SKKN một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

Tuy nhiên, đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi toán vì nó đòi hỏi phải động não, tìm tòi và sáng tạo.Để giúp học sinh có được một số kiến thức cơ bản về

II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI :

1- Tên đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”

2- Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán học phổ thông giải

phương trình vô tỉ là phần gây cho học sinh (ngay cả học sinh khá và giỏi) nhiều bối rối nhất Tuy nhiên, đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi toán vì nó đòi hỏi phải động não, tìm tòi và sáng tạo.Để giúp học sinh có được một số kiến thức cơ bản về giải phương trình vô tỉ nên chúng tôi chọn đề tài này

3- Phạm vi và thời gian thực hiện

- Đề tài này được thực hiện trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

9 ở bậc THCS

- Thời gian thực hiện 1 năm

III- QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1- Khảo sát thực tế

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 9 cấp huyện Sau khi học về phần giải phương trình vô tỉ chúng tôi nhận thấy một số hạn chế sau:

- Học sinh không có kỹ năng phân biệt dạng loại

- Chưa có hệ thống phương pháp giải

- Nhiều khi còn mắc sai lầm khi giải phương trình

- Một bộ phận học sinh còn ngại khi giải phương trình

2- Số liệu trước khi thực hiện

Có tới 65 – 70% học sinh nắm các dạng và giải phương trình gặp khó khăn về phương pháp

Nhiều bài không biết tìm lời giải

3.4- Đánh giá kết quả của học sinh thông qua bài kiểm tra

4- Những biện pháp cụ thể :

4.1- Những kiến thức cần thiết khi tìm tòi lời giải cho phương trình vô tỉ

4.1.1- Phương trình vô tỉ là loại phương trình chứa ẩn ở trong dấu căn thức

-BĐT Cô si cho hai số không âm

-BĐT Bunhiacốpxki cho hai cặp số

* Các kiến thức về giải bất phương trình bậc cao, bất phương trình tích.Đây là những công cụ cần thiết và hữu ích giúp chúng ta có thể tìm tòi lời giải cho phương trình vô tỉ

4.1.4- Một số chú ý.

- Khi biến đổi phải chú ý đặt điều kiện để phép biến đổi đảm bảo là tương đương

Nhiều khi do việc giải điều kiện gặp nhiều khó khăn ta có biến đổi và sau

đó phải thử lại nghiệm của phương trình

- Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn

- Những dạng phương trình đơn giản là phương trình có thể làm mất căn thức và phương trình đó có thể giải được một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản

Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

Dựa vào phép biến đổi A2 = A

Ví dụ 1: Giải phương trình

4 4

2 − x+

x = 3 x – 2 Giải :

4 4

2 − x+

x = 3 x – 2 ⇔ (x− 2 ) 2 = 3 x – 2

3 − −

x + x+ 8 − 6 x− 1 = 1

Điều kiện x – 1 ≥ 0 ⇔ x≥ 1 phương trình được biến đổi thành

4 1 4 ) 1

⇔ x = 5 ( thoả mãn điều kiện đang xét)

Vậy nghiệm của phương trình là 5 ≤ x ≤ 10

Lời bàn : Đến ví dụ 2 ta nhận thấy học sinh dễ mắc sai lầm hoặc thiếu trường hợp khi phá được dấu giá trị tuyệt đối; hoặc sẽ lúng túng khi xét trường hợp 2 < x− 1 <3 mà thấy 1 = 1 rồi không biết kết luận gì; hoặc sẽ kết luận thừa ( thiếu) nghiệm

Do vậy khi giải giáo viên phải nhấn mạnh để học sinh không mắc sai lầm

Ngay từ ví dụ 2 ta có thể làm cho bài toán phức tạp hơn nhưng cách giải vẫn không hề thay đổi, ta xét ví dụ 3

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =5

Ở ví dụ 3, nếu học sinh không có tính sáng tạo mà áp dụng cách làm đầy

đủ như ví dụ 2 thì bài toán sẽ rườm ra thêm

Tóm lại: Đối với dạng 1 học sinh cần phải biến đổi để có thể sử dụng hằng đẳng thức : A2 = A Có thể coi dạng 1 có cách giải là đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Một số bài tập mà có thể sử dụng cách giải tương tự dạng 1 :

Giải các phương trình sau:

