Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chun nghành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Mục lục LỜI GIỚI THIỆU CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.2 Hệ phương trình đối xứng 10 1.3 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh 18 1.4 Hệ phương trình đẳng cấp 24 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 28 2.1 Phương pháp 28 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 32 2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số .39 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 46 2.5 Phối hợp nhiều phương pháp 55 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 57 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57 3.2 Hệ phương trình bất phương trình ẩn .60 Kết luận 70 71 Tài liệu tham khảo LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình chuyên đề quan trọng chương trình học phổ thông Đề thi đại học năm hầu hết có câu hệ phương trình Đó phần học quan trọng đại số lớp 10 Từ lâu việc tìm cách tổng hợp phương pháp để giải hệ phương trình nhiều người quan tâm Hệ bất phương trình lại lĩnh vực mà người quan tâm Các tài liệu tổng hợp phương pháp giải hệ bất phương trình nói Dựa giúp đỡ dẫn thầy Nguyễn Văn Mậu với tìm tịi tham khảo tổng hợp số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Ngoài phần mở đầu, phần kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn bao gồm có ba chương Chương trình bày số dạng phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn Chương CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính Nhận dạng Xét hệ phương trình a a12X X+ +b b12Y Y= =c c12 Phương pháp giải Thường có ba phương pháp: Cách phương pháp Tư phương trình ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình cịn lại Cách phương pháp cộng đại số Cộng trừ vế hai phương trình hợp lý để dễ dàng tìm x y Cách dùng định thức Ta kí hiệu a1 c1 a c a2 b1 b1 D= c2 = a b −a b , D = 2 X b = c1b2−c2b1, DY = a2 b = a1c2−a2c1 TH1: D ƒ= Hệ có nghiệm DX D   X = DY  Y = D TH2: D = DX = DY = Hệ có vơ số nghiệm dạng {(X0; Y0)|a1X0 + b1Y0 = c1} TH3:D = DX ƒ= DY = Khi hệ vô nghiệm Lưu ý : Đôi cần vài biến đổi đặt ẩn phụ hệ quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn Sau số tốn Và thơng thường, với tốn ta kết hợp vài phương pháp để giải cách thuận lợi Bài tốn 1.1 Giải hệ phương trình  3(x + y) +  x − y = y−x Lời giải Điều kiện:ƒx = y Hệ phương trình đề tương đương với 3x + 3y + = −2x + 2y 15x − 3y = 5y − 5x ⇔ 5x + y = − 5x − 2y = Từ phương trình thứ nhất, ta rút y = −5x − 2, vào phương trình thứ hai 15x + = hay x = , từ dễ dàng tìm y = − −3 15 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = (− ; − ) 15 Bài tốn Lời giải 1.2 Giải hệ phương  trình + = x y 10  x −y = Đặt 1 = v với u, v ƒ= Khi hệ phương trình trở = u, thành y x 6u + 5v = 9u − 10v = Nhân hai vế phương trình đầu với cộng vế phương trình thu với phương trình cịn lại ta u = , thay vào hai phương trình v = Từ suy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (3; 5) Bài toán 1.3 Giải hệ phương trình  2x − y+7   + =5 x−2 y+3  x + 3y + x − +y + = Lời giải   2 + Hệ phương trình tương đương với x y+3  −3 +3− =5 +    x− + =2 y+ +1+ =5 x−2 ⇔ y+  − =1 y + x − 21 u + 4v = Đặt = v với u, v ƒ= hệ trở = u, 3u − 8v = y + thành x− Sử dụng định thức, ta tính D = −20, DX = −20, DY = −5 Từ thu = 1, v = u = = Cuối ta dễ dàng tính (x; y) = (3; DY DX 1) D D Hay ta xét hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chia trường hợp để giải quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn Bài tốn 1.4 Giải hệ phương trình sau |x − 1| + y = 2x − y = Lời giải Từ phương trình thứ rút y = −|x − 1|, vào phương trình thứ hai ta thu |x − 1| = − 2x TH1 Nếu x ≥ |x − 1| = x − 1, x − = − 2x, tìm < 1, x = khơng thỏa mãn TH2 Nếu x < |x − 1| = − x, giải tương tự tìm x = < 1, thỏa mãn √ √ ⇔ (m + 1) − m2 − m + = m2 + m + − (m + 1) Nếu m > VT>0>VP Nếu m < VT Nếu m < có: √ 2 2 ⇔ 2(m √ + 1) + (m + 1) − m > 4m 2m (m2 + 1)2 − m2 > m2 − ⇔ √ ⇔ (m2 − 1)2 + 3m2 > m2 − Điều luôn ∀m < Vậy trường hợp iv) không xảy Kết luận: m = giá trị cần tìm Bài toá.n3.14 Xác định giá trị m để hệ sau có nghiệm x2 − 5x + ≤ √ x + 16 = 3x − mx Lời giải Hệ phương trình tương đương với  1 x 3x≤2 + 16  √ x x =m (3.17) (3.18) x ≤ 3x2 + 16 = mx√ x (3.19) (3.20) Đặt g(x) = ⇔ 3x2 + 16 √ x x Ta có 6x x x √ x − (3x + 16) √ x + √ ) ( 6x − (3x + √x 16) √ x 2 x = g′(x) = √ x x3 √ x x = 2x (x2 − 16) = 2x (x − 4)(x + 4) ≤ 0, ∀x ∈ [1; 4] Kết3 hợp với g(x) 3hàm số liên tục [1; 4] ta có lập luận: Hệ đề có nghiệm ⇔ (3.18) có nghiệm x ∈ [1; 4] ⇔ g(x) ≤ m ≤ max g(x) ⇔ g(4) ≤ m ≤ g(1) ≤ m ≤ 19 Bài tốn 3.15 Tìm tất giá trị tham số a để hệ sau có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều√ kiện x≥ √ x+ y= (3.19) √x + + √ y+3 Bài tốn 3.16 Tìm tất cặp số thực (x; y) thỏa mãn 3|x −2x−3|−log35 = 5−(y+4) (3.22) 4|y| − |y − 1| + |y + 3|2 ≤ Lời giải Bất phương trình 3.23 tương đương với (3.23) 4|y| − |y − 1| + |y + 3|2 − ≤ (3.24) Xét khoảng y ta giải bất phương trình (3.24) tương ứng: - Với y ≤ |y| = −y, |y − 1| = − y, (3.24) ⇔ y2 + 3y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ - Với < y < |y| = y, |y − 1| = − y, (3.24) ⇔ y2 + 11y ≤ ⇔ −11 ≤ y ≤ (không thỏa mãn với y > 0) - Với y√≥ |y| = y, |y√− 1| = y − 1, (3.24) ⇔ y2 + 9y + ≤ −9 − 73 ⇔ −9 + 73 ≤y≤ (không thoả mãn với y ≥ 1) Vậy miền nghiệm (3.24) [−3; 0] Ta biến đổi (3.23) tương đương với 3|(x+1)(x−3)|.3−log35 = 5−(y+4) ⇔ 3|(x+1) = 5−(y+4) (x−3)| ⇔ 3|(x+1)(x−3)| = 5−(y+3) ⇔ |(x + 1)(x − 3)| = −log35.(y + 3)(3.25) T a có 3) 35 > 0, y + nên log35.(y + 3) Mà (x + 1)(x Do đólog theo (3.25) ≥ ta có − ≤ | − | ≤ 5.(y + 3) =  yΣ = −3 −log30 ⇔ x = −1  |(x + 1)(x − 3)| = x=3 Thử lại hệ đề ta có hệ có hai cặp số (x, y) thỏa mãn (−1; −3), (3; −3) Kết luận Luận văn hoàn thành đạt số kết sau: Giới thiệu tổng quan hệ phương trình đại số với tính chất cách giải chúng Khảo sát cách chi tiết hệ thống tốn giải hệ phương trình chứa tham số phương pháp bất đẳng thức giải hệ phương trình Đưa số ví dụ áp dụng từ đề thi đại học, đề thi HSG Olympic quốc gia khu vực Tài liệu tham khảo [1]Nguyễn Văn Mậu (1993), Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [2]Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận (2003),Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục bibitem3Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục [3]Nguyễn Văn Mậu (2006),Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [4]Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Trịnh Đào Chiến (2007) Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [5]Trần Nam Dũng (Chủ biên), (2010) Phương trình nữa, NXB ĐHQG Tp HCM ... dạng phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn Chương CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG... 46 2.5 Phối hợp nhiều phương pháp 55 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 57 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57 3.2 Hệ phương trình bất phương trình ẩn .60 Kết luận 70...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13