skkn toán 9 hay một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT

Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT PHẦN MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán lớp Tác giả: Họ tên: NGUYỄN VIỆT KHOA Nam (nữ) : Nam Ngày tháng/năm sinh: 28 - - 1980 Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Phó Hiệu trưởng trường THCS Hưng Thái Ninh Giang - Hải Dương Điện thoại: 0902025911 Đồng tác giả: Không có Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Việt Khoa Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu : Trường THCS Hưng Thái - Ninh Giang - Hải Dương Điện thoại : 03203.769.23 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Có học sinh giỏi môn Toán để thành lập đội tuyển HSG - Học sinh ôn thi vào THPT cần chăm học tập, tích cực làm việc theo định hướng giáo viên bồi dưỡng Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ năm học 2010 - 2011 TÁC GIẢ (ký, ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Nguyễn Việt Khoa Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT TÓM TẮT SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong trình ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào THPT có lượng tương đối nhiều tập hình học với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng hình học Chương trình SGK THCS chưa có trình bày khái niệm, cấu trúc, cách giải toán cực trị Nhiều kiến thức cực trị ẩn chứa đơn vị kiến thức trải dài từ lớp đến lớp chưa hệ thống hóa Học sinh sợ học hình học mà toán cực trị hình học mảng kiến thức khó toán hình Đứng trước toán cực trị hình học, học sinh chưa có định hướng, công cụ giải Giáo viên ôn thi HSG toán 9, ôn thi vào THPT chưa phân dạng dạng toán cực trị hình học để ôn tập cho học sinh, dừng lại việc đề mò mẫm giải, không đọng lại cốt lõi phương pháp cho học sinh Xuất phát từ lý trên, mạnh dạn nghiên cứu đề tài : " Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT " nhằm trước hết giải khó khăn thực tế giảng dạy mình, giáo viên trường, mong trao đổi với đồng nghiệp khác Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Điều kiện tốt để áp dụng sáng kiến đối tượng học sinh lớp học xong kiến thức Hình học hết chương III Hình học , ôn luyện HSG để thi HSG cấp huyện tỉnh, học sinh chuẩn bị ôn thi vào THPT Thời gian áp dụng từ đầu tháng hàng năm Nội dung sáng kiến: Sáng kiến tính kiến thức mà thể tính việc phân loại phương pháp giải ví dụ minh họa cho phương pháp nhằm hình thành cho học sinh phương án giải toán thực tiễn thi Cụ thể : - Hình thành khái niệm chung toán cực trị hình học - Hệ thống kiến thức, phương pháp giải , chia thành loại kiến thức phương pháp giải sau : 1) Sử dụng quan hệ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 2) Sử dụng quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT 3) Sử dụng bất đẳng thức đường tròn 4) Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai 5) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM bất đẳng thức đại số khác Mỗi phương pháp có tập minh họa cụ thể Sáng kiến không áp dụng cho học sinh ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi lớp cấp huyện tỉnh, học sinh chuẩn bị ôn thi vào THPT trường THCS Hưng Thái mà áp dụng rộng rãi cho học sinh đối tượng trường khác Không dùng làm tài liệu ôn luyện riêng tác giả mà dùng làm tài liệu tham khảo đồng nghiệp khác giảng dạy môn Toán Việc dạy học cực trị hình học nên dạy theo chuyên đề thứ tự trình bày phần mô tả Sau học xong chuyên đề cực trị hình học mà sáng kiến trình bày, học sinh phần yên tâm với câu cuối hình thi HSG thi vào THPT với tỉ lệ hỏi cực trị tương đối cao Giáo viên sau dạy xong chuyên đề nâng cao kiến thức cực trị hình học để phục vụ chuyên môn Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến Giá trị phương pháp giảng dạy hiển nhiên Từ năm học 2010 - 2011, bắt đầu nghiên cứu áp dụng sáng kiến, thu thành công định ( cực trị hình học nội dung nhỏ việc bồi dưỡng góp phần vào thành công chung ) , cụ thể : Năm học 2010 - 2011 có 01 HSG Toán cấp huyện Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 29/60 HS dự thi = 48,33% Năm học 2011-2012 có 01 HS đạt giải Nhì môn Toán cấp huyện Học sinh thi đỗ vào