SKKN kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải quyết một số phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi và thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: KỸ NĂNG TẠO LIÊN HỢP NGƯỢC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: TẠ THỊ VÂN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Văn Hưu SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn Năm học: 2018 - 2019 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Mơn tốn mơn học có nhiều đơn vị kiến thức, giáo viên phải tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hiện cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi có câu hỏi phân loại khó, giáo viên phải tìm tòi, tìm phương pháp để học sinh giải tốn khó cách hiệu đề thi Phương trình chứa ẩn dấu hay phương trình vơ tỷ coi át chủ chương trình giảng dạy THPT nói chung đánh giá lực học sinh kỳ thi quan trọng Toán học Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc Gia, kỳ thi học sinh giỏi … tốn phương trình vơ tỷ tốn mang tính phân loại cao Các tập thuộc dạng tốn đòi hỏi học sinh cần tư theo nhiều hướng khác nhau, sử dụng phương pháp khác tìm mấu chốt vấn đề Trong trình giảng dạy, trình tự học, tự nghiên cứu thân tiếp cận sử dụng phương pháp “Sử dụng kỹ tạo liên hợp ngược” để giải số tốn phương trình vơ tỷ Đây phương pháp không nhằm phát triển tư độc lập sáng tạo mà góp phần hình thành phương pháp nhu cầu tự học, tự bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin cho học sinh q trình giải tốn Song việc vận dụng cần có kỹ cách thức khác Qua hoạt động giảng dạy trình tự học, tự nghiên cứu, phát số “kỹ năng” “cách thức” Chính tơi chọn viết đề tài này, phạm vi đề tài chủ yếu đưa ví dụ phương trình vơ tỷ, phân tích định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải phương pháp sử dụng “kỹ tạo liên hợp ngược” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nhằm phát triển tư độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành cho em thói quen tự học, tự nghiên cứu, tạo niềm tin niềm vui học tập cho học sinh - Hình thành cho em có thói quen phân tích, định hướng từ tìm hướng giải tốn - Từng bước tạo đam mê xóa bỏ dần tâm lý e ngại em học sinh gặp tốn phương trình vơ tỷ 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trung học phổ thông ( trọng học sinh khá, giỏi) - Học sinh ôn thi vào trường Đại học, cao đẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Có nhiều cách định nghĩa khác kỹ Tuy nhiên hầu hết thừa nhận kỹ hình thành áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ học trình lặp lặp lại một nhóm hành động định Trong hoạt động dạy học mơn tốn nói riêng kỹ thể qua phương pháp dạy - học, kỹ trình bày, kỹ thuyết trình Trong mơn tốn ngồi kỹ chung dạy học thể qua yếu tố đặc thù mơn chẳng hạn: kỹ giải tốn, kỹ tính tốn kỹ tạo liên hợp ngược để giải số phương trình vơ tỷ ngoại lệ 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu - Phương pháp không giải cho phương trình vơ tỷ mà thực hiệu với phương trình vơ tỷ dạng thức - Trong trình giảng dạy nhận thấy đại đa số học sinh học theo lối mòn ghi nhớ mà khơng có thói quen đào sâu suy nghĩ đưa cách thức, đường tìm kiếm lời giải nhiều giáo viên chưa trọng điều 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Các đẳng thức thường sử dụng: A2 − B = ( A − B )( A + B ) A3 − B3 = ( A − B)( A2 + AB + B ) A3 + B3 = ( A + B)( A2 − AB + B ) 2.3.2 Biểu thức liên hợp: A( x ) gọi biểu thức liên hợp B ( x ) tích A( x).B( x) trở thành lượng thức ( B( x) biểu thức chứa thức) Các dạng biểu thức liên hợp thường gặp: 1) A− B A+ B A− B A− B = 3 3) A − B = 5) A − B = A2 − B 2) A − B = A+ B A + A.B + B A3 − B A +A B+ B 3 2 4) A+ B = 6) A + B = A+ B A − A.B + B A3 + B A2 − A B + B 2.3.3 Kỹ sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình (máy tính Casio fx-570ES Casio fx- 570VN PLUS) Bước 1: Nhập phương trình cần