SKKN một số phương pháp tìm cực trị trong trường phổ thông cấp THCS

Để góp phần vào công cuộc đổi mớiphương pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải l

MỤC LỤC

Trang:

A Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ đề tài 1

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp tiến hành 2

4 Phạm vi đề tài 2

7 Dự kiến kết quả đề tài 2

B Nội dung 3

Phần 1: Bài toán cực trị và phương pháp giải trong đại số 3

I Kiến thức cơ bản 3

1 Định nghĩa bài toán cực trị 3

2 Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị 3

!! Phương pháp cơ bản và ví dụ 3

1 Phương pháp dùng bất đẳng thức 3

2 Phương pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn 8

3 Phương pháp miền giá trị 10

4 phương pháp đồ thị hàm số 12

Phần II Bài toán cực trị trong hình học 17

I Kiến thức cơ bản 17

II Một số dạng toán thường gặp 19

C Thực nghiệm sư phạm 29

D Kết quả thực hiện 35

E Tài liệu tham khảo 36

``

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

- Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung và

phương pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện được điều

đó thì vi trò của người thầy hết sức quan trọng Để góp phần vào công cuộc đổi mớiphương pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó

từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnhhội một cách chủ động và có hệ thống

- Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em

HS nắm rất vững kiến thức SGK nhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta -

những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán “ Tìm cực trị “ Thật vậy trong chương trình toán phổ thông dạng kiến thức về ‘’cực trị’’là một trong

những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những cómặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chương trình THCS mà còn là một phần quan

trọng trong chương trình THPT Vì vậy dạng toán’’cực trị’’là phần gây cho HS

ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải tư duy, tìm tòi sáng tạo

- Để giải được một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững được các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học

Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua

những năm dạy toán ở trường THCS , tôi đã rút ra được vài kinh nghiệm tôi mạnh

dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: “ Một số phương pháp tìm cực trị trong

trường phổ thông cấp THCS “ Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung

cho hoàn chỉnh hơn

2 Mục đích nghiên cứu

- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và học tập

Phát triển năng lực tư duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học

và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9

5 Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H

lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi tuyển THPT

Áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh nhiều khó khăn trong việc giải toáncực trị Tạo cho học sinh có cơ sở và niềm tin trong giải toán cực trị.

B- NỘI DUNG

PHẦN ! : BÀI TOÁN CỰC TRỊ PHẦN ĐẠI SỐ

A Yêu cầu

1 / với giáo viên :

- Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phương pháp giải cho từng dạng toán

- phân loại các bài tập từ dễ đến khó

- Rèn luyên nâng cao khả năng tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu

- Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vướng mắc , sai sót mà HS haymắc phải khi làm bài tập

2 / Với học sinh :

- Hiểu được bản chất các loại toán

- Nhận dạng được từng loại bài tập , vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạngvào giải toán

- Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đên bài khó với cách giải hay hơn

B MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D

a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiệnsau đồng thời được thoả mãn

1o f(x)  M với  x  D

2o Tồn tại x0  D sao cho f(x0) = M kí hiệu là max f(x) = M

b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồngthời hai điều kiện sau:

1o f(x)  m với  x  D

2o Tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m

2 Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị

- Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức:

x



 0

) inf(

1.1 Nội dung phương pháp

+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh

f(x)  m (hoặc f(x)  M) với  x  D

+ Chỉ ra sự tồn tại x0  D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "="xảy ra)

1.2 Kiến thức bổ sung

a) Bất đẳng thức cô si

+ Với a,b > 0, a,b  D thì ab ab

2

Dấu = xảy ra khi a= b

+ Tổng quá: Với n số dương a , a , , a  D

2 1 2

2

2 1 2 2

a b

1

.(Quy ước nếu ai = 0 thì bi = 0 i = 0, 1, 2, 3, n)

c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối

* a  0  a  D dấu bằng xảy ra  a = 0

* a  b  a  b với a,b  D dấu bằng xảy ra  a.b  0

Tổng quát : a1, a2, , an  D thì a1  a2   a n  a1 a2   a n

Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu

* a  b  a  b dấu bằng xảy ra khi a.b  0

d) Với a  b > 0 thì

b a

1 1

 dấu bằng xảy ra khi a = b

f(x,y,z) = x4 + y4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}

Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói vớihọc sinh Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2dãy số x,y,z và y,z ,x ta có

