Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy học góp phần hình thành và và p
Trang 1mục lục
a mở đầu Trang 2 1/ Lí do chọn đề tài Trang 2 2/ Mục đích nghiên cứu đề tài Trang 2 3/ Phạm vi nghiên cứu Trang 3 4/ Phơng pháp nghiên cứu Trang 3
b Nội dung đề tài Trang 4 1/ Cơ sở lý luận Trang 4 2/ Tình hình thực tiễn Trang 4 3/ Nội dung và phơng pháp tiến hành Trang 5
3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ Trang 5
3.2 Phơng pháp chung Trang 5
3.3 phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản Trang 5
a Phơng pháp nâng lên luỹ thừa Trang 5
b Phơng pháp đa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Trang 8
c Phơng pháp đặt ẩn phụ Trang 10
d Phơng pháp đa về phơng trình tích Trang 13
e Phơng pháp đa về hệ phơng trình Trang 16
g Phơng pháp bất đẳng thức Trang 18
h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Trang 20
i Phơng pháp sử dụng dấu “ = “ ở BĐTkhông chặt Trang 21
k Một số PP khác Trang 23 4/ Kết quả Trang 24
c kết luận Trang 26
d - tài liệu tham khảo Trang 27
a mở đầu
1 Lí do chọn đề tài :
Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành khoa học tự nhiên cũng nh trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội
Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức cơ bản,những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng t duy logic,một phơng pháp luận khoa học
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy học góp phần hình thành và và phát triển t duy của học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ
Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ
Q thành tập số thực R Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán
về giải phơng trình vô tỉ là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng cha chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt đối
Vì vậy phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng trình vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục tình trạng trên về giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn toán của học sinh ở trờng THCS
2 Mục đích nghiên cứu của đề tài
Trang 2- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc một số bài tập
- Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải
ph-ơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập
- Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lợng giáo dục
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng trình vô tỉ đối với học sinh THCS
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các giờ luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm và cho các kì thi ở trờng ,thi vào cấp 3
4.1 Ph ơng pháp nghiên cứu :
Tham khảo thu thập tài liệu
Phân tích,tổng kết kinh nghiệm
Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh
4.2.Ph ơng pháp tiến hành :
Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc phục những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải
b- nội dung đề tài
1/ Cơ sở lý luận:
Trong đề tài đợc đa ra một số phơng trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ của học sinh THCS
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản áp dụng
để làm bài tập
Rút ra một số chú ý khi làm từngphơng pháp
Chọn lọc một số bài tập hay gặp phù hợp cho từng phơng pháp giải , cách biến đổi
Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ
Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải phơng trình vô tỉ Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra
2/ Tình hình thực tế
2.1 Kết quả:
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phơng trình vô tỉ nh sau:
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
Trang 320 50% 14 35% 5 12,5% 1 2,5%
2.2
Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị các phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không