dò nghiệm vào Bước 2: Bấm SHIFT SOLVE, lúc hình xuất hộp hỏi giá trị khởi tạo ẩn X Ta nhập vào giá trị bấm nút “=” • Nếu dò nghiệm thành cơng hình có ba dòng sau: Dòng 1: Phương trình nhập Dòng 2: X =< Nghiêm > Đây nghiệm phương trình ( giá trị nghiệm nghiệm gần đúng) Dòng 3: L − R = < sai lệch hai vế > • Nếu việc dò nghiệm lâu, máy thể lên hình hỏi có nên dò nghiệm tiếp hay khơng Lúc hình có ba dòng sau: Dòng 1: Continue: [ =] Nếu muốn tiếp tục dò nghiệm, ta bấm phím [ =] Dòng 2:Giá trị X Dòng 3: L − R = < sai lệch hai vế > Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím [ AC ] • Nếu máy khơng thể dò nghiệm hình Can ' t solve Điều có hai nguyên nhân Thứ phương trình nhập ln vơ nghiệm Thứ hai giá trị khởi tạo không phù hợp 2.3.4 Các khái niệm nghiệm đơn, nghiệm bội phương trình: • Nghiệm đơn: Nghiệm đơn x = a nghiệm mà phương trình f ( x) = phân tích thành nhân tử có dạng ( x − a) g ( x) = g (a) ≠ • Nghiệm kép: Nghiệm kép x = a nghiệm mà phương trình f ( x) = phân tích thành nhân tử có dạng ( x − a)2 g ( x) = g (a) ≠ • Nghiệm bội ba: Nghiệm bội ba x = a nghiệm mà phương trình f ( x) = phân tích thành nhân tử có dạng ( x − a)3 g ( x) = g (a) ≠ 2.4 Bài tốn mở đầu: Giải phương trình: x − + x − x + = (1) ( Đề thi Đại Học khối D- năm 2006) Đây tốn có nhiều cách giải như: - Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa - Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn - Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn Sau đây, xin đưa số cách giải khác: Cách giải 1: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp: (1) ⇔ ( x − − 1) + x − x + = (2) 2( x − 1) ⇔ + ( x − 1)( x − 2) = (vì x − + > 0; ∀x ≥ ) 2x −1 +1 x = ⇔  + x − = (2)  x − + Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có: ⇔ ( x − 1)( + x − 2) = x −1 + Đặt: t = x − (t ≥ 0) , pt(2) trở thành: t = t = t + t − 3t + = ⇔ (t − 1)(t + 2t − 1) = ⇔  ⇔ (vì t ≥ 0) t + 2t − = t = −  2x −1 = x = ⇔ (t / m)  x − = −  x = − Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = − Hay  Cách giải 2: Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có: (1) ⇔ ( x − − 1) + x − x + = ⇔ ( x − − 1) + ( x − 1)( x − 2) = ⇔ 2( x − − 1) + 2( x − 1)( x − 2) = ⇔ 2( x − − 1) + ( x − − 1)( x − + 1)( x − 2) =  2x −1 −1 = ⇔ ( x − − 1) ( x − 2) x − + x  = ⇔  ( x − 2) x − + x = x = ⇔ (2 x − 4) x − + x = (3) Đặt: t = x − (t ≥ 0) , pt(3) trở thành: t = t = t + t − 3t + = ⇔ (t − 1)(t + 2t − 1) = ⇔  ⇔ (vì t ≥ 0) t + 2t − = t = −  2x −1 = x = ⇔ (t / m)  x − = −  x = − Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = − Hay  Cách giải 3: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp: (1) ⇔ ( x − + x − 1) + x − x + = (4) Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có: Nhận thấy x = + khơng phải nghiệm phương trình x ≠ +  Với  x − − ( x − 1) ≠ , đó: x ≥  −( x − x + 2) )=0 ⇔ + x − x + = ⇔ ( x − x + 2)(1 − (4) 2x −1 − x + x − − ( x − 1)  x2 − 4x + = x = − ⇔ ⇔ (vì x ≥ ) x =1  x − = x Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = − Cách giải 4: (1) ⇔ ( x − + x − 1) − ( x − 1) − ( x − 1)  = Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có: ⇔ ( x − + x − 1) − ( x − + x − 1)( x − − x + 1) =   x ≥   2x −1 = x  ( x − 1) = ⇔ ⇔  ⇔ ( x − + x − 1)( x − x − 1) =    ≤ x ≤  x − = − x    x − x + = x = ⇔ (t / m) x = − Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = − Cách giải 5: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp: Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có x − + x > đó: (1) ⇔ ( x − − x) + x − x + = ⇔ −( x − x + 1) + x2 − x + = 2x −1 + x )=0 2x −1 + x x = ( x − 1) = x =1  ⇔ ⇔  x ≤ ⇔ (t / m) x = −    x − = − x  x − x + =  ⇔ ( x − x + 1)(1 − Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = − Cách giải 6: Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có: 2 (1) ⇔ ( x − − x) + x − x + = ⇔ ( x − − x) +  x − ( x − 1)  = ⇔ ( x − − x) + ( x − x − 1)( x + x − 1) = ⇔ ( x − x − 1)( x − + x − 1) =   x ≥   2x −1 = x x =  ( x − 1) = ⇔ ⇔ ⇔ (t / m) x = −  x − = − x   ≤ x ≤     x − x + = Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = − Nhận xét: Tất cách giải làm xuất biểu thức liên hợp cặp cách giải ( cách giải cách giải ; cách giải cách giải 4; cách giải cách giải 6) có cách thức ngược Ở cách giải 2, cách giải 4, cách giải sử dụng phương pháp tách liên hợp thông qua đẳng thức: x − = ( x − 1) − = ( x − − 1)( x − + 1) (cách giải 2) x − x + = ( x − 1) − ( x − 1) = −( x − + x − 1)( x − + − x) (cách giải 4) x − x + = ( x) − ( x − 1) = −( x − + x)( x − − x) (cách giải 6) Kỹ dùng để tạo biểu thức liên hợp gọi “kỹ tạo liên hợp ngược” Đây tốn hội tụ nhiều yếu tố: Có nghiệm hữu tỷ, có nghiệm vơ tỷ, có nghiệm đơn có nghiệm kép Để hiểu rõ “kỹ năng” “cách thức” phương pháp , sau xét số toán cụ thể 2.5 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỉ đơn: • Phương pháp chung: Xét phương trình: g ( x) = h( x) n f ( x) ( n = n = ) Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm nghiệm phương trình (Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay), Từ tìm lượng liên hợp Bước 3: Bằng cách thêm, bớt số, biểu thức, tách nhóm …phân tích biến đổi g ( x) làm xuất biểu thức liên hợp Bước 4: Đưa phương trình dạng tích giải kết luận • Các tập áp dụng: Bài tập 2.5.1: Giải phương trình: x + x + 16 = (2 x + 1) x + 10 x + Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm x = nghiệm hữu tỉ đơn phương trình Như phải làm xuất đại lượng ( x − 6) để đặt làm thừa số chung, ta phải biến đổi thức x + 10 x + thành x + 10 x + − A , để ý thấy biểu thức cần xuất bậc nên ta chọn A có dạng A = ax + b Ta thay x = vào thức ta được: , suy liên hợp cần tìm là: x + 10 x + = 10 = x + x + 10 x + − ( x + 4) Do ta có :  x + 10 x + − ( x + 4)   x + 10 x + + ( x + 4)  = x − 12    Đây cách tạo liên hợp, cụ thể ta có lời giải sau: Lời giải: Đk: x ∈ ( −∞; −5 − 21  ∪  −5 + 21; +∞ ) (*), với đk(*), ta có: Pt ⇔ (2 x + 1)  x + 10 x + − ( x + 4)  + (2 x − 12) =   ⇔ (2 x + 1)  x + 10 x + − ( x + 4)  +  x + 10 x + − ( x + 4)   x + 10 x + + ( x + 4)  =      ⇔  x + 10 x + − ( x + 4)   x + 10 x + + x + 5 =     x + 10 x + = x +  x ≥ −4 ⇔ ⇔ ⇔ x = 6(t / m)  x + 10 x + = −3 x − 5(Vơ nghiêm) x = Vậy phương trình có nghiệm là: x = Nhận xét: Nếu dự đốn nghiệm phương trình x = 6 lượng liên hợp thêm vào thức x + 10 x + số 62 + 10.6 + = 10 ⇒ liên hợp là: x + 10 x + − 10 phải nhân hai vế với ( x + 16) sử dụng kỹ tạo liên hợp ngược giải toán, đưa tốn trở nên phức tạp dễ sai sót, cách giải tránh điều Bài tập 2.5.2: Giải phương trình: x3 − x + x = x + Phân tích: Đây tốn chứa bậc ba hoàn toàn tương tự ta sử dụng “kỹ tạo liên hợp ngược” để giải Sử dụng chức máy tính cầm tay ta thu nghiệm hữu tỷ đơn x = Thay vào thức ta 5x2 + = = x + Do ta có phân tích : x − x + 3x − = ( x + 1)3 − (5 x + 3) = ( x + − x + 3)  ( x + 1) + ( x + 1) x + + (5 x + 3)    lời giải sau: Lời giải: Ta có: ( ) 3 Pt ⇔ x − x + 3x − + x + − x + = ( ) ⇔ x + − x + ( x + 1) + ( x + 1) x + + (5 x + 3) +  = (1)   x Vì với ta có: ( x + 1) + ( x + 1) x + + (5 x + 3) +  = ( x + + x + 3) + 3 (5 x + 3) +  >     Do đó: (1) ⇔ x + = x + ⇔ x3 − x + 3x − = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 2.5.3: Giải phương trình: x3 − 22 x + 22 x − + x − = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm hai nghiệm hữu tỉ đơn phương trình là: x = x = lượng liên hợp thêm vào thức x − ax + b với a,b nghiệm hệ phương trình:  4.1 − − ( a + b) = a = ⇔  nên ta tìm biểu thức liên hợp là: b =  4.3 − − (3a + b) = x − x − ⇒ ( x − x − 3)( x + x − 3) = x − x + Do ta có phân tích biến đổi biểu thức tạo liên hợp ngược sau: x − 22 x + 22 x − = (5 x − 22 x + 23x − 6) − x = ( x − x + 3)(5 x − 2) − x =  x2 −  = ( x− ( ) 4x − ) ( x + x −  (5 x − 2) − x  ) 4x − ( 5x − 2) − x Lời giải: Pt ⇔ ( x − x + 3)(5 x − 2) − ( x − x − 3) = Đk: x ≥ (*) Với