skkn một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỤC LỤC Trang I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 2 KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỘT SỐ CƠNG THỨC MŨ – LOGARIT CẦN NHỚ 3 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ 4.1 Phương pháp 1: Giải phương trình mũ 5 4.2 Phương pháp 2: Đưa số 4.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 4.4 Phương pháp 4: Đưa phương trình tích 13 4.5 Phương pháp 5: Logarit hóa 4.6 Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số 4.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 14 15 17 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 5.1 Phương pháp 1: Giải phương trình logrit 18 18 5.2 Phương pháp 2: Đưa số 5.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 5.4 Phương pháp 4: Đưa phương trình tích 19 20 22 5.5 Phương pháp 5: Logarit hóa 5.6 Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số 5.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 23 24 26 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI V ĐỀ XUẤT, KHUYỄN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 27 27 28 VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình mũ phương trình logarit gọi phương trình siêu việt Khi nói đến phương trình mà khơng nhắc tới phương trình mũ phương trình logarit thiếu vẻ đẹp phương trình nói riêng tốn học nói chung Phương trình mũ – logarit sử dụng nhiều ngành khoa học, nên việc nghiên cứu phương pháp giải chúng quan trọng Đối với chương trình tốn học phổ thơng phương trình mũ – logarit đưa vào giảng dạy lớp 12 Nhưng thời gian dành để dạy học phương trình mũ – logarit kể lí thuyết thực hành Mặt khác tập mà sách giao khoa yêu cầu chưa cao, chưa tương ứng đươc đề thi tuyển sinh Trong thi cử ứng dụng mức độ cao nhiều Đặc biệt đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng nhiều năm có số câu liên quan đến phương trình mũ - logarit Để giúp em hiểu sâu phương trình mũ logarit, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit ” để giúp học sinh rèn kỹ giải tốn phương trình mũ - logarit, qua phát triển tư logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập em, tạo hứng thú học tập mơn tốn, góp phần đổi phương pháp giảng dạy mơn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh, góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh giỏi mơn tốn, góp phần kích thích đam mê, u thích mơn tốn, phát triển lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Trong chương trình hoc sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương trình mũ - phương trình logarit đề cập đến ba phương pháp giải thường gặp Tuy nhiên, có nhiều toán hay, toán thương gặp đề thi tuyển sinh phương pháp lại không giải Nên việc đưa thêm số phương pháp vào giảng dạy cho học sinh để em nắm bắt giải số toán khó hơn, hay hơn… III TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.1 Phương trình mũ Phương Trình mũ phương trình có dạng a x  b với a  0, a  1.2 Phương pháp giải 1.2.1 Dùng định nghĩa logarit Nếu b > 0, ta có: a x  b  x  log a b Nếu b  0, phương trình a x  b vô nghiệm Dùng tương giao hai đồ thị Số nghiệm phương trình a x  b số giao điểm đồ thị hàm số y  a x với đồ thị y = b Dựa vào đồ thị hai hàm số ta có kết luận: Phương trình a x  b với a  0, a  b>0 Có nghiệm x  log a b vô nghiệm b0 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 2.1 Phương trình logarit Phương trình logarit phương