Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 20142015 phần 2

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Kiến thức 1.1 Đại số tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử n! k − Số chỉnh hợp: An = (n − k )! 1.1.5 Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử n! k − Số tổ hợp: Cn = k !(n − k )! k n −k k −1 k k − Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn 1.1.6 Nhị thức Newton n n (a + b) n = ∑ Cnk a n−k b k = Cn a n + Cn a n−1b + + Cn b n k =0 k n −k k − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b n 2 n n − Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + + x Cn 1.2 Xác suất 1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: P ( A ) = + ≤ P(A) ≤ ΩA Ω + P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 1.2.2 Tính xác suất theo quy tắc: 80 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần a) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Các dạng tốn 2.1 Bài tốn đếm: Ví dụ Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số Lời giải Gọi số cần tìm abcde ( a ≠ ) Tìm số số có chữ số khác mà có mặt khơng xét đến vị trí a Xếp vào vị trí có: A52 cách 3 vị trí cịn lại có A4 cách Suy có A52 A4 số Tìm số số có chữ số khác mà có mặt với a = Xếp có cách 3 vị trí cịn lại có A4 cách Suy có 4.A4 số 3 Vậy số số cần tìm tmycbt là: A52 A4 − A4 = 384 Ví dụ Có số tự nhiên có chữ số khác mà số ln ln có mặt hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ Lời giải Từ giả thiết tốn ta thấy có C52 = 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số 3 đứng đầu) C5 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C52 C5 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C52 C5 5! = 12000 số Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C4 C53 4! = 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn tốn Ví dụ Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh Lời giải Tổng số cách chọn học sinh 12 học sinh C12 81 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Số học sinh chọn phải thuộc khối Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 11 là: C76 Số cách chọn có học sinh khối 11 khối 10 là: C96 Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 10 là: C86 Số cách chọn thoả mãn đề là: C12 − C76 − C96 − C86 = 805 (cách) Ví dụ Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 Lời giải Nếu n ≤ n + ≤ Do số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm khơng vượt qua C83 = 56 < 439 (loại) Vậy n ≥ Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: 3 Cn+6 − C3 − Cn = ( n + ) ( n + ) ( n + ) − − ( n − ) ( n − 1) n = 439 6 ⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 ⇔ n2 + 4n – 140 = Từ tìm n = 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác mà số lớn 2010 2) Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n ≥ ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n 3) Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số 3.hoctoancapba.com 2.2 Nhị thức Newton: n   Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức  2.x + ÷, x  biết −1 An − Cnn+1 = 4n + Lời giải −1 Giải phương trình An − Cnn+1 = 4n + ; Điều kiện: n ≥ ; n ∈ N Phương trình tương đương với n(n − 1) − (n + 1)! n(n + 1) = 4n + ⇔ n(n − 1) − = 4n + 2!( n − 1)! ⇔ n2 – 11n – 12 = ⇔ n = - (Loại) v n = 12 82 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 12   Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x + ÷ x  k 12 − k k 12 Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = C (2 x) k Hay Tk+ = C k ( x ) 12 −k x − = C k 212−k.x 12 12 24−3 k    ÷ ; k ∈ N, ≤ k ≤ 12  x k ∈ N , ≤ k ≤ 12 ⇔ k = Số hạng không chứa x  24 − 3k = Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C12 24 = 7920 Ví dụ Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An − 8Cn2 + Cn = 49 Lời giải Điều kiện n ≥ n k k n−k Ta có ( x + ) = ∑ Cn x n k =0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn 2n− 4 Hệ số số hạng chứa x8 Cn 2n− Ta có: An − 8Cn2 + Cn = 49 ⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 ⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = ⇔ n = Nên hệ số x8 C74 23 = 280 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển đa thức: ( − x ) 2013 = ao + a1 x + a2 x + + a2013 x 2013 Tính tổng: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 Lời giải Ta có: x(1 − x) 2013 ′ = a + 2a x + 3a x + + 2014a ( ) 2014 x 2013 ⇔ (1 − x) 2013 − 4026 x(1 − x)1012 = a0 + 2a1 x + 3a2 x + + 2014a2013 x 2013 (*) k k Nhận thấy: ak x = ak (− x) thay x = −1 vào hai vế (*) ta có: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 = 1343.32213 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển: ( + x ) 10 (x + x + 1) = ao + a1 x + a2 x + + a14 x14 Hãy tìm giá trị a6 83 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Lời giải Ta có x + x + = (2 x + 1) + nên 4 10 ( + x ) ( x + x + 1)2 = (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 Trong khai triển ( + 2x ) hệ số x là: 26 C14 ; Trong khai triển ( + 2x ) 14 12 hệ số x là: 26 C12 Trong khai triển ( + 2x ) Vậy hệ số a6 = 10 hệ số x là: 26 C10 6 6 6 C14 + C12 + C10 = 41748 16 16 100 Ví dụ (ĐH) Tính giá trị biểu thức: A = 4C100 + 8C100 + 12C100 + + 200C100 Lời giải Ta có: ( + x ) 100 100 = C100 + C100 x + C100 x + + C100 x100 (1− x) 100 100 = C100 − C100 x + C100 x − C100 x + + C100 x100 (2) Lấy (1)+(2) ta được: ( + x ) Lấy đạo hàm 100 ( + x ) − 100 ( − x ) 99 99 100 + ( 1− x) hai 100 (1) 100 = 2C100 + 2C100 x + 2C100 x + + 2C100 x100 vế theo ẩn x ta được: 100 = 4C100 x + 8C100 x + + 200C100 x 99 100 Thay x=1 vào => A = 100.299 = 4C100 + 8C100 + + 200C100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  + 1) Tìm số hạng không chứa x khai triển   x 10  x ÷ với x >  2012 C2012 C2012 C2012 C2012 + + +L + 2) Tính tổng: T = 2013 2012 C0 2C 22 C2012 23 C2012 22012 C2012 − + + 3) Tính tổng S = 2012 − 2012 + 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 2.3 Xác suất: Ví dụ Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ khơng q hai cầu màu vàng Lời giải Số phần tử không gian mẫu Ω = C16 = 1820 84 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Gọi B biến cố “ lấy có cầu màu đỏ không hai màu vàng” Ta xét ba khả sau: - Số cách lấy đỏ, xanh là: C4C5 1 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C4C52C7 1 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C4C5C72 hoctoancapba.com 1 2 Khi Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 Xác suất biến cố B P ( B ) = ΩB 740 37 = = Ω 1820 91 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên tú lơ khơ Tính xác suất cho quân có quân thuộc (ví dụ K) Lời giải 52 Số cách chọn quân tú lơ khơ là: C5 = 2598960 Số cách chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân thuộc là: 13 C34 = 52 Xác suất để chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân 52 13 = 2598960 649740 Ví dụ Cho E tập số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên số E Tính xác suất để lấy số chia hết cho Lời giải thuộc là: Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ ⇒có cách chon a; & Chọn bcde có A ⇒ n( E ) = A = 5880 e = ⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E abcdeM ⇔  ⇒ Trong E có : A + 6A 36 = 1560 e = Số chia hết cho Gọi A biến cố chọn dc số chia hết cho n(A)=1560 1560 13 P( A) = = 5880 49 Ví dụ Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Lời giải Số số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là: 5.4.3 = 60 Trong số số khơng có mặt chữ số 4.3.2=24, số số có mặt chữ số 60 − 24 = 36 85 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Gọi A biến cố “hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5”, B biến cố “hai số viết lên bảng khơng có mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: 1 1 C36C36 C24C24 13 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = 1 + 1 = C60C60 C60C60 25 13 12 = 25 25 Ví dụ Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi 0,9 Nếu trượt lần đầu xác suất vượt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trượt hai lần xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Lời giải Gọi Ai biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Suy xác suất để hai số có số có chữ số P = − P ( A ∪ B ) = − Ta có: B = A1 ∪ (A1A ) ∪ (A1 A A ) Suy ra: P(B) = P(A1 ) + P(A1A ) + P(A1 A 2A ) P(A1 ) = 0,9  Trong đó: P(A1A ) = P(A1 ).P(A / A1 ) = 0,1.0,  P(A1 A A ) = P(A1 ).P(A / A1 ).P(A / A1 A ) = 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0, + 0,1.0,3.0,3 = 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Từ chữ số tập T = { 0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi hai thẻ có số chia hết cho 2) Có 10 học sinh lớp A; học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ học sinh Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp A 3) Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi cộng số viên bi lại với Tính xác suất để kết thu số lẻ 4) Một hộp đứng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đỏ Lấy ngẫu nhiên bút Tính xác suất để lấy bút màu 86 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Biên soạn sưu tầm: Hồng Văn Q – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số ∫ dx = x + C α ∫ x dx = Nguyên hàm mở rộng ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ¡ xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 ( ax + b)α +1 (ax + b)α dx = +C ∫ a α +1 dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ax +b ax +b ∫ e dx = a e + C aα x + β α x+ β ∫ a dx = α ln a + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 1 dx = tan(ax + b) + C ∫ cos (ax + b) a 1 dx = − cot (ax + b) + C ∫ sin (ax + b) a dx ∫ x = ln x + C , x ≠ ∫ e dx = e + C x x ax ∫ a dx = ln a + C ∫ cos xdx = sin x + C x ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos2 x dx = tan x + C ∫ sin x dx = −cotx + C 1.2 Cơng thức tích phân F(x) ngun hàm hàm số f(x) đoạn [a;b] b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a 1.3 Phương pháp đổi biến số b 1.3.1 Dạng : Tính I = ∫ f [ ϕ ( x)]ϕ ( x)dx ' a + Đặt t = ϕ ( x) ⇒ dt = ϕ ' ( x).dx + Đổi cận : x t a ϕ (a) b ϕ (b) 87 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần ⇒ I= ϕ (b ) ∫ f (t ).dt = F (t ) ϕ (a) ϕ (b) ϕ (a) b ∫ f ( x)dx cách đặt x = ϕ (t ) 1.3.2 Dạng : Tính I = a  π π a − x : Đặt x = asint, t ∈  − ;  (a>0)  2 1.4 Phương pháp tích phân phần Dạng chứa b a * Cơng thức tính : b a b ∫ f ( x)dx = ∫ udv = uv −∫ vdu b a  u = du = dx   a (lay dao (lay nguyen ⇒  Đặt  dv = v = ham) ham) Ta thường gặp hai loại tích phân sau: * Loại 1: b  ∫ P( x).sin f ( x).dx a b  ⇒ u = P( x) , P( x) đa thức bậc n  ∫ P( x).cos f ( x).dx a b  ∫ P( x).e f ( x ) dx a  b *Loại 2: ∫ P( x).ln f ( x).dx ⇒ u = ln f ( x) hoctoancapba.com a 1.5 Tính chất tích phân b b a a Tính chất 1: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx , k: số b b a Tính chất 2: b a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx b Tính chất 3: ∫ a c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a ( a < c < b) c 1.6 Diện tích hình phẳng 1.6.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a x = b là: 88 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần b S = ∫ f ( x) dx (*) a Lưu ý:  f ( x) = vơ nghiệm (a;b) b b S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx a a  f ( x) = có nghiệm c ∈ (a; b) b S = ∫ f ( x) dx = a c b a c ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 1.6.2 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục [a; b] Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx (**) a Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối công thức (**) thực tương tự cơng thức (*) 1.7 Thể tích vật thể trịn xoay Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V = π ∫ f ( x)dx a Lưu ý: Diện tích, thể tích giá trị dương Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau 1 / B = ∫ ( e + 3) dx / A = ∫ (2x+e )dx x x 0  x + x +3 / D = ∫ dx ÷ x3 1  Lời giải x π / C = ∫ ( sinx+ cos x ) dx π / E = ∫ ( x − sin x ) dx 1 0 1/ A = ∫ ( x + e x ) dx = ∫ xdx + ∫ e x dx = x + e x = − + e − = e 1 1 / B = ∫ ( e + 3) dx = ∫ ( 2e ) dx +3∫ x x x ( 2e ) x dx = x 1 2x  2e −  +3 = ÷+ ln 2e ln  ln 2e  ln 89 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 2 Tính I1 = ∫ x dx = x = 3 2 1− x dx = ∫ x + x3 1 I2 = ∫ Vậy I = I1 + I = ln 2/ J = ∫ ∫ e dx = e x ln J2 = ∫ ex + + ln ln ln  x  e + dx = ∫ e x dx + ∫ dx  ÷ x x e +2 e +2  0 ln J1 = 1  + x÷ −1 d x  dx = − ln  + x  = ln x2 dx = − ∫  ÷ 1 x 1 +x +x x x x ln =3 dx; t = e x ⇒ t = e x ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = dt t 2  t  ⇒ J2 = ∫ dt = ln  ÷ = ln t t + 2)  t + 1 ( Vậy J = J1 + J = + ln 3/K = ∫ x2 −1 ln xdx x2  u = ln x 2 du = x dx 1 11     ⇒ K =  x + ÷ln x − ∫  x + ÷ dx Đặt  x −1 ⇒  x xx  1 dv = dx v = x + x   x  2 1 1   ⇒ K =  x + ÷ln x −  x − ÷ = ln − x x 1 2   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) y = x , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 b) y = x , y = −2 x + hai đường thẳng x =0, x=2 c) y = x , y = x + Lời giải 94 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần a) y = x , trục hoành hai đường thẳng x= 0, x=2  Trên [0; 2] ta có x = ⇔ x = ∈ [0;2]  Diện tích hình phẳng cho: S=∫ x dx = x = 3 b) Đặt f1 ( x) = x , f ( x) = −2 x +  x = ∈ [0;2] 2 Ta có: f1 ( x) − f ( x) = ⇔ x − ( −2 x + 3) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 ∉ [0;2]  Diện tích hình phẳng cho S = ∫ | x + x − | dx = ∫ ( x + x − 3)dx + ∫ ( x + x − 3)dx 1  x3   x3  =  + x − 3x ÷ +  + x − 3x ÷  0  1 = − + + − − −1 + = + = 3 3  x = −1 2 c) Ta có: x − ( x + 2) = ⇔ x − x − = ⇔  x = Diện tích hình phẳng  x3 x  1 S = ∫ | x − x − | dx =  − − 2x ÷ = − − + + − = 2   −1 −1 2 Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn y = − x , y = Lời giải  Ta có: − x = ⇔ x = ±1 b  Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( x)dx a 1  2x x5  + ÷  Ta có: V = π ∫ (1 − x ) dx = π ∫ ( − 2x + x ) dx = π  x −  −1 −1  −1 2 95 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần      16π  = π 1 − + ÷−  −1 + − ÷ = π  − + ÷ =   15     Bài Tập tự luyện Bài 1: Tính tích phân sau e 1 2 ∫ ( x + + + x )dx x x ∫ ( x + x + 1)dx π ∫ (2sin x + 3cosx + x) dx π ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx ∫ x + 1dx 1 x ∫ (e + x)dx ∫ (x + x x )dx π ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π x ∫ (e + x + 1)dx e2 10 ∫ (x 7x − x − dx 11 ∫ x + 1).dx −1 −3  16 ∫  x − 3 x 1 12 ∫ x( x − 3)dx −2 x2 − 2x dx 15 ∫ x3  1 dx 14 ∫  + ÷ x x  1 13 ∫ ( x − 4)dx  dx ÷  Bài 2: Tính tích phân sau π ∫ sin xcos xdx 2 π ∫ + 4sin xcosxdx ∫ x x + 1dx 0 1 ∫ x − x dx π ∫ e sin x x2 ∫ x +1 dx cosxdx sin x(1 + sin x) dx ∫ cos x ∫ − 5sin x + sin x dx 11 x ∫ (1 + 3x ) dx 2 π 6 π π 12 π ∫ x dx x −1 96 ∫ x (1 − x ) dx 12 π ∫ + 4sin x cos xdx Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần x 13 ∫ e +2 e xdx ∫ 14 1 16 ∫ x x + 1dx ln dx 19 ∫ x e + 2e − x − ln ∫ e 15 17 ∫ x x + 5dx 20 ∫ e dx −x sin(ln x) ∫ x dx 18 ∫x x +1 π ∫ cos 1 − x dx 21 ∫ 23 dx sin x dx x 22 + ln x dx x dx − x2 24 ∫1+ x dx Bài 3: Tính tích phân sau π x ∫ e sin xdx ∫ x cos xdx 0 π ∫ x ln xdx ( x + 1)sin xdx ∫ ( x + cos x)sin xdx ∫ 10 ∫ x ln(1 + x )dx 2 13 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1) dx (2 x − 1)cosxdx ∫ π e x ∫ xe dx π π e sin 3xdx ∫ 2x 2x ∫ ( x − 2)e dx e 11 ∫ (2 x + 2) ln xdx 12 π ∫ x cos x dx 2x 14 ∫ ( x − 2)e dx Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = − x + x − , trục hoành, x = x = 3 b) y = x + 1, x = −1, x = trục hoành c) y = x3 − 12 x, y = x d) y = x − tiếp tuyến điểm có tung độ -2 e) y = x − x, y = 0, x = 0, x = 3π x g) y = e , Ox, x = 0, x = f) y = sinx, y=0, x=0, x= 97 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Bài 5: Tính thể tích vật trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục hoành: a) y = x − x, y = 0, x = 0, x = b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π c) y = tan x, y = 0, x = 0, x = π d) y = − x , y = 1 e) y = ln x, x = , x = e, y = e CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Biên soạn sưu tầm: Hồng Văn Q – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Một số phép toán vectơ uu ur AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) uu ur 2 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) r r r r a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) r k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 ) r 2 a = a12 + a2 + a3  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r r r r a a a a cp b ⇔ a = k b ⇔ = = b1 b2 b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = r r a 10 [a, b] =   b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  , ÷ b1 b1 b2  11 M trung điểm AB 98 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần  x + xB y A + y B z A + z B  M A , , ÷ 2   12 G trọng tâm tam giác ABC  x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  G A , , ,÷ 3   1.2 Phương trình mặt phẳng  *) Phương trình mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) =  (α) : Ax + By + Cz + D = ta có vtpt n = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) x y z + + =1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm qua véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (α1) (α2) : ° (α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ° (α ) / / ( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2 ° (α ) ≡ ( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ° (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = *) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = Ax o + Byo + Cz o + D d(M,α ) = A + B2 + C r r n1 n2 *) Góc hai mặt phẳng : cos((α ),(β )) = r r n1 n2 1.3 Phương trình đường thẳng r *) Phương trình tham số đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)  x = x o + a1t  d : y = y o + a2 t ( t ∈ ¡ ) z = z + a t o  *) Phương trình tắc d : d: x − xo a = y − yo a2 = z - z0 a3 *) Vị trí tương đối đường thẳng d , d’ : Ta thực hai bước 99 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần u r ur a d , a d/ + Tìm quan hệ vtcp  x + a1t = x'0 + a'1t'  + Tìm điểm chung d , d’ cách xét hệ:  y + a t = y'0 + a'2 t' (I) z + a t = z' + a' t'  u r ur Hệ (I) Quan hệ a d , a d / Vị trí d , d’ Vô số nghiệm d ≡ d' Cùng phương Vơ nghiệm d / /d ' Có nghiệm d cắt d’ Không phương Vô nghiệm d , d’ chéo *) Góc đường thẳng : Gọi ϕ góc d d’ u r ur ad ad / cosϕ = r u r (0o ≤ ϕ ≤ 90o) u ad ad / 1.4 Một số dạng toán thường gặp  Dạng 1: Các toán bản( yếu tố cho sẵn) • Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm, qua điểm song song với mặt phẳng cho trước • Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước • Chứng minh ABCD tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm • Tìm tọa độ hình chiếu điểm đường thẳng, mặt phẳng • Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính, qua điểm cho  Dạng 2: Bài tốn phương trình mặt phẳng vấn đề liên quan • Viết phương trình mặt phẳng cách xác định VTPT • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách • Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu • Các dạng toán khác mặt phẳng  Dạng 3: Bài tốn phương trình đường thẳng vấn đề liên quan • Viết phương trình đường thẳng cách xác định VTCP • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác  Dạng Các toán tổng hợp 1.5 Phương trình mặt cầu 1.5.1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R 100 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r (1) 2 +/ (S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ( với a2 + b2 + c2 − d > ) +/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) r = a + b2 + c2 − d 1.5.2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r ( α) : Ax + By + Cz + D = 2 Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α)  d > r : (S) ∩ (α) = ∅  d = r : (α) tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vng góc tâm I mp(α ) ) ur r u ad = n (α ) + Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc mp(α) : ta có + H = d ∩ (α)  Gọi H (theo t) ∈ d  H∈ (α) ⇒ t = ? ⇒ tọa độ H (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r   d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn (C):  (α ) : Ax + By + Cz + D =  *Tìm bán kính R tâm H đường trịn giao tuyến: + Bán kính R = r − d2 ( I ,(α )) + Tìm tâm H ( hình chiếu vng góc tâm I mp(α) ) 1.5.3 Các dạng toán mặt cầu • Viết phương trình mặt cầu cách xác định tâm bán kính • Viết phương trình mặt cầu cách xác định hệ số phương trình tổng qt • Bài tốn khác liên quan đến mặt cầu VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = t x−2 y−2 z−2  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) z = t  Chứng minh hai đường thẳng song song Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng Lời giải u r u u r • Ta có u1 = ( 2;4;2 ) ; u2 = ( 1;2;1) suy hai véc tơ phương • Ta có M ( 2;2;2 ) ∈ d1 M ( 2;2;2 ) ∉ d • Suy hai đường thẳng song song u r uu uu r u uu r uu r • Ta có u1 = ( 2;4;2 ) ; MN = ( −2; −1; −2 ) ⇒ u1, MN  = ( 6;0;6 ) với N(0;1;0)   101 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần • Phương trình mp(P): x+z-4=0 Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 mặt phẳng (Q): 5x+2y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với mp(P) mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) Lời giải ur u ur ur u u nR =  nP , nQ  = ( −4; −30;16 ) • Ta có   • Suy phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0 D =1 • Ta có d ( O; ( R ) ) = 293 • Vậy phương trình mp(R) là: −2 x − 15 y + z ± 293 = Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC Lời giải 1.Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C uu ur uu ur r uu uu ur ur • Ta có AB = ( 2; −3; −1) ; AC = ( −2; −1; −1) ⇒ n =  AB, AC  = ( 2;4; −8 )   • Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC uu uu ur ur • Ta có AB AC = nên M thuộc đường thẳng vng góc với (ABC) trung điểm I(0;-1;1) đoạn BC • Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình 2 x + y + z − =   x y +1 z −1  = = −4  • Suy tọa độ M(2;3;-7) Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng Lời giải r r uu ur • Gọi n = ( a; b; c ) ⇒ n AB = ⇒ a − c = • Phương trình mp có dạng ax+by+cz-a-2b-3c=0 −3c = • Ta có d ( C ; ( P ) ) = a + b2 + c2 • Suy a=b=c=1 a=c=1, b=-1 102 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần • Phương trình mp(P) x+y+z-6=0 x-y+z-2=0 Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), b,c dương mặt phẳng (P): y-z+1=0 Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ O đến (ABC) Lời giải x y z • Ta có phương trình (ABC) + + = 1 b c u ur ur uu u • Ta có n ABC nP = ⇔ b = c −bc = • Ta có d ( O; ( ABC ) ) 2 2 b c +b +c • Suy b = c = Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x = + t x +1 y +1 z −1  d1 : = = & d :  y = − 2t ( t ∈ R ) −1  z = −t  Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 d đồng thời vng góc với mp(P): 2x+y-5=0 Lời giải • Ta có d ∩ d1 = A ⇒ A ( −1 − u; −1 + 3u;1 + 2u ) d ∩ d = B ⇒ B ( + t ;1 − 2t ; −t ) uu ur ⇒ AB = ( t + u + 3; −2t − 3u + 2; −t − 2u − 1) uu ur ur t = u • T a có d ⊥ ( P ) ⇔ AB = k nP ⇒  u = −2  x = + 2t '  • Suy phương trình đường thẳng d  y = −7 + t ' ( t ' ∈ R )  z = −5  Ví dụ7: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết: a) d qua điểm A trung điểm I đoạn thẳng BC b) d qua C vng góc với mp(ABC) 103 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Lời giải 3  a) I trung điểm BC nên I  −1; − ; ÷ 2  ur  u 1 VTCP: AI =  −1; − ; − ÷ 2    x = −t  x = x0 + a1t  Phương trình tham số đường thẳng d:  y = y + a t ⇔  y = − t   2 z = z + a t    z = − t  uu ur uu ur b) AB = (−3;0;2), BC = (4; −3; −5) ur ur r uu uu VTCP: n = AB ∧ BC = (6; −7;9) Phương trình đường thẳng d cần tìm:  x = x0 + a1t  x = + 6t    y = y0 + a2t ⇔  y = −2 − 7t z = z + a t  z = −1 + 9t    x = −1 + t  Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối d  y = − t với đường thẳng:  z = 3t   x = + 2t  a) ∆1 :  y = −2t  z = + 6t  Lời giải x = + t  b) ∆ :  y = − 2t  z = + 4t   x = −1 − 2t  c) ∆ :  y = + t  z = −1 + 3t  r a) d có VTCP u = (1; −1;3) r ∆1 có VTCP u1 = (2; −2;6) 1 + 2t = −1 + t ' 2t − t ' = −2   Xét hệ phương trình: −2t = − t ' ⇔ −2t + t ' = vô nghiệm 3 + 6t = 3t ' 6t − 3t ' = −3   r r Và u1 = (2; −2;6) = 2u Suy ra: d // ∆1 b) Thực tương tự: d ∆ cắt c) Thực tương tự: d ∆ chéo 104 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng vng góc với (P) đồng thời chứa Oy Lời giải ur u ur r u ur u nα =  nP , j  ⇒ nα = ( 3;0;1) • Ta có   • Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0 Ví dụ 10 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x = 1+ t x = + t '   d :  y = − 2t d ' :  y = −1 + t ' z = + t z = + t '   Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng Lời giải t = • Ta có hệ phương trình có nghiệm  suy d cắt d’ I(2;-1;3) t ' = ur u r u r ur u • Ta có nP = u , u ' ⇒ nP = ( −3;0;3)   • Phương trình mặt phẳng là: -x+z-1=0 Ví dụ 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) mp(P) x − y + z + = a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P) Lời giải a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB AB = + + = Phương trình mặt cầu cần tìm: ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 1) = b) Gọi I trung điểm BC 69   Khi đó, I  1; ; −2 ÷, BC =     Mặt cầu đường kính BC có tâm I 1; ; −2 ÷, bán kính r =   69 ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 2) = c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính 105 69 có phương trình: Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần r = d (C ,( P )) = − − 12 + 1+ + =5 Phương trình mặt cầu cấn tìm: x + ( y − 2) + ( z + 6) = 25 Ví dụ 12: Cho mặt cầu (S): x + y + z − x + y − z + = a) Xác định tọa độ tâm I bán kính r mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) Lời giải −2a = −2 a = −2b = b = −3   ⇔ a) Từ phương trình mặt cầu ta có:  −2c = −8 c = d = d =   Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: r = + + 16 − = b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp uu ur IM = (0;4; −3) uu ur Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM = (0;4; −3) có phương trình: 0( x − 1) + 4( y − 1) − 3( z − 1) = ⇔ y − z − = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) mp(P) x+y+z-3=0 Tìm tọa độ hình chiếu A lên (P) x = t  Bài Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) d :  y = + 2t ( t ∈ R ) Tìm tọa độ hình chiếu z = t  A lên d, điểm đx A qua d x = t  Bài Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 d :  y = + 2t ( t ∈ R ) Tìm M d z = t  cho khoảng cách từ M đến mp(P) Bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x = t x−2 y−2 z−2  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) z = t  Xét vị trí hai đường thẳng Viết ptmp chứa đường thẳng Bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 106 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần x = t x − y −1 z −1  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) −1 z = t  Xét vị trí đường thẳng Viết ptmp qua chứa đường thẳng d1 đồng thời // d Bài Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tìm điểm A’ cho mp(BCD) mặt phẳng trung trực đọan AA’ Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) A c) Tìm điểm M đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) a) Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB b) Viết phương trình mặt cầu tâm A qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua điểm A Bài Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a) Viết phương trình mp qua I(2;1;1) song song với mp (ABC) b) Viết phương trình mp qua A song song với mp (P):2x- y- 3z- = c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B vng góc với mp (Q):2x- y+2z- = d) Viết ptmp qua A, song song với Oy vng góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f) Viết pt mp(P) qua điểm hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên trục tọa độ x +1 y −1 z − x−2 y+2 z = = = = Bài 10 Cho hai đường thẳng (d): (d’): 1 −2 a) Chứng tỏ (d) (d’) chéo nhau.Tính khoảng cách (d) (d’) b) Viết phương trình đường vng góc chung chúng c) Tính góc (d1) (d2) Bài 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a) Viết phương trình đường thẳng BC b) Chứng minh điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 12 Cho ( α ) : x + y + z + 17 = đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 6x + 3y – z + = a) Tìm giao điểm A (d) ( α ) b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, vng góc với (d) nằm mặt phẳng (α) 107 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Bài 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z –1= a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; ) đường thẳng  x = −2 + 3t  (d) có phương trình tham số  y = −2 + 2t  z = −t  a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M chứa đường thẳng (d) b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M vng góc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng (d) Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P) : x + y + z + = mặt cầu (S) : x + y + z − x + y − z + = a) Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) 108 ... không chứa x khai triển   x 10  x ÷ với x >  20 12 C20 12 C20 12 C20 12 C20 12 + + +L + 2) Tính tổng: T = 20 13 20 12 C0 2C 22 C20 12 23 C20 12 220 12 C20 12 − + + 3) Tính tổng S = 20 12 − 20 12 + 1 .2. .. kính R 100 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 20 14 -20 15 - phần (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r (1) 2 +/ (S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ( với a2 + b2 + c2 − d > )... 4n + 2! ( n − 1)! ⇔ n2 – 11n – 12 = ⇔ n = - (Loại) v n = 12 82 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 20 14 -20 15 - phần 12   Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x + ÷ x  k 12 − k k 12 Số hạng