Luận văn thạc sĩ ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - NGUYEN TUAN ANH ÚNG DUNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIEN GIAI M®T SO LéP PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIấNG LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi - 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - NGUYEN TUAN ANH ÚNG DUNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIEN GIAI M®T SO LéP PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS LÊ HUY CHUAN Mnc lnc Lài ma đau Chương Kien thÉc chuan b% .4 1.1 Các loai phương trình đao hàm riêng 1.2 Chuoi Fourier 1.3 Hàm Bessel .8 1.4 Các đ%nh lí ve tính nhat cna nghi¾m 12 1.5 Phương trình sóng m®t chieu: Phương pháp tách bien 16 Chương Phương trình đao hàm riêng hai chieu 22 2.1 Bài toán giá tr% riêng cna phép bien đői Laplace 22 2.2 Phương trình Laplace 25 2.3 Phương trình sóng 38 2.4 Phương trình nhi¾t 57 Ket lu¼n 64 Tài Li¼u Tham Khao 65 LèI Me ĐAU Phương pháp tách bien m®t nhung phương pháp quan TRQNG đe giai tốn biên cna phương trình đao hàm riêng tuyen tính Nó đưoc su dung suot the ky qua, ngày van m®t phương pháp rat quan TRQNG đưoc úng dung nhieu lĩnh vnc Bang vi¾c su dung phương pháp tách bien ket hop vói ngun lý chong chat nghi¾m khai trien hàm theo h¾ so trnc giao, ta có the giai quyet m®t so lóp phương trình đao hàm riêng tuyen tính khơng thuan nhat Muc tiêu cna ln văn tìm hieu trình bày lai ket qua ve vi¾c áp dung phương pháp tách bien vào viắc giai mđt so phng trỡnh ao hm riờng tuyen tính khơng thuan nhat khơng gian hai chieu Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành hai chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Trình bày m®t so phương trình đao hàm riêng, kien thúc ban cna chuoi Fourier, hàm Bessel se su dung chương sau, đ%nh lí nhat nghi¾m giói thi¾u ve phương pháp tách bien Chương 2: Phương trình đao hàm riêng hai chieu Su dung phương pháp tách bien hàm riêng đe tìm nghi¾m cna phương trình sóng, phương trình nhi¾t phương trình Laplace hình chu nh¾t, hình trịn Em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan TS.Lê Huy Chuan Thay giao đe tài t¾n tình hưóng dan em q trình hồn thành lu¾n văn Nhân d%p em xin gui lịi cam ơn cna tịi tồn b® thay giáo khoa Tốn-Cơ-Tin HQc giang day giúp đõ chúng em suot q trình HQc t¾p tai khoa Đong thịi, tơi xin cam ơn ban lóp Cao HQc khóa 20102012 chun nghành Tốn, khoa Tốn-Cơ-Tin hQc nhi¾t tình giúp đõ tơi quỏ trỡnh HQc tai lúp H nđi, ngy 26 tháng 11 năm 2012 HQc viên Nguyen Tuan Anh Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Các loai phương trình đao hàm riêng Phương trình đao hàm riêng vói an hàm u(x1, x2, , xn) vói bien x1, x2, , xn đ®c l¾p, có dang ∂u ∂x1 , F (x1, , , ∂u ∂x , n , ∂uk +k +···+k ∂x n ) = 0, k ∂xkn n xn, u, F m®t hàm cna đoi so Cap cao nhat đao hàm riêng cna u, có m¾t phương trình, đưoc GQI cap cna phương trình Phương trình đao hàm riêng đưoc GQI tuyen tính, neu F tuyen tính đoi vói an hàm u tat ca đao hàm riêng cna Xét phương trình cap hai cna hàm hai bien ∂2u a(x, y) ∂x2 ∂2u + b(x, y) ∂2u ∂x∂y + c(x, y) ∂y2 + f (x, y, ux, uy) = (1.1.1) 2 tai điem Xét điem (x ,btai )điem co neu đ%nh trình (1.1.1 ) tai (x , loai y0 ) 2y0ellip đưoc GQI thu®c b − (1.1.1 ac 0,trình thu®c loai parabơn neu m®t tai điem ac =đó0 Neu phương tai MQI0 điem m®tlà mien G0loai đeu− thu®c m®t loai ta nói rang phương trình ay thu®c loai mien G Bang phép đői bien ta có the đưa phương trình loai ellip, hypecbơn, parabơn ve dang tac Dang tac cna loai ellip uxx + uyy = Φ(x, y, u, ux, uy) Dang tac cna loai hypecbơn uxx − uyy = Φ(x, y, u, ux, uy) Dang tac cna loai parabơn ho¾c uxy = Φ(x, y, u, ux, uy) uxx = Φ(x, y, u, ux, uy) Mđt so phng trỡnh ao hm riờng vắt lý v k thuắt: Phng trỡnh súng mđt chieu 2u phương trình sóng hai chieu ∂2u ∂t2 = ∂x2 ∂x2 = ∂t2 c c ∂ 2u , + ∂y2 ∂2 u Σ ∂2u , chúng thu®c loai hypecbụn Phng trỡnh nhiắt mđt chieu u u ∂t =c ∂x2 , phương trình nhi¾t hai chieu ∂u = ∂2u c ∂2 u Σ ∂x2 + , ∂y2 chúng thu®c loai parabơn Phương trình Laplace hai chieu ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0, phương trình Poisson hai chieu ∂2u chúng thu®c loai ellip ∂x2 + ∂2u = f (x, y), ∂y2 Đ%nh lí 1.1 ([3, Tr 106] Nguyên lý chong chat) Neu u1 u2 nghi¾m cua phương trình đao hàm riêng tuyen tính thuan nhat, bat kỳ tő hap tuyen tính u = c1u1 + c2u2, c1 v c2 l hang so, cng l mđt nghiắm Ngoi neu u1 v u2 thúa mđt ieu kiắn biên tuyen tính thuan nhat, u = c1u1 + c2u2 se thóa mãn 1.2 Chuői Fourier + − tnc tùng khúc đoan neu fm®t (a )sovà f (bhan ) ton tai,mà fđưac xác nghĩa 1.1 (Hàm tùng khúc) M®t hàm sovà ftai GQI liênĐ%nh và liên tnc trên[a, (a,b]b)liên trùtuc huu điem giái làđ%nh han trái liênphaitnc tùngM®t khúc trênhồnMQI đoan [a,tnc tùng b] khúc bat neu kì giái han ton tai hàm tuan đưac GQI liên J [a, b], Đ%nh đưac GQI trơn khúc neutùng f vàkhúc) f M®t liên tnc tùng [a, b] nghĩa 1.2tùng (Hàm trơn hàm f , khúc xác đ%nh đoan đoan [a, b] M®t hàm tuan hồn trơn tùng khúc neu trơn tùng khúc Đ%nh lí 1.2 ([3, Tr 30] Bieu dien chuoi Fourier) Gia su rang f m®t hàm MQI tuan hồn vái chu kỳ 2π trơn tùng khúc Thì vái MQI x có ∞ f (x+)(x +−)f = a0 nΣ (an cos nx + bn sin nx),(1.2.1) =1 + h¾ so Fourier a0, an, bn đưac xác đ%nh bái a0 π ∫ π − π f (x)dx, (1.2.2) an = ∫ f (x) cos nxdx ), π (n = 1, 2, (1.2.3) bn = π −π f (x) sin nxdx ∫ (n = 1, 2, ) (1.2.4) π −π π Đ¾c bi¾t, neu f trơn tùng khúc liên tnc tai x, ∞ Σ f (x) = a0 + (an cos nx + bn sin nx) (1.2.5) n=1 Nh¼n xét 1.1 Các h¾ so an, bn Fourier cua f có the tính theo cơng thúc sau nhà tính chat cua hàm tuan hoàn a0 π∫ f (x)dx an = 2π bn = π ∫ 2π f (x) cos nxdx (n = 1, 2, ), ∫ f (x) sin nxdx (n = 1, 2, ) 2π π hàmFourier tuan hoàn chu trơn tùng khúc Chuői cuadien hàmkì f2p, đưac Đ%nh ([3, Tr Gia 39] su Bieu chuoi chulí 1.3 kỳ n=1 tùy ý) f cho bái ∞Fourier: Tron g a0 + Σ (an ∂2 ω ∂2ω 1 ∂2ω Σ ∂2µ + f (r, θ, ∂ω ∂ 2µ ∂t2 c − Σ r2 ∂θ < r < a, < θ < 2π, t > ω(a, θ, t) = 0, ∂ω ω(r, θ, 0) ∂t < θ < 2π, t > 0, (r, θ, 0) = 0, < r < a, < θ < 2π = 0, Như v¾y đưa toán tőng quát ve toán biet cách giai 2.4 Phương trình nhi¾t Bài tốn nhiắt hai chieu mụ ta sn phõn bo nhiắt đ mđt tam hỡnh nhiắt đ mong ban au phõn bo