trình có chứa ẩn số biểu thức dấu logarit 2.2 Phương trình logarit Phương trình logarit phương trình có dạng log a x  b với a  0, a  Phương pháp giải Theo định nghĩa logarit, ta có: log a x  b  x  a b Dùng tương giao hai đồ thị Số nghiệm phương trình log a x  b số giao điểm đồ thị hàm số y  log a x với đồ thị y = b Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vẽ đồ thị hàm số y  log a x hàm số y = b hệ trục tọa độ Trong hai trường hợp, ta thấy đồ thị hàm số y  log a x đồ thị y = b cắt điểm với b¡ Kết luận: phương trình log a x  b , ( a  0, a  ) ln có nghiệm x  a b với b¡ MỘT SỐ CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ 3.1 Công thức mũ lũy thừa: a, b số thực dương, m, n số thực tùy ý 1) a n  a{ a a n 6) n soáa 2) a m n  a m a n 3) a mn  am  an  n n a a 4) a mn   a m    a n  n 5) a nb n   ab  m an a    bn b   n 7) m an  8) m a m b  m ab 9) m a n  am a0  n 3.2 Công thức logarit: cho  a  1, b, c số dương 1) log a x  b  x  a b 2) 3) log a  0, log a a  6) log a    log a b  log a c c 7) log a b   log a b log a a b  b 8) log a b  4) a loga b  b 3) a logb c  c logb a 5) log a (b.c)  log a b  log a c Công thức đổi số 1) log a b  log c b log c a Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức b log b a  9) log a n b  log a b n 10) lg b  log b  log10 b ; ln b  loge b Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT log a b  2) log b a 4) log ab c  1  log a c log b c MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp 1: Giải phương trình mũ dạng 4.1 a f ( x )  b  f ( x)  log a b, (a  0, b  0) Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) 5x 5 x6  b) c) 3x.2 x1  72 d) 2 x x x 0,125  2.3x 1  6.3x 1  3x  15 Giải x    x2  5x     x  Vậy phương trình có nghiệm: x  2; x  a) 5x 5 x  1 2x 7 x 3  2  x 3  b) x x x 0,125   22.2 23             2x  2x  17   log 2    x   14  x  6 17 Vậy phương trình có nghiệm: x  x x 1 x x c)  72  2.6  72   36  x  log 36  x  Vậy phương trình có nghiệm: x  x 1 x 1 x x x x d) 2.3  6.3   15  6.3  2.3   15  3.3x  15  3x   x  log Vậy phương trình có nghiệm: x  log3 Nhận xét: Đại đa số phương trình mũ giải đưa phương trình mũ Nên việc giải phương trình mũ tốt điều kiện để giải tốt phương trình Đối với phương trình mũ cần phải biết cách sử dụng công thưc mũ, lũy thừa … Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: 1) x 3 x 2  2)    3 3) 5x.22 x1  50 5) x 1  x 2  36 3 4) 2x1 42 x1 83 x  0,125 6) 3x 1  2.3x   25 x2 3 x 1 Phương pháp 2: Đưa số 4.2 Đối với phương trình mũ biến đổi dạng: a f ( x )  a g ( x ) Trường hợp 1: Nếu  a  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Trường hợp 2: Nếu a biểu thức có chứa ẩn x  a  a f ( x)  a g ( x)     a  1 f ( x)  g ( x)   Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) 2x x8 c)   3 b)     413x 23 x  3 d) x  x  2  27 x 81x 3 x  x7 e) ( x2  1) x 2 x  ( x2  1)3 f) ( x  1) x3 9 x  x 9  x  2x  1 Giải  226x  x2  x    6x  x2  5x    x  2  x  5x      x  3 Vậy phương trình có nghiệm: x  2; x  3 a) 2x b)  x 8  413x  2x 3   x 7   3  x 8  x 9   3   x 7  3  5 x 9  x   5 x   x  2 Vậy phương trình có nghiệm: x  2 c) Ta có: 1   3 x 3 x  27 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức x x 3 81 x2  3 2x 3x  3 x 12 x2 3 17 x  24 3 Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  5x   17 x  24 36 x 13 Vậy phương trình có nghiệm: x  36 13 d) điều kiện:  x   3  x  Khi đó:  x2  x   9 x2   x2  x   x2  x   9 x2   x2  2x    1    80  x2   