THPT công lập đạt 27/46 HS dự thi = 58,7% Năm học 2012 - 2013 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 giải Nhất, 01 giải ba ) Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 21/47 HS dự thi = 44,7% Năm học 2013 - 2014 có 02 HS đạt giải Toán cấp huyện ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba ) Học sinh thi đỗ THPT đạt 37/47 HS dự thi = 78,72% Năm học 2014 - 2015 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 Nhì, 01 ba ) Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến Sáng kiến chưa đầu tư để trở thành giáo án chuẩn cho chương trình bồi dưỡng chưa có thời gian nghiên cứu sâu Việc áp dụng sáng kiến chưa hài lòng với đa số người dạy Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Sáng kiến cần bổ sung tập dạng nhiều Ngoài ra, sáng kiến nghiên cứu phần nhỏ có tính " hình học" bất đẳng thức hình học nói chung cực trị hình học nói riêng Việc mở rộng sáng kiến nên theo hướng phân loại bất đẳng thức cực trị hình học mang tính hình học ( thiết vẽ hình ) bất đẳng thức, cực trị hình học không cần vẽ hình Hệ thống bất đẳng thức hình học biết giới theo loại hình : tam giác, tứ giác, đa giác, đường ( hình ) tròn Tuy nhiên xét góc độ hẹp để định hình, cung cấp cho học sinh ôn HSG cấp huyện học sinh thi THPT mang tính thuật toán sáng kiến đủ để làm tài liệu tham khảo thiết thực Một phần kiến nghị quan trọng Sở giáo dục nên tổ chức thi học sinh giỏi lớp vào cuối tháng hàng năm để học sinh trang bị kiến thức đầy đủ hơn, ôn luyện nhiều theo khung phân phối chương trình Bộ giáo dục đào tạo Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT PHẦN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong trình ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào THPT có lượng tương đối nhiều tập hình học với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng hình học Chương trình SGK THCS chưa có trình bày khái niệm, cấu trúc, cách giải toán cực trị Nhiều kiến thức cực trị ẩn chứa đơn vị kiến thức trải dài từ lớp đến lớp chưa hệ thống hóa Học sinh sợ học hình học mà toán cực trị hình học mảng kiến thức khó toán hình Đứng trước toán cực trị hình học, học sinh chưa có định hướng, công cụ giải Giáo viên ôn thi HSG toán 9, ôn thi vào THPT chưa phân dạng dạng toán cực trị hình học để ôn tập cho học sinh, dừng lại việc đề mò mẫm giải, không đọng lại cốt lõi phương pháp cho học sinh Xuất phát từ lý trên, mạnh dạn nghiên cứu đề tài : " Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT " nhằm trước hết giải khó khăn thực tế giảng dạy mình, giáo viên trường, mong trao đổi với đồng nghiệp khác Cơ sở lý luận vấn đề 2.1 Khái niệm toán cực trị hình học Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng ( độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn ( nhỏ ) Bài toán tìm giá trị lớn ( nhỏ ) đại lượng hình học gọi chung toán cực trị hình học Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ( nhỏ ) ta cần hai điều : - Cần : với vị trí hình H miền D có f ≤ m ( f ≥ m ) ( với m số ) - Đủ : Tồn vị trí hình H miền D để có f = m Giá trị nhỏ ký hiệu Min ( viết tắt Minnimum ) Giá trị lớn ký hiệu Max ( viết tắt Maximum ) 2.2 Các cách phát biểu toán cực trị hình học 2.2.1 Bài toán dựng hình Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Ví dụ : Xác định vị trí dây qua điểm P nằm đường tròn cho dây có độ dài nhỏ 2.2.2 Bài toán chứng minh Ví dụ : Chứng minh dây qua điểm P nằm đường tròn (O) dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ 2.2.3 Bài toán tính toán Ví dụ : Cho (O, R ) P nằm đường tròn có OP = h Tính độ dài nhỏ dây qua P 2.3 Cách trình bày toán cực trị hình học 2.3.1 Cách Trong hình có tính chất đề bài, hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình 2.3.2 Cách Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị điều kiện đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi đề đặt Thực trạng vấn đề Như trình bày , hình học môn khó học với học sinh cực trị hình học phần khó hình học, học sinh sợ phải làm việc với toán dạng Thứ nhất, học sinh chưa trang bị cách trình bày toán cực trị hình học Thứ hai, học sinh chưa trang bị phương pháp giải toán dạng Kết khảo sát học sinh lớp năm