Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông 13

TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N I H¯C QUăC GIA H NáI LU NV NTH CS PH N LO I C C H PH×ÌNG TR NH TRONG TO N H¯C PH˚ TH˘NG H¯CVI N:L V NL×U CHUY N NG NH: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M Să: 60460113 C N Bá HìNG D N: PGS TS Nguyn Minh TuĐn H NáI - 2015 Lới cÊm ỡn Lun vôn ÷ỉc ho n th nh d÷ỵi sü ch¿ b£o v hữợng dÔn ca PGS TS Nguyn Minh TuĐn Thy  d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn v giÊi Ăp c¡c th›c m›c cıa tæi suŁt qu¡ tr…nh l m lun vôn T tn Ăy lặng em xin cÊm b y tä sü bi‚t ìn s¥u s›c ‚n thƒy Tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi: c¡c thƒy cỉ khoa To¡n-Cì-Tin håc; PhỈng sau ⁄i håc Trữớng i Hồc Khoa Hồc Tỹ Nhiản, i Hồc Quc Gia H Nºi; C¡c thƒy cỉ gi¡o ¢ tham gia giÊng dy khõa cao hồc chuyản ng nh phữỡng phĂp to¡n cì c§p khâa 20132015; Ban gi¡m hi»u v c¡c ỗng nghiằp trữớng THPT Nguyn Siảu Hững Yản  to i•u ki»n thu“n lỉi cho tỉi ho n th nh lun vôn ca mnh Mc dũ  c gng rĐt nhiãu v rĐt nghiảm túc quĂ trnh tm tặi, nghiản cứu thới gian v trnh cặn hn ch nản nhng ni dửng ữổc trnh b y lun vôn cặn rĐt khiảm tn v khổng trĂnh khäi nhœng thi‚u sât V… v“y t¡c gi£ r§t mong nhn ữổc sỹ õng gõp ca quỵ thy cổ v cĂc bn ỗng nghiằp lun vôn ữổc ho n thi»n hìn H Nºi, th¡ng n«m 2015 T¡c gi£ Lả Vôn Lữu i Mửc lửc M u Phữỡng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v 1.1 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba 1.2 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c bŁn 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 H» ph÷ìng tr…nh th÷íng g°p 2.1 H» ph÷ìng tr…nh b“c nh§t hai 'n 2.2 H» ph÷ìng tr…nh Łi xøng 2.2.1 2.2.2 2.3 Hằ phữỡng trnh flng cĐp 2.3.1 2.3.2 2.4 H» ph÷ìng tr…nh b“c hai tŒng qu¡t 2.5 H» phữỡng trnh bc cao nhiãu 'n s 2.5.1 2.5.2 2.6 Hằ phữỡng trnh chứa côn, h» ph÷ìng tr…n 2.6.1 2.6.2 H» ph÷ìng tr…nh khỉng mÔu mỹc 3.1 Phữỡng phĂp bin i tữỡng ữỡng 3.1.1 3.1.2 3.1.3 ii MƯC LƯC 3.2 3.3 3.4 Ph÷ìng ph¡p °t 'n phư Ph÷ìng ph¡p h m sŁ Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ T i li»u tham kh£o iii Mð ƒu H» ph÷ìng tr…nh l mºt nhœng nºi dung trång t¥m, phŒ bi‚n câ tr‰ °c bi»t quan trång ch÷ìng tr…nh to¡n håc ph thổng Nõ xuĐt hiằn nhiãu cĂc ký thi håc sinh giäi cơng nh÷ ký thi tuy”n sinh v o ⁄i håc v cao flng Håc sinh ph£i Łi mt vợi rĐt nhiãu nhng dng toĂn vã hằ phữỡng trnh m viằc phƠn loi chúng chữa ữổc liằt kả ƒy ı s¡ch gi¡o khoa â l c¡c h» phữỡng trnh bc nhĐt, hằ phữỡng trnh i xứng loi mºt, h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i hai, h» ph÷ìng trnh flng cĐp, hằ phữỡng trnh bc hai tng quĂt, Viằc phƠn loi cĂc hằ phữỡng trnh cụng nhữ vi»c t…m líi gi£i c¡c h» v vi»c x¥y düng cĂc hằ l niãm am mả ca khổng t ngữới, °c bi»t nhœng ng÷íi trüc ti‚p gi£ng d⁄y Ch‰nh v… v“y ” ¡p øng nhu cƒu