Bài 1: x+4−4 x + x+9−6 x =1

Bài 2: x+2+3 2x−5 + x−2− 2x−5 =2 2

Bài 3: x+2−4 x−2 + x+7−6 x−2 =1

Giải : Điều kệin xác định của phương trình là 2 x – 3 ≥ 0

Tách riêng căn thức ở một vế được 2x− 3 = x – 3

0 3

x x

−

≥

0 12 8

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6

Lời bàn: Sau khi tách riêng căn thức ở một vế phương trình có dạng )

0 ) (

x g x f

x g

Nếu không đặt điều kiên x – 3 ≥ 0, học sinh sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của phương trình (*), do vậy khi giải giáo viên phải nhấn mạnh việc đặt điều kiện giúp học sinh không lấy thừa nghiệm

2 (x− 1 )(x− 4 ) = 9 – x

1 (

4

9 4

x x

9 4

x x

Lời bàn : Học sinh khi giải bài tập này vẫn có thể làm thiếu điều kiện x

0 5

x

x

⇔ 5 ≤ x ≤ 13 Khi đó phương trình tương đương với

≤

≤

x x

x

13 5 2

13 5

x

11 5

13 5

11 5

x x

11 5

2

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9

Ở dạng toán này đôi khi ta có thể giải phương trình vô tỉ bằng cách nâng lên luỹ thừa bậc n (với n ∈N;n> 2 )chẳng hạn ta xét ví dụ 4 sau:

Ví dụ 4: Giải phương trình:

3 2x+ 1 + 3 x = 1 (1)

Giải:Lập phương hai vế áp dụng hằng đẳng thức

(a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) ta được

2 x + 1 + x + 3 3 x( 2x+ 1 ) ( 3 2x+ 1 + 3 x) = 1 (2)

Thay 3 2x+ 1 + 3 x = 1 vào (2) ta có

Các bài tập có thể giải tương tự

Giải các phương trình sau:

≥ +

≥ + +

0 7

0 3

0 21 10

2

x

x

x x

3 (x+ x+ − x+ − x+ + =

=

− +

0 2 3

0 3 7

2x2 + x− − x2 − x+ = 18x− 9

Giải:

Sau khi phân tích các đa thức ở trong căn thành nhân tử ta được

1 2 3 ) 4 )(

1 2 ( ) 11 )(

1 2

−

0 1 2

0 ) 4 ( 1 2 (

0 ) 11 )(

1 2 (

x

x x

x x

Điều kiện chung sẽ là x ≥ 4 do 2 x – 1 ≥ 0

Từ đây ta có : 2x− 1 ( x+ 11 - x− 4 - 3 ) = 0

* 2x− 1 = 0 ⇔ x =

2

1 (loại)

* x+ 11 = 3 + x− 4 ⇔ x + 11 = 9 + x – 4 + 6 x−4

⇔ 6 = 6 x−4

⇔ x−4 = 1

⇔ x – 4 = 1 ⇔ x = 5 ( thoả mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5

Chú ý trong bài này nếu học sinh giải phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình :

) 1 (x−

Nếu x ≥ 2 thì ta có:

0 ) 3 2

2 1

1 ( 4

6 2

x x

x x

6 2

2

x x

Chỉ nhận nghiệm x =

3

21 2

Nếu x ≤ − 3 thì phương trình sẽ trở thành

) 3 )(

( ) )(

2 ( ) ( ).

1 −x+ −x = −x−

Bình phương hai vế không âm ta được phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0; x =

3

21 2

Lời bàn: Trong ví dụ 3 học sinh dễ mắc sai lầm khi giảm ước mà không chú ý phép biến đổi có đúng không Do vậy ta nên nhắc lại phép biến đổi

0 ) 1

1 1

Với điều kiện x+ 1 − 1 ≥ 0 Ta bình phương 2 vế rồi thu gọn được:

x2 + x + 1 =2 x x+ 1 do x2 + x + 1 > 0 nên x > 0 tiếp tục bình phương 2

Sau đây là một số bài tập áp dụng cách giải dạng 3

Giải các phương trình sau:

Bài 1:

x x x x x

x( − 2 ) + 2 − 5 = 2 + 3Bài 2 :

1 2 1

4x2 − − x+ = 1 + x – 2 x2

Bài 3:

12 7 )

6 )(

3 (x− x2 −x− =x2 − x+

Bài 4 :

12 4

1 ).