x2  x  ( n) x      , (vì x2  x   0, x  ¡ )    9      x  n x   x  x    x  x   5 ;x   3  x     x  1  x     e) ( x  1) x  x  ( x  1)3      x   (n)   x   x  x  2x   (l)    x  3 (n)  Vậy phương trình có nghiệm x  3; x   2; x  Vậy phương trình có nghiệm: x  1; x     f) Điều kiện: x    x  x  nên x+1 > 0 Khi đó: ( x  1) x 3   ( x  1) x 3   x  1  x    x  (n) Vậy phương trình có nghiệm: x = Nhận xét: Thực phương trình đưa số gần giống với phương trình mũ Việc giải phương trình dạng chủ yếu sử dụng tốt công thức, phép biến đổi mũ lũy thừa mà thơi Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 2x 3x2  22 x 1 x2 3)   36 1) x- 2) ( 10 + 3)x - = x+1 ( 10 - 3)x + Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức 4) 2x - x+1 x+ x- 5) 7x = 0, 25 ( ) 1- x = 16x x+2 x+2 = 23x.53x 6) Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 4.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Dạng 1: Nếu phương trình có dạng đa thức: P  a f ( x )   với  a  Thì ta đặt: t  a f ( x) , t  0 ta phương trình mới: P  t   Dạng 2: Nếu phương trình có dạng đa thức: ma f ( x)  n(ab) f ( x)  kb2 f ( x)  với  a  1,  b  Thì ta chia hai vế phương trình cho b f ( x ) (hoặc a f ( x ) ) a đặt t    b f ( x) , t  0 Khi ta phương trình sau: mt  nt  k  Dạng 3: Nếu phương trình có dạng đa thức:  a f ( x )   b f ( x )   với  a  ,  b  ,ab=1 t Thì ta đặt: t  a f ( x )  b f ( x )  ,  t   Khi ta phương trình mới:  t  t    a f ( x )  g ( x ) Dạng 4: Nếu phương trình có dạng đa thức:  a f ( x )    a f ( x ) g ( x )   a g ( x )    với  a 1 u  a f ( x )  Thì ta đặt:  g ( x)  v  a 0 Khi ta đưa phương trình tích, phương trình hệ Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Nghĩa sau đặt ẩn phụ cịn x Khi ta giải phương trình theo ẩn t cịn với x xem số Bài tập áp dụng Ví dụ 3: Giải phương trình sau ( Dạng 1: P  a f ( x )   ) a) x  4.3x  45  b) x 2  16  10.2 x 2 c) 9sin x  9cos x  10 2 Giải a) x  4.3x  45   32 x  4.3x  45  (*) Đặt: t  3x , t  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t  5 (l) t  (n) Khi (*) trở thành: t  4t  45    Khi t   3x   x  Vậy phương trình có nghiệm: x =2 b) x2  16  10.2 x2 Điều kiện: x  Khi đó: x2  16  10.2 x2  22 x2  10.2 Đặt: t  x2 , t  x2  16  (1) t  (n) t  (n) Khi (1) trở thành: t  10t  16    Khi t   x2   x    x  (n) Khi t   x2   x    x  11 (n) Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = 11 c) 9sin x  9cos x  10  9sin x  91sin x  10  92sin x 10.9sin x   (2) Đặt: t  9sin x , t  2 2 2 t  (n) t  (n) Khi (1) trở thành: t  10t     Khi t   9sin x   sin x   sin x =  x  k Khi t   9sin x   sin x   cosx =  x  Vậy phương trình có nghiệm: x     k  k ; x  k Nhận xét: Đối với phương trình dạng khơng đặt ẩn phụ giải bình thường Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ làm cho phương trình đẹp hơn, gọn không giải nhanh Khi đặt ẩn phụ cần phải lưu ý điều kiện Ví dụ 4: Giải phương trình sau ( Dạng 2: ma f ( x )  n(ab) f ( x )  kb2 f ( x )  ) a) 6.4 x  13.6 x  6.9 x  b) 42 x  2.4 x  x  42 x  2 c) x  1  2.2 x 5  x  2.4 x Giải 2x x 2 a) 6.4  13.6  6.9      13     1 3 3 x x x x Đặt: t    , t  3 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  t  Khi (1) trở thành: 6t  13t     t   (n) 3 (n) x 2 Khi t       x  3 x 3 Khi t       x  1 3 Vậy phương trình có nghiệm: x  1; x  1 b) 42 x  2.4x  x  42 x      2.4x  x   (2) Đặt: t  4x  x , t  Khi (1) trở thành: t  2t    t  (n) 2 x2  x 2 x  x  Khi t   x  x   x  x    Vậy phương trình có nghiệm: x  1; x  c) x5 1  2.2 x5  x  2.4x  4.22 x5  x  2.2 Đặt: t  x5  x , t  3 3 x 5  x   (3) t  1(l ) Khi (1) trở thành: 4t  2t     t  ( n )  1 Khi t   x 5  x   x   x  1  x   x   x   x  3x  3x  2  x  3x  x    x  Vậy phương trình có nghiệm: x  Nhận xét: Đối với dạng cách đặt ẩn phụ ta phân tích thành tích đơn thức, đa thức để giải Tuy nhiên việc phân tích khơng phải đơn giản Ví dụ 5: Giải phương trình sau ( Dạng 3:  a f ( x )   b f ( x )   ) a)         x x b) 5  21  5  21  c) 8    8   x x sinx x sin x Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức  16 Trang - 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x   log3 b) x 4.52 x   log (2 x 4.52 x )   log 2 x 4  log 52 x  2 x    x   x     x   log    x   x   log 5     x  2  log Vậy phương trình có nghiệm: x  2; x   log c) Điều kiện: x  x 1 x 3     log  5x 3.2 x     x 3 1     x  3 log     x  3  log    x x  x 1 đó: 5x.8 x  500  5x.8 x  53.22  5x 3.2  log x 3  log 2 x 3 x x 3 x x   x    log    x   log5 x  Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x   log5 Nhận xét: Đối với phương trình loại lấy logarit hai vế thường đặt nhân tử chung để đưa phương trình tích đơn giản Chú ý lấy logarit hai vế cần chọn số tốt tốn tính dẽ dàng Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 2x 2x 1) 57  75 x x x+2 2) 4.6 =6 3) 3x 1.22 x 2  129 x 4) x x2  36.32 x Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số Lý thuyết Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục khoảng K số nghiệm khoản K phương trình f(x) = a khơng nhiều f(u) = f(v)  u = v Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) y = g(x) đơn điệu ngược chiều liên tục khoản K số nghiệm khoảng K phương trình f(x) = g(x) khơng nhiều Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 15 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K f(x) > f(a)  x > a, x, a  K Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K f(x) > f(a)  x < a, x, a  K Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng (a;b) c  a; b : F ' c   F b   F a  Khi áp dụng giải phương trình có F(b) – F(a) = ba c   a; b  : F '  c    F '  x   có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rơn: Nếu hàm số y = f(x) lồi lõm khoảng K phương trình f(x) = khơng có q hai nghiệm thuộc K Ví dụ 9: Giải phương trình sau a) 5x  12 x  13x d) 2 x  x  x 1  ( x  1)2 b) 3x  x   x e) 3x  2x  3x  2 c) 6x  2x  5x  3x Giải: a) Ta có: x  12 x  13x   x x   12     1  13   13  x x 12 Xét hàm số f ( x)       tập R  13   13  x x      12   12  f '( x)    ln      ln     13   13   13   13  Suy f(x) hàm nghịch biến R, mặt khác f(2) = nên f ( x)   x  Vậy phương trình có nghiệm x = b) 3x  x   x Xét hàm số f ( x)  3x  x g ( x)   x tâp ¡ ta có: f '( x)  3x ln  x ln  0, x  ¡ g '( x)  7  0, x  ¡ nên f(x) hàm đồng biến tập R g(x) hàm nghịch biến tập ¡ mặt khác f (0)  g (0)   f ( x)  g ( x)  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x = c) Ta có: 6x  2x  5x  3x  x  x  3x  x Giả sử phương trình có nghiêm  Khi đó:   5  3   Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 16 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Xét hàm số f t   t  1  t  , với t > Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn c   2;5 cho: f '  c      c  1 1  c 1      0,   , thử lại   ta thấy x = 0, x = nghiệm phương trình d) Ta có : 2 x  x  x 1  ( x  1)2  2x1  x   2x  x  x2  x Xét hàm số f t   t  t tập R f '  t   2t ln   0, x ¡ nên f(t) hàm đồng biến R Vậy