Luận văn thạc sĩ phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐAI HOC QUOC GIA H NđI LUắN VN THAC S PHN LOAI CC Hfi PHƯƠNG TRÌNH TRONG TỐN HOC PHO THƠNG” HOC VIÊN: LÊ VĂN LƯU CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cap Mà SO: 60460113 CÁN B® HƯéNG DAN: PGS TS Nguyen Minh Tuan H NđI - 2015 Li cam n Luắn văn đưoc hồn thành dưói sn chi bao hưóng dan cna PGS TS Nguyen Minh Tuan Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tù t¾n đáy lịng em xin cam bày to sn biet ơn sâu sac đen thay Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói: thay khoa Tốn-Cơ-Tin HQc; Phòng sau đai HQ c Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i; Các thay giáo tham gia giang day khóa cao HQ c chun ngành phương pháp tốn cap khóa 2013-2015; Ban giám hi¾u đong nghi¾p trưịng THPT Nguyen Siêu Hưng Yên tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi hồn thành lu¾n văn cna M¾c dù co gang rat nhieu rat nghiêm túc q trình tìm tịi, nghiên cúu thịi gian trình đ® cịn han che nên nhung n®i dung đưoc trình bày lu¾n văn cịn rat khiêm ton khơng tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp cna q thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn oc hon thiắn hn H Nđi, thỏng nm 2015 Tác gia Lê Văn Lưu i Mnc lnc Ma đau Phương trình đai so b¾c ba bon 1.1 Phương trình đai so b¾c ba 1.2 Phương trình đai so b¾c bon 1.2.1 Phương trình dang (x − a)4 + (x b)4 = c 1.2.2 Phương trình dang 1.2.3 Phương trình vói h¾ so phan hoi .9 1.2.4 Phương trình dang t4 = αt2 + βt + λ .10 1.2.5 Phương trình dang ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , a ƒ= 11 H¾ phương trình thưàng g¾p 12 2.1 H¾ phương trình b¾c nhat hai an .12 2.2 H¾ phương trình đoi xúng 15 2.2.1 H¾ phương trình đoi xúng loai m®t 15 2.2.2 H¾ phương trình đoi xúng loai hai 31 2.3 H¾ phương trình cap 41 2.3.1 Hắ phng trỡnh chỳa mđt phng trỡnh ang cap 41 2.3.2 H¾ phương trình cap .43 2.4 H¾ phương trình b¾c hai tőng qt 51 2.5 H¾ phương trình b¾c cao nhieu an so 58 2.5.1 H¾ phương trình hốn v% vịng quanh 58 2.5.2 H¾ phương trình b¾c cao nhieu an so 67 2.6 H¾ phương trình chúa căn, h¾ phương trình mũ logarit 73 2.6.1 H¾ phương trình chúa .73 2.6.2 H¾ phương trình mũ logarit 79 H¾ phương trình không mau mEc 83 3.1 Phương pháp bien đői tương đương 88 3.1.1 Phương pháp c®ng 89 3.1.2 Phương pháp the 94 3.1.3 Phương pháp phân tích thành nhân tu .97 MUC LUC MUC LUC 3.2 Phương pháp đ¾t an phu 102 3.3 Phương pháp hàm so 107 3.4 Phương pháp đánh giá .112 Ket lu¾n 117 Tài li¾u tham khao 118 Ma au Hắ phng trỡnh l mđt nhung nđi dung TRQNG tâm, phő bien có v% trí đ¾c bi¾t quan TRQNG chương trình tốn HQc phő thơng Nó xuat hi¾n nhieu kỳ thi HQc sinh gioi kỳ thi tuyen sinh vào đai HQc cao HQc sinh phai đoi m¾t vói rat nhieu