có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các
em càng khó giải quyết
3/ Nội dung và ph ơng pháp tiến hành
3.1
Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1 Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
3.1.2 Các ví dụ :
a) x−1=1
b) 3x+7− x+1=2
c) x −x+3 x2 −x+1=3
1 1
1
3
3 2
3 2
3
= +
−
−
−
−
x
x x
x
x
Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình
- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học
- Giải phơng trình vừa tìm đợc
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm
3.3 Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản:
a Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai
vế ph ơng trình ):
a.1 Các ví dụ :
* Giải phơng trình dạng : f(x) = g(x)
Ví dụ 1: Giải phơng trình : x+1= x−1 (1)
ĐKXĐ : x+1≥0⇔ x≥-1
Với x ≥ -1 thì vế trái của phơng trình không âm Để phơng trình có nghiệm thì x-1≥0 ⇒x≥1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
x+1 = (x-1)2 ⇔x2 -3x= 0
⇔x(x-3) = 0 ⇔
=
= 3
0
x x
Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x≥1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x+ x−1=13
⇔ x−1=13−x
ĐKXĐ :
≥
−
≥
− 0 13
0 1
x
x
⇔
≤
≥ 13
1
x
x
⇔1≤ x≤ 13 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
(1)
Trang 4x− 1 = ( 13 −x) 2
⇔x2 −27x+170=0
Phơng trình này có nghiệm x1 = 10vàx2 = 17.Chỉ có x1 = 10thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là x= 10
* Giải phơng trình dạng : f(x) + h(x) =g(x)
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 1−x− 2+x =1
⇔ 1−x =1+ 2+x (1)
ĐKXĐ:
0 2
0 1
≥ +
≥
−
x
x
⇔
2
1
−
≥
≤
x
x
⇔ − 2 ≤x≤ 1
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :
1−x=1+2 2+x+2+x ⇔ x2 +x−1=0
Phơng trình này có nghiệm
2
5
1 −
−
=
x thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
5
1 −
−
=
x
Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 x+ 1 + 3 7 −x = 2 (1)
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:
x+ 1 + 7 −x+ 3 3 (x+ 1 )( 7 −x) 2 = 8
⇔ (x-1) (7- x) = 0
⇔ x =-1
x =7 (đều thoả mãn (1 ))
Vậy x= − 1 ;x= 7là nghiệm của phơng trình
* Giải phơng trình dạng : f(x) + h(x) = g (x)
Ví dụ5: Giải phơng trình x+1- x−7= 12−x
⇔ x+1= 12−x+ x−7 (1)
7 12 1 0
7
0 12
0 1
≤
≤
⇔
≥
≤
−
≥
⇔
≥
−
≥
−
≥ +
x x
x x x
x x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 ( 12 −x)(x− 7 ) (3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc :
(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
⇔ 5x2 - 84x + 352 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm x1 =
5
44 và x2 = 8 đều thoả mãn (2)
Vậy x1 =
5
44 và x2 = 8 là nghiệm của phơng trình
* Giải phơng trình dạng : f(x)+ h(x) = g (x)+ q (x)
Trang 5Ví dụ 6: Giải phơng trình : x+1+ x+10 = x+2 + x+5 (1)
ĐKXĐ :
≥ +
≥ +
≥ +
≥ +
0 5
0 2
0 10
0 1
x x x
x
⇔
−
≥
−
≥
−
≥
−
≥
5 2 10 1
x x x
x
⇔ x ≥ -1 (2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + 2 (x+ 1 )(x+ 10 )= x+2 + x+ 5 + 2 (x+ 2 )(x+ 5 )
⇔ 2+ (x+ 1 )(x+ 10 ) = (x+ 2 )(x+ 5 ) (3)
Với x ≥ -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
) 10
)(
1
(x+ x+ = 1- x
Điều kiện ở đây là x ≤ -1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
−
≤
−
≥ 1
1
x
x
⇔ x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1)
a.2 Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngợc lại (n= 1,2,3 )
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình
đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau
a.3 Bài tập áp dụng:
1 x2 −4= x- 2
2 1+x x2 +4 = x+ 1
3 1− x + 4+x =3
4 3 x+ 45- 3 x− 16 =1
5 1−x = 6−x- − ( 2x+ 5 )
6 3 x− 1+ 3 x− 2 = 3 2x− 3
7 x + x+ y = x−1 + x+4
b Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1 Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình: 9x2 −24x+16= −x+4 (1)
ĐKXĐ:
≥ +
−
≥ +
− 0 4
0 16 24
9 2
x
x
x ⇔
≤
∀
≥
− 4
0 ) 4 3
x
x
x ⇔ x ≤ 4 Phơng trình (1) ⇔ 3x− 4 = -x + 4
⇔
−
=
−
+
−
=
−
4 4
3
4 4
3
x x
x x
⇔
=
= 0
2
x x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x ≤ 4 )
Trang 6Ví dụ 2 : Giải phơng trình : x2 −4x=4 + x2 −8x+16 = 5
ĐKXĐ: ∀x∉R
Phơng trình tơng đơng : x− 2 + x− 4 = 5
Lập bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2) ⇔ 6-2x =5
⇔ x = 0,5(thoả mãn x ≤ 2)
+ Khi 2 ≤ x ≤ 4 ta có (2) ⇔ 0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2) ⇔ 2x – 6 =5
⇔ x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình: x−4 x−1+3 + x−6 x−1+8 = 1
ĐKXĐ: x ≥ 1
Phơng trình đợc viết lại là :
(x−1)−4 x−1+4 + (x−1)−6 x−1+9 = 1
⇔ ( x− 1 − 2 ) 2 + ( x− 1 − 3 ) 2 = 1
⇔ x− 1 − 2 + x− 1 − 3 =1 (1)
- Nếu 1 ≤ x < 5 ta có (1) ⇔ 2- x−1 + 3 - x−1= 1
⇔ x−1 =2 ⇔ x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5 ≤ x ≤ 10 thì (1) ⇔ 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1) ⇔ -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 ≤ x ≤ 10
b.2 Nhận xét :
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức A2 = A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của
ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm
b.3 Bài tập áp dụng :
1 x2 −6x+9 + x2 +10x+25 = 8
2 x2 +2x+1 + x2 −4x+4 = x2 +4x+4
3 x+3+4 x−1 + x+8−6 x−1 = 5
4 x+3+3 2x−5 + x−2− 2x−5 = 2 2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c 1 Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x2 + 3x + 2x2 +3x+9 =33
ĐKXĐ : ∀x ∈R
Trang 7Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 + 2x2 +3x+9 - 42= 0 (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y2 + y – 42 = 0
⇒ y1 = 6 , y2 = -7 Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có 2x2 +3x+9 =6 ⇔ 2x2 + 3x -27 = 0
Phơng trình có nghiệm x1 = 3, x2 =
-2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho
Ví dụ 2 : Giải phơng trình: x+ 4 x = 12
ĐKXĐ : x ≥ o
Đặt 4 x = y ≥ 0 ⇒ x = y2 ta có phơng trình mới
y2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
⇒4 x = 3 ⇒ x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho
Ví dụ 3: Giải phơng trình: x+1 + 3−x - (x+ 1 )( 3 −x) = 2 (1)
ĐKXĐ :
≥
−
≥ + 0 3
0 1
x
x
⇔
≤
−
≥ 3
1
x
x
⇔ -1 ≤ x ≤ 3 Đặt x+1 + 3−x = t ≥ 0 ⇒ t2 = 4 + 2 (x+ 1 )( 3 −x)
⇒ (x+ 1 )( 3 −x) =
2
4
2 −
t (2) thay vào (2) ta đợc
t2 – 2t = 0 ⇔ t(t-2) = 0 ⇔
=
= 2
0
t t
+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm
+Với t = 2 thay vào (2) ta có : (x+ 1 )( 3 −x) = 0 ⇒ x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3
Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5 x3 +1 = 2( x2 + 2)
Ta có x3 +1 = x+1 x2 −x+1
Đặt x+1 = a ≥ 0 ; x2 −x+1 = b ≥ 0 và a2 + b2 = x2 + 2
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a2 + b2)
⇔ (2a- b)( a -2b) = 0
⇔
=
−
=
− 0 2
0 2
b a
b a
+ Trờng hợp: 2a = b
⇔2 x+1 = x2 −x+1
⇔ 4x + 4 = x2 – x +1
⇔ x2 – 5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x1 =
2
37
5 − ; x
2 =
2
37
5 + + Trờng hợp: a = 2b
⇔ x+1 = 2 x2 −x+1
Trang 8⇔ x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
⇔ 4x2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x=
2
37
5 + và x=
2
37
5 −
Ví dụ 5: Giải phơng trình: x+1 + 2 (x+1) = x- 1 + 1−x + 3 1 x− 2 (1)
Đặt x+1 = u ≥ 0 và 1−x = t ≥ 0
ĐKXĐ: -1 ≤ x ≤ 1 thì phơng trình (1) trở thành
u + 2u2 = -t2 + t +3ut
⇔ (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
⇔ (u-t)(2u – t +1 ) = 0
⇔
= +
=
t u
t u
1
2 ⇔
−
= + +
−
= +
x x
x x
1 1 1 2
1 1
⇔
−
=
= 25 24
0
x x
thoả mãn điều kiện -1 ≤ x ≤ 1 là nghiệm của phơng trình đã cho
Ví dụ 6: Giải phơng trình: x−2 x−1 + x+2 x−1 =
2
3 +
x
ĐKXĐ : x ≥1
Đặt x−1 = t ≥ 0 ⇒ x = t2 + 1 phơng trình đã cho trở thành
2
) 1
(t+ + (t− 1 ) 2 =
2
4
2 +
t
⇔ t+ 1 + t− 1 =
2
4
2 +
t
⇔
=
= +
− 0
0 4 4
2
2
t
t
t (t ≥ 1) ⇔
=
= 0
2
t
t ⇔
=
= 1
5
x
x ∈ĐkXĐ:
x≥ 1
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
c.2
Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h-ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
c.3.
