SKKN bổ túc một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căncòn được gọi là phương trình vô tỉ và được tiếp cận

Sáng kiến kinh nghiệm  1 

SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT PHƯỚC THIỀN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BẢN KHAI THÀNH TÍCH CÁ NHÂN

(Đề nghị chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm học 2012-2013)

Họ và tên : Phạm Phú Hoàng Sinh ngày 29/04/1979 - Nam

Đơn vị công tác : Trường THPT Phước Thiền

TÓM TẮT THÀNH TÍCH

1 Thực hiện nhiệm vụ chuyên môn : khối lượng, chất lượng, tinh thần trách nhiệm :

- Giảng dạy môn Toán lớp 10 và 12 với số học sinh 138

- Số học sinh đạt trung bình trở lên là 95 % , không có học sinh bị điểm kém

- Bản thân luôn phấn đấu học tập từ những người đi trước, đồng nghiệp trong trường và giáo viên các trường khác

- Luôn quan tâm và chú trọng đến những học sinh yếu kể cả các môn khác để động viên và giúp đỡ

2 Cải tiến, giải pháp hữu ích, sáng kiến :

- Trong giảng dạy luôn tìm ra những phương pháp hữu hiệu nhất để học sinh tiếp thu

- Viết sáng kiến kinh nghiệm “Bổ túc một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”

- Vận dụng có hiệu quả công nghệ thông tin trong giảng dạy bộ môn

- Vận dụng hình ảnh trực quan trong giảng dạy

3 Học tập, bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ:

- Tham gia đầy đủ các lớp bồi dưỡng chuyên môn do sở GDĐT tổ chức

- Tích cực tham gia các buổi dự giờ đồng nghiệp để trao đổi kinh nghiệm

- Nỗ lực học tập và nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ

4 Tham gia xây dựng tập thể:

- Với tư cách là tổ trưởng tổ Toán-Tin, tôi luôn tìm hiểu và động viên các giáo viên trong tổ cũng như các đồng nghiệp khi gặp khó khăn về vật chất lẫn tinh thần

- Luôn tích cực tham gia công tác phong trào của trường và của ngành

5 Danh hiệu đạt được trong năm học: Lao động tiên tiến

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Phước Thiền , ngày 15 tháng 05 năm 2013

Người khai

Phạm Phú Hoàng

Sáng kiến kinh nghiệm  2 

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CÁ NHÂN:

1 Họ và tên : Phạm Phú Hoàng

2 Ngày tháng năm sinh : 29-04-1979

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ : Tổ 1- Ấp 2- Xã An Phước - Huyện Long Thành- Tỉnh Đồng Nai

5 Điện thoại : + Cơ quan: 0613849127 + Nhà riêng: 0613501273

6 Chức vụ: Giáo viên

7 Đơn vị công tác : Trường THPT Phước Thiền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sư phạm

- Chuyên ngành: Toán học

- Năm nhận bằng : 2001

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : 12 năm

Sáng kiến kinh nghiệm  3 

“ BỔ TÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”

Phần 1: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT

Phước Thiền năm học 2012-2013

- Năm học 2012-2013, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Đa số học sinh nhận thức còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn

- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn(còn được gọi là phương trình vô tỉ) và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản, đơn giản Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú

và đa dạng; đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô tỉ mà chỉ có số ít các em suy nghĩ được hướng giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa, chưa đúng phương pháp giải của từng dạng Tại sao lại như vậy?

- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày

ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược một vài ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu, không có phương pháp chung; phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế, không đa dạng Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập, nhiều dạng và phương pháp giải cho từng dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: “Bổ túc một số phương pháp giải phương trình

vô tỉ ’’.

Sáng kiến kinh nghiệm  4 

- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Học sinh có thể nhận dạng và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic và có tính sáng tạo hơn trong việc giải toán Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ

III CƠ SỞ LÝ LUẬN.

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn

toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán

một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT nhận dạng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

- Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn)

Sáng kiến kinh nghiệm  5 

VI NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:

- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, chuyên đề thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và phương pháp giải từng dạng của phương trình vô tỉ

- Yêu cầu của chuyên đề: Nội dung, phương pháp rõ ràng, không phức tạp phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT, có sáng tạo đổi mới Giới thiệu được các dạng phương trình cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số ví dụ minh hoạ

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ THPT

và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể

Trong đề tài này tôi đã đưa ra phương pháp giải của một số dạng thường gặp, một vài

ví dụ và một số bài tập tương ứng để học sinh tự luyện Sau mỗi bài toán đều có những nhận xét bình luận để giúp học sinh có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất

VII PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1)Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, rút kết kinh nghiệm

2)Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng và rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 năm học 2012-2013

Sáng kiến kinh nghiệm  6 

Phần 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu một số phương trình vô tỉ dạng cơ bản và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả Tuy nhiên trong một số đề thi đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp nhiều bài toán tạp, đòi hỏi học sinh phải nhận được dạng, từ đó đưa ra phương pháp biến đổi phù hợp đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng cơ bản

Nội dung chuyên đề gồm hai phần:

+ Phần 1: Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản

+ Phần 2: Phương pháp giải một số phương trình không mẫu mực

Trên cơ sở nắm vững phương pháp giải những dạng cơ bản, từ đó nâng cao khả năng

tư duy, đưa những dạng phức tạp về cơ bản để giải

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN

I.Phương trình dạng f x( )  g x( ) (1)

1.Phương pháp:

-Nhận thấy cả hai vế của phương trình đều không âm nên bình phương 2 vế của phương

trình ta được phương trình tương đương Trước giải phương trình, học sinh cần lưu ý điều kiện

Thông thường khi nhìn thấy dạng f x( )  g x( ), học sinh sẽ đặt cả hai điều kiện:

Chú ý: Tùy vào phương trình mà ta lựa chọn đặt điều kiện ( ) 0f x  hay g x( ) 0

2.Ví dụ: Giải các phương trình sau:

Sáng kiến kinh nghiệm  7 

-Ở câu a) biểu thức dưới căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm Tương tự ở câu b), ta đặt điều kiện cho vế trái không âm

1

44

x x

x x

-Ở phương trình (1), do hai vế không âm nên bình phương 2 vế Do đó, để áp dụng cách

giải của (1) vào (2) thì ( ) 0g x 

Vậy:

2

( ) 0( ) ( )

1 0

11

51

x x

Sáng kiến kinh nghiệm  8 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5

Chú ý: Ngoài phương pháp trên, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả

4 5 01

5

x x

So với điều kiện (*), cả hai nghiệm x 1 và x5 đều thỏa mãn nhưng khi thay các nghiệm vào phương trình (a) thì nghiệm x 1 bị loại

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5

Cách giải vừa nêu trên rất phức tạp vì khi làm phải trải qua hai bước: So với điều kiện (*)

để loại nghiệm, sau đó phải thay vào phương trình (a) để thử lại nghiệm Chính vì thế rất dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh là bỏ qua bước thử nghiệm, vì nhầm tưởng điều kiện (*) là điều kiện của phương trình

Ngoài ra, việc sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn đối với một số phương trình mà biểu thức dưới căn là biểu thức bậc hai Chẳng hạn như phương trình 2

Sáng kiến kinh nghiệm  9 

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Phương trình vô tỉ trong một số đề thi tuyển sinh khá phức tạp và đa dạng, sau đây tôi xin trình bày phương pháp giải một số dạng thường gặp

I.Phương pháp đặt ẩn phụ

Khi giải trực tiếp các phương trình vô tỉ gặp nhiều khó khăn, phức tạp; việc bình phương để khử căn thu lại một phương trình bậc cao không giải được thì phương pháp đặt

ẩn phụ là một phương pháp tối ưu

Mục đích chính của việc đặt ẩn phụ là nhằm đưa phương trình đang xét về một phương trình đơn giản hơn Tuy nhiên cần phải biết lựa chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp, phù hợp với đặt thù của bài toán đang xét

1.Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ

a)Ví dụ: Giải phương trình 3 3x211x143x211x16 (1)

Nhận xét:

-Cả hai biểu thức dưới dấu căn và bên ngoài dấu căn đều là biểu thức bậc hai, nếu bình phương hai vế sẽ thu được phương trình bậc 4 có thể sẽ không giải được đối với học sinh THPT

-Nhận thấy giữa biểu thức dưới căn và bên ngoài dấu căn hơn kém nhau 2 đơn vị Điều này gợi ý cho ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

x x

Sáng kiến kinh nghiệm  10 

2.Đặt một ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên

Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức

biểu diễn lại quá phức tạp Khi đó ta thử để phương trình ở dạng chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa x Phương trình thu được thường là phương trình bậc hai theo ẩn phụ ( hoặc ẩn x)

có biệt số  là một số chính phương

Sáng kiến kinh nghiệm  11 

1 2

Bên cạnh việc đặt ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên hằng số biến thiên,

ta có thể sử dụng phương pháp chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ và một ẩn x

Như vậy, giữa hai phương pháp đặt ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên hằng số biến thiên và đặt ẩn phụ chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ

và một ẩn x, dấu hiệu phân biệt nào giữa hai phương pháp để ta lựa chọn?

- Đặt ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên hằng số biến thiên: Biệt số  là một số chính phương

- Đặt ẩn phụ chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ và một ẩn x:

Sáng kiến kinh nghiệm  12 

Sáng kiến kinh nghiệm  13 

2

2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0

b) Bài tập: Giải các phương trình sau:

1 3  3   3

Sáng kiến kinh nghiệm  14 

4.Đặt ẩn phụ bằng biến số lượng giác

Phương pháp này dựa chủ yếu vào công thức 2 2

Sáng kiến kinh nghiệm  15 

a) Ví dụ: Giải phương tình sau: 1 1 2 35  

1 12 1

x x

x x

7 5

121

x x

x



Sáng kiến kinh nghiệm  16 

Với x  x0  f x    f x  0  k, do đó phương trình vô nghiệm

Với x  x0  f x    f x  0  k, do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x  x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Dạng 2: f x    g x  

- Xét hàm số y  f x   và y  g x   Dùng lập luận khẳng định hàm số y  f x   là hàm đồng biến còn hàm số y  g x   là hàm nghịch biến, hoặc hàm hằng Xác định x0 sao cho f x  0  g x  0

- Vậy x  x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm  17 

Có nhiều bài toán, bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức, ta

có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó

Sáng kiến kinh nghiệm  18 

Chương 3: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các phương trình sau:

Sáng kiến kinh nghiệm  19 

53

Sáng kiến kinh nghiệm  20 

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG MỘT SỐ ĐỀ ĐẠI HỌC

Giải các phương trình sau:

Sáng kiến kinh nghiệm  21 

Nhơn Trạch, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Người viết đề tài

Phạm Phú Hoàng

Sáng kiến kinh nghiệm  22 

MỤC LỤC

- -

BẢN KHAI THÀNH TÍCH CÁ NHÂN 1

SƠ LƯỢC LÍ LỊCH KHOA HỌC 2

PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU 3

I.Lí do chọn đề tài 3

II.Mục đích nghiên cứu 3

III.Cơ sở lí luận 4

IV.Đối tượng nghiên cứu 4

V.Phạm vi nghiên cứu 4

VI.Nhiệm vụ - yêu cầu của đề tài 5

VII.Phương pháp nghiên cứu 5

PHẦN 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI 6

Chương 1: Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản 6

I.Phương trình dạng f x( )  g x( ) 6

II.Phương trình dạng f x( ) g x( ) 7

Chương 2 Phương pháp giải một số phương trình không mẫu mực 9

I.Phương pháp đặt ẩn phụ 9

1.Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ 10

2.Đặt một ẩn phụ và dùng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên 10

3.Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 11

4.Đặt ẩn phụ bằng biến số lượng giác 14

II.Phương pháp hàm số 16

III.Phương pháp đánh giá 17

Chương 3 Bài tập tự luyện 18

Chương 4.Phương trình vô tỉ trong một số đề thi đại học 19

PHẦN 3: KẾT LUẬN 21