học 2013 - 2014 thấy rõ điều Với đề tương đối dễ sau : Cho (O) P nằm (O) ( P khác O ) Xác định vị trí dây qua P cho dây có độ dài nhỏ Kết quả: Đối tượng Số lượng Không biết làm HS lớp 9A HS lớp 9B 27 30 20 13 Đoán giá Trình bày trị nhỏ tương đối hoàn không chỉnh biết trình bày 15 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Các giải pháp, biện pháp thực Vì khuôn khổ sáng kiến nên xét tập minh họa dạng đề thi tổng hợp, ý phía câu hỏi cực trị công nhận giải tóm lược 4.1 Sử dụng quan hệ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu: 4.1.1 Kiến thức liên quan - Trong tam giác vuông ( suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH cạnh huyền AB AH ≤ AB Dấu đẳng thức xảy H trùng B - Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng, đường xiên lớn hình chiếu lớn 4.1.2 Các tập minh họa Bài 1.1 ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 ) Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M Gọi (O 1) đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với AB B, gọi (O 2) đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn (O 1) (O2) cắt D (D không trùng với M) 1) Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông 2) Chứng minh O1D tiếp tuyến (O2) 3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn Giải : · · · 1) BDC = BDM + MDC = 900 0 · · · 2) Chỉ BMO = CMO2 = 45 nên O1 MO2 = 90 · DO = 900 ∆O1MO2 = ∆O1 DO2 (c − c − c) ⇒ O 3) Chỉ tứ giác ABEC hình vuông điểm A, D, E nhìn BC góc 900 nên điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn đường kính BC 4) Dễ dàng chứng minh MO1EO2 hình chữ nhật nên O1O2 = EM Gọi O hình chiếu E BC EO = BC AB = không đổi 2 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Có EM ≥ EO = AB ( quan hệ đường vuông góc đường xiên ) Dấu đẳng thức xảy M trung điểm BC Suy MinO1O2 = MinEM = EO = AB M trung điểm BC Bài 1.2 ( Thi THPT Hải Dương 2005-2006 ) Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý nửa đường tròn (P ≠ M, P ≠ N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ I từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ K 1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm đường tròn 2) Chứng minh: MP PK = NK PQ 3) Tìm vị trí P nửa đường tròn cho NK.MQ lớn Giải : · · 1) MP//NQ mà MPN = 900 = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên PNQ Hai điểm I N nhìn PQ góc 900 nên điểm P, Q, N, I thuộc đường tròn đường kính PQ 2) Chứng minh ∆PNK # ∆QMP ( g − g ) ⇒ NK PK = ⇒ MP.PK = NK PQ MP PQ 3) Gọi H hình chiếu P MN, O trung điểm MN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác vuông MPN có đường cao PH : MP.NP = PH.MN (1) NK PK NP Theo phần 2) ∆PNK # ∆QMP( g − g ) ⇒ MP = PQ = MQ ⇒ MP.NP = NK MQ (2) Từ (1) (2) suy NK.MQ = PH.MN NK.MQ đạt Max PH.MN đạt Max mà MN không đổi nên PH đạt Max Có PH ≤ PO = MN ( quan hệ đường vuông góc đường xiên ) Dấu đẳng thức xảy H trùng O , P điểm nửa đường tròn Vậy Max(NK.MQ) = Max(PH.MN) = MN đạt P điểm nửa đường tròn Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Bài 1.3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-2009 ) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R E điểm đường tròn (E khác A B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K 1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA 2) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F 3) Chứng minh MN // AB, M N giao điểm thứ hai AE, BE với đường tròn (I) 4) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O), với P giao điểm NF AK; Q giao điểm MF BK Giải a) Chứng minh ∆ KAF đồng dạng với ∆ KEA · Xét (O) có ·AEK = KEB (EK phân giác Ê) » (hai cung chắn hai góc nội tiếp nhau) ⇒ »AK = KB µ = µA (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ E 1 Xét ∆KAF ∆KEA: µ chung K µ = µA (chứng minh trên) E 1 ⇒∆KAF đồng dạng với ∆KEA (g-g) Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT b) Chứng minh ∆ KAF đồng dạng với ∆ KEA - Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O E Ta có O, I, E thẳng hàng OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O) - Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB F: Dễ dàng chứng minh ∆EIF cân I ∆EOK cân O · = OKE · ⇒ IFE · ( = OEK) Mà hai góc