Luận văn thạc sĩ phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC VŨ TH± MÙNG PHÂN LOAI PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIAI CHÚNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan: PGS TS Nguyen Minh Tuan Hà N®i - 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC VŨ TH± MÙNG PHÂN LOAI PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIAI CHÚNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 60 46 01 13 Ngưài hưáng dan: PGS TS Nguyen Minh Tuan LèI CAM ƠN Trưóc trình bày nđi dung chớnh cna khúa luắn, em xin by to lịng biet ơn sâu sac tói PGS TS Nguyen Minh Tuan ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai hQc Khoa HQ c Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia H Nđi ó day bao em tắn tỡnh suot q trình HQc t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot trình HQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p Hà N®i, ngày 10 tháng 10 năm 2016 HQc viên Vũ Th% MÈng Mnc lnc LèI NĨI ĐAU4 M®t so kien thÉc ban6 1.1 Các hàm so lưong giác .6 1.2 1.1.1 Hàm so y = sin x y = cos x .7 1.1.2 1.1.3 Hàm so y = tan x y = cot x Bài t¾p Đa thúc lưong giác 12 M®t so loai phương trình lưang giác15 2.1 2.2 Phương trình lưong giác ban .16 2.1.1 Phương trình lưong giác ban 16 2.1.2 2.1.3 Các ví du 17 Bài t¾p áp dung 23 Phương trình a cos x ± b sin x = c 24 2.2.1 Phương pháp giai 24 2.2.2 2.2.3 2.3 Các ví du 24 Bài t¾p áp dung 28 Phương trình lưong giác đoi xúng, phan đoi xúng đoi vói sin x cos x 28 2.4 2.5 2.3.1 Phương pháp giai 28 2.3.2 2.3.3 Các ví du 30 Bài t¾p áp dung 35 Phương trình cap đoi vói sin x cos x .35 2.4.1 Phương pháp chung .35 2.4.2 Các ví du 36 2.4.3 Bài t¾p áp dung 41 M®t so phương trình lưong giác có cách giai đ¾c bi¾t 42 2.5.1 Tőng hang tu không âm 42 2.5.2 Phương pháp đánh giá hai ve .45 M®t so Éng dnng cua lưang giác đai so54 3.1 Giai phương trình, bat phương trình h¾ phương trình đai so54 3.2 Chúng minh toán thúc bat thúc 64 3.3 Bài toán cnc tr% 70 3.4 Xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy so .74 KET LU¼N82 Tài li¼u tham khao83 Tài li¼u tham khao83 LèI NĨI ĐAU Hi¾n vói vi¾c đői mói tồn di¾n cách kiem tra đánh giá lnc cna B® Giáo Duc Đào Tao Chn trương giam tai chương trình sách giáo khoa vói vi¾c đői mói cách thúc tő chúc m®t kì thi quoc gia Thì vi¾c TRQNG rèn luy¾n phương pháp tn HQc rat can thiet Đoi vói b® mơn Tốn cơng vi¾c cna giáo viên hưóng dan HQc sinh cơng thúc đe HQc sinh tn giai t¾p phát huy tính tích cnc HQc t¾p cna HQc sinh Đoi vói chương trình tốn trung HQc phő thơng phương trình lưong giác m®t n®i dung quan TRQNG kỳ thi tuyen sinh đai HQ c hau năm có m®t câu giai phương trình lưong giác Vi¾c giang day lưong giác đưoc đưa vào chương trình tù lóp 10 b¾c trung