phương trình viết dạng: f  x  1  f  x2  x   x   x2  x  x  Vậy phương trình có nghiệm x = e) Ta có: 3x  2x  3x  Dễ dàng ta tìm nghiệm: x = x = Ta cần chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác Xét hàm số f  x   3x  2x  3x  Ta có: f '  x   3x ln3  2x ln  3; f ''  x   3x ln  2x ln 2  Đồ thị hàm số lõm R, suy phương trình khơng có q hai nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 2 Nhận xét: Đây loại tốn khó sử dụng tính đơn điệu hàm số phải nhẩm nghiệm, thường nghiệm số nguyên Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) 3x  x   2) x  x  x  4.7 3) x  x  x  4) x  x  x  x Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Ví dụ 10: Giải phương trình sau a) x 1   x b)  x  x1  x  2 x Giải: a) x 1   x Điều kiện: x  Ta có: VT  x 1  2.2 x  2.20  (vì x  0, x ) 2 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 17 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Mặt khác: VP   x  2, x  2.2 x   x0 Nên VT  VP    x   Vậy phương trình có nghiệm x = b)  x  x 1  x  2 x    x  1  x  2 x Ta có: VT    x  1  2 Mặt khác: VP  2x  2 x  2x.2 x    x  2    Nên VT  VP    x0 x x     Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Với loại toán phải biết sử dụng số bất đẳng thức thơng dụng biết phân tích đánh giá Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) 3x  3 x   x x 2)  2 x  x 1   x  12 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 5.1 Phương pháp 1: Giải phương trình logarit dạng log a f ( x)  b  f ( x)  a b với  a  Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) log2 3x    c) log   x    x b)   log x  x  12  Giải a) log2 3x  2   3x   23  x  Vậy phương trình có nghiệm: x  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 18 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  x  1  x  4 b) log  x  x  12    x  x  12  23  x  x     Vậy phương trình có nghiệm: x  1; x  4 c) Điều kiện:  x   x  log 2x   x  0(n) log    x      9.2     x  2   x   n  Vậy phương trình có nghiệm: x  0; x   x  3 x x 2x x Nhận xét: Đa số phương trình logarit thường đưa phương trình logarit nên việc giải thành thạo loại cần thiết để giải tốt loại khó Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log (5 x  1)  2) 5.2  3) log  x  x     4) log3 (9 x  8)  x  log x x  x   Phương pháp 2: Đưa số Đối với phương trình logarit biến đổi dạng: 0  a   log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  hoaë c g(x) >  f ( x)  g ( x)  Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) log3 x  log3 ( x  2)  c) log ( x  1)  log x1  b) log2 (1  x  1)  3log2 x  40   log x  2 Giải a) Điều kiện: x  Khi đó: log3 x  log3 ( x  2)   log3  x( x  2)   x2  x   x2  x    x  (n)   x  3 (l) Vậy phương trình có nghiệm: x  b) Điều kiện: x  40 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 19 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT log (1  x  1)  3log x  40   log (1  x  1)  log  x  40    x   x  40  x  41  x  41   x  41   x   x  41      x  48  n     x    x  41  x  83x  1680    x  35 l    Vậy phương trình có nghiệm: x  48 c) Điều kiện: x  1 1 1 log ( x  1)    log x   log  x  1  log  x  1   log  x   log x 1 2 2  log  x  1 x  1   log  x    x  x   x   x  1 l   x  3x      x   n  2 Vậy phương trình có nghiệm: x  Nhận xét: Để giải phương trình đưa số ta cần phải vận dụng tốt công thức logarit biến đổi thành thạo để đưa dạng bản… Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log( x3  1)  log( x  x  1)  log x 3) log ( x  3)  log ( x  7)   2) log ( x  2)  6log 3x   4) 5.3 log5 x  log25 x  log0,2 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 3: Giải phương trình sau a)  log ( x  1)  log x1 b) log (3x  1).log (3x1  3)  c) x log  x 3log x  x log d) log x  x   3log x  x   2 2     Giải: a) Điều kiện:  x   log ( x  1)  log x 1   log ( x  1)  Đặt: t  log2  x 1 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức (1) log  x  1 Trang - 20 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t t  t  2 Khi (1) trở thành:  t   t  t     Khi t   log2  x 1   x 1   x   n  Khi t  2  log  x  1  2  x    x  Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x  n  b) log (3x  1).log (3x1  3)  Điều kiện: x  log3 (3x 1).log3 (3x1  3)   log3 (3x 1).log3 [3.(3x 1)]   log 23 (3x  1)  log3 (3x 1)   Đặt: t  log3  3x  1 t  t  3 Khi (2) trở thành: t  t     Khi t   log3  3x  1   3x    x  log 10 (n)  28   x  log   (n) 27  27  28 Vậy phương trình có nghiệm: x  log 10; x  log    27  log log log x c) x  x  x (3) Khi t  3  log  3x  1  3  3x   Điều kiện: x > Đặt: t  log x  x  2t Khi (3) trở thành:   2t log2  22t.3t  2t log2  9t  12t  3t  3t 4t  3t    4t  3t   t t 3 1  4t  3t           4 4 t t Xét hàm số f (t )        tập R 4 4 t t 3 1 Ta có: f '(t )    ln      ln    nêm f(t) hàm nghịch biến tập R 4 4 4 4 Mặt khác: f (1)  nên f (t )  f 1   t  Khi t   x  Vậy phương trình có nghiệm: x  d) log x  x   3log x  x   (4)     Điều kiện: x  Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 21 -  2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT    Vì x  x  x  x   1 t Đặt: t  x  x   x  x   , t  1 Khi (4) trở thành: log t  3log     log t  3log t   log t  1  t   n  t  2 2 Khi t   x  x    x   x   x  x   x   x  Vậy phương trình có nghiệm: x   n  (vì x  1) Nhận xét: Loại toán đặt ẩn phụ để đưa từ toán phức tạp tốn gọn thơi Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ phụ thuộc vào toán Lưu ý điều kiện ẩn phụ Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log x  log (8 x)   3) log x 16  log x 64  2) 4lg(10 x )  6lg x  2.3lg(100 x ) 4) 5.4 log x  10 log x   Phương pháp 4: Đưa phương trình tích Ta tách, thêm, bớt … đặt nhân tử chung để đưa phương trình cho thành tích đa thức đơn giản để việc giải dễ dàng Ví dụ 4: Giải phương trình sau a) log (5x  2) log3 ( x  1)  log3 ( x  1) b) x  1 log32 x  4x log3 x  16  Giải: log (5x  2)log3 ( x  1)  log3 ( x 1)  log3 ( x 1) log (5 x  2) 1  a) Điều kiện: x   x  l  log ( x  1)  x 1      x  n 5 x   log (5 x  2)    Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 22 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vậy phương trình có nghiệm: x  b) Điều kiện: x  ta có:  x  1 log32 x  4x log3 x 16   x log3 x  log3 x  4  log3 x  4log3 x  4   x  ( n) log3 x      log3 x   x log3 x  log3 x       81   x log3 x  log3 x    x log3 x  log3 x   0(*) t Đặt t  log x  x  4 Khi (*) trở thành: 3t.t  t    t  t  t  t  (1) 1 1 Xét hàm số: f (t )  t  t tập R 1 4.3t ln  0, t Ta có: f '(t )   t    Nên f(t) hàm đồng biến R Mặt khác: f(1) = nên f (t )  f (1)   t  nghiệm (1) Khi t   x  (n) Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x  81 Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) x2  (3  2x )x  2(1  2x )  3) log 22 x  ( x  4) log x  x   5.5 Phương pháp 5: Mũ hóa 2) log x  log3 x  log x.log3 x Ví dụ Giải phương trình sau a) log3 (9 x  8)  x  b) log ( x  x  2)  log x Giải 3x  x   3   x  3log3 a) log3 (9x  8)  x   9x   3x2  32 