vị trí đồng vị ⇒ IF // OK (dấu hiệu nhận biết) » (chứng minh trên) ⇒ ·AOK = 90o ⇒ OK ⊥ AB Vì »AK = KB Ta có IF // OK ; OK ⊥ AB ⇒ IF⊥AB Mà IF bán kính (I;IE) ⇒ (I;IE) tiếp xúc với AB F c) Chứng minh MN//AB Xét (O): ·AEB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét (I;IE): · MEN = 90o (vì ·AEB = 90o ) ⇒ MN đường kính (I;IE) ⇒ ∆EIN cân I · · Mà ∆EOB cân O ⇒ ENI = OBE · (= IEN) Mà hai góc vị trí đồng vị ⇒ MN//AB d)Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động (O) Dễ dàng chứng minh tứ giác PFQK hình chữ nhật; tam giác BFQ tam giác vuông cân Q Chu vi ∆KPQ = KP + PQ + KQ mà PK = FQ (◊PFQK hình chữ nhật) FQ = QB (∆BFQ vuông cân Q) ⇒ PK = QB PQ = FK (◊PFQK hình chữ nhật) ⇒ Chu vi ∆KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK Vì (O) cố định, K cố định ( EK phân giác góc AEB nên K điểm cung AB không chứa E ) FK ≤ FO ( quan hệ đường vuông góc đường xiên) ⇒ Chu vi ∆KPQ nhỏ = BK + FO E điểm cung AB Ta có FO = R Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vuông cân FOB tính BK = R ⇒ Chu vi ∆KPQ nhỏ = R + R = R 10 ( ) +1 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT b) Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Giải : a) Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax (O) Ta có ¶ = 1O ¶ = sđ ¼ A AM 1 2 (1) ¶ =M ¶ Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) ⇒ A 1 (2) ¶ =K ¶ (cùng chắn MH ¼ ) Tứ giác MHOK nội tiếp ⇒ O 1 (3) ¶ = 1K ¶ hay HKM · · Từ (1), (2), (3) ta có M = 2AMH 1 b) Có tứ giác AOMD nội tiếp (4) ¼ ¶ = sđ ¼ ; O ¶ ¶ A BM = O2 = sđ BM 2 ¶ =O ¶ ⇒ tứ giác AMGO nội tiếp (5) ⇒A 1 Từ (4), (5) ta có điểm A, D, M, G, O nằm đường tròn ¶ =D ¶ =D ¶ ⇒G ⇒ ∆OGF ∆ODE đồng dạng OG GF ⇒ = hay OD.GF = OG.DE OD DE c) Trên đoạn MC lấy điểm A’ cho MA’ = MA ⇒ ∆AMA' ¶ =A ¶ = 600 − BAA' · ⇒A ( ) ⇒ ∆MAB = ∆A'AC ⇒ MB = A'C ⇒ MA + MB = MC Chu vi tam giác MAB MA + MB + AB = MC + AB ≤ 2R + AB Đẳng thức xảy MC đường kính (O) => M điểm cung AM => H trung điểm đoạn AO 17 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R + AB AB Gọi I giao điểm AO BC ⇒ AI = R = ⇒ AB = R 2 Giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R + AB = (2 + 3)R Bài 3.5 ( Thi HSG Toán Bắc Ninh 2013-2014 ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định Ax Ay hai tia thay đổi tạo với góc 600, nằm hai phía AB, cắt đường tròn (O) M N Đường thẳng BN cắt Ax E, đường thẳng BM cắt Ay F Gọi K trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh EF = AB Chứng minh OMKN tứ giác nội tiếp Khi tam giác AMN đều, gọi C điểm di động cung nhỏ AN (C ≠ A, C ≠ N) Đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt NC D Xác định vị trí điểm C để diện tích tam giác MCD lớn Giải : 1) ·AMB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ B trực tâm tam giác AEF ⇒ AB ⊥ EF · · ⇒ ·NEF = NAB (cùng phụ với góc NFE ) ⇒ ∆ vuông NEF ∆ vuông NAB (g.g) EF NE · = tan600 = = = tan NAE AB NA · · · 2) MON góc tâm chắn cung MN ⇒ MON = MAN = 1200 ⇒ · · EMF = ENF = 900 ⇒ tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K · · ⇒ MKN = MEN = 2.300 = 600 · · ⇒ MON + MKN = 1800 ⇒ OMKN tứ giác nội 3) Gọi I giao điểm AC MD Ta có · · MCA = NCM = 600 ⇒ ·ACD = 600 ⇒ Tam giác MCD có CI vừa đường cao vừa phân giác ⇒ ∆MCD cân C 18 tiếp Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT · · ⇒ SMCD = 2.SMCI = .MI CI = MI CI = ( MC sin MCI )( MCcos MCI ) = ( MC sin 600 )( MCcos600 ) = MC ⇒ SMCD lớn ⇔ MC lớn ⇔ MC đường kính (O) 4.4 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai 4.4.1 Kiến thức liên quan Bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2 ≥ ; - A2 ≤ Do đó, với m số : f = A2 + m ≥ m ; Minf = m với A = tồn giá trị " biến " để thỏa mãn điều f = - A2 + m ≤ m ; Maxf = m với A = tồn giá trị " biến " để thỏa mãn điều * " biến " hình học hiểu yếu tố biến đổi tồn thỏa mãn yêu cầu đề 4.4.2 Các tập minh họa Bài 4.1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2003-2004 ) Cho hình vuông ABCD, M điểm đường chéo BD, gọi H, I K hình chiếu vuông góc M AB, BC AD 1) Chứng minh : ∆ MIC = ∆ HMK 2) Chứng minh : CM vuông góc với HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Giải : 1) Sau H, M, P thẳng hàng K, M, I thẳng hàng dễ dàng