2 , 3

2 , 3 2

) D

Vậy Min f (x,y,z) = 16/3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1

1

1 x   x x

Tương tự : .2 2 2 2 2

2

1 2 2

3 3 3

1 3 3

1 2 2

1 2

z y

z y

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) D = x 2  x 1

b) Cho x1, x2 , , x2004 thoả mãn

2005 2004

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x)  0  1  x  2

Vậy Min D = 1 khi 1  x  2

1

Những sai lầm thường gặp của dạng toán này

Sai lầm thường gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :

- Điều kiện tồn tại BĐT

- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm được

Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Để ra ngay kết quả A ≥ 8  Min A = 8 

x

t

y x

t

z

x t

z

y

t z

y

x

Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0

Đây là những sai lầm thường gặp mà nhiệm vụ của người thầy là phải chỉ rađược những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị

Phương pháp 2 Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn

2.1 Nội dung phương pháp

*/ A2  0 x ( x là biến của biểu thức A )  A2k  0 x

*/ - B2  0 x (x là biến của biểu thức B )  - B2k  0 x

Nhiệm vụ của người thầy phải chỉ ra được :

Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x2 - 4x + 1

Giải : A = -5 ( x2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5

( x2 + 2/5 )2 +9/5 ≤ 9/5Dấu “=” xảy ra  x + 2 /5 = 0  x = - 2/5

* Chú ý : f(x) = ax 2 + bx + c

* Có giá trị nhỏ nhất  a > 0

* Có giá trị lớn nhất  a < 0.

Không dừng lại ở đây ta có thể đưa ra một số ví dụ sau :

Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( 1 )

1 2

6 8 3

x x C

Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải Tuy nhiên có thể gọiphương pháp giải là tìm cách đưa về dạng ax2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụthể cách làm như sau :

C = 2 2

2

) 1 (

1 1

2 3 )

1 (

1 ) 1 ( 2 ) 1 2 (

x

x x

y x

Sai lầm thường gặp ở dạng toán này là:

Như ví dụ 4 các em có thể làm như sau:

y

x

Các em không thấy được rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi 





 1 2

x

y x

Hoặc với bài:

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:

M = x + x

học sinh chưa chỉ ra khi

nào dấu đẳng thức xảy ra: M = -

9 5 2

Phương pháp 3 : Phương pháp miền giá trị hàm số

3.1 Nội dung phương pháp.

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x  D gọi y0

là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho Điều đó có nghĩa hệ phươngtrình sau đây với ẩn x có nghiệm 





D x

y x

3 10 2

2 2

x x

với x R

Giải

Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số Vậy phương trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm

1 2 3

3 10 2

2 2

x x

= y0 (1)

Do 3x2 +2x + 1 > 0 x  R(1)  2x2 + 10x + 3 = 3x2y0 + 2xy0 + y0

 ( 3y0 - 2 ) x2 + 2x ( y0 - 5 ) + y0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau :

Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x,y) = x2 + y2

xét trên miền D = (x,y) ; ( x2 - y2 + 1)2 + 4x2y2 - x2 - y2 = 0

Giải: Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D Điều đó chứng tỏ phương trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:

4 0 4 1 3

3

2 0

2

0 2

2

x t

t

t y

5 3

Do t02 + t0 + 1 > 0 t0  với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm

Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm

Phương pháp 4 Phương pháp đồ thị và hình học

4.1 Nội dung phương pháp

- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị.

