skkn toán 9 hay một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT

Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT.. Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào THPT l

PHẦN 1 MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng

THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán lớp 9

3 Tác giả:

Họ và tên: NGUYỄN VIỆT KHOA Nam (nữ) : Nam

Ngày tháng/năm sinh: 28 - 3 - 1980

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

Chức vụ, đơn vị công tác: Phó Hiệu trưởng trường THCS Hưng Thái - Ninh Giang - Hải Dương

Điện thoại: 0902025911

4 Đồng tác giả: Không có

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Việt Khoa

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu :

Trường THCS Hưng Thái - Ninh Giang - Hải Dương

Điện thoại : 03203.769.23

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Có học sinh khá giỏi môn Toán 9 để thành lập đội tuyển HSG

- Học sinh ôn thi vào THPT cần chăm chỉ học tập, tích cực làm việc theo định hướng của giáo viên bồi dưỡng

8 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ năm học 2010 - 2011

TÁC GIẢ

(ký, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Việt Khoa

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.

Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào THPT luôn có mộtlượng tương đối nhiều các bài tập hình học với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của các đại lượng hình học

Chương trình SGK THCS chưa có trình bày về khái niệm, cấu trúc, cách giảimột bài toán cực trị

Nhiều kiến thức cực trị ẩn chứa trong các đơn vị kiến thức trải dài từ lớp 7 đếnlớp 9 chưa được hệ thống hóa

Học sinh luôn sợ học hình học mà các bài toán cực trị hình học là một mảngkiến thức khó nhất trong bài toán hình Đứng trước một bài toán cực trị hìnhhọc, học sinh chưa có định hướng, công cụ giải quyết

Giáo viên ôn thi HSG toán 9, ôn thi vào THPT chưa phân dạng được các dạngtoán về cực trị hình học để ôn tập cho học sinh, vẫn dừng lại ở việc ra đề rồi mòmẫm giải, không đọng lại cốt lõi phương pháp cho học sinh

Xuất phát từ những lý do trên, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài : " Một số

phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT " nhằm trước hết giải quyết khó khăn

trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong đượctrao đổi với các đồng nghiệp khác

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến.

Điều kiện tốt nhất để áp dụng sáng kiến này là đối tượng học sinh lớp 9

đã học xong căn bản các kiến thức Hình học hết chương III Hình học 9 , đang

ôn luyện HSG để thi HSG cấp huyện tỉnh, những học sinh chuẩn bị ôn thi vàoTHPT Thời gian áp dụng từ đầu tháng 3 hàng năm

3 Nội dung sáng kiến:

Sáng kiến không thể hiện tính mới trong kiến thức mà thể hiện tính mớitrong việc phân loại phương pháp giải và ví dụ minh họa cho phương pháp đónhằm hình thành cho học sinh các phương án giải quyết một bài toán thực tiễnkhi đi thi Cụ thể :

- Hình thành khái niệm chung về một bài toán cực trị hình học

- Hệ thống kiến thức, phương pháp giải , chia thành 5 loại kiến thức và phươngpháp giải như sau :

1) Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.2) Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

3) Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.

4) Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai

5) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM và các bất đẳng thức đại số khác.Mỗi phương pháp đều có các bài tập minh họa cụ thể

Sáng kiến này không chỉ áp dụng cho học sinh đang ôn luyện đội tuyển họcsinh giỏi lớp 9 cấp huyện tỉnh, học sinh chuẩn bị ôn thi vào THPT tại trườngTHCS Hưng Thái mà còn áp dụng rộng rãi cho học sinh cùng đối tượng ở cáctrường khác Không chỉ dùng làm tài liệu ôn luyện riêng của tác giả mà còndùng làm tài liệu tham khảo của các đồng nghiệp khác khi giảng dạy bộ mônToán 9

Việc dạy học cực trị hình học nên dạy theo chuyên đề và thứ tự trình bày ởphần mô tả dưới đây

Sau khi học xong chuyên đề về cực trị hình học mà sáng kiến trình bày, họcsinh phần nào yên tâm hơn với câu cuối của bài hình thi HSG hoặc thi vàoTHPT với tỉ lệ hỏi về cực trị tương đối cao Giáo viên sau khi dạy xongchuyên đề cũng nâng cao được kiến thức của mình về cực trị hình học để phục

vụ chuyên môn

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến.