chứng minh 1) 2) Gọi N giao điểm CM HK · theo 1) ta dễ dàng MHK = 900 3) Gọi cạnh hình vuông a a không đổi Đặt AK = x => KD = a - x Dễ dàng AKMH, KDCI, PCBH hình chữ nhật Ta có : SCHK = S ABCD − S AHK − S KDC − S BHC ⇒ SCHK = a − a 3a 3a 3a 2 SCHK = ( x − ) + ≥ ⇒ SCHK ≥ 4 19 x(a − x) a (a − x) a.x − − 2 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Dấu đẳng thức xảy x = a , M tâm hình vuông 3a ⇔ M tâm hình vuông Vậy MinSCHK = Bài 4.2 Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: Dễ có : ∆AHE = ∆BEF = ∆CFG = ∆DGH · ⇒ HE = EF = FG = GH , HEF = 900 ⇒ HEFG hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ Đặt AE = x HA = EB = 4-x ∆HAE vuông A nên : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4 − x)2 = 2x2 − 8x +16 = 2(x − 2)2 +8 ≥ => MinHE = =2 ⇔ x = Chu vi tứ giác EFGH nhỏ cm , AE = cm Bài 4.3 Cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh góc vuông AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải: ADME hình chữ nhật Đặt AD = x ME = x ME //AB ⇒ EM CE x CE = ⇒ = ⇒ CE = x AB CA ⇒ AE = − x Ta có : SADME = AD AE 20 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT 4 = x ( − x ) = 8x − x2 3 = − (x − 3)2 +12 ≤ 12 => MinSADME = 12 ⇔ x =3 Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm , D trung điểm AB , M trung điểm BC E trung điểm AC 4.5 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM bất đẳng thức đại số khác 4.5.1 Kiến thức liên quan 4.5.1.1 Bất đẳng thức AM - GM bất đẳng thức nêu mối quan hệ trung bình cộng trung bình nhân số thực không âm ( i = 1,2, ,n ) AM - GM viết tắt cho cụm từ : arithmetic mean - geometric mean - Bất đẳng thức AM - GM : a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1a2 a3 an n Với n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = a3 = = an • Hệ quả: Ta có số bất đẳng thức quen thuộc hệ bất đẳng thức AM-GM sau: a + b ≥ 2ab ⇒ a + b 2 2 ( a + b) ≥ 2 ≥ 2ab Dấu “=” xảy ⇔ a = b a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ a + b + c 2 2 2 ( a + b + c) ≥ ≥ ab + bc + ca Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c a b + ≥2 b a hay a + ≥ a (ab > 0) Dấu “=” xảy ⇔ a = b (a > 0) Dấu “=” xảy ⇔ a = 1 1 n2 + + + × × ×+ ≥ a1 a2 a3 an a1 + a2 + a3 + + an 1 1 + + + ×××+ an  a1 a2 a3 ( a1 + a2 + a3 + + an )  hay  ÷≥ n  ( a1 , a2 , a3 , , an > ) Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = a3 = = an 4.5.1.2 Bất đẳng thức BCS Có nhiều cách gọi khác cho bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cauchy; bất đẳng thức Bunyakovsky ; bất đẳng thức Cauchy - Schwarz hay bất đẳng 21 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT thức Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz Tài liệu gọi bất đẳng thức BCS ( viết tắt cho Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz ) Với n số thực ( a1 , a2 , , an ) ( b1 , b2 , , bn ) ta có: (a + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) (a 2 + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + + bn2 ) ≥ a1b1 + a2b2 + + anbn a1 = kb1 a = kb  2 Dấu “=” xảy ⇔   an = kbn 4.5.2 Các tập minh họa Bài 5.1 Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax , By vuông góc với AB Qua M kẻ hai đường thẳng thay đổi vuông góc với cắt Ax C, cắt By D Xác định vị trí C D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Giải : Ta có : S MCD = MC.MD Đặt MA = a , MB = b ·AMC = BDM · =α a b ; MD = cosα sin α ab = sin α cos α Khi đó, MC = nên S MCD Vì a,b không đổi nên diện tích tam giác MCD nhỏ 2sin α cos α lớn Theo bất đẳng thức AM - GM : 2sin α cos α ≤ sin2 α + cos2 α = Dấu đẳng thức xảy sin α = cos α => α = 450 => AM = MC ; BM = BD Vậy MinSMCD = ab C D xác định cho AM = MC ; BM = BD Bài 5.2 ( Thi THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2008-2009 ) Cho đường tròn (O; R) điểm P cố định khác O (OP < R) Hai dây AB CD thay đổi cho AB vuông góc với CD P Gọi E, F trung điểm AC, AD Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC M, N 1) Chứng minh : Bốn điểm M, N, B, P thuộc đường tròn 22 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT 2) Chứng minh : BD = 2.EO 3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích tứ giác ACBD Giải : 1) PE trung tuyến ∆APC nên EA = EP ⇒ · · · ∆EAP cân E ⇒ EAP mà = EPA = MPB · · · ⇒ ACD = ABD = PBM · · · · MPB + PBM = CAB + ACD = 90 ⇒ ∆BPM vuông E A P C N F H · M ⇒ PMB = 90 Chứng minh tương tự ta có: · · · PNB = 90 ⇒ PMB + PNB = 180 ⇒ Bốn điểm M, N, B, P thuộc đường tròn đường D K O M B kính BP 2) Do EA = EC FA = FD nên OE ⊥ AC vµ OF ⊥ AD · · Do AFE + OFE = 90 (1) Do EF đường trung bình ∆ACD nên EF // CD CD = 2EF · · · ⇒ AFE = ADC = ABC · · · · mà ABC + BCD = 90 ⇒ AFE + BCD = 90 (2) · · Từ (1) (2) ⇒ OFE = BCD · · ⇒ ∆BCD đồng dạng với ∆OFE (g.g) C/M tương tự ta có: OEF = BDC BD CD = = ⇒ BD = 2.EO OE FE 3) Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD H K ⇒ HA = HB; KC = KD ⇒ HB = OB − OH = R − OH ⇒ AB = 4R − 4HO Tính tương tự : CD = 4R − 4KO2 suy ( )( ) AB CD = 4R − 4HO 4R − 4KO = 16R − 16R (HO + KO ) + 16.HO KO = 16R − 16R PO + 16.HO2 KO (vì ta có OH + OK = OP ) Chứng minh diện tích tứ giác ACBD AB.CD Do 16R − 16R PO2 không đổi nên AB2.CD2 nhỏ HO2 KO2 nhỏ ⇔ H ≡ O K ≡ O ⇔ AB qua O CD qua O Vậy diện tích tứ giác ACBD nhỏ : 16R − 16R PO = 2R R − PO ⇔ AB CD qua O (có thể cách dựng: Kẻ đường kính qua P kẻ dây ⊥ với đường kính P) 23 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT  HO + KO  OP Ta có HO KO ≤  nên HO2.KO2 lớn HO = KO ÷ =   2 OP OP ; AB2.CD2 lớn HO2 KO2 lớn ⇔ HO = KO = 2 ⇔ AB CD cách O.Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn = 16R − 16R PO + 4.PO = 2R − PO ⇔ AB CD cách O Bài 5.3 ( Thi vào THPT Quảng Ninh 2011-2012 ) Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm C cố định bán kính OA (C khác A O) , điểm M di động đường tròn (M khác A,B) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM , đường thẳng cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) D E a) Chứng minh ACMD BCME tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DC ⊥ EC c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ADEB nhỏ Giải : a) b) Dễ chứng minh c) Tứ giác ABED hình thang vuông nên diện tích : S= AB ( AD + BE ) Dễ thấy ∆ADC# ∆BCE ( g − g ) => AD.BE = AC.BC = k không đổi ( A,C,B cố định ) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM : AD + BE ≥ k Dấu đẳng thức xảy AD = BE Vậy MinSADEB = AB k AD = BE, ABED hình chữ nhật nên MC vuông góc AB => M giao đường thẳng qua C vuông góc AB Bài 5.4 ( Thi vào THPT Tp Hồ Chí Minh 2010-2011 ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) khác A B Các tiếp tuyến (O) A M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE) 24 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp đường tròn APMQ hình chữ nhật b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh hai tam giác EAO MPB đồng dạng Suy K trung điểm MP d) Đặt AP = x Tính MP theo R x Tìm vị trí M (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Giải : a) Dễ chứng minh b) Chứng minh EO trung trực AM nên O, I, E thẳng hàng · · c) Ta có OE//MP => EOA = MBP ⇒ ∆AEO# ∆PMB ⇒ PB MP = AO EA PB (1) AB BP KP KP / / EA ⇒ = (2) AB EA ⇒ MP = EA Từ (1) (2) suy MP = EA KP = KP EA => K trung điểm MP d) Ta có : AB = 2R ; AP = x => PB = 2R - x Tam giác AMB vuông M có MP đường cao nên : MP2 = PA.PB = x(2R-x) => MP = x(2 R − x) x   + 2R − x ÷ x Có : SMPAQ = AP.MP = x x(2 R − x) = x (2 R − x) ≤ x  ÷  ÷   x x +R− ÷  x x x 3R 3 = x 3( R − ) = 3 .( R − ) ≤ 3  ÷ = 3  ÷   ( theo bất đẳng thức AM-GM ) Dấu đẳng thức xảy : x  = R − x 3R ⇒x=  x = R− x  3 25 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Vậy diện tích hình chữ nhật APMQ lớn 3R M thuộc đường tròn cho P trung điểm OB Bài 5.5 ( Thi vào THPT Nguyễn Bình - Quảng Ninh 2013-2014 ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm cung nhỏ BM Gọi H chân đường vuông góc M xuống AK a) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp b) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao? c) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK d) Gọi P hình chiếu vuông góc K lên AB Xác định vị trí K để chu vi tam giác OPK lớn Giải : a) Vì M điểm cung AB, M 0 ˆ = 90 nên sđ ¼ AM = 90 => AOM (đ/l góc tâm), mà MH ⊥ AK (gt) K => ·AHM = 900 H Trong tứ giác AOHM, ta có: ˆ = ·AHM = 900 AOM A O P B Do đỉnh O H nhìn đoạn Am góc 900, nên AOHM tứ giác nội tiếp · b) Xét tam giác vuông