HQc phő thơng, phan kien thúc ve phương trình lưong giác chiem vai trị TRQNG tâm Kèm theo HQc tốn lưong giác giúp HQc sinh mo r®ng tư m®t lưong giác có nhieu cách giai So lưong cơng thúc lưong giác can nhó nhieu địi hoi HQc sinh phai làm nhieu t¾p đe nhó kien thúc Tuy nhiên, thịi gian han hep cna chương trình phő thơng, khơng nêu đưoc đay đn chi tiet tat ca dang tốn ve phương trình Vì v¾y HQc sinh g¾p nhieu khó khăn giai tốn nâng cao ve phương trình lưong giác đe thi M¾c dù có nhieu tài li¾u tham khao ve lưong giác vói n®i dung khác nhau, chưa có chun đe riêng khao sát ve phương trình m®t cách h¾ thong Đ¾c bi¾t, nhieu dang tốn ve đai so lưong giác có quan h¾ ch¾t che, khăng khít vói nhau, khơng the tách rịi đưoc Nhieu tốn lưong giác can có sn tro giúp cna đai so, giai tích ngưoc lai, ta có the dùng lưong giác đe giai m®t so tốn ve phương trình h¾ phương trình đai so thơng qua cách đ¾t an phu nhung hàm lưong giác Do đó, đe đáp úng nhu cau ve giang day, HQc t¾p góp phan nho bé vào sn nghi¾p giáo duc, lu¾n văn "Phân loai phương trình lưong giác theo phương pháp giai chúng" nham h¾ thong kien thúc ban ve phương trình lưong giác ket hop vói kien thúc đai so, giai tích đe tőng hop, cHQN LQc phân loai phương trình theo phương pháp giai chúng Bo cuc cna lu¾n văn bao gom chương: Chương M®t so kien thÉc ban - Nhac lai kien thúc ban cna hàm so lưong giác - Nhac lai khái ni¾m đa thúc lưong giác m®t so tính chat Chương M®t so loai phương trình lưang giác - Phân loai phương trình lưong giác theo phương pháp giai - M®t so ví du cho tùng phương pháp - Bài t¾p úng dung Chương M®t so Éng dnng cua lưang giác đai so - Trình bày m®t so úng dung cna lưong giác đai so - Trình bày m®t so ví du úng vói tùng dang tốn - M®t so t¾p tương tn Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Em mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna q thay ban ĐQ c Xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 10 tháng 10 năm 2016 HQ c viên Vũ Th% MÈng Chương M®t so kien thÉc ban 1.1 Các hàm so lưang giác Nhieu hi¾n tưong tuan hồn đơn gian thnc te đưoc mô ta boi nhung hàm lưong giác Chương cung cap nhung kien thúc ban nhat ve hàm so lưong giác, đa thúc lưong giác Hình 1.1: Đưàng trịn lưang giác Hàm so y = sin x y = cos x 1.1.1 a) Đ%nh nghĩa 1.1.1 đo •rađian bang x đưoc GQI hàm so sin, kí hi¾u y = sin x so Quy tac đ¾t tương úng moi so thnc x vói sin cna góc lưong giác có so •đoQuy rađian x đưoc GQImoi hàm so cơsin, hi¾ucna ygóc = lưong cos x.giác tacbang đ¾t tương úng so thnc x vúi kớ cụsin cú Nhắn xột ã Hàm so y = sin x hàm so le sin(−x) = − sin x vói mQi x thu®c R • Hàm so y = cos x hàm so chan cos(−x) = cos x vói MQI x thu®c R b) Tính tuan hồn Ta biet, vói moi so nguyên k, so k2π thoa