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp đồ thị và hìnhhọc người ta thường sử dụng các tính chất sau:

- Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trước thì đườngthẳng nối AB là đường thẳng có độ dài bé nhất

- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3

- Cho điểm M ở ngoaì đường thẳng d cho trước khi đó độ dài kẻ từ M xuống

d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống d

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có chu vi

và diện tích lớn nhất

Nếu như một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biếnđổi nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phương pháp đồthị hình học để giải chúng Dĩ nhiên là phương pháp này chỉ thích hợp cho các bàitoán trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưanhìn ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phương pháp này

Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với

nó phương pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả

Với x  R

Ta có: K =

2 2

2

2

3 2

1 2

3 2

2 2

2

3 0 2

1 2

3 ( 0 ) 2

1 ( và C (x,0)

y

x

B

O C

Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB  AB

Mà AB2 =  2

3 + 12 = 4 => AB = 2Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng

2

) ( 2 1 1

) ( 1 3

2

3 2 1

d x

x

d x

d x

x

- Vẽ đồ thị hàm số (d1), (d2), (d3) trên trục xác định tương ứng ta được:

nếunếunếu

y 3

-3 O

Hình 1

- Nhận xét:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu

y = 1 trên 1  x  2 vậy Min D = 1 khi và chỉ khi 1  x  2

1) Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách:

Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị

lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏhơn đại lượng tương ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN)

Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực thành một đại lượng khác tương đương

(nếu được) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A (A là một đại lượngnào đó như góc, đoạn thẳng, )

a) - Ta chứng minh được A  m (m không đổi)

- Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m

b) Ta chứng minh được A  t (t không đổi)

- Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t

- Từ đó ta xác định được vị trí của các điểm để đạt được cực trị

Chú ý : Thường trình bày cực trị theo 2 cách:

II Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :

1) Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác

Ví dụ 1 : Cho đường tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường

tròn M là điểm cố định trên đường tròn (0)

Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị :

O

KH

D

d

Và M  K  M  D

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R); A là điểm cố định trong đường tròn

(A  O) Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn O sao cho góc OBA lớnnhất

Giải:

Giả sử có B  (O) Vẽ dây BC của đường tròn (O) qua A ta có OB = OC = R

=> OBC cân tại O => góc OBC =

2

180 0

COB



Nên góc OBAmax  góc COBmin

Trong COB có CO = OB = R không đổi

=> COB min  BCmin = OHmax

Mà OH  OA nên OHmax  H  A  BC  OA tại A

Vậy OBAmax  B  (O) sao cho BC  OA tại A

Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM +

O M AC

M

Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD M  O

1.3 Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc Các diểm M,

N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 900 Xác định vịtrí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất

O C

B

H

A

O M

D

A

C

B

Bài 2: Cho 2 đường tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R') A nằm trên (O), B

nằm trên (O') Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất

2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đường vuông góc với

Ví dụ1:: Cho ABC (Â = 900) M là điểm chuyển động trên cạnh BC Vẽ MD

 AB; ME  AC (D  AB, E  AC) Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏnhất

(theo t/c đường xiên và đường vuông góc)

Dấu "=" xảy ra  M H Vậy khi M  H thì DE nhỏ nhất

Ví dụ 2 : Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là

OH  R Lấy hai điểm bất kỳ A  d; B  (O;R) Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao

cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó

Giải:

Từ tâm (O) kẻ OH  d, OH cắt đường tròn (O) tại K Xét ba điểm A B O ta

có AB + OB  OA mà OA  OH (quan hệ đường xiên và đường vuông góc)

E

Vậy min AB = KH   B  K

2.3.Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M

và N sao cho Bạch Mã = CN Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho nửa đường tron (O;R) đường kính AB.M là một điểm trên nửa

+ Trong một đường tròn: đường kính là dây cung lớn nhất

+ Dây cung lớn hơn  dây đó gần tâm hơn

+ Cung lớn hơn dây trương cung lớn hơn

+ Cung lớn hơn  góc ở tâm lớn hơn

3.2 Các ví dụ áp dụng :

Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn đó (M  O).

Xác định vị trí của dây cung AB của đường tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắnnhất

Giải:

Ta có dây AB  OM tại M là dây

cung có độ dài nhỏ nhất

Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ

của (O) A'B' không vuông góc với OM

Vẽ OM'  A'B' M'  A'B'; M'  M =>

d A

O

M’

A

M B’A’

B

Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) M là điểm di

động trên đường tròn (O) Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớnnhất

Mà MA là dây cung của đường tròn (O;R) => MA = 2R

=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R MA là đường kính của đường tròn(O) M là điểm chính giữa của cung BC

Tương tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chínhgiữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất

3.4.Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và

N sao cho BM = CN Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước tìm tứ

giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất

n

n n

a a a n

a a

a

2 1 2

B

C A

M