gi£ng d⁄y v håc tp, tĂc giÊ Â chồn ã t i "PhƠn loi c¡c h» ph÷ìng tr…nh to¡n håc phŒ thỉng" l m ã t i nghiản cứu ca lun vôn ã t i nh‹m mºt phƒn n o â ¡p øng mong muĐn ca bÊn thƠn vã mt ã t i phị hỉp m sau n y câ th” phưc vư thi‚t thüc cho vi»c gi£ng d⁄y cıa m…nh nh trữớng ph thổng Lun vôn n y ã cp n viằc phƠn loi cĂc hằ phữỡng trnh chữỡng trnh to¡n phŒ thỉng, tł â gióp håc sinh câ c¡ch nhn nhn sƠu sc hỡn vã cĂc b i toĂn liản quan n hằ phữỡng trnh Lun vôn ữổc chia th nh ba chữỡng Chữỡng ã cp n hữỡng tr…nh b“c ba v ph÷ìng tr…nh b“c bŁn Ch÷ìng phƠn loi cõ hằ thng mt s hằ phữỡng trnh thữớng gp Chữỡng nảu mt s phữỡng phĂp giÊi in hnh cho hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc Hy vång ¥y s‡ l mºt t i li»u hœu ‰ch gi£ng d⁄y cơng nh÷ håc t“p cıa thƒy, cỉ v c¡c em håc sinh Ch÷ìng Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn Ch÷ìng n y ta s nảu cĂch giÊi cho phữỡng trnh bc ba v ph÷ìng tr…nh b“c bŁn tŒng qu¡t 1.1 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba Trong phƒn n y ta s‡ n¶u phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh bc ba vợi hằ s thỹc tũy ỵ: ax + bx + cx + d = 0; a 6= 0: B i to¡n 1.1 Gi£i ph÷ìng tr…nh (1.1) bi‚t mºt nghi»m: x = x0: Líi gi£i Theo gi£ thi‚t ax + bx + cx0 + d = 0: Phữỡng trnh (1.1) tữỡng ữỡng vợi cĂc phữỡng trnh sau 3 ax + bx + cx + d = ax + bx + cx0 + d; ax X†t = (ax0 + b) (x x0)( 4a 1) N‚u < th… ph÷ìng tr…nh (1) câ Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn 2) N‚u th… ph÷ìng tr…nh câ nghi»m l x1 = x0; x2 = Nh“n x†t 1.1 1) N‚u x0 l nghi»m cıa (1.1) th… i•u ki»n cƒn v ı ” (1.1) câ ba nghi»m ph¥n bi»t l : 2 ax + (ax0 + b)x0 + ax + bx0 + c 6= > 0: 2) N‚u x0 l nghi»m cıa (1.1) th… câ th” ph¥n t‰ch ax + bx + cx + d = f (x) (x x0) ; â f (x) l tam thøc b“c hai 3) N‚u x1; x2; x3 l ax + bx + cx + d = a (x x1) (x x2) (x x3) ; v cæng thøc Vi†t l x1 + x2 + x3 = B i to¡n 1.2 Gi£i ph÷ìng tr…nh 4x Líi gi£i °t m = cos = cos ( ) : Khi â Do v“y ph÷ìng tr…nh câ ba nghi»m: x1 B i to¡n 1.3 a) °t x = b) Gi£i ph÷ìng tr…nh 4x Líi gi£i a) Ta câ x= °t a = x + p 4x b) Ta chứng minh phữỡng trnh cõ nghiằm nhĐt Tht v“y, ph÷ìng tr…nh khỉng câ nghi»m x0 [ Gi£ sò phữỡng trnh Ta cõ Vy x = x1 l nghiằm nhĐt t m = phữỡng trnh cõ nghiằm nhĐt B i toĂn 1.4 GiÊi phữỡng trnh: 4x + 3x = m: Líi gi£i Nh“n x†t r‹ng x = x0 l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh th… nh§t Th“t v“y, x†t x > x0, â 4x + 3x > 4x 3 + 3x1 = m: õ l nghiằm Tữỡng tỹ, vợi x < x0 th… 4x + 3x < 4x + 3x1 = m: x= °t Suy c¡ch gi£i ph÷ìng tr…nh, °t a Khi â ph÷ìng tr…nh câ nghiằm nhĐt Hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc Cºng theo v‚ hai ph÷ìng tr…nh cıa h» ph÷ìng tr…nh (1) ta ÷ỉc (x y) + 2(x y) = (y + 1) + 2(y + 1): X†t h m sŁ f(y) = t + 2t; f (t) = 3t + > vỵi måi t nản h m s f(t) ỗng bin trản R phữỡng trnh (3.9) tữỡng ữỡng