MHK có MKH = 450 Nên tam giác MHK tam giác vuông cân H c) Vì tam giác MHK cân H nên : HM = HK Xét ∆ MHO ∆ KHO có HM = HK (c/m trên) HO cạnh chung OM = OK = R Suy ∆ MHO = ∆ KHO ( c-c-c) · · Nên MOH , Do OH phân giác góc MOK = KOH d) Ta có chu vi tam giác OPK là: C = OP + PK + OK Mà OK không đổi, nên chu vi tam giác OPK lớn ⇔ OP + PK lớn Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có (OP + PK)2 ≤ (12 + 12)( OP2 + PK2) = 2R2 Vậy (OP + PK)2 lớn 2R2, nên OP + PK lớn 2R Do chu vi tam giác OPK lớn 26 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT bằng: 2R + R = ( + 1)R , OP = PK hay K điểm cung MB Kết đạt Sau nghiên cứu thực sáng kiến này, trước hết thân nâng cao kiến thức phương pháp dạy học đặc biệt kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào THPT Cụ thể : Từ năm học 2010 - 2011, bắt đầu nghiên cứu áp dụng sáng kiến, thu thành công định ( cực trị hình học nội dung nhỏ việc bồi dưỡng góp phần vào thành công chung ) Năm học 2010 - 2011 có 01 HSG Toán cấp huyện Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 29/60 HS dự thi = 48,33% Năm học 2011-2012 có 01 HS đạt giải Nhì môn Toán cấp huyện Học sinh thi đỗ vào THPT công lập đạt 27/46 HS dự thi = 58,7% Năm học 2012 - 2013 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 giải Nhất, 01 giải ba ) Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 21/47 HS dự thi = 44,7% Năm học 2013 - 2014 có 02 HS đạt giải Toán cấp huyện ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba ) Học sinh thi đỗ THPT đạt 37/47 HS dự thi = 78,72% Năm học 2014 - 2015 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 Nhì, 01 ba ) Ngoài ra, chất lượng đại trà kiểm nghiệm lại với hai lớp khảo sát trước dạy chuyên đề Với đề khảo sát : Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Một cát tuyến chung CBD ( B nằm C D ) cắt (O) C cắt (O') D Xác định vị trí cát tuyến CBD để tam giác ACD có chu vi lớn Sau dạy xong, kết thu sau : Đối tượng Số lượng Không biết làm HS lớp 9A HS lớp 9B 27 30 Đoán giá Trình bày trị lớn tương đối hoàn không chỉnh biết trình bày 18 17 Điều kiện để sáng kiến nhân rộng: Sáng kiến chưa đầu tư để trở thành giáo án chuẩn cho chương trình bồi dưỡng chưa có thời gian nghiên cứu sâu Việc áp dụng sáng kiến chưa hài lòng với đa số người dạy 27 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Sáng kiến cần bổ sung tập dạng nhiều Ngoài ra, sáng kiến nghiên cứu phần nhỏ có tính " hình học" bất đẳng thức hình học nói chung cực trị hình học nói riêng Việc mở rộng sáng kiến nên theo hướng phân loại bất đẳng thức cực trị hình học mang tính hình học ( thiết vẽ hình ) bất đẳng thức, cực trị hình học không cần vẽ hình Hệ thống bất đẳng thức hình học biết giới theo loại hình : tam giác, tứ giác, đa giác, đường ( hình ) tròn Tuy nhiên xét góc độ hẹp để định hình, cung cấp cho học sinh ôn HSG cấp huyện học sinh thi THPT mang tính thuật toán sáng kiến đủ để làm tài liệu tham khảo thiết thực Sáng kiến công bố mạng vào cuối năm học 2014-2015 để đồng nghiệp tham khảo, chia sẻ, bổ sung 28 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận - Sau nhiều năm nghiên cứu, chỉnh sửa, bổ sung dần hoàn thiện mặt phương pháp dạy cực trị hình học cho học sinh giỏi học sinh ôn thi vào THPT Học sinh tiếp thu kiến thức tương đối tốt, biết áp dụng phương pháp để giải tập cụ thể , kết mang lại tương đối tốt ( trình bày ) - Mặc dù kiến thức trình bày dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi vào THPT nhiên đồng nghiệp vận dụng phương pháp để dạy lớp 7,8 cho học sinh làm quen với cực trị hình học từ dễ dàng truyền đạt lớp Khuyến nghị: - Sở giáo dục nên tổ chức thi học sinh giỏi lớp vào cuối tháng hàng năm để học sinh trang bị kiến thức đầy đủ hơn, ôn luyện nhiều theo khung phân phối chương trình Bộ giáo dục đào tạo 29 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT MỤC LỤC Tên đề mục Trang DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học phẳng THCS - Vũ Hữu Bình ( chủ biên ) 30 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Một số bất đẳng thức hình học - Luận văn thạc sỹ toán học Hoàng Ngọc Quang - Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Thảo luận bất đẳng thức : http://vi.wikipedia.org/wiki/Th%E1%B B%83_lo%E1%BA%A1i:B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th %E1%BB%A9c Đề tuyển sinh THPT, đề học sinh giỏi tỉnh mạng Internet 31 [...]