x  9.3x     x Vậy phương trình có nghiệm: x  0; x  3log3 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 23 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT b) Điều kiện: x   11 log ( x  x  2)  log x (*) Đăt: t  log x  x  3t Khi (*) trở thành: log5 (32t  6.3t  2)  t  32t  6.3t   5t  9t  5t  6.3t  t t t 5 1 1            (**) 9 3 9 t t t 1 Đặt: f (t )           tập R 9  3 9 t t t 5 1 1 Ta có: f '(t )    ln      ln      ln    0,  ¡ 9 9 3 3 9 9 Nên f (t ) hàm nghịch biến tập R Mặt khác f (2)  suy f (t )  f (2)   t  nghiệm (**) Khi t   x  (n) Vậy phương trình có nghiệm: x  Nhận xét: Đối với loại tốn việc giải bình thường gặp khó khăn khơng giải nên ta mũ hóa đưa phương trình mũ việc giải dễ dàng Lưu ý chon số hợp lý điều quan trọng Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log5 x  log7 ( x  2) 3) x  log (5 x1  20)  2) 2log3 tan x  log sin x 4) 2log6 ( x  x )  log x 5.6 Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch biến ) liên tục khoangr K số nghiệm khoảng K phương trình f(x) = a khơng nhiều f(u) = f(v)  u = v Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) y = g(x) đơn điệu ngược chiều liên tục khoảng K số nghiệm khoảng K phương trình f(x) = g(x) khơng nhiều Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K f(x) > f(a)  x > a, x, a  K Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K f(x) > f(a)  x < a, x, a  K Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 24 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a) log x  log   x  b) log 22 x  ( x  1) log x   x Giải: a) Điều kiện: x >  log x  log3  x  (1) Đặt t  log x  x  7t Khi (1) trở thành: t  log3          t  7 t t t 1            *      t t t 1   Xét hàm số f  t         tập R 3   t t 1 1     f '  t     ln      ln    0, x  ¡         Suy f(t) hàm nghịch bến R, mặt khác f(2) = nên f (t )  f (2)   t  nghiệm (*) Khi t   x  49  n  Vậy phương trình có nghiệm x = 49 b) Điều kiện: x > Khi đó: log 22 x  ( x  1) log x   x  log 22 x  log x   x log x  x    log x  3 log x    x  log x      log x   log x  x     x log x       log x  x   log  x  x   (**) Xét hàm số f ( x)  log x  x  với x > Ta có: f '( x)    với x > x ln nên f(x) hàm đồng biến với x > mặt khác f (2)   f ( x)  f  2   x   n  nghiệm (**) Vậy phương trình cho có nghiệm: x  ; x  Nhận xét: Đây loại tốn khó cần phải nhẩm nghiệm thương nghiệm số nguyên Nhiều phải dùng tới đạo hàm cấp hai giải Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 25 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài tập đề nghị Giải phương trình sau log5  x 3 1) 3) log 22 x  ( x  3).log x  x   x 2) 3x   2x  2log3 1  x  4) x  x  log x  x 1 5.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Ví dụ 7: Giải phương trình sau a) log3   x    log  x  x  5 b) log  x  x    log x   x  x Giải: a) log3   x    log  x  x  5 Điều kiện:  x  82 Ta có:  x    VT  log3   x    log3  x2  x    x  1    VP  log  x  x  5  log  2   log3  x   Nên VT  VP    x  n log x  x       Vậy phương trình có nghiệm x = b) log  x  x    log x   x  x Điều kiện: x  Khi đó: log  x  x    log x   x  x  log  x       x  1 x   Ta có: x    2 x    VT  log  x     log  x  x  1 2 x  x    VP    x  1     log  x  x       x  n Nên VT  VP   3  x      Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Loại tương đối khó Phải biết sử dụng linh hoạt bất đẳng thức thông dụng biết cách so sánh Tuy nhiên loại tốn thường có nghiệm nghiệm thường số