Giá trị về phương pháp giảng dạy là hiển nhiên

Từ năm học 2010 - 2011, khi bắt đầu nghiên cứu và áp dụng sáng kiến, tôi đãthu được những thành công nhất định ( mặc dù cực trị hình học chỉ là một nộidung nhỏ trong việc bồi dưỡng nhưng nó cũng góp phần vào thành côngchung ) , cụ thể :

Năm học 2010 - 2011 có 01 HSG Toán 9 cấp huyện Học sinh thi đỗ THPTcông lập đạt 29/60 HS dự thi = 48,33%

Năm học 2011-2012 có 01 HS đạt giải Nhì môn Toán cấp huyện Học sinh thi

đỗ vào THPT công lập đạt 27/46 HS dự thi = 58,7%

Năm học 2012 - 2013 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 giải Nhất, 01giải ba ) Học sinh thi đỗ THPT công lập đạt 21/47 HS dự thi = 44,7%

Năm học 2013 - 2014 có 02 HS đạt giải Toán cấp huyện ( 01 giải Nhì, 01 giải

Ba ) Học sinh thi đỗ THPT đạt 37/47 HS dự thi = 78,72%

Năm học 2014 - 2015 có 02 HS đạt giải môn Toán cấp huyện ( 01 Nhì, 01 ba )

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.

Sáng kiến chưa được đầu tư để trở thành giáo án chuẩn cho chương trìnhbồi dưỡng vì chưa có thời gian nghiên cứu sâu Việc áp dụng sáng kiến vì vậychưa được hài lòng với đa số người dạy

Sáng kiến cần bổ sung bài tập của các dạng nhiều hơn nữa Ngoài ra, sáng kiếnchỉ mới nghiên cứu một phần nhỏ có tính " hình học" trong các bất đẳng thứchình học nói chung và cực trị hình học nói riêng Việc mở rộng sáng kiến nêntheo hướng phân loại các bất đẳng thức và cực trị hình học mang tính hình học( nhất thiết vẽ hình ) và những bất đẳng thức, cực trị hình học không cần vẽhình Hệ thống các bất đẳng thức hình học đã biết trên thế giới theo loại hình :tam giác, tứ giác, đa giác, đường ( hình ) tròn

Tuy nhiên xét ở góc độ hẹp để định hình, cung cấp cho học sinh ôn HSG cấphuyện và học sinh thi THPT mang tính thuật toán thì sáng kiến đủ để làm tàiliệu tham khảo thiết thực

Một phần kiến nghị rất quan trọng là Sở giáo dục nên tổ chức thi học sinh giỏi lớp 9 vào cuối tháng 4 hàng năm để học sinh được trang bị kiến thức đầy đủ hơn, được ôn luyện nhiều hơn theo khung phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo

PHẦN 2 MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào THPT luôn có mộtlượng tương đối nhiều các bài tập hình học với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của các đại lượng hình học

Chương trình SGK THCS chưa có trình bày về khái niệm, cấu trúc, cách giảimột bài toán cực trị

Nhiều kiến thức cực trị ẩn chứa trong các đơn vị kiến thức trải dài từ lớp 7 đếnlớp 9 chưa được hệ thống hóa

Học sinh luôn sợ học hình học mà các bài toán cực trị hình học là một mảngkiến thức khó nhất trong bài toán hình Đứng trước một bài toán cực trị hìnhhọc, học sinh chưa có định hướng, công cụ giải quyết

Giáo viên ôn thi HSG toán 9, ôn thi vào THPT chưa phân dạng được các dạngtoán về cực trị hình học để ôn tập cho học sinh, vẫn dừng lại ở việc ra đề rồi mòmẫm giải, không đọng lại cốt lõi phương pháp cho học sinh

Xuất phát từ những lý do trên, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài : " Một số

phương pháp tìm cực trị trong hình học phẳng THCS để ôn thi học sinh giỏi môn toán 9 và ôn thi vào THPT " nhằm trước hết giải quyết khó khăn

trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong đượctrao đổi với các đồng nghiệp khác

2 Cơ sở lý luận của vấn đề

2.1 Khái niệm bài toán cực trị hình học.

Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đạilượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớnnhất ( nhỏ nhất ) Bài toán tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của một đại lượnghình học gọi chung là bài toán cực trị hình học

Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất( nhỏ nhất ) ta cần chỉ ra hai điều :

- Cần : với mọi vị trí của hình H trên miền D luôn có f  m ( f  m ) ( với m làhằng số )

- Đủ : Tồn tại vị trí của hình H trên miền D để có f = m

Giá trị nhỏ nhất ký hiệu là Min ( viết tắt của Minnimum )

Giá trị lớn nhất ký hiệu là Max ( viết tắt của Maximum )

2.2 Các cách phát biểu một bài toán cực trị hình học.

2.2.1 Bài toán về dựng hình

Ví dụ : Xác định vị trí của dây đi qua điểm P nằm trong một đường tròn saocho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

2.2.2 Bài toán về chứng minh.

Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P nằm trong một đườngtròn (O) thì dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất

2.2.3 Bài toán về tính toán

Ví dụ : Cho (O, R ) và P nằm trong đường tròn có OP = h Tính độ dài nhỏ nhấtcủa dây đi qua P

2.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học.