Bài tập áp dụng:
1/ x2 – 5 + x2 −6 = 7
2/ x
x
1 - 2x 3 x = 20
3/ 3 x2 - 3 3 x =20
4/ x3 +8 = 2x2 – 6x +4
5/ x+6 x−9 + x−6 x−9 =
6
23 +
x
d Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích :
d.1.Các ví dụ :
Trang 9Ví dụ 1: Giải phơng trình: x +10x+21 = 3 x+3 + 2 x+7 - 6 (1)
ĐKXĐ : x ≥ -3
Phơng trình (1) có dạng :
) 7 )(
3 (x+ x+ - 3 x+3 + 2 x+7 +6 = 0 ⇔ x+3( x+7−3)-2( x+7−3)) =3 ⇔( x+ 7 − 3 )( x+3−2) =0
⇔
=
− +
=
− +
0 2 3
0 3 7
x
x
⇔
= +
= + 4 3
9 7
x
x
⇔
=
= 1
2
x
x
∈
ĐKXĐ
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 31 x− + x+ 2 =1
ĐKXĐ : x ≥ -2
Đặt x+2 = t ≥ 0 Khi dó 31 x− = 3 3 t− 2
Phơng trình (1) ⇔ 3 3 t− 2 + t = 1
⇔ 3 3 t− 2 = 1- t
⇔ 3- t3 = (1-t) 3
⇔ t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
⇔ (t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1) x2 +1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)
Đặt x2 +1 =y ; y ≥ 0 (1) ⇔ (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
⇔ 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
⇔ ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
⇔ (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x =
3
4 là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( 1+x −1)( 1−x+1) = 2x
ĐKXĐ: -1 ≤ x ≤ 1 (1)
đặt 1+x = u (0 ≤ u ≤ 2) suy ra x = u2 -1 phơng trình (1) trở thành : (u -1 ) ( 2−u2 +1) = 2 ( u2 -1)
⇔ (u -1 ){ ( 2−u2 +1)- 2 (u+1)} = 0 ⇔ (u-1) ( 2−u2 −2u−1) = 0
⇔
=
−
−
−
=
−
0 1 2 2
0 1
2 u u u
(+) u-1 = 0 ⇒ u =1 ( thoả mãn u ≥ 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
Trang 10(+) 2−u2 −2u−1 = 0 ⇔ 2 u− 2 = 2u + 1
⇔
+
=
−
≥
+
) 1 2 ( 2
0 1
2
2 u
u
u
(thoả mãn vì u ≥ 0 ) ⇔ 5u2 + 4u - 1 = 0
⇒
=
<
−
= 5 1
) ( 0 1
2
1
u
loai u
nên có x = u2 -1 = (
5
1)2 – 1 =
25
24
− thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =
25
24
− .
d.2.Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ
ta cần chú ý các bớc sau
+ Tìm tập xác định của phơng trình
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi
là phơng trình tích) Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;… là những phơng trình quen thuộc
+ Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0 g( x) = 0 ;… thuộc tập xác định
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn
đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải
d.3.Bài tập áp dụng:
1 x3 −7x−6 = 0
2 x2 −x−2 - 2 x2 −x+2 = x−1
3 x(x+5) = 23 x2 +5x−2−2
4 2( x2 + 2x + 3) = 5 x3 +3x2 +3x+2
e Ph ơng pháp đ a về hệ ph ơng trình :
e.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình: 25 x− 2 - 15 x− 2 =2
ĐKXĐ: 0 ≤ x2 ≤ 15 Đặt: 25 x− 2 = a (a ≥0) (* )
15 x− 2 = b ( b ≥ 0) ( ** )
Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình :
≠
+
+
= +
−
=
−
0
) ( 2 ) )(
(
2
b
a
b a b
a
b
a
b
a
⇔
= +
=
− 5
2
b a
b a
⇔
=
= 2 3 2 7
b a