vợi f(x f(y + 1) hay x = 2y + 1: Th‚ v o ph÷ìng tr…nh mºt cıa h» ph÷ìng tr…nh (1) ta ÷ỉc 6y + 12y + 3y = 0: Gi£i ph÷ìng tr…nh t…m ÷ỉc y = 0; y = V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m (x; y) = (1; 0); ( B i to¡n 3.22 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh p p p x + + x + = (y + 1) y (x 1+8 p 1) + 3y + y + = x + 8y: PhƠn tch Phữỡng trnh hai ca hằ cõ th tĂch rới hai bin nản ta nghắ n phữỡng ph¡p h m sŁ Tł ph÷ìng tr…nh mºt cıa h» ta suy i•u ki»n cıa hai 'n x v y Líi gi£i i•u ki»n: x 2; y 1: Bi‚n i phữỡng trnh mt ca hằ phữỡng trnh  cho trð th nh p ( x+2 (x 2)(p 2) + 2( x + +p x+2+2 Bi‚n p p 3) = (y + 1) p ) = (y + 1) y 3 X†t h m sŁ f(x) = x 1; 0; x x+7+3 Œi ph÷ìng tr…nh hai cıa h» ph÷ìng tr…nh x y 3x + 2x + 3y p ¢ cho th nh 8y + y + = 0: 2: f 110 Hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc f(x) H m sŁ p X†t g(y) = 3y3 8y + y + vợi y H m s g(y) ỗng bin trản kho£ng [1; 1) n¶n Tâm l⁄i f(x) + g(y) min(f(x)) + min(g(y)) = D§u b‹ng x£y x = 2; y = 1: Thò li ta thĐy (x; y) = (2; 1) thọa mÂn hằ Vy hằ phữỡng tr…nh câ nghi»m (x; y) = (2; 1): B i to¡n 3.23 ( H khŁi A.2010)Gi£i h» ph÷ìng tr…nh (4x2 + 1)x + (y 2 p p 4x + y + Líi gi£i i•u ki»n x trð th nh 4;y 2: 3) 2y = 4x = 7: Bi‚n Œi ph÷ìng tr…nh mºt cıa hằ phữỡng trnh  cho Xt h m s f(t) = t(t + 1) tr¶n R, ⁄o h m Suy f(t) ỗng bin trản R nản phữỡng trnh (1) tữỡng ữỡng vợi Hay T õ ta cõ 4x Th‚ y = 111 H» ph÷ìng tr…nh khổng mÔu mỹc Xt h m s f(x) = 4x + ( f (x) = 4x(3 + 4x ) nản h m s f(x) ỗng bin trản khoÊng [0; nghiằm nhĐt ca phữỡng trnh f(x) = 7: V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m (x; y) = ( ; 2): 3.4 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ Phữỡng trnh, hằ phữỡng trnh v bĐt flng thức cõ mi liản hằ cht ch vợi Chflng hn chøng minh mºt b§t flng thøc ta cƒn dü o¡n dĐu bng xÊy n o, iãu n y dÔn tợi viằc tm mt nghiằm n o õ ca phữỡng trnh, hằ phữỡng trnh Nhiãu b i toĂn vã hằ phữỡng trnh, phữỡng trnh li l sỹ che dĐu mºt b§t flng thøc n o â D§u hi»u nh“n d⁄ng to¡n n y l sŁ ph÷ìng tr…nh ‰t hỡn s 'n, phữỡng trnh rĐt phức tp, khổng mÔu müc, mang bâng d¡ng b§t flng thøc n o â Mt iãu cn lữu y i vợi phữỡng phĂp n y l oĂn ữổc nghiằm s gõp phn rĐt lợn v o th nh cỉng cıa líi gi£i C¡c b§t flng thøc ÷ỉc ¡p dưng câ th” l AM-GM, Cauchy-Schwarz, b§t flng thøc h…nh håc, B i to¡n 3.24 (Olympic Balan 1997-1998) Gi£i h» ph÷ìng tr…nh 2 3(x + y + z ) = 2 2 2 x y + y z + z x = xyz(x + y + z) : PhƠn tch Hằ phữỡng trnh cõ s 'n nhiãu hỡn s phữỡng trnh nản ta nghắ n phữỡng phĂp ¡nh gi¡ Líi gi£i Ta câ x; y; z ho°c (x + y + z) khæng th” b‹ng Tł phữỡng trnh hai ca hằ phữỡng trnh  cho suy 2 2 2 xyz(x + y + z) = x y + y z + z x (x + y + z) 0: 112 H» phữỡng trnh khổng mÔu mỹc Vợi ba s thỹc a; b; c theo b§t flng thøc Cauchy-Schwarz ta câ 2 2 3(a + b + c ) (ab + bc + ac) : Tł hai ph÷ìng