đk(*), ta có: ( )( ) ⇔ ( x − x − ) ( x + x − ) (5 x − 2) − 1 =   10 ⇔ ( x − x − ) = (Vì  ( x + x − ) (5 x − 2) − 1 = (5 x − )( x + ⇔ x − x − x + x − (5 x − 2) − ( x − x − 3) = 4 x − 3) + ( x − 1) + x − > với ∀x ≥ ) 3  x =1 x ≥ ⇔ ⇔ x =  x2 − 4x + =  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x = ; x = Nhận xét : Ta thấy biểu thức cần tìm để làm xuất liên hợp là: ( x − x − 3)( x + x − 3) = x − x + chưa có sẵn tốn Đối với tốn thực phân tích thành nhân tử x3 − 22 x + 23x − = ( x − x + 3)(5 x − 2) x Bài tập 2.5.4: Giải phương trình: x + x + = ( x + x) x + Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm hai nghiệm hữu tỉ phương trình là: x = x = nên ta tìm biểu thức liên hợp là: x − x + 3x ⇒ (2 x − x + 3x )(2 x + x + x ) = x − x − x có bậc 3, biểu thức lại phương trình lại có bậc 2.Do ta phải nhân chia biểu thức lại với biểu thức để làm xuất biểu thức cần tìm, cụ thể phân tích biến đổi x + x + làm xuất liên hợp: x + x + = −  x − ( x3 + x)  + x( x + 7) x = − (2 x − x + x )(2 x + x + x ) + x( x + 7) x Lời giải: Đk: x > (*), Với đk(*), ta có: 2 Pt ⇔ − x + ( x + 7).2 x = − ( x + 3x ) + ( x + 7) x + x x x 2 ⇔ −  x − ( x + 3x )  + ( x + 7)(2 x − x + 3x ) = ⇔ (2 x − x + 3x )( x + − x + 3x ) = x x  x >   x + 3x = x x =   x − x + 3x = ⇔ ⇔ ⇔ (t / m ) x=3 x>0  x3 + 3x = x + x      x + x3 + x − 12 x = Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = Nhận xét : Nếu xét tính chất nghiệm sử dụng chức máy tính cầm tay ta nhận thấy x = nghiệm kép x = nghiệm đơn, cách tìm liên hợp sử dụng phương pháp tìm liên hợp tốn có hai nghiệm hữu tỷ đơn Bài tập 2.5.5: Giải phương trình: x + − − x = 5( x − 3) x + 18 Phân tích: Ta có: x + − − x = x + − 16 − x ( x + 1) − (16 − x) = 5( x − 3) nên ta ghép hai thức với sử dụng phương pháp “ kỹ tạo liên hợp ngược”, bình phương hai vế để chuẩn hóa đưa phương trình dạng thức Lời giải: Đk: −1 ≤ x ≤ (*).Với đk: (*), ta có: Pt ⇔ x + 18.( x + − 16 − x ) = ( x + − 16 − x )( x + + 16 − x )  x + = 16 − x  x = (t / m) ⇔ ⇔  x + 18 = x + + 16 − x  x + 18 = x + + 16 − x (1) 2 (1) ⇔ − x + x + = x + 3x + ⇔ (2 x − x − 3) + ( x + 1) − − x + x +  ⇔ ( x + 1) − ( − x + x + 4)  + ( x + 1) − − x + x +  =     ⇔ ( x + 5) + − x + 3x +  ( x + 1) − − x + 3x +  =     ⇔ ( x + 1) − − x + x +  = (Vì ( x + 5) + − x + x +  > 0; ∀x ∈ [ −1; 4] )      x = −1 −1 ≤ x ≤ ⇔ x + = − x + 3x + ⇔  ⇔ t/m) x = ( 2 x − x − =  Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = 3; x = −1; x = Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình: 3x − x − + ( x − 1) x + = Bài 2: Giải phương trình: x3 − x − = 10 − x Bài 3: Giải phương trình: ( x + 1)( x − 1)3 + (2 x − 1) x + = x − x 2.6 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vơ tỉ đơn: • Phương pháp chung: Xét phương trình: g ( x) = h( x) n f ( x) ( n = n = ) Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm nghiệm phương trình (Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay), Từ tìm lượng liên hợp Bước 3: Bằng cách thêm, bớt số, biểu thức, tách nhóm …phân tích biến đổi g(x) làm xuất biểu thức liên hợp Bước 4: Đưa phương trình dạng tích giải kết luận • Các tập áp dụng: Bài tập 2.6.1: Giải phương trình: x + x + + (2 x + 1) x + = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x ≈ −1.561552831 Thay x ≈ −1.561552831 vào thức: x + ≈ 1.561552813 ≈ − x Do liên hợp cần tìm x + x + Xét ( x + x + 4)( x − x + 4) = x − ( x + 4) = x − x − mấu chốt lời giải Lời giải: ĐK: x ≥ −4 Ta có: Pt ⇔ −( x − x − 4) + (2 x + 1)( x + x + 4) = ⇔ −( x + x + 4)( x − x + 4) + (2 x + 1)( x + x + 4) = ⇔ ( x + x + 4)( x + + x + 4) =  ⇔    −4 ≤ x ≤  − 17  x = x − x − = x + = −x  ⇔ ⇔  x + = − x −   −4 ≤ x ≤ − −1 − 13 x =    x + x − =  − 17 −1 − 13 ;x= 2 Bài tập 2.6.2: Giải phương trình: x + x + + 3x x + = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x ≈ −0.390388203 Thay vào thức ta x + ≈ 0.7807764064 ≈ −2 x Với nghiệm vô tỷ ta nhận