nhung dang tốn ve h¾ phương trình mà vi¾c phân loai chúng chưa đưoc li¾t kê đay đn sách giáo khoa Đó h¾ phương trình b¾c nhat, hắ phng trỡnh oi xỳng loai mđt, hắ phng trỡnh đoi xúng loai hai, h¾ phương trình cap, h¾ phương trình b¾c hai tőng qt, Vi¾c phân loai h¾ phương trình vi¾c tìm lịi giai h¾ vi¾c xây dnng h¾ niem đam mê cna khơng ngưịi, đ¾c bi¾t nhung ngưịi trnc tiep giang day Chính v¾y đe đáp úng nhu cau giang day HQc t¾p, tác gia cHQN đe tài "Phân loai h¾ phương trình tốn HQc phő thơng" làm đe tài nghiên cúu cna luắn e ti nham mđt phan no ú ỏp úng mong muan cna ban thân ve m®t đe tài phù hop mà sau có the phuc vu thiet thnc cho vi¾c giang day cna nhà trưịng phő thơng Lu¾n văn đe c¾p đen vi¾c phân loai h¾ phương trình chương trình tốn phő thơng, tù giúp HQc sinh có cách nhìn nh¾n sâu sac ve toán liên quan đen h¾ phương trình Lu¾n văn đưoc chia thành ba chương Chương đe c¾p đen hương trình b¾c ba phương trình b¾c bon Chương phân loai có h¾ thong mđt so hắ phng trỡnh thũng gắp Chng nờu mđt so phng phỏp giai ien hỡnh cho hắ phương trình khơng mau mnc Hy vQNG se mđt ti liắu huu ớch giang day cng nh HQc t¾p cna thay, em HQc sinh Chương Phương trình đai so b¾c ba bon Chương ta se nêu cách giai cho phương trình b¾c ba phương trình b¾c bon tőng qt 1.1 Phương trình đai so b¾c ba Trong phan ta se nêu phương pháp giai phương trình b¾c ba vói h¾ so thnc tùy ý: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ƒ= Bài toán 1.1 Giai phng trỡnh (1.1) biet mđt nghiắm: x = x0 ax3 + bx2 + cx0 + d = Lài giai Theo gia thiet 0 Phương trình (1.1) tương đương vói phương trình sau ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx0 + d; a Σ x3 − x3 0+ b Σ x2 − x + c (x − x0 ) = 0; (x − x0)(ax2 + (ax0 + b)x + ax + bx0 + c) = 0 Xét ∆ = (ax0 +2 b) − 4a ax + Σ 1) ∆ < phương trình (1) có nghi¾m nhat x = x0 bxNeu + c (1.1) Phương trình đai so b¾c ba bon 2) Neu ∆ ≥ phương trình có nghi¾m , −(ax √ + b) + x1 = x0 x2 = ∆ , x 2a −(ax0 + b) − = 2a √ ∆ Nh¾n xét 1.1 1) Neu x0 nghi¾m cna (1.1) đieu ki¾n can đn đe (1.1) có ba nghi¾m phân bi¾t là: ax2 +0 (ax0 + b)x0 + ax + bx0 + c 0 ∆> 2) Neu x0 nghi¾m cna (1.1) có the phân tích ax3 + bx2 + cx + d = f (x) (x − x0) , f (x) tam thúc b¾c hai 3) Neu x1, x2, x3 nghi¾m cna (1.1) ax3 + bx2 + cx + d = a (x − x1) (x − x2) (x − x3) , công thúc Viét b c d x1 + x2 + x3 = − , x1x2 + x2x3 + x3x1 = , x1x2x3 = − a a a Bài tốn 1.2 Giai phương trình 4x − 3x = m vói |m| ≤ Lài giai Đ¾t m = cosα = cos (α ± 2π) Khi α − cos 3 Do v¾y phương trình có ba nghi¾m: x1 = cos α , x2 = cos α+2π , x3 = cos cosα = cos Bài tốn 1.3 a) Đ¾t x = thúc α Σ = 4cos3 Σ α 3 α−2π , a ƒ= Chúng minh 4x3 − 3x = a + Σ a a +a b) Giai phương trình 4x3 − 3x = m vói |m| > Lài giai a) Ta có √ 1 x = (a ) hay a − 2ax + = vói a = x ± x2 − +2 a Phương trình đai so b¾c ba bon √ Đ¾t a = x + x2 − x2 = a(a + ) và8 x3 = (a3a + a33a + + ) Suy a= + 3a + 4x3 − 3x 3 + )− a a 1 + )(a = ( a a3 + a ) b) Ta chúng minh phương trình có nghi¾m nhat Th¾t v¾y, phương trình khơng có nghi¾m x0 ∈ [−1; 1] neu x0 ∈ [−1; 1] đ¾t x0 = cosϕ suy − 3x = 4cos 3ϕ − cos ϕ = |cos3ϕ| ≤ < | 4x m| Gia su phương trình có nghi¾m x1, |x1| > 1, 4x − 3x1 = m Khi 4x3 − 3x = 4x − 3x1; (x − x1 ) Ta có ∆J = 4x2 − V¾y x Σ 4x2 − 1 nghi¾m nhat Đ¾t m = = x phương trình có nghi¾m Khi nhat x= √ m+ Σ 4x2 + 4xx11+ 4x2 − = = 12 − 12x2 < a3 + Σ , a3 = m ± √ m2 − a √ m2 − + 1Σ m− m2 − Bài toán 1.4 Giai phương trình: 4x3 + 3x = m Lài giai Nh¾n xét rang x = x0 nghi¾m cna phương trình nghi¾m nhat Th¾t v¾y, xét x > x0, 4x3 + 3x > 4x3 + 3x1 = m Tương tn, vói x < x0 4x3 + 3x đ¾t y = 23 p x Khi ta đưoc phương trình √ 4x3 − 3x = m, 3q √ m= p p a) |m| ≤ 1, đ¾t m = cos α phương trình có ba nghi¾m α x1 = cos, x2 b) |m| > 1, đ¾t = cos 2π ,x α− α+ 2π = cos 3 √ 12 3 d m= d + Σ , d = m ± m2 − Khi phương trình có nghi¾m nhat x= d + d√ Σ= m+ m2 − + √ m− m2 − 1Σ 3) Neu p < 0, đ¾t y = 2.−p x, se đưoc phương trình 4x3 + 3x = m Đ¾t m= d3 − d √ Σ , d3 = m ± Khi phương trình có nghi¾m nhat m2 + C®ng theo ve hai phương trình cna h¾ phương trình (1) ta đưoc (x − y)3 + 2(x − y) = (y + 1)3 + 2(y + 1) Xét hàm so (3.9) f (y) = t3 + 2t, f J (t) = 3t2 + > vói MQI t ∈ R nên hàm so f (t) đong bien R phương trình (3.9) tương đương vói f (x − y) = f (y + 1) hay x = 2y + The vào phương trình m®t cna h¾ phương trình (1) ta đưoc 6y3 + 12y2 + 3y = Giai phương trình tìm đưoc y = 0; y = −2− 2 √ ; y= −2+ 2 √ √ √ V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) = (1; 0), (−1 − 2; −2−√2 ), (−1 +2 2; √ ) −2+ Bài tốn 3.22 Giai h¾ phương trình √ √ x + + x + = (y3 + √ √ − 1) y + (x − 1) + 3y3 + y+5=x+ 8y Phân tích Phương trình hai cna h¾ có the tách rịi hai bien nên ta nghĩ đen phương pháp hàm so Tù phng trỡnh mđt cna hắ ta suy ieu kiắn cna hai an x y Lài giai Đieu ki¾n: x ≥ −2, y ≥ Bien đői phương trình mđt cna hắ phng trỡnh ó cho tro thnh √ √ ( x + − 2) + 2( x + − 3) = (y3 + 1) y − 1; (x − 2)( √ x+2 +2 +√ x +7 +3 √ ) = (y3 + 1) y − ≥ 0; x ≥ Bien đői phương trình hai cna h¾ phương trình cho thành x3 − 3x2 + 2x + 3y3 − 8y + √ y + = Xét hàm so f (x) = x3 − 3x2 + 2x vói x ≥ Ta có f J (x) = 3x2 − 6x + > vói MQI x ≥ H¾ phương trình khơng mau mnc Hàm so f (x) đong bien khoang [2; ∞) f(x) = f (2) = Xét g(y) = 3y3 − 8y + √ [2;∞) y + vói y ≥ Ta có g J (y) = 9y − 8√ + > vói MQI y ≥ Hàm so g(y) đong bien khoang [1;) ∞ nên g(y) = g(1) = [1;∞) Tóm lai f (x) + g(y) ≥ min(f (x)) + min(g(y)) = Dau bang xay x = 2; y = Thu lai ta thay (x; y) = (2; 1) thoa mãn h¾ V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) = (2; 1) Bài tốn 3.23 (ĐH khoi A.2010)Giai h¾ phương trình √ (4x2 + 1)x +√(y − 3) − 2y = 4x2 + y2 − 4x = + Lài giai Đieu ki¾n x ≤ , y ≤ Bien i phng trỡnh mđt cna hắ phng trỡnh cho tro thành −(5 − 2y)√ −1 − 2y = 0; √ (4x2 + 1)2x = ((5 − 2y) + 1) − 2y (1) (4x2 + 1)x + Xét hàm so f (t) = t(t2 + 1) R, đao hàm f J (t) = 3t2 + > vói MQI t ∈ R Suy f (t) đong bien R nên phương trình (1) tương đương vói √ f (2x) = f ( − 2y) Hay x ≥ Tù ta có The y = 2x = 5−4x 2 111 √ − 2y y= 5−4x H¾ phương trình khơng mau mnc vào phương trình hai cna h¾ phương trình cho ta đưoc f (x) = 4x2 4x2 √ − )+ +( − 4x = 2 112 H¾ phương trình không mau mnc √ Xét hàm so f (x) = 4x2 + ( 5−4x2 ) + − 4x khoang [0; ] Ta có [0; ] 4 f J (x) = −4x(3 + 4x2 ) − 4x −√ < vói MQI x∈ nên hàm so f (x) đong bien khoang [0; ] M¾t khác f ( ) = nên x = 2 nghi¾m nhat cna phương trình f (x) = V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y)2= ( ; 2) 3.4 Phương pháp đánh giá Phương trình, h¾ phương trình bat thúc có moi liên h¾ chắt che vúi Chang han chỳng minh mđt bat thúc ta can dn đoán dau bang xay no, ieu ny dan túi viắc tỡm mđt nghi¾m cna phương trình, h¾ phương trình Nhieu tốn ve h¾ phương trình, phương trình lai sn che dau m®t bat thúc Dau hi¾u nh¾n dang tốn so phương trình so an, phương trình rat phúc tap, khơng mau mnc, mang bóng dáng bat thúc M®t đieu can lưu y đoi vói phương pháp đốn đưoc nghi¾m se góp phan rat lón vào thành cơng cna lịi giai Các bat thúc đưoc áp dung có the AM-GM, Cauchy-Schwarz, bat thúc hình HQc, Bài tốn 3.24 (Olympic Balan 1997-1998) Giai h¾ phương trình 2 3(x + y + z ) = x2y2 + y2z2 + z2x2 = xyz(x + y + z)3 Phân tích H¾ phương trình có so an nhieu so phương trình nên ta nghĩ đen phương pháp đánh giá Lài giai Ta có x; y; z ho¾c (x + y + z) khơng the bang Tù phương trình hai cna h¾ phương trình cho suy x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ xyz(x + y + (x + y + z) z) = 112 Vói ba so thnc a; b; c theo bat thúc Cauchy-Schwarz ta có 3(a2 + b2 + c2) ≥ (ab + bc + ac)2 Tù hai phương trình cna h¾ phương trình cho áp dung bat thúc AMGM ta có 1= 3(x2 + y2 + ) ≥ (x + y + z2 z) = x2y22 + y2z2 + z x2 xyz(x + y + z) ≥ xy2z + x2yz + xyz2 xyz(x + y + z) = Dau bang xay chi x = y = z Tù ta tìm đưoc x = y = z = x =y=z= − V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y; z)3 =3 (31 ; ;3 ),3 (− 31 ; − ; − ) Bài toán 3.25 (Olympic 30/04/2014) (Xem [7]) Giai h¾ phương trình √ 2 5x2 + 2xy √ + √2y + 5y2 √ + 2x + 2xy = 3(x + y) 2x + y + + 7x + 12y + = 2xy + y + Lài giai Tự phng trỡnh mđt cna hắ phng trỡnh ó cho suy x + y ≥ √5x2 + 2xy + 2y2 + 2x2 + 2xy + 5y2 =√ (2x + y)2 + (x − y)2 + (x + 2y)2 + (x − y)2 ≥.(2x + y)2 + (x + 2y)2 = |2x + y| + |x + 2y| ≥ 3(x + y) Dau bang xay chi x = y ≥ The y = x vào phương trình hai cna h¾ phương trình cho ta đưoc √ √3 3x + + 19x + = 2x2 + x + 5; √ √3 ( 3x + − x − 1) + 2[ 19x + − x − 2] = 2x2 − 2x; −2(x3 + 6x2 − 7x) √ −x + x = 2x2 − 2x; √ 3x + + + x (19 + 8x)2 + (x + 2) 19 + 8x + + √ + x+ x 2(x2 − x)(x + 2(x2 − x) = 0; √ + 7) +3x 1x +− 3 (19 + 8x) + (x + 2) 19 + 8x + (x + 2)2 2(x + 7) − x)( + (19 + 8x)2 + (x + 2) 19 + 8x + (x + √ 3x + + x √ + 2) = Vì x ≥ nên ta tìm đưoc x = x = V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) = (0; 0), (1; 1) Bài toán 3.26 (VMO 2009) Giai h¾ phương trình √ 1 1+2y √ + √ √1+2x √ = 1+2x y x(1 − 2x) Phõn tớch Tự phng trỡnh mđt cna hắ phương trình ta liên h¾ vói bat + thúc sau y(1 − 2y) 1 √ +√ ≤√ + 2xy + 2x2 + 2y2 Lài giai Đieu ki¾n: ≤ x; y ≤2 Vói đieu ki¾n ta có bat thúc √ + √ (*) ≤2√ + 2x + 2xy + 2y Dau bang xay chi x = y Chúng minh Theo bat thúc Cauchy-Schwarz, ta có √ ≤2 √ + + 2x2 + 2y2 Dau bang xay chi √ Σ2 + 2x2 + Σ + 2y2 1 + 2x2 =√ + 2y2 Hay x = y Ta lai có 1 2(x − y)2(2xy − 1) + − = ≤0( + 2x2 + 2y2 + 2xy (1 + 2x2)(1 + 2y2)(1 + 2xy) ≤ xy ≤ ) Dau bang xay chi x = y V¾y bat thúc (*) đưoc chúng minh Phương trình m®t cna h¾ phương trình cho tương đương dau bang xay o (*) hay x = y Thay vào phương trình hai cna h¾ phương trình cho ta đưoc √ x(1 − 2x) = ; 162x2 − 81x + = 5913 2.162 Giai phương trình đưoc x = 81± √ = 9± 36 73 √ V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) = ( 9+√73 ; 9+√73 ), ( 9−√73 ; 9−√73 ) 36 36 36 36 Bài toán 3.27 (VMO 2013) Giai h¾ phương trình  sin x + + cos2 y + = cos x+  sin2 y + sin + cos2 x + y = 20x y x 20y cos2 x sin2 y x+ y Phân tích Hình thúc h¾ cho the cách tiep c¾n tot nhat dùng đánh giá cu the o ta dùng bat thúc đe su lý h¾ Lài giai Đieu ki¾n: sinx.cosx.siny.cosy ƒ= Nhân theo ve hai phương trình cna h¾ phương trình cho, ta thu đưoc (.sin2 x + sin2 x 1 + cos2 y + )(.sin2 y + + cos2 x + ) cos2 cos2 sin2 y = 20 xy (3.10) (x + y)2 Theo bat thúc Cauchy-Schwarz AM-GM, ta có Σ sin2 x cos2x Σ ≥ |sin x cos x| + sin2 x + |sin 2x| cos2 x + |sin x cos x| Σ2 Σ2 25 ≥ = Tương tn ta có +2 | |sin 2x| + |sin 2x+ sin2 y + sin2 y Do theo bat thúc AM-GM Σ2 Σ cos2 y + cos2 Σ≥ 25 = V T (3.10) ≥ .sin2 x + Σ sin2 y + sin2x ≥ 25 Σ2 = 10 ≥ 20 Σ cos2 x + Σ cos2 y + cos2x =VP xy(3.10) (x + y) 1 sin2 y Σ cos2y H¾ phương trình khơng mau mnc Đang thúc xay chi sin2x = 1; x = y hay x = y = k ∈ Z Thu lai ta thay rang x = y = π + kπ , ta có 4 π + kπ , 2 x y sin2x = cos2 x = sin2y = cos2 y = , = = x +y x+ y √ Khi ca hai ve cna moi phương trình h¾ cho đeu bang 10 π V¾y x = y = +2 k π , k ∈ Z tat ca nghi¾m cna h¾ phương trình cho Bài tốn 3.28 (HSG Bình Đ%nh 2010-1011) Giai h¾ phương trình 10 x +y +z ≤1 x2007 + y2009 + z2011 ≥ Phân tích Tù h¾ phương trình ta liên h¾ đen bat thúc x6(1 − x2001) + y8(1 − y2001) + z10(1 − z2001) ≤ mà de dàng nh¾n −1 ≤ x; y; z tự phng trỡnh mđt cna hắ e ta su dung phương pháp đánh giá đe giai hắ Li giai Tự phng trỡnh mđt cna hắ phương trình cho ta có −1 ≤ x; y; z ≤ Ket hop hai phương trình cna h¾ phương trình cho suy x2007 + y2009 + z2011 ≥ x6 + y8 + z10; x6(1 − x2001) + y8(1 − y2001) + z10(1 − z2001) ≤ Tù đieu ki¾n −1 ≤ x; y; z ≤ 1, ta de dàng thay rang x6(1 − x2001) ≥ 0; y8(1 − y2001) ≥ 0; z10(1 − z2001) ≥ Do phai có thúc xay o (1), túc x6(1 − x2001) = 2001 y (1 − y ) = z10(1 − z2001) = 116 (1) H¾ phương trình khơng mau mnc Giai h¾ phương trình ket hop vói đieu ki¾n x6 + y8 + z10 ≤ 1, ta có nghi¾m cna h¾ phương trình cho (x; y; z) = (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) 117 Ket lu¾n Kien thúc ve phương trình h¾ phương trinh đai so đưoc rat nhieu ngưòi nghiên cúa sáng tao Các tốn liên quan đen phương trình h¾ phương trình rat đa dang vơ phong phú Lu¾n văn ”Phân loai h¾ phương trình tốn HQc phő thơng" giai quyet đưoc nhung van đe sau: Trình bày đưoc phương pháp giai cho phương trình đai so b¾c ba phương trình so bắc bon tng quỏt Hắ thong mđt so h¾ phương trình thưịng g¾p phương pháp giai cho tùng h¾ Đó h¾ phương trình: h¾ phương trình bâc nhat hai an, h¾ phương trình đoi xỳng loai mđt, hắ phng trỡnh oi xỳng loai hai, h¾ phương trình cap, h¾ phương trình b¾c hai tőng qt, h¾ phương trình hốn v% vịng quanh-h¾ phương trình b¾c cao nhieu an so, h¾ phương trình chúa h¾ phương trình mũ logarit Trình bày m®t so phương pháp thơng dung nhat đe giai h¾ phương trình khơng mau mnc Đó phương pháp bien đői tương đương, phương pháp đ¾t an phu, phương pháp hàm so, phương pháp đánh giá 117 Tài li¾u tham khao [1] N T Chung (2014), Sáng tao giai phương trình, h¾ phương trình, bat phương trình , NXB TP.Ho Chí Minh [2] N V Lương, P V Hùng, N N Thang (2008), H¾ phương trình phương trình chúa thúc, NXB ĐHQGHN [3] Nguyen Văn M¾u (1996), Phương pháp giai phương trình bat phương trình, NXB Giáo Duc [4] Đ¾ng Thành Nam (2014), Ky thu¾t giai nhanh h¾ phương trình, NXB ĐHQGHN [5] Đ¾ng Hùng Thang (1998), Phương trình, bat phương trình h¾ phương trình NXB Giáo Duc [6] Tap chí tốn HQc tuői tré [7] Tuyen t¾p đe thi Olympic 30/04/2014, NXB ĐHQGHN 118 ... Chương Phương trình đai so b¾c ba bon Chương ta se nêu cách giai cho phương trình b¾c ba phương trình b¾c bon tőng qt 1.1 Phương trình đai so b¾c ba Trong phan ta se nêu phương pháp giai phương trình. .. 2.3 H¾ phương trình cap 41 2.3.1 H¾ phương trình chúa m®t phương trình cap 41 2.3.2 H¾ phương trình cap .43 2.4 H¾ phương trình b¾c hai tőng quát 51 2.5 H¾ phương trình. .. 58 2.5.1 H¾ phương trình hốn v% vịng quanh 58 2.5.2 H¾ phương trình b¾c cao nhieu an so 67 2.6 H¾ phương trình chúa căn, h¾ phương trình mũ logarit 73 2.6.1 H¾ phương trình chúa