mãn sin(x + k2π) = sin x vói MQI x Ngưoc lai, có the chúng minh rang so T cho sin(x + T ) = sin x vói MQI x phai có dang T = k2π, k m®t so nguyên Rõ ràng, so dang k2π(k ∈ Z), so dương nho nhat 2π V¾y đoi vói hàm so y = sin x, so T = 2π so dương nho nhat thoa mãn sin(x + T ) = sin x vói MQI x Hàm so y = cos x có tính chat tương tn Ta nói hai hàm so nhung hàm so tuan hồn vói chu kì 2π c) T¼p giá tr% t¼p xác đ%nh - Hàm so y = sin x, y = cos x xác đ%nh vói MQI x ∈ R nghĩa t¾p xác Suy đieu phai chúng minh 3n−1π vói V¾ ∀n“ y un = cos Tőng quát: Cho dãy so: (un  u1 = p |p| ™  ):  n− un = 4u13 − 3un−1 ∀n “ Đ¾t u1 = cos α Cơng thúc tőng quát cna dãy so là: un = cos 3n−1α Ví dn 3.4.3 Cho dãy so: u1 = √ √ (un) :  un−1 + −  n− Tính u2017 un 1 + (1 − √ = 2)u π Lài giai Ta có: tan √ = − Suy π un−1 + π tan − tan un−1 un M¾t khác: u= u2 ∀n “ = √ π = tan , π tan π + tan π π π = tan + Σ π − tan tan π π = tan Σ + (n − 1) Σ Bang quy nap ta chúng minh đưoc u n π 2016π Σ= π + V¾y 201 = tan √ tan u = Chú ý: Đe tìm cơng thúc tőng qt cna dãy: = un−1 + b (un) :  un + (1 − u1 = b)un−1 = ∀n “ Ta đ¾t tan α = a, tan β = b ta chúng minh đưoc un = tan [α + (n − 1) β] Ví dn 3.4.4 Cho dãy so an, bn như√sau: vói a < b cho trưóc, a+b a1 = , b = b.a1 , a= a1 + b1 ,b= 2 ··· ,ab= √ an−1 + bn−1 = n √ a b n−1 Tìm lim bn n→ ∞ ab, n an Tìm lim n n→ ∞ Lài giai Đ¾t cos α = a = b cos2 b1 Ta có: Khi α   = b cos a1  a + b1 a = b = < α < π Σ α α α α + cos Σ = b cos cos2 2 2 2 α α α α cos2 = b cos2 cos √ a b = b2 cos2 = b cos2 Bang quy nap ta se de dàng có α b α  α a = b cos cos   n α ··· cos 22 α α   2 bn = b cos cos α V¾y bn b sin α = = 2nαsin α n n sin 2n α cos 2n−1 α = 2n b sin α α 2n sin α α 2n− · · · cos cos b sin α α 2n n αα b2 sin cos 2n = 2n bα sin Suy lim bn = n→∞ α Ta có an ⇒ = α cos 2n lim = an n→∞ b si α n α cos 2n = α b n lim n → ∞ lim n → ∞ bn Ví dn 3.4.5.(Đe thi HSG Quoc Gia - 1993) Cho a0 = 2, b0 = L¾p hai dãy so an, bn vói n = 0, 1, 2, theo quy tac sau 2nan b n+ an+1 = b n ; = an + bn+ √ a bn Chúng minh rang dãy an, bn có m®t giói han n → ∞ Tìm giói han đó? Lài giai Ta có 1 a0 = , b0 = 1, cosπ = = 2a b a = 0 =+ a = π cos + 1 = s , c o π 2.3 a b = b π c π −1 π π sin n a c · · · cos o π = s cos2 π Σ−1 b c · · · cos =o π πs cos π Σ−1 , ∀n “ 2 2n−1 π s in π , ∀n “ 2n sin 2n.3 , n (3.27) an = Tù bang quy nap ta chúng minh rang: M ¾ 2n π cos n =· · · cos cos Khi cos 2n−12.3 22.3.3 π 2n sin s n o π 2n.3 π π cos 2n.3 2n π 2n.3 , sin π 2n sin bn = (3.28) b n Tù (3.27) (3.28) an lim suy ton tai lim n → ∞ n→∞ π N go ài 2n l = sin √ 3π = = , π i li 2n.3 mm a n→∞ n n→∞ sin cos π π sin π 3 √ 2n.3 3π π n = lim b = an √ n n 3π lim nlimn c → ∞ → ∞ o s L¾p dãy so biet: vn? { } V¾y hai dãy an, bn có m®t giói han n → ∞ bang = (u1.u2 un) n Tìm lim n→∞ Lài giai Ta chúng minh un > 0, ∀n ∈ Z+ Th¾t v¾y: u1 > 0, u2 > Gia su uk > 0, ∀k “ Ta có uk+1 = Ví dn 3.4.6 Cho dãy {un} xác đ %nh sau V¾y: un > 0, ∀n ∈ Z+ Ta lai có:  u1 =  √e√3 u2 = √ √ e (∀n “ 2)  u n+1 un−1 = un + Chún ™ ™ e, ∀n ∈ Z g u minh rang: e n √ u k u k − > √e√3 = e √3 = ecos sin π π , √ e = e 2= e cos + , ∀n ∈ Z Gia su un = e Ta có un+ u e nπ √ = √ cos = ecos6 nπ (n−1)π u n = ecos − n V= ¾ y u ecos nπ n + ™ T a c ™ e hàm đong o s bien R Suy đieu n la phai chúng π i có , ∀n ∈ Z : e m i n h T a c ó v = e (cos π +cos u .u = 2π +···+cos nπ ) √ n u n n n π = π (sin =e M − = 12 12 12 H = π M¾t khác ta lai có: ( n co + ) 1sπ ™ πn nπ 12 2 π n s i n n s → i li li 12 12 in mm V − n s ∞ n π n s i n 12 ™ n n ¾y lim = n e0 = KET LU¾N Trong khúa luắn ny em ó trỡnh by oc mđt so kien thúc ban cna lưong giác ket hop vói kien thúc đai so, giai tích đe tőng hop, cHQN LQc phân loai phương trình lưong giác theo phương pháp giai chúng Đóng góp cna khóa lu¾n bao gom: 1Kien thúc ban cna hàm so lưong giác, đa thúc lưong giác ví du 2Phân loai đưoc m®t so phương trình lưong giác thũng gắp 3Xõy dnng oc mđt hắ thong cỏc bi toỏn vúi mỳc đ khú de khỏc ắc biắt phan cuoi cna luắn thỡ em a mđt so dang tốn cna đai so giai tích đưoc giai bang phương pháp lưong giác hóa đưoc minh HQA bang mđt so bi tiờu bieu oc lna cHQN tù đe thi Olympic toán khu vnc Quoc te Tuy nhiên thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu cịn có nhung sai sót em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQc Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Văn M¾u (Chn biên), Tran Nam Dũng, Nguyen Minh Tuan (2008), Chuyên đe CHQN LQc: Dãy so áp dnng [2] Tap chí Tốn HQc tuői tre [3] Nguyen Vũ Lương (Chn biên), Nguyen Huu Đ®, Pham Văn Hùng, Nguyen NGQc Thang (2008), Lưang giác, NXB Giáo duc Tran Đúc [4] Huyên, Lê M¾u Thong, Lê M¾u Thao (1998), Phương pháp giai tốn lưang giác luy¾n thi vào đai HQc, NXB Tre Vũ The Hnu (2002), Phương pháp lưang giác hóa, [5] NXB Giáo duc [6] http://luanvan.net.vn/luan-van/luan-van-mot-so-phuong-phapgiai- phuong-trinh-va-bat-phuong-trinh-luong-giac-51715/ ... lưong giác theo phương pháp giai chúng" nham h¾ thong kien thúc ban ve phương trình lưong giác ket hop vói kien thúc đai so, giai tích đe tőng hop, cHQN LQc phân loai phương trình theo phương pháp. .. NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC VŨ TH± MÙNG PHÂN LOAI PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIAI CHÚNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 Ngưài... so loai phương trình lưang giác - Phân loai phương trình lưong giác theo phương pháp giai - M®t so ví du cho tùng phng phỏp - Bi ỳng dung Chng Mđt so Éng dnng cua lưang giác đai so - Trình bày