nguyên Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 26 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 2) log (  x  x  5)  x 1 1 x 1) log ( x  x  3)    3) log ( x   4)  log3 (  8) x 1 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY 1) Giải phương trình: x  x  22 x x  Đại học khối D-2003 x x x x 2) Giải phương trình : 3.8  4.12  18  2.27  Đại học khối A-2006 3) Giải phương trình x 4) Giải phương trình:  2x  4.2 x  x  22 x   Đại học khối D-2006 x x     2  Đại học khối B-2007    5) Giải phương trình: log  x  15.2 x  27   log  Đại học khối D-2007 4.2 x  6) Giải phương trình: log x 1 (2 x  x  1)  log x 1 (2 x  1)  Đại học khối A-2008 7) Giải phương trình: 42x x2  2x  42 x2  2x 4x4 Đại học khối D-2010 8) Giải phương trình: log2   x2   log1  1 x  1 x    Đại học khối D-2011 3 9) Giải phương trình: 2log2 x  log1 1  x   log 2 x2  x  Đại học khối D-2013 10) Giải phương trình 32x+1 – 4.3x + = Cao đẳng khối D - 2014 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua q trình giảng dạy tơi thấy việc đưa phương pháp giải phương trình siêu việt học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức Từ học sinh rèn luyện kỹ giải toán, củng cố kỹ giải toán giải phương trình siêu việt, số học sinh đam mê u thích mơn tốn ngày tăng, lực tư kỹ giải toán học sinh nâng cao, học sinh giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có kỹ giải tốn tương tự, sở học sinh giải tốn tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết sau : Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 27 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Trong năm học 2012 - 2013, tơi chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ 12B5 12B6 6,7% 3,3% 20% 23,3% Trung bình Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 20% 26,7% 16 14 53,3% 46,7% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2013 - 2014, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ 12B2 12B8 20% 26,7% 12 10 40 % 33,3% Trung bình Tỷ lệ Yếu 20 % 16,6% Tỷ lệ 20% 23,3% Kết thử nghiệm cuối tháng 12 năm học 2014 - 2015, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá 12B7 12B9 10 10 33,3% 33,3% 12 13 IV Tỷ lệ Trung bình 40 % 43,3% Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 20 % 20% 6,7% 3,4% ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi sở nắm vững phương pháp áp dụng vào tập phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh Sáng kiến kinh nghiệm tác giả thực số lớp đạt kết tương đối Trên sơ sở tơi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” áp dụng đơn vị thời gian tới Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 28 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách tập giải tích 12 nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB giáo dục Việt Nam Các đề thi đại học thống toàn quốc năm 2009 -2014 Các đề thi tốt nghiệp thống toàn quốc năm 2009 -2014 Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm LỜI KẾT Chuyên đề đề cập số phương pháp thường gặp để giải phương trình mũ lơgarit, cịn nhiều phương pháp hay hơn, khó hữu dụng mà chưa thể đề cập tới Mặc dù cố gắng nhiều, song chuyên đề chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong tồn thể q thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề tốt hữu ích Qua tơi xin chân thành cảm ơn q thầy giúp tơi hồn thành chun đề Định Quán, ngày 03 tháng năm 2015 Người thực Nguyễn văn Đức Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 29 -