2.3.1 Cách 1.

Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọihình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( lớn hơn ) giátrị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra

Thứ nhất, học sinh chưa được trang bị cách trình bày một bài toán cực trị hìnhhọc

Thứ hai, học sinh chưa được trang bị phương pháp giải bài toán dạng này.Kết quả khảo sát học sinh lớp 9 năm học 2013 - 2014 thấy rõ điều đó

Với đề bài tương đối dễ như sau : Cho (O) và P nằm trong (O) ( P khác O ) Xác định vị trí của dây đi qua P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất

Trình bày đượctương đối hoànchỉnh

E D

4 Các giải pháp, biện pháp thực hiện

Vì khuôn khổ sáng kiến nên khi xét bài tập minh họa dưới dạng đề thitổng hợp, các ý phía trên câu hỏi cực trị được công nhận là đúng hoặc giải tómlược

4.1 Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:

4.1.1 Kiến thức liên quan.

- Trong các tam giác vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc

vuông AH và cạnh huyền AB thì AH  AB Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùngB

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳngvuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớnhơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn

4.1.2 Các bài tập minh họa.

Bài 1.1 ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 )

Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) làđường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm

O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (Dkhông trùng với M)

1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông

2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2)

3) BO1 cắt CO2 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên mộtđường tròn

O H

K

I

Q P

2

AB

EM EO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm BC

2

AB

Bài 1.2 ( Thi THPT Hải Dương 2005-2006 )

Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P

 M, P  N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vuông góc với đườngthẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K

1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn

PH PO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )

Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng O , khi đó P là điểm chính giữa nửa đườngtròn

Vậy Max(NK.MQ) = Max(PH.MN) = 2

2

MN

đạt được khi P là điểm chính giữanửa đường tròn

Bài 1.3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-2009 )

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F vàcắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K

1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA

2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đườngtròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F

3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của

AE, BE với đường tròn (I)

4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF

a) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

Xét (O) có  AEK  KEB  (EK là phân giác Ê)

  AK   KB (hai cung chắn hai góc nội tiếp bằng nhau)

  E1   A1 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

b) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O tại E

Ta có O, I, E thẳng hàng và OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O)

- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB tại F:

Dễ dàng chứng minh được EIF cân tại I và EOK cân tại O

 IFE OKE ( OEK)     

Mà hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị

 IF // OK (dấu hiệu nhận biết)

Vì  AK  KB  (chứng minh trên)  AOK  90o OK  AB

MEN  (vì  AEB  90o)  MN là đường kính của (I;IE)

 EIN cân tại I

Mà EOB cân tại O  ENI OBE ( IEN)     

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị  MN//AB

d)Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác PFQK là hình chữ nhật; tam giác BFQ là tam giác vuông cân tại Q

FK  FO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

 Chu vi KPQ nhỏ nhất = BK + FO khi E là điểm chính giữa cung AB

Ta có FO = R

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông cân FOB tính được BK = R 2

 Chu vi KPQ nhỏ nhất = R + R 2  R 2 1  

Bài 1.4 ( Thi HSG Toán 9 Quảng Ngãi 2013-2014 ).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF là dây cung di

là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của

CH và AB

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi

EF di động trên nửa đường tròn

c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di

động trên nửa đường tròn

E

F

P F

E C

C

P N

M Q

Bài 1.5 ( Thi HSG Bình Thuận 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc (O) Gọi N, P,

Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB

Vậy MaxPQ = BC khi M đối xứng A qua O

4.2 Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và

đường gấp khúc.

4.2.1 Kiến thức liên quan.

- Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc cóhai đầu là A và B

- Với ba điểm bất kỳ A, B, C trong mặt phẳng ta có bất đẳng thức ba điểm :

AC CB AB  Dấu đẳng thức xảy ra khi C thuộc đoạn thẳng AB

4.2.2 Các bài tập minh họa.

Bài 2.1 ( Thi vào THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nhọn có A 30   0 gọi H là hình chiếu vuông góc của

A lên BC và M, N lần lượt là các điểm trên hai cạnh AB, AC Tìm vị trí điểm

M, N để tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất

D

A

B O

Giải :

Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của

H qua AB, AC

Dấu đẳng thức xảy ra khi M, N lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác HMN là AH với M, N lần lượt là giaođiểm của PQ với AB và AC

Bài 2.2.

Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox,

điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD

Vậy min(AC+AB) =AD Khi đó C là

giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia

Ox sao cho OB = OC

Bài 2.3 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí

các điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứgiác EFGH có chu vi nhỏ nhất

K

I E

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng

Khi đó ta có EH//AC, FG//AC, AEI EAI ADB  nên EF//DB , tương tự GH//

DB Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các

đường chéo của hình chữ nhật ABCD

4.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.

4.3.1 Kiến thức liên quan.

- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

- Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâmhơn

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ởtâm lớn hơn

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căngcung lớn hơn

4.3.2 Các bài tập minh họa.

Bài 3.1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2009 - 2010 )

Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ AB lấyđiểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H

Kẻ MK vuông góc với AN KAN

N K

H

E

B A

M

2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK

3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và

 MN lớn nhất (Vì AB= const )  M là chính giữa AB

Bài 3.2 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2006-2007 )

Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK