Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Hằng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Hằng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Chun ngành: PHƢƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số:60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian theo học trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đặc biệt khoảng thời gian thực luận văn tốt nghiệp, tơi nhận đƣợc giúp đỡ hết lịng mặt vật chất, tinh thần, kiến thức kinh nghiệm q báu từ gia đình, thầy bạn bè Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Mẹ Anh Chị gia đình giúp đỡ mặt vật chất lẫn tinh thần để chúng tơi hồn thành nhiệm vụ cách tốt nhất; Q Thầy, Cơ trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đặc biệt q thầy, khoa Tốn Cơ-Tin, ngƣời hết lòng truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quí báu suốt thời gian chúng tơi theo học trƣờng để chúng tơi tự lập đƣợc công việc sau này; Thầy giáo Phạm Văn Quốc - thuộc Khối phổ thông chuyên, trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, động viên giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn tốt nghiệp; Các anh chị học viên lớp Cao học khóa 14 bạn đồng nghiệp ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm tài liệu cho trình nghiên cứu thực luận văn này; Trƣờng THPT Thanh Oai A giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn này; Cuối xin kính chúc sức khỏe q thầy cơ, gia đình anh chị học viên Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2016 Học viên thực Nguyễn Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng dƣới hƣớng dẫn TS Phạm Văn Quốc Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực tham khảo điều đƣợc trích dẫn ghi gõ nguồn gốc Mọi chép không hợp lệ, quy phạm quy chế đào tạo hay gian trá tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 3 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN ĐẶT TÊN ĐỀ TÀI BỐ CỤC LUẬN VĂN CHƢƠNG NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Khái niệm phƣơng trình ẩn 1.1.2 Phƣơng trình vơ tỷ 1.2 PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN 1.2.1 Các dạng thƣờng gặp 1.2.2 Phƣơng pháp đƣa tích CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ 12 2.1 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 12 2.1.1 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình đa thức 12 2.1.2 Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc hai với hai biến 15 2.1.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 18 2.1.4 Phƣơng pháp đặt nhiều ẩn phụ đƣa hệ 21 2.2 PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 28 2.2.1 Một số đẳng thức hay sử dụng 28 2.2.2 Các ví dụ minh họa 29 2.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 39 2.3.1 Tính đơn điệu hàm số 39 2.3.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 40 2.3.3 Các dạng toán liên quan 40 2.3.4 Các ví dụ 41 2.3.5 Xây dựng phƣơng trình vô tỷ dựa theo hàm đơn điệu 49 2.4 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC 51 2.4.1 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 51 2.4.2 Phƣơng pháp đánh giá 57 2.5 PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ PHỨC TẠP VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CASIO 61 2.5.1 Phƣơng pháp thủ thuật sử dụng máy tính để tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhân liên hợp giải phƣơng trình vơ tỷ 61 2.5.2 Phƣơng pháp cộng dùng thủ thuật máy tính cầm tay trợ giúp giải phƣơng trình vơ tỷ 69 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhiều kỳ thi, đề thi bao gồm nhiều kiến thức với yêu cầu ngƣời học cần học rộng hiểu sâu Một kiến thức thƣờng xuyên đƣợc nhắc tới phần kiến thức tƣơng đối khó ln thách thức ngƣời học “ phƣơng trình vơ tỷ” Phƣơng trình vơ tỷ phƣơng trình có chứa thức phần kiến thức rộng xuất dƣới nhiều hình thức dạng tốn khác biến đổi khó lƣờng Nhƣng đào sâu nhìn dƣới nhiều khía cạnh khác thấy đƣợc thƣờng xoay quanh số dạng ta đƣa số phƣơng pháp giải cho phƣơng trình dạng Thực tế cho thấy việc giảng dạy phần phƣơng trình vơ tỷ bậc trung học phổ thơng có thời lƣợng dạng tốn mức độ dễ nhƣng ngƣời học muốn giải tốn đề thi khơng dễ dàng chút Vì có hệ thống phƣơng pháp làm tập khiến cho ngƣời học dễ dàng việc giải vấn đề liên quan đến phần kiến thức Ngoài từ phƣơng pháp cụ thể ta tạo đƣợc phƣơng trình vơ tỷ hay, khó nhƣng khơng phần thú vị tìm lời giải Đây cách phát triển tƣ sáng tạo ngƣời học Mỗi ngƣời học trao đổi tốn riêng với học viên khác để mở rông thêm kiến thức nhƣ tiếp cận với nhiều ý tƣởng hay lạ Đặc biệt giáo viên bạn kích thích tƣ sáng tạo tìm tịi học snh từ khiến cho học sinh khơng cịn thấy khó khăn bắt gặp dạng toán đề thi Hiện nay, phần phƣơng trình vơ tỷ cịn xuất với tần số dày đề thi hình thức thi trắc nghiệm cần nhanh xác nhìn phƣơng pháp làm giúp ngƣời học biến đổi nhanh không bị lúng túng Xuất phát từ lợi ích thực tế mà việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ mang lại, định chọn đề tài tốt nghiệp cho là: “ Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Trong trình nghiên cứu tiến hành thực nhiệm vụ sau: nghiên cứu vấn đề liên quan đến phƣơng trình vơ tỷ, nghiên cứu phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ, nghiên cứu tiêu chí áp dụng phƣơng pháp cho hợp lý nhanh gọn Thiết kế số phƣơng trình vơ tỷ từ sở ban đầu Dạy thử nghiệm học sinh trƣơng THPT Thanh Oai A, đánh giá kết thử nghiệm Tất kết nghiên cứu nhằm bổ sung sở lý luận việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Hệ thống đƣợc xây dựng nhằm hỗ trợ cho việc giảng dạy nâng cao trình độ cho học sinh trƣơng THPHƢƠNG TRÌNH Thanh Oai A Từ giúp tơi xác định đƣợc đối tƣợng sử dụng hệ thống, nhƣ xác định đƣợc phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Để xây dựng đƣợc hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ thực hiệu quả, tơi tiến hành với hai phƣơng pháp nghiên cứu là: nghiên cứu lý thuyết cuối phƣơng pháp thực nghiệm Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết, với phƣơng pháp tiến hành: nghiên cứu lý thuyết phƣơng trình có chứa thức phép biến đổi tƣơng đƣơng liên quan đến căn, thực trạng dạy học phần phƣơng trình vơ tỷ trƣờng THPHƢƠNG TRÌNH trƣờng THPHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp thực nghiệm: thử nghiệm với học sinh lớp 10 12 trƣơng trung học phổ thông Thanh Oai A Cả hai phƣơng pháp giúp tơi có nhìn chung hệ thống phƣơng trình vơ tỷ từ đƣa đƣợc số phƣơng pháp giải sáng tạo phƣơng trình vô tỷ Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Việt Nam giai đoạn đẩy mạnh cơng nghiệp hóa, đại hóa hội nhập sâu rộng với giới tất lĩnh vực Một nhân tố quan trọng để đạt đƣợc mục tiêu xây dựng xã hội học tập, đƣợc đào tạo liên tục, tự học, học trƣờng, học mạng, thƣờng xuyên trau dồi kỹ năng, kiến thức, phát triển trí tuệ sáng tạo Trong đó, việc xây dựng hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ giải pháp có nhiều tiềm hứa hẹn đem lại hiệu cao việc học tập môn tốn giúp ngƣời học vƣợt qua kì thi Với đề tài là: “ Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” tơi làm sáng tỏ đƣợc vai trị phƣơng trình vơ tỷ đề thi Từ xây dựng thành cơng hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ Đặt tên đề tài “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ” Bố cục luận văn Nội dung luận văn đƣợc chia thành chƣơng , cụ thể nhƣ sau: Chƣơng 1: Nghiên cứu tổng quan Giới thiệu số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Giới thiệu số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ cách sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ từ phƣơng pháp có CHƢƠNG NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Khái niệm phƣơng trình ẩn a Khái niệm Cho A( x ) , B ( hai biểu thức chứa biến x, A ( x) x) =B( x gọi ) phƣơng trình ẩn Trong đó: + x đƣợc gọi ẩn + A( x ) , B ( x) gọi hai vế phƣơng trình + Quá trình tìm x gọi giải phƣơng trình + Giá trị tìm đƣợc x gọi nghiệm phƣơng trình + S: Tập hợp nghiệm phƣơng trình + Tập xác định: Tập xác định phƣơng trình b Tập xác định phƣơng trình Là tập giá trị biến làm cho biểu thức phƣơng trình có nghĩa c Các khái niệm hai phƣơng trình tƣơng đƣơng + Hai phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm Hoặc nghiệm phƣơng trình nghiệm phƣơng trình ngƣợc lại 1.1.2 Phƣơng trình vơ tỷ a Định nghĩa Phƣơng trình vơ tỷ phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu Ví dụ: x −1 − =x+7 S=   ... thiệu số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Giới thiệu số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ cách sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ từ phƣơng pháp. .. trị phƣơng trình vơ tỷ đề thi Từ xây dựng thành cơng hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ Đặt tên đề tài “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ” Bố cục... phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ giải pháp có nhiều tiềm hứa hẹn đem lại hiệu cao việc học tập mơn tốn giúp ngƣời học vƣợt qua kì thi Với đề tài là: “ Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ? ??