liên hợp ( x + x + ) , ta có lời giải sau: Bài giải:  x ≥ −1 ⇒ −1 ≤ x ≤ (*) Với đk(*) ta có: (2 x + x + 1) x ≤ PT ⇔ 3x x + x + −  x − ( x + 1)  = ⇔ 3x x + x + − x + x + (2 x − x + 1) = Điều kiện:  ( ) ( ) ( )  2 x + x + =   −1 ≤ x ≤  − 17   x=  − ≤ x ≤ x − x − =    ⇔ ⇔ ⇔ (2 x + x + 1)( x + x + 1) = ⇔   −1 ≤ x ≤ 1−   x + x + =   x =    −1 ≤ x ≤   x − x − =   1− − 17 ;x= Bài tập 2.6.3: Giải phương trình: x + x + ( x + 2) x + = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay SHIFT CALC với x = −1 ta thu nghiệm x = −1 , nhiên chưa vội vàng đánh giá nghiệm mà cân nhắc kỹ lưỡng nghiệm vơ tỷ Thật vậy, SHIFT CALC với x = −1.5 ta thu x ≈ −1.464101615 Với nghiệm vô tỷ ta liên hợp ( x + x + ) 10 Lời giải: x + ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ (*) Với đk(*) ta có: 2 x + x ≤ Pt ⇔ x + 10 x + 2( x + 2) x + = ⇔ − x3 + x + x + ( x + 2)( x + x + 2) = Điều kiện:  ⇔ − x( x − 4( x + 2)) + ( x + 2)( x + x + 2) = ⇔ − x( x − x + 2)( x + x + 2) + ( x + 2)( x + x + 2) = ⇔ ( x + x + 2)(2 + x x + 2) = ⇔ ( x + x + 2)(1 + x x + 2) =    −2 ≤ x ≤ x = −  x + x + =  x − x − =  ⇔ ⇔ ⇔  x = −1 −2 ≤ x ≤  1 + x x + =    x = −1 −   x + x − =  Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = −1; x = − 3; x = −1 − Nhận xét : Bài toán khác với tốn là: Vừa có nghiệm hữu tỷ, vừa có nghiệm vô tỷ Nếu ta quan tâm đến nghiệm hữu tỷ ta giải tốn nhiên cách giải không tối ưu làm cho toán phức tạp x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) Bài tập 2.6.4 : Giải phương trình: x − 2x + (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015) Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x = Với  x + − = x =  Do ta nhân liên hợp cho nhóm biểu thức x + −  x + x − = đồng thời phân tích cho nhóm biểu thức ( x + x − 8) để tạo nghiệm x = trước ( ) Sau tháo gỡ nghiệm x = ta có phương trình vơ tỷ phương trình ta tìm nghiệm x ≈ 3.302775638 thay vào thức ta được: x + ≈ 2.302775638 ≈ x − hay nhân tử tạo là: ( x − − x + ) x − x − Do ta có cách giải sau : Lời giải: Cách 1: Đk: x ≥ −2 (*) Với đk(*), Ta có: Pt ⇔ ( x − 2) ( x + 4) = ( x + 1)( x − 2) x+2+2 x − 2x + x+4 x +1 ⇔ ( x − 2)( − )=0 x − 2x + x+2 +2  ( x + 4) x + + − ( x + 1)( x − x + 3)  =0 ⇔ ( x − 2)    ( x − x + 3) x + +   ⇔ ( x − 2) ( x + 4) x + − x + x + x + 5 = ( ) ( ) 11 ⇔ ( x − 2)  x − x − x − + ( x + 4)( x − − x + 2)  = ⇔ ( x − 2) ( x + 1)( x − x − 1) + ( x + 4)( x − − x + 2)  = ⇔ ( x − 2) ( x + 1)( x − − x + 2)( x − + x + 2) + ( x + 4)( x − − x + 2)  = ⇔ ( x − 2)( x − − x + 2)  x + x + + ( x + 1) x +  = ⇔ ( x − 2)( x − − x + 2) ( x + + x + 2) + x − x + 3 = (1)  x − x + > 0; ∀x ∈ ¡ nên ( x + + x + 2) + x − x + > 0; ∀x ≥ −2 Vì  ( x + + x + 2) ≥ 0; ∀x ≥ −2 Do đó: x = x = x =   (1) ⇔  ⇔  x ≥ + 13   x + = x −  x − 3x − =  x =   Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x = 2; x = Nhận xét: Ta có phân tích tạo liên hợp ngược: ( x − x − = ( x − 1) − ( x + 2) = x − − x + + 13 ) ( x −1+ ) x+2 Nhận thấy x − = ( x + − 2)( x + + 2) ta ta giải tốn theo cách sau: Cách 2: Đk: x ≥ −2 (*) Với đk(*), Ta có: Pt ⇔ x + x − = ( x − x + 3)( x + 1)( x + − 2) ⇔ ( x − 2)( x + 4) = ( x − x + 3)( x + 1)( x + − 2) ⇔ ( x + − 2)( x + + 2)( x + 4) = ( x3 − x + x + 3)( x + − 2) ⇔ ( x + − 2)  x − x − x − − ( x + 4) x +  = ⇔ ( x + − 2)  x − x − x − − ( x + 4) x +  = ⇔ ( x + − 2)  x − x − x − + ( x + 4)( x − − x + 2)  = ⇔ ( x + − 2) ( x + 1)( x − x − 1) + ( x + 4)( x − − x + 2)  = ⇔ ( x + − 2) ( x + 1)( x − − x + 2)( x − + x + 2) + ( x + 4)( x − − x + 2)  = ⇔ ( x + − 2)( x − − x + 2)  x + x + + ( x + 1) x +  = ⇔ ( x + − 2)( x − − x + 2)  x + x + + 2( x + 1) x +  = ⇔ ( x + − 2)( x − − x + 2)  x − x + + ( x + + x + 2)  = ⇔ ( x + − 2)( x − − x + 2) =  x − x + > 0; ∀x (Vì  x − x + + ( x + + x + 2) > 0; ∀x ≥ −2 ) ( x + + x + 2) ≥ 0; ∀x ≥ −2 12 x = x =  ⇔  x > ⇔  x = + 13   x − x − =   Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x = 2; x = + 13 Nhận xét : Đây toán hay, hội tụ nhiều yếu tố như: Bài tốn có chứa thức khơng q lớn,bài tốn có chứa phân thức, vội vàng quy đồng mẫu số học sinh dễ mắc sai lầm q trình tính tốn phương trình trở nên phức tạp; tốn có nhiều cách giải song phương pháp tạo liên hợp ngược phương pháp vô hữu hiệu : phân tích nhân tử đưa phương trình dạng tích Bài tập 2.6.5: Giải phương trình: 2( x − 1) x + + = − x Phân tích: Đây tốn có hai biểu thức chứa thức khác với toán ta hoàn toàn sử dụng phương pháp này, bình phương hai vế ta được: pt ⇒ x3 − x + 3x + 2( x − 1) x + = đưa toán dạng thức Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x ≈ 0.809016994 Sử dụng nghiệm vơ tỷ tìm liên hợp : x − x + , từ ta có phân tích: ( )( x − (2 x + 1) = x − x + x + x + ) Lời giải: (*).Với đk(*), ta có: Pt ⇒ x − x + x + 2( x − 1) x + = Điều kiện: − ≤ x ≤ ⇔ x  x − (2 x + 1)  − 2( x − 1)(2 x − x + 1) = ⇔ (2 x − x + 1)(2 x − x + + x x + 1) = ⇔ x = x + (Vì x − x + + x x + = ( x − 1)2 + ( x + x + 1)2 > với x) 2 x ≥ 1+ ⇔ ⇔x= 4 x − x − = 1+ thỏa mãn 1+ Vậy phương trình có nghiệm x = Thử lại nghiệm ta thấy x = Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình: x − 13x + + 3x + = Bài 2: Giải phương trình: 3x + 3x + = ( x + 6) x − x − Bài 3: Giải phương trình: x + 3x + x + 2x + = 3x + 13 2.7 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép: Bài tốn nghiệm bội nói chung nghiệm kép nói riêng dạng tốn mới, lạ, hay đặc biệt khó ta khơng định hướng đường tốn phương trình vơ tỷ Bài tập 2.7.1: Giải phương trình: x − x + − x = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm x = nghiệm kép phương trình từ cần làm xuất biểu thức ( x − 1)2 để đặt nhân tử chung, tức ta biến đổi thức x thành ax + b − x Nhân liên hợp (ax + b) − x ta cho: (ax + b) − x = x − x + ⇒ ax + b = x + , ax + b + x suy liên hợp cần tìm là: x + − x cách tạo liên hợp sau: x − x + =  ( x + 1) − x  + x + = ( x + − x )( x + + x ) + x + tađược ax + b − x = Lời giải: Đk: x ≥ 0, (*) Với đk (*), ta có: Pt ⇔ ( x − x + 1) + ( x + − x ) = ⇔ ( x + − x )( x + + x ) + ( x + − x ) = ⇔ ( x + − x )( x + + x ) = ⇔ x + − x = (Vì x + + x > với x ≥ ) x ≥ ⇔ x +1 = x ⇔  ⇔ x =1 ( x − 1) = Vậy phương trình có nghiệm là: x = Bài tập 2.7.2: Giải phương trình: −2 x + x + = x − 3x − x + 12 (Đề thi HSG Vòng 1- Hà Nội- năm 2015-2016) Lời giải: Đk: −1 ≤ x ≤ (*).Với đk (*), ta có: Pt ⇔ −2 x + x + + x − = x − 3x + ⇔ −2 x + x + + x − = ( x − x + 4)( x + 1) ⇔ 9(2 −2 x + x + + x − 8) = 9( x − x + 4)( x + 1) ⇔ 9(2 −2 x + x + + x − 8) = ( x − 8) − (2 −2 x + x + 7)  ( x + 1)   ⇔ 9(2 −2 x + x + + x − 8) = (2 −2 x + x + + x − 8)( x − − −2 x + x + 7)( x + 1) ⇔ (2 −2 x + x + + x − 8) ( x − − −2 x + x + 7)( x + 1) −  =    7 ⇔ −2 x + x + + x − = (Vì ( x − − −2 x + x + 7)( x + 1) − < 0; ∀x ∈  −1;  )  2   −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x=2 9( x − 2) =  Vậy phương trình có nghiệm là: x = 14 Bài tập 2.7.3: Giải phương trình: 20 x + 14 x + − (14 x + 11) x + = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm x = nghiệm kép phương trình từ có liên hợp cần tìm là: x + − x − hay 3 x + − (4 x + 1) Vì ta cần phải làm xuất biểu thức liên hợp sau: x − x + = 9(2 x + 1) − (4 x +1) = (3 x +1 − x −1)(3 x + + x + 1) Lời giải: Ta có: Pt ⇔ 60 x + 42 x + 27 − 3(14 x + 11) x + = ⇔ x − 16 x + 16 − (14 x + 11) 3 x + − (4 x + 1)  =   ⇔ (3 x + 1) − (4 x + 1)  − (14 x + 11) 3 x + − (4 x + 1)  =     ⇔ 3 x + − (4 x + 1)  (6 x + − x − 9) =     x ≥ −  x = 2 3 x + = x +  2( x − 2) = ⇔ ⇔ ⇔  x = ± 14  2 x + = x +   x ≥ −     4 x − 12 x − = Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = 2; x = ± 14 Nhận xét : Bài tốn vừa có nghiệm hữu tỷ kép, vừa có nghiệm vơ tỷ lời giải chọn nghiệm hữu tỷ kép để tìm nhân tử chung Bài tập 2.7.4: Giải phương trình: x + = x + x − Phân tích: Khi ta đặt ẩn phụ t = x phương trình trở thành: 2t + = 2t + 2t − ( Đưa toán chứa