2 ( 2 3

−

−

− + +

− +

−

x

x x

x x x

Dạng 4:PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ được thể hiện dưới nhiều dạng cụ thể ta xét một số ví dụ sau :

Ví dụ1: Giải phương trình :

2 3 1 5

0 1

5

0 1

Ví dụ 2 : Giải phương trình

2 2

3x + x+ + x + x+ = − x−x (1)

Giải :

14 10 5 7 6

3x2 + x+ + x2 + x+

= 3 (x+ 1 ) 2 + 4 + 5 (x+ 1 ) 2 + 9 ≥ 4 + 9 = 5

Vế phải : 4- 2x – x2 = 5 – ( x + 1 )2 ≤ 5

Vậy hai vế của (1) đều bằng 5, khi đó x = -1

Phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Lời bàn: Qua ví dụ 2 ta nhận thấy có thể chứng minh mỗi vế so với một hằng số và từ đó tìm ra nghiệm thông thường ta chứng minh VT ≥a, VP ≤a ( a

là hằng số) hoặc ngược lại Có nhiều bài việc ước lượng đó đòi hỏi nhiều bước chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây

Ví dụ 3: Giải phương trình

3 1

0 1

) 1 )(

1 (

x x

−

2

1 1 1 ).

1 1 1 1

1 1

1 1

x x

x x

⇔ x = 0

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho

Lưu ý phải chỉ rõ dấu “=” xảy ra ở từng chỗ áp dụng bất đẳng thức

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình vô tỉ là một dạng đặc biệt của phương pháp dùng bất đẳng thức ta xét ví dụ 4 sau:

Nên VT của (1) nhỏ hơn 1 (loại )

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Ở bài toán này, khi dạy trước tiên giáo viên cần củng cố lại cho học sinh

về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Các bài tập luyện tập ở dạng 4

Giải các phương trình sau :

Bài 1 :

40 12 10

x x

x

Bài 3 :

2

1 2

2 5 5 3

2 2

x

Bài 4:

2 1

4 1 −x+ 2 −x = 3 − 2x

Bài 6:

2 4 6 4 10

x Dạng 5 : PHƯƠNG PHÁP DÙNG ẨN DỤNG ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH

-Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ

-Bước 2: Biến đổi phương trình về phương trình ( hệ phương trình) chứa ẩn phụ Giải phương trình( hệ phương trình chứa ẩn phụ)đối chiếu với điều kiện đã nêu để tìm nghiệm thích hợp

-Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo cách đặt ẩn phụ

*Chú ý: Trong 3 bước giải toán thì bước 1 là rất quan trọng nó quyết định được tính chính xác, ngắn gọn và độc đáo của lời giải

Sau đây xin trình bày một số ví dụ

Ví dụ1: Giải phương trình :

x2 + x2 − 3x+ 5 = 3x + 7 (1)

Giải: Điều kiện : x2 – 3 x + 5 ≥ 0 (*)

Phương trình (1) được viết lại : x2-3x + 5 + x2 − 3x+ 5 - 12 = 0

Đặt y = x2 − 3x+ 5 ( y ≥ 0 ) ta sẽ được phương trình

y2 + y – 12 = 0 Giải phương trình này ta có y1 = 3; y2 = - 4 ( loại )

0 3

0 1

⇒ x = - 1 hoặc x = 3 ( Thoả mãn điều kiện )

Vậy phương trình có hai nghiệm x = - 1 ; x = 3

Lời bàn : Có những bài toán việc tìm ra ẩn phụ như VD1, VD2 lại rất khó

để chuyển sang phương trình chỉ chứa ẩn phụ, ta có thể vẫn đặt ẩn phụ những vẫn còn ẩn của phương trình,loại đó người ta gọi đặt ẩn phụ không triệt để, ta xét ví dụ 3 sau đây

Do điều kiện y ≥ 1 nên y =

2

1 ( loại)