lcỏch f (x, y) Nghiắm cna bi oc đ, tìm chu vóiđưoc be m¾t nhi¾t, canh giutốn ocna khơng bangnh¾t phương pháp tách bien đưoc theo tùng bưóccác cách tìmđưoc nghi¾m phương trình sóng hai chieu Ta tóm tat ket qua sau Ket qua 2.7 Nghi¾m cua phương trình nhi¾t hai chieu ∂u ∂ u Σ ∂2 =c ∂t ∂x2 u , < x < a, < y < b, ∂y + 0, (2.4.1) vái đieu ki¾n biên u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, y < b, 0< t > 0, u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0, x < a, đieu ki¾n ban đau a, 0 0, u(x, y, 0) = f (x, y), (2.4.2) Amn a n=1 m=1 x sin b ye−λmnt, (2.4.3) t> + n, a λmn = cπ b2 ∫ b∫ mπ nπ f (x, y) Amn = ydxdy x a sin sin ab 0 a b 22 m (2.4.4) (2.4.5) m, n = 1, 2, Bài toán 2.4.1 (Phương trình nhi¾t hai chieu khơng thuan nhat hình chu nh¾t) Tìm nghi¾m cna phương trình ∂u 2.∂ u Σ ∂2 =c ∂t ∂x2 u + f (x, y, t), ∂y + < b, t > 0, (2.4.6) < x < a, < y vói đieu ki¾n biên u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, u(x, 0, t) = u(x, 0 b, 0, 0 a, 0, b, t) = 0, đieu ki¾n ban đau u(x, y, 0) = 0,0 < x < a, 0 0, u(x, 0, t) = υ1(x, t) gia thiet rang u(x, b, t) = < x < a, t υ2(x, t), > 0, µ1(0, t) = υ1(0, t), υ1(a, t) = µ2(0, t), µ2(b, t) = υ2(a, t), υ2(0, t) = µ1(b, t); t > 0, đieu ki¾n ban đau u(x, y, 0) = φ(x, y), < x < a, < y < b Lài giai Đ¾t y ∗ u (x, y, t) = A(t) + B(t)x + C(t)y + D(t)xy + υ1(x, t) + b [υ2(x, t) − υ1(x, t)] x +µ1(y, t) + a [µ2(y, t) − µ1(y, t)], A(t) = −υ1(0, t) = −µ1(0, t), υ (0, ta) − µ1(0, ta ) − µ2(0, t) υ 1(a, t) µ (0 , t )b − µ1(b, t) , B(t) = = υ (0 , t ) − b υ 2(0 , t) = , C(t) = ab υ1(a, t) − υ2(a, t) + υ2(0, t) − υ1(0, t) + µ2(0, t) − µ1(0, t) 1(b, t) − µ2(b, t) ab D(t)µ= = tiep ta đưoc Tính tốn trnc u∗ (0, y, t) = µ1 (y, t) u∗ (a, y, t) = µ2 (y, t), < y < b, t > 0, u∗ (x, 0, t) = υ1 (x, t) u∗ (x, b, t) = υ2 (x, t), < x < a, t > Ta có the kiem tra trnc tiep rang nghi¾m cna tốn u = v + ω + u∗ , vói v(x, y, t) nghi¾m cna toán =b, c2(v b, t> 0, ωt = c2 (ωxx +ωy y, 0, t)−ω(0, u∗t −y,c2t) (u= + u ) , < x < a, < yy )+f xx yy ω(x, 0, t) = ω(x, b, t) = 0, < x < a, t > 0, ω(x, y, 0) = ωt(x, y, 0) = 0, < x < a, < y < b Như v¾y đưa tốn tőng quát ve toán biet cách giai Ví dn 2.4 Tìm nghi¾m cna phương trình −2t Σ2 Σ e sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, ∂ u ∂u − + t > 0, ∂2u ∂t = ∂x2 π vói đieu ki¾n biên ∂y u(0, y, t) = e−2t cos (2.4.10) πy u(1, y, t) = −e−2t cos < y < 1, t πy, > 0, u(x, 0, t) = e −2t u(x, 1, t) = −e−2t cos πx đieu ki¾n ban đau < x < 1, t cos πx, u(x, y, 0) = + cos πx cos πy, Lài giai Xét > 0, < x < 1, < y < u∗ (x, y, t) = e−2t cos π(x + y), Tính tốn trnc tiep ta đưoc u∗ (0, y, t) = e−2t cos πy u∗ (x, 0, t) = e−2t cos πx u∗ (1, y, t) = −e−2t cos πy, u∗ (x, 1, t) = −e−2t cos πx, < y < 1, t > 0, < x < 1, t > 0, u∗ (x, y, 0) = cos π(x + y), π (u∗xx + u∗yy ) = Nghi¾m cna tốn u∗tt − Σ2 u = v + ω + u∗ , vói v(x, y, t) nghi¾m cna tốn v = (tt / π) ( v xx + v y,)y < x < , < y < t, > , v( , y, t) = v( , y, t) = , < y < t, > , v(x, 0, t) = v(x, 1, t) = 0, < x < 1, t > 0, v(x, y, 0) = + sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, ω(x, y, t) nghi¾m