... mạng vào cuối năm học 2014-2015 để các đồng nghiệp tham khảo, chia sẻ, bổ sung 28 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT PHẦN 3 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1 Kết luận - Sau nhiều năm nghiên cứu, chỉnh sửa, bổ sung tôi đã dần hoàn thi n về mặt phương pháp khi dạy cực trị hình học cho học sinh giỏi và học sinh ôn thi vào THPT Học sinh. .. pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT Sáng kiến cần bổ sung bài tập của các dạng nhiều hơn nữa Ngoài ra, sáng kiến chỉ mới nghiên cứu một phần nhỏ có tính " hình học" trong các bất đẳng thức hình học nói chung và cực trị hình học nói riêng Việc mở rộng sáng kiến nên theo hướng phân loại các bất đẳng thức và cực trị hình học mang tính hình học. .. tháng 4 hàng năm để học sinh được trang bị kiến thức đầy đủ hơn, được ôn luyện nhiều hơn theo khung phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo 29 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT MỤC LỤC Tên đề mục Trang DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng ở THCS - Vũ Hữu... 30 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT 2 Một số bất đẳng thức hình học - Luận văn thạc sỹ toán học của Hoàng Ngọc Quang - Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên 3 Thảo luận về bất đẳng thức tại : http://vi.wikipedia.org/wiki/Th%E1%B B%83_lo%E1%BA%A1i:B%E1%BA%A5t_%C4 %91 %E1%BA%B3ng_th %E1%BB%A9c 4 Đề tuyển sinh THPT, đề học sinh giỏi. .. Các bài tập minh họa Bài 2.1 ( Thi vào THPT Lê Quý ôn - Quảng Trị 2013-2014 ) µ = 300 gọi H là hình chiếu vuông góc của Cho tam giác ABC nhọn có A A lên BC và M, N lần lượt là các điểm trên hai cạnh AB, AC Tìm vị trí điểm M, N để tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất 12 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT Giải : Gọi P, Q lần lượt.. .Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT Bài 1.4 ( Thi HSG Toán 9 Quảng Ngãi 2013-2014 ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF là dây cung di động trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và EF= AB = R Gọi H 2 là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB · a) Tính số đo... đoạn AO 17 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB 3 AB 3 Gọi I là giao điểm của AO và BC ⇒ AI = R = ⇒ AB = R 3 2 2 Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB = (2 + 3)R Bài 3.5 ( Thi HSG Toán 9 Bắc Ninh 2013-2014 ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định Ax và Ay là... thức và phương pháp dạy học đặc biệt là kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào THPT Cụ thể : Từ năm học 2010 - 2011, khi bắt đầu nghiên cứu và áp dụng sáng kiến, tôi đã thu được những thành công nhất định ( mặc dù cực trị hình học chỉ là một nội dung nhỏ trong việc bồi dưỡng nhưng nó cũng góp phần vào thành công chung ) Năm học 2010 - 2011 có 01 HSG Toán 9 cấp huyện Học sinh thi đỗ THPT công...  2 x = R− x  3 3 25 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT Vậy diện tích hình chữ nhật APMQ lớn nhất bằng 3 3R 2 khi M thuộc đường 4 tròn sao cho P là trung điểm OB Bài 5.5 ( Thi vào THPT Nguyễn Bình - Quảng Ninh 2013-2014 ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K là một điểm bất kỳ trên cung... với OA cắt cung nhỏ AB tại M Gọi K là hình chiếu của M trên OB · · a) Chứng minh HKM = 2AMH 16 Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB .. .Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT TÓM TẮT SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong trình ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào. .. Bình ( chủ biên ) 30 Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Một số bất đẳng thức hình học - Luận văn thạc sỹ toán học Hoàng Ngọc Quang... đạt P điểm nửa đường tròn Một số phương pháp tìm cực trị hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán ôn thi vào THPT Bài 1.3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-20 09 ) Cho đường tròn (O) có đường