thức) Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm t = nghiệm kép phương trình từ có liên hợp cần tìm là: 2t − − 2t − cách tạo liên hợp sau: 2t − 2t + = (2t − 1) − ( 2t − 1)  + 2t − = (2t − − 2t − 1)(2t − + 2t − 1) + 2t −   Lời giải: Đk: x ≥ , (*) Với đk (*), ta đặt: t = x (t ≥ ) , phương trình trở thành: 2t − 2t + − 2t − = ⇔ 2t − 4t + + (2t − − 2t − 1) = ⇔ (2t − 1) − ( 2t − 1) + (2t − − 2t − 1) = ⇔ (2t + 2t − 1)(2t − − 2t − 1) = 15  t ≥ ⇔ 2t − = 2t − ⇔  ⇔ t = 1(t / m) 2(t − 1) =  hay x = ⇔ x = (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 ≤ t ≤ ⇔ ⇔ t = hay (t − 1) = x − = ⇔ x = (t/m) Vậy phương trình có nghiệm là: x = Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình: x + − 4( x − 2) x + = Bài 2: Giải phương trình: x + x + − ( x + 2) x + 3x + = 2.8 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm bội ba: Xét phương trình: g ( x) = h( x) n f ( x) ( n = n = ) Nếu pt có nghiệm bội ba x0 “lượng liên hợp” cần bớt n f ( x) thông thường biểu thức ax + bx + c Tương tự toán nghiệm kép để tìm a, b, c phương pháp nhân liên hợp đồng hệ số sử dụng tính chất nghiệm bội ba, ta làm sau: Đặt r ( x) = n f ( x) a, b nghiệm hệ phương trình:  2a = r "( x0 )  b = r '( x0 ) − 2a.x0  c = r ( x0 ) − a.x0 − b.x0 Bài tập 2.8.1: Giải phương trình: x( x − x + 3) = 2( x + x − x + 1) Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm x = nghiệm bội ba phương trình, đặt r ( x) = 2( x3 + x − x + 1) lượng liên hợp thêm vào thức ax + bx + c với:  2a = r "(1) = a =   b = r '(1) − 2a.1 = ⇔ b = c = r (1) − a.1 − b.1 = c =   ( ) ⇒ Liên hợp cần tìm là: x + − 2( x + x − x + 1) , ta cần phân tích biến đổi biểu thức làm xuất biểu thức sau: ( x + − 2( x3 + x − x + 1))( x + + 2( x3 + x − x + 1)) = x − x + x − Lời giải: Đk: x ≥ , ta có: Pt ⇔ ( x − x + 3x − 1) + ( x + − 2( x + x − x + 1)) = (1) Với x ≥ x + > nên nhân hai vế phương trình (1) với x + ta được: ( x − x3 + x − 1) + ( x + 1)( x + − 2( x + x − x + 1)) = 16 ⇔ ( x + − 2( x + x − x + 1))( x + + 2( x + x − x + 1)) + ( x + 1)( x + − 2( x + x − x + 1)) = ⇔ ( x + − 2( x3 + x − x + 1))( x + x + + 2( x3 + x − x + 1)) = (Vì x + x + + 2( x3 + x − x + 1) > 0; ∀x ≥ ) ⇔ ( x − 1)3 ( x + 1) = ⇔ x = ( t / m ) Vậy phương trình có nghiệm là: x = Bài tập 2.8.2: Giải phương trình: x3 + x + = x + − x3 Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm x = nghiệm bội ba ⇔ x + − 2( x3 + x − x + 1) = ) ( 2 phương trình Tương tự ta có liên hợp cần tìm là: x + − x + − x , cần biến đổi biểu thức thức làm xuất biểu thức: ( x +1− 2 x + − x3 ) ( x +1+ ) x + − x = x + x có lời giải sau: Bài giải: Đk: x + − x3 ≥ , ta có: Pt ⇔ x + ( x + − x + − x ) = (1) Nhận thấy x = −2 nghiệm phương trình Xét x ≠ −2 , nhân hai vế phương trình (1) với x + , ta được: ( x + x3 ) + ( x + 2)( x + − x + − x ) = ⇔ ( x + 1)2 − ( x + − x3 )  + ( x + 2)( x + − x + − x ) =   ⇔ ( x + − x + − x )( x + + x + − x3 ) + ( x + 2)( x + − x + − x ) = ⇔ ( x + − x + − x )( x + x + + x + − x ) = ⇔ x + − x + − x = (Vì x + x + + x + − x3 > 0; ∀x ) ⇔ x ( x + 2) = ⇔ x = Nhận xét : Đối với toán ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp khó đánh giá phần lại việc tìm điều kiện chặt phương trình khó khăn Bài tập 2.8.3: Giải phương trình: x3 + (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x + = Phân tích: Sử dụng chức máy tính cầm tay ta tìm x = nghiệm bội 2 ba phương trình nhận thấy: x3 = (5 x + 4) x +  − (7 x + 4) x +  Do ta có lời giải sau: Lời giải: Cách 1: Đk: x ≥ − , ta có: 2 Pt ⇔ (5 x + 4) x +  −  (7 x + 4) x +  + (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  = ⇔ (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  (5 x + 4) x + + (7 x + 4) x +  + (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  = ⇔ (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  (5 x + 4) x + + (7 x + 4) x +  + (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  = 17 ⇔ (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  (5 x + 4) x + + (7 x + 4) x + + 1 = ⇔ (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x +  = (Vì (5 x + 4) x + + (7 x + 4) x + + >0 ; ∀x ≥ − ) ⇔ x = ⇔ x = ( t / m ) Vậy phương trình có nghiệm : x = Nhận xét : Với toán ta thấy giải phương trình nghiệm bội ba ta khơng tập trung vào việc tìm tạo liên hợp mà phải tư để có định giải hợp lý Ngoài định hướng ta nhận thấy: ( ) x + − x + = (5 x + 4) x + − (7 x + 4) x + Với định hướng ta có cách giải sau: Cách 2: Đk: x ≥ − , ta có: Pt ⇔ x + ( 2x +1 − x +1 ) = ⇔ ( x + 1) − ( x + 1)  + ⇔ ( x + − x + 1)( x + + x + 1)  + ( ⇔( ⇔( ⇔ ) x + ) = (Vì ( x + + x + 1) = ⇔ x = ( t / m ) ( ) ( ) 2x +1 − x +1 = 2x +1 − x +1 = x + − x + ( x + + x + 1)3 + 1 = 2x +1 − 2x +1 − x + 1)3 + > 0; ∀x ≥ − ) Vậy phương trình có nghiệm : x = Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình: x3 + x + x + = 3x + x + Bài 2: Giải phương trình: 2( x + 5) − x + 16 x + + 3x − 11x − 36 = 2.9.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Đối với học sinh Tôi áp dụng đề tài vào việc trực tiếp giảng dạy cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp10, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10,11ở lớp giao nhiệm vụ ôn thi THPT Quốc Gia, thu số kết khả quan: - Các em xóa bỏ dần tâm lý e ngại đồng thời đam mê, hứng thú gặp tốn phương trình vơ tỷ - Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy có 80% em học sinh có hứng thú học giải tập tương tự Đối với thân đồng nghiệp - Đề tài dùng làm tài liệu cho học sinh giáo viên q trình dạy học mơn tốn, ôn thi THPT Quốc Gia thi học sinh giỏi 3.Kết luận kiến nghị: 3.1 Kết luận: 18 Không dừng lại việc: “ Giải phương trình vơ tỷ ” mà ta áp dụng “Kỹ tạo liên hợp ngược” để giải toán bất phương trình, hệ phương trình chứa thức, tốn phương trình bất phương trình vơ tỷ có nghiệm bội 4, 5, Đặc biệt áp dụng phương pháp tốn tìm giới hạn, tốn tính tích phân Dù kiểm nghiệm qua giảng dạy đề tài nhiều hạn chế Rất mong có đươc thật nhiều ý kiến đóng góp để đề tài ngày đạt hiệu cao 3.2 Kiến nghị: Sau tổng kết thực nghiệm sư phạm, tơi có số đề xuất sau: - Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học để phù hợp với đối tượng, nội dung học Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi - Nhà trường, tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm học sinh theo hướng dẫn giáo viên, từ tạo điều kiện cho giáo viên học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tạ Thị Vân TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 1.Sách “Phương trình vơ tỷ-Phương pháp suy luận tư duy”-Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân- NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Phương pháp nhân tử Casio Tác giả Bùi Thế Việt –Chuyên Thái Bình Các phương trình vơ tỷ trang tốn học mạng Internet Đề thi thử, thức THPT Quốc Gia, HSG tỉnh 20 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.4 Bài toán mở đầu 2.5 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỷ đơn 2.6.Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vô tỷ đơn 2.7 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép 14 2.8 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm bội ba 16 2.9 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận .19 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 21 ... dạy - học, kỹ trình bày, kỹ thuyết trình Trong mơn tốn ngồi kỹ chung dạy học thể qua yếu tố đặc thù môn chẳng hạn: kỹ giải tốn, kỹ tính tốn kỹ tạo liên hợp ngược để giải số phương trình vơ tỷ. .. 2.5 Tạo liên hợp ngược với nghiệm hữu tỷ đơn 2.6 .Tạo liên hợp ngược với nghiệm vô tỷ đơn 2.7 Tạo liên hợp ngược với nghiệm kép 14 2.8 Tạo liên hợp ngược với nghiệm... học sinh giáo viên q trình dạy học mơn tốn, ơn thi THPT Quốc Gia thi học sinh giỏi 3.Kết luận kiến nghị: 3.1 Kết luận: 18 Không dừng lại việc: “ Giải phương trình vơ tỷ ” mà ta áp dụng Kỹ tạo liên