cna tốn [ (ωxxπy, + ωyy) − e− < x 0, ƒ= ωtt Tìm v, ta có ω(x, y, 0) = 0, < 1, < y < ∞ ∞ v(x, y, t) = tr on g Σ Σ ( < x 1, )n (1 ] − − − (, − π m 1) , Amn sin mπx sin nπye−λmnt, n=1 m=1 √ λmn = m2 + n2 ∫ ∫ Amn = D o đ ó (1 + sin πx sin πy) sin mπx sin nπydxdy 0 16 A 1 = π2 + 1; Amn = < y < 1, t > 0, Do Amn = neu m ho¾c n chan, có ∞ v(x, y, t) = sin πx sin 16 Σ Σ πye−2t+ ∞ e−λ(2l+1)(2k+1) t sin(2l+1)πx sin(2k+1)πy π2 k=0 l=0 (2l + 1)(2k + 1) Tìm ω, ta có t ∞ ω(x, y, t) = Σ ∞ Σ e sin mπx +n2 )(t− − (m ω) fmn (ω)dω sin nπy ∫ n=1 m=1 f11 = − 21 e−2t , fmn = 0, (m, n) ∫ t −1 e−2(t−ω) e −2ωdω = ∫ ƒ= (1, 1) Do t e− 2t, − t e +n2 −(m )(t− ω) fmn(ω)dω = 0, (m, n) ƒ= (1, 1) t −2t ω(x, y, t) = e sin πx sin πy − V¾y nghi¾m cna tốn t −2t u(x, y, t) = e−2t cos π(x + y) e sin πx sin πy + sin πx sin Chúng ta có πye−2t − + 16 ∞ ∞ Σ Σ −λ (2l+1)(2k+1) e t k=0 l=0 sin(2l + 1)πx sin(2k + 1)πy π2 (2l + 1)(2k + 1) KET LU¾N Trong lu¾n văn em trình bày tư tưong n®i dung phương pháp tách bien m®t so kien thúc cna chuoi Fourier, hàm Bessel đe phuc vu muc đích giai m®t so lóp tốn biên phương trình đao hàm riêng Đó phương trình sóng, phương trình nhi¾t phương trình Laplace Song song ví du áp dung Đóng góp cna lu¾n văn bao gom: 1Tìm hieu tài li¾u tham khao trình bày lai n®i dung phương pháp tỏch bien 2e cắp mđt so dang bi toỏn thnc te áp dung phương pháp tách bien 3Xây dnng m®t so ví du áp dung Tuy nhiên thịi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu cịn có nhung sai sót em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna quý thay cô ban ĐQ c Tài li¾u tham khao Đào Huy Bích - Phan Văn Hap - Pham Th% Oanh (1998), [1] trình vi phân, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Nguyen Thùa Hop (2001), Phương trình đao hàm riêng, NXB Đai [2] HQc [3] Phương Quoc Gia Hà N®i Nakhlé H Asmar (2004), Partial Differential Equations with Fourier Se- ries and Boundary Value Problems, Pearson Prentice Hall [4] Richard Bernatz (2010), Fourier Series and Numerical Methods for Par- tial Differential Equations, John Wiley & Sons [5] Mark S Gockenbach (2002), Partial Differential Equations: Analytical and Numerical Methods, Siam [6] Cain, George L, Meyer, Gunter H (2006), Separation of Variables for Partial Differential Equations : An Eigenfunction Approach Studies in Advanced Mathematics, CRC Press [7] George P Tolstov (1962), Fourier Series, Prentice Hall [8] Igor Yanovsky (2005), Partial Differential Equations: Graduate Level Problems and Solutions ... thi¾u ve phương pháp tách bien Chương 2: Phương trình đao hàm riêng hai chieu Su dung phương pháp tách bien hàm riêng đe tìm nghi¾m cna phương trình sóng, phương trình nhi¾t phương trình Laplace... u, F m®t hàm cna đoi so Cap cao nhat đao hàm riêng cna u, có m¾t phương trình, đưoc GQI cap cna phương trình Phương trình đao hàm riêng đưoc GQI tuyen tính, neu F tuyen tính đoi vói an hàm u tat... Chương Phương trình đao hàm riêng hai chieu 22 2.1 Bài toán giá tr% riêng cna phép bien đői Laplace 22 2.2 Phương trình Laplace 25 2.3 Phương trình sóng 38 2.4 Phương trình