Xét y = 2 x – 1 ⇒ x2 + 1 = 2 x – 1

x x

2

2

x x x

2

2

x x x

Giải phương trình (*) ta có nghiệm

x = 0 hoặc x =

3 4

2

2 2

0

x

x

⇔ 0 ≤x≤ 4Đặt 2 + x = a ≥ 0 ; 2 − x =b≥ 0

Ta có : ab = 4 −x ; a2 + b2 = 4 phương trình là

2 2

2

2 2

4 = 1 ⇔ 4 – x = 1 ⇔ x = 3 ( thoả mãnđiều kiện)

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Nhiều bài toán bằng cách đặt ẩn phụ và chuyển về hệ phương trình đại số đơn giản và dễ giải hơn ta hãy xét ví dụ 5 sau :

= + +

= + +

17 2

) (

9 )

(

y x

xy y x

P xy

S y x

điều kiện: S2 – 4P ≥ 0 ta được hệ phương trình

17 2

−

=

0 35 2

9

S

S P

⇒ S = 5 ; P = 4 hoặc S = - 7 ; P = 16 (loại)

Với S = 5, P = 4 ⇒ x = 1 ; y = 1

hoặc x = 4, y = 1

So sánh với điều kiện ban đầu phương trình có nghiệm x = 1 ; x = 4

Lời bàn: Thông qua cách đặt ẩn phụ ta chuyển phương trình đã cho trong

ví dụ 5 về hệ phương trình đối xứng Đây là hệ đơn giản và dễ giải, học sinh có khả năng giải được

Cũng có một số bài việc giải hệ sau khi đặt ẩn phụ có thể khó khăn hơn, chẳng hạn ta xét ví dụ 6 sau đây :

0 97

x

x

⇔ 15 ≤x≤ 97Đặt 4 97 −x =u≥o; 4 x− 15 =v≥ 0

Phương trình đã cho tương đương

u, v ≥ 0

u + v = 4

Thay v = 4 – u vào phương trình (1) thì được

u4 + ( 4 – u )4 = 82

Đặt t = u – 2 thì phương trình này trở thành

( t + 2 )4 + ( t – 2)4 = 82

⇔ t4 + 24 t2 – 25 = 0 ⇔ t2 = 1 hoặc t2 = - 25

vì t2 ≥ 0 nên t2 = 1 Vậy t =1 hoặc t = -1

Suy ra u = 3, v = 1, x = 16 (thỏa mãn điều kiện)

hoặc u = 1, v = 3, x = 96 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 16; x = 96

Tóm lại để giải phương trình dùng cách đặt ẩn phụ điều quan trọng là giáo viên dẫn dắt giúp học sinh lựa chọn ẩn phụ cho đúng, biết cách biến đổi để đưa

về phương trình đại số hoặc hệ phương trình đã biết cách giải

Sau đây là một số bài tập áp dụng dạng 5

Giải các phương trình sau :

3 x3 + 8 = 2 ( x2 – 3 x + 2 ) Bài 4 :

1 5

4x2 + x+ - 2 x2 −x+ 1 = 9 x – 3 Bài 5:

3 1 + x + 3 1 − x = 2Bài 6 :

417 x− 8 + 3 2x8 − 1 = 1

VI KẾT QUẢ THỰC TIỄN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG

Trong quá trình thực tiên đề tài (năm học 2005-2006) chúng tôi nhận thấy:

1 Sau khi học sinh được tiếp thu các phương pháp giải phương trình vô

tỉ, học sinh đã có được một số kiển thức cơ bản khi giải phương trình vô tỉ, biết giải các phương trình cùng dạng loại

Qua kiểm tra cụ thể có 10/15 em giải trọn vẹn bài toán thi HSG Toán 9 tỉnh Hà Tây (năm học 2005-2006) bài giải phương trình vô tỉ

2 Bước đầu tạo cho học sinh có niềm tin hứng thú, có tính sáng tạo trong giải phương trình, đồng thời giúp các em ôn tập được các dạng toán khác như giải phương trình đại số khác, giải hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN…

2 Phương tình không mẫu mực của Nguyễn Đức Tấn – Nhà xuất bản giáo dục năm 2000

3 Nâng cao và phát triển Toán 9 của Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản giáo dục năm 2005

4 Báo Toán học tuổi trẻ, Báo Toán tuổi thơ

Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ

………

………

………

………

………

Ngày ….tháng….năm 2008

Chủ tịch hội đồng

ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

NGÀNH GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN

………

………

………

………

………

Ngày ….tháng….năm 2008

Chủ tịch hội đồng