tr…nh cıa hằ phữỡng trnh  cho v Ăp dửng bĐt flng thøc AM-GM ta câ 2 xy z + x yz + xyz = 1: xyz(x + y + z) = 3(x2 + y2 + z2) (x + y x2y2 + + z)2 = y2z2 + z2x2 xyz(x + y + z) D§u b‹ng x£y v ch¿ x = y = z Tł â ta t…m ÷ỉc x = y = z = v x=y=z= V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m (x; y; z) = ( B 1 1 ; ; ); ( ; ; ): i to¡n 3.25 (Olympic 30/04/2014) (Xem [7]) Gi£i h» ph÷ìng tr…nh p2 2 2 5x + 2xy + 2y + 2x + 2xy + 5y = 3(x + y) p Líi gi£i Tł ph÷ìng tr…nh mt ca hằ phữỡng trnh  cho suy x + y v p = q q 5x (2x + y) + (x q y) + q (x + 2y) + (x y) (2x + y) + (x + 2y) = j2x + yj + jx + 2yj 3(x + y): D§u b‹ng x£y v ch¿ x = y 0: Th‚ y = x v o ph÷ìng tr…nh hai cıa h» ph÷ìng tr…nh ¢ cho ta ÷ỉc p +2 p 3x + p ( 3x + x 1) + 2[ x +x p x y 3x + + x + x p (x x 3x + + x + x)( p 3x + + Hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc V x nản ta tm ữổc x = v x = 1: V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 1): B i to¡n 3.26 (VMO 2009) Gi£i h» ph÷ìng tr…nh ( p p p x(1 2x) + y(1 2y) = : Ph¥n t‰ch T phữỡng trnh mt ca hằ phữỡng trnh ta liản hằ vợi bĐt flng thức sau p Lới giÊi iãu ki»n: D§u b‹ng x£y v Chøng minh Theo b§t flng thøc Cauchy-Schwarz, ta câ D§u b‹ng x£y v Hay x = y: Ta l⁄i câ 1 + 2x D§u b‹ng x£y v ch¿ x = y V“y b§t flng thøc (*) ÷ỉc chøng minh + Ph÷ìng tr…nh mºt cıa h» ph÷ìng trnh  cho tữỡng ữỡng dĐu bng xÊy (*) hay x = y Thay v o ph÷ìng tr…nh hai ca hằ phữỡng trnh  cho ta ữổc p 162 x2 114 Hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc GiÊi ph÷ìng tr…nh ÷ỉc x = 2:162 V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m (x; y) = ( B i to¡n 3.27 (VMO 2013) Gi£i h» ph÷ìng tr…nh q < : q PhƠn tch Hnh thức hằ cho nhữ th n y c¡ch ti‚p c“n tŁt nh§t l dịng ¡nh gi¡ cử th Ơy ta dũng bĐt flng thức sò lỵ hằ Lới giÊi iãu kiằn: sinx:cosx:siny:cosy 6= 0: NhƠn theo v hai phữỡng trnh ca hằ phữỡng trnh ¢ cho, ta thu ÷ỉc ( r r s in x + si n x xy Theo b§t flng thøc Cauchy-Schwarz v 2 sin x + sin2x cos x + cos2xjsin T÷ìng tü ta cơng câ Do â theo b§t flng thøc AM-GM s4 V T (3.10) 4 115 Hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc flng thøc x£y v ch¿ sin2x = 1; x = y hay x = y = Thß l⁄i ta th§y r‹ng x = y = 2 2 sin x = cos x = sin y = cos y = Khi â c£ hai v‚ cıa mỉi phữỡng trnh hằ  cho ãu bng Vy x = y = + k ; k Z l tĐt cÊ cĂc nghiằm ca hằ phữỡng tr…nh B ¢ cho i to¡n 3.28 (HSG B…nh ành 2010-1011) Gi£i h» ph÷ìng tr…nh x +y +z 10 x2007 + y2009 + z2011 1: Ph¥n t‰ch T hằ phữỡng trnh ta liản hằ 2001 x (1 x 2001 ) + y (1 y ‚n b§t 10 2001 ) + z (1 z ) flng thøc 0: m d„ d ng nh“n x; y; z 1: tł ph÷ìng tr…nh mºt cıa h» Ơy ta sò dửng phữỡng phĂp Ănh giĂ gi£i h» Líi gi£i Tł ph÷ìng tr…nh mºt cıa h» phữỡng trnh  cho ta cõ x; y; z 1: K‚t hỉp hai ph÷ìng tr…nh cıa h» ph÷ìng tr…nh ¢ cho suy x2007 + y2009 + z2011 2001 x (1 Tł i•u ki»n x (1 x 2001 2001 ) + y (1 y 10 2001 ) + z (1 z ) (1) 0: 1, ta d„ d ng th§y r‹ng x; y; z x x6 + y8 + z10; ) 0; y (1 2001 y ) 10 0; z (1 2001 z ) 0: Do â ph£i câ flng thøc x£y ð (1), tøc l (x (1 x 2001) 2001 =0 y (1 y )=0 10 2001 z (1 z ) = 0: 10 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh kt hổp vợi iãu kiằn x + y + z 1, ta cõ nghiằm ca hằ phữỡng trnh  cho l (x; y; z) = (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1): 116 K‚t lu“n Ki‚n thøc v• phữỡng trnh v hằ phữỡng trinh i s ữổc rĐt nhiãu ngữới nghiản cứa v sĂng to CĂc b i toĂn liản quan n phữỡng trnh v hằ phữỡng trnh rĐt a dng v vổ phong phú Lun vôn PhƠn loi cĂc hằ phữỡng trnh toĂn hồc ph thổng"  giÊi quyt ữổc nhng vĐn ã sau: Tr…nh b y ÷ỉc ph÷ìng ph¡p gi£i cho ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v ph÷ìng tr… nh ⁄i sŁ b“c bŁn tŒng qu¡t H» thŁng mºt sŁ h» ph÷ìng tr…nh th÷íng g°p v ph÷ìng ph¡p gi£i cho tłng h» â l c¡c h» ph÷ìng tr…nh: h» ph÷ìng tr…nh bƠc nhĐt hai 'n, hằ phữỡng trnh i xứng loi mºt, h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i hai, h» ph÷ìng trnh flng cĐp, hằ phữỡng trnh bc hai tng quĂt, hằ phữỡng trnh hoĂn v vặng quanh-hằ phữỡng trnh bc cao nhiãu 'n s, hằ phữỡng trnh chứa côn v h» ph÷ìng tr… nh mơ v logarit Tr…nh b y mt s phữỡng phĂp thổng dửng nhĐt giÊi hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc õ l phữỡng phĂp bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng, ph÷ìng ph¡p °t 'n phư, ph÷ìng ph¡p h m sŁ, ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 117 T i li»u tham kh£o [1] N T Chung (2014), S¡ng to v giÊi phữỡng trnh, hằ phữỡng trnh, bĐt phữỡng trnh , NXB TP.Hỗ Ch Minh [2] N V Lữỡng, P V Hịng, N N Th›ng (2008), H» ph÷ìng tr…nh v phữỡng trnh chứa côn thức, NXB HQGHN [3] Nguyn Vôn Mu (1996), Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh v bĐt ph÷ìng tr… nh, NXB Gi¡o Dưc [4] °ng Th nh Nam (2014), Kÿ thu“t gi£i nhanh h» ph÷ìng tr…nh, NXB HQGHN [5] ng Hũng Thng (1998), Phữỡng trnh, bĐt phữỡng tr…nh v h» ph÷ìng tr… nh NXB Gi¡o Dưc [6] T⁄p ch‰ to¡n håc v tuŒi tr· [7] Tuy”n t“p • thi Olympic 30/04/2014, NXB HQGHN 118 ... = 2y + y 4y = 0: GiÊi hằ phữỡng trnh trản tm ÷æc (x; y) = (1; 1); (13; 5): V“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m (x; y) = (1; 1) ; (13; 5) ; (2; 1) ; (10; 3) : 22 Hằ phữỡng trnh thữớng gp Nhn xt 2.5... cĂch giÊi cho ph÷ìng tr…nh b“c ba v ph÷ìng tr…nh b“c bŁn tŒng qu¡t 1.1 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba Trong phƒn n y ta s nảu phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh bc ba vợi hằ s thỹc tũy ỵ: ax + bx + cx + d... phữỡng trnh cõ nghiằm nhĐt d x=2 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn 1.2 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c bŁn Trong phƒn s‡ nảu phữỡng phĂp chung phƠn tch a thức bc bŁn tŒng qu¡t th nh t‰ch hai tam thøc b“c