−−−+− xxxxx do đó 321 +=−+− xxx ⇔ x – 1 + x – 2 + 2 3)2)(1( +=−− xxx ⇔ 2 )2)(1( −− xx = 6 –x ⇔    −=−− ≤≤ 2 )6()2)(1(4 62 xxx x ⇔    = ≤≤ 283 62 2 x x Chỉ nhận nghiệm x = 3 212 Nếu x 3 −≤ thì phương trình sẽ trở thành. )3)(())(2()().1( −−−=−−+−− xxxxxx ⇔ x− . ( 0)321 =−−−−+− xxx Do đó : 321 −−=−+− xxx Bình phương hai vế không âm ta được phương trình . 2 6)2)(1( −=−− xxx phương trình vô nghiệm vì : x – 6 < 0 do x ≤ - 3 . 10 [...]... Trong quá trình thực tiên đề tài (năm học 2005-2006) chúng tôi nhận thấy: 19 1 Sau khi học sinh được tiếp thu các phương pháp giải phương trình vô tỉ, học sinh đã có được một số kiển thức cơ bản khi giải phương trình vô tỉ, biết giải các phương trình cùng dạng loại Qua kiểm tra cụ thể có 10/15 em giải trọn vẹn bài toán thi HSG Toán 9 tỉnh Hà Tây (năm học 2005-2006) bài giải phương trình vô tỉ 2 Bước... 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ được thể hiện dưới nhiều dạng cụ thể ta xét một số ví dụ sau : Ví dụ1: Giải phương trình : (1) x −1 − 5 x − 1 = 3 x − 2 Giải: Điều kiện của phương trình là : x − 1 ≥ 0  5 x − 1 ≥ 0 3 x − 2 ≥ 0  ⇔ x ≥1 Với điều kiện này thì x< 5 x đo dó x −1 < 5 x − 1 suy ra vế trái của phương trình. .. + 4 x = 2 Dạng 5 : PHƯƠNG PHÁP DÙNG ẨN DỤNG ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nội dung của phương pháp giải : 14 -Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ -Bước 2: Biến đổi phương trình về phương trình ( hệ phương trình) chứa ẩn phụ Giải phương trình( hệ phương trình chứa ẩn phụ)đối chiếu với điều kiện đã nêu để tìm nghiệm thích hợp -Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo cách... nghiệm của phương trình đã cho Lưu ý phải chỉ rõ dấu “=” xảy ra ở từng chỗ áp dụng bất đẳng thức Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình vô tỉ là một dạng đặc biệt của phương pháp dùng bất đẳng thức ta xét ví dụ 4 sau: Ví dụ 4: Giải phương trình : 13 3 x +1 + 3 x = 1 (1) Giải: Bằng cách chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình Ta thấy x = 0 nghiệm đúng phương trình Với... niềm tin hứng thú, có tính sáng tạo trong giải phương trình, đồng thời giúp các em ôn tập được các dạng toán khác như giải phương trình đại số khác, giải hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN… V KIẾN NGHỊ 1 Trong quá trình thực hiện đề tài tuỳ trình độ của học sinh mà chọn lựa phương pháp thích hợp, cho ví dụ minh hoạ cụ thể 2 Để có thể giải tốt phương trình vô tỉ cần phải tăng cường bổ sung kiến thức cũng... bước giải toán thì bước 1 là rất quan trọng nó quyết định được tính chính xác, ngắn gọn và độc đáo của lời giải Sau đây xin trình bày một số ví dụ Ví dụ1: Giải phương trình : x2 + x 2 − 3x + 5 = 3x + 7 (1) Giải: Điều kiện : x2 – 3 x + 5 ≥ 0 (*) Phương trình (1) được viết lại : x2-3x + 5 + x 2 − 3x + 5 - 12 = 0 Đặt y = x 2 − 3x + 5 ( y ≥ 0 ) ta sẽ được phương trình y2 + y – 12 = 0 Giải phương trình. .. phương trình (1) là số âm, còn vế phải không âm Phương trình vô nghiệm Lời bàn: Bằng cách chứng tỏ rằng với điều kiện xác định của phương trình, có một vế của phương trình luôn nhỏ hơn vế kia Ở bài toán này Giáo viên cần khéo léo giúp học sinh thấy được việc thông qua điều kiện để chứng tỏ rằng phương trình vô nghiệm Cũng có thể sử dụng tính đối nghịch ở hai vế để giải phương trình, ta xét ví dụ 2... 3, x = 96 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 16; x = 96 Tóm lại để giải phương trình dùng cách đặt ẩn phụ điều quan trọng là giáo viên dẫn dắt giúp học sinh lựa chọn ẩn phụ cho đúng, biết cách biến đổi để đưa về phương trình đại số hoặc hệ phương trình đã biết cách giải Sau đây là một số bài tập áp dụng dạng 5 Giải các phương trình sau : Bài 1: x +1 + x + 3 = 1− x + 3... Lời bàn: Thông qua cách đặt ẩn phụ ta chuyển phương trình đã cho trong ví dụ 5 về hệ phương trình đối xứng Đây là hệ đơn giản và dễ giải, học sinh có khả năng giải được Cũng có một số bài việc giải hệ sau khi đặt ẩn phụ có thể khó khăn hơn, chẳng hạn ta xét ví dụ 6 sau đây : Ví dụ 6: Giải phương trình : 4 97 − x + 4 x − 15 = 4 Điều kiện xác định của phương trình là : 97 − x ≥ 0 ⇔ 15 ≤ x ≤ 97   x... x x Giải một trong các điều kiện của phương trình là x −1 ≥ 0 thu gọn phương x trình ta được x −1 ( x + 1 − x *Nếu x −1 − 1) = 0 x x −1 = 0 ⇒ x – 1 là nghiệm của phương trình x x −1 x *Nếu x + 1 − 1 = Với điều kiện x + 1 − 1 ≥ 0 Ta bình phương 2 vế rồi thu gọn được: x2 + x + 1 =2 x x + 1 do x2 + x + 1 > 0 nên x > 0 tiếp tục bình phương 2 vế được phương trình : x4 – 2 x3 – x2+ 2 x + 1 = 0 Giải phương . 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ . Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ được thể hiện dưới nhiều dạng cụ thể ta xét một số ví dụ sau : Ví dụ1: Giải. thiết khi tìm tòi lời giải cho phương trình vô tỉ . 4.1.1- Phương trình vô tỉ là loại phương trình chứa ẩn ở trong dấu căn thức . Ví dụ: 312 −++ xx = 4 là phương trình vô tỉ . 4.1.2- Các phép. CỦA ĐỀ TÀI : 1- Tên đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”. 2- Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán học phổ thông